2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個熱點問題第6煉 函數(shù)的圖像含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個熱點問題第6煉函數(shù)的圖像含答案第6煉函數(shù)的圖像一、基礎(chǔ)知識1、做草圖需要注意的信息點：做草圖的原則是：速度快且能提供所需要的信息，通過草圖能夠顯示出函數(shù)的性質(zhì)。在作圖中草圖框架的核心要素是函數(shù)的單調(diào)性，對于一個陌生的可導(dǎo)函數(shù)，可通過對導(dǎo)函數(shù)的符號分析得到單調(diào)區(qū)間，圖像形狀依賴于函數(shù)的凹凸性，可由二階導(dǎo)數(shù)的符號決定（詳見“知識點講解與分析”的第3點），這兩部分確定下來，則函數(shù)大致輪廓可定，但為了方便數(shù)形結(jié)合，讓圖像更好體現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，有一些信息點也要在圖像中通過計算體現(xiàn)出來，下面以常見函數(shù)為例，來說明作圖時常體現(xiàn)的幾個信息點（1）一次函數(shù)：,若直線不與坐標(biāo)軸平行，通?？衫弥本€與坐標(biāo)軸的交點來確定直線特點：兩點確定一條直線信息點：與坐標(biāo)軸的交點（2）二次函數(shù)：，其特點在于存在對稱軸，故作圖時只需做出對稱軸一側(cè)的圖像，另一側(cè)由對稱性可得。函數(shù)先減再增，存在極值點——頂點，若與坐標(biāo)軸相交，則標(biāo)出交點坐標(biāo)可使圖像更為精確特點：對稱性信息點：對稱軸，極值點，坐標(biāo)軸交點（3）反比例函數(shù)：,其定義域為，是奇函數(shù)，只需做出正版軸圖像即可（負半軸依靠對稱做出），坐標(biāo)軸為函數(shù)的漸近線特點：奇函數(shù)（圖像關(guān)于原點中心對稱），漸近線信息點：漸近線注：（1）所謂漸近線：是指若曲線無限接近一條直線但不相交，則稱這條直線為漸近線。漸近線在作圖中的作用體現(xiàn)為對曲線變化給予了一些限制，例如在反比例函數(shù)中，軸是漸近線，那么當(dāng)，曲線無限向軸接近，但不相交，則函數(shù)在正半軸就不會有軸下方的部分。（2）水平漸近線的判定：需要對函數(shù)值進行估計：若（或）時，常數(shù)，則稱直線為函數(shù)的水平漸近線例如：當(dāng)時，，故在軸正方向不存在漸近線當(dāng)時，，故在軸負方向存在漸近線（3）豎直漸近線的判定：首先在處無定義，且當(dāng)時，（或），那么稱為的豎直漸近線例如：在處無定義，當(dāng)時，，所以為的一條漸近線。綜上所述：在作圖時以下信息點值得通過計算后體現(xiàn)在圖像中：與坐標(biāo)軸的交點；對稱軸與對稱中心；極值點；漸近線。例：作出函數(shù)的圖像分析：定義域為，且為奇函數(shù)，故先考慮正半軸情況。故函數(shù)單調(diào)遞增，，故函數(shù)為上凸函數(shù)，當(dāng)時，無水平漸近線，時，，所以軸為的豎直漸近線。零點：，由這些信息可做出正半軸的草圖，在根據(jù)對稱性得到完整圖像：2、函數(shù)圖象變換：設(shè)函數(shù)，其它參數(shù)均為正數(shù)（1）平移變換：：的圖像向左平移個單位：的圖像向右平移個單位：的圖像向上平移個單位：的圖像向下平移個單位（2）對稱變換：：與的圖像關(guān)于軸對稱：與的圖像關(guān)于軸對稱：與的圖像關(guān)于原點對稱（3）伸縮變換：：圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模簣D像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?）翻折變換：：即正半軸的圖像不變，負半軸的原圖像不要，換上與正半軸圖像關(guān)于軸對稱的圖像：即軸上方的圖像不變，下方的圖像沿軸對稱的翻上去。3、二階導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的凹凸性：（1）無論函數(shù)單調(diào)增還是單調(diào)減，其圖像均有3種情況，若一個函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為下凸函數(shù)若一個函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為上凸函數(shù)（2）上凸函數(shù)特點：增區(qū)間增長速度越來越慢，減區(qū)間下降速度越來越快下凸函數(shù)特點：增區(qū)間增長速度越來越快，減區(qū)間下降速度越來越慢（3）與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為（即的二階導(dǎo)函數(shù)），如圖所示：增長速度受每一點切線斜率的變化情況的影響，下凸函數(shù)斜率隨的增大而增大，即為增函數(shù)；上凸函數(shù)隨的增大而減小，即為減函數(shù)；綜上所述：函數(shù)是上凸下凸可由導(dǎo)函數(shù)的增減性決定，進而能用二階導(dǎo)函數(shù)的符號進行求解。二、方法與技巧：1、在處理有關(guān)判斷正確圖像的選擇題中，常用的方法是排除法，通過尋找四個選項的不同，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可進行排除，常見的區(qū)分要素如下：（1）單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)圖像位于軸上方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，位于軸下方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間（2）函數(shù)零點周圍的函數(shù)值符號：可通過帶入零點附近的特殊點來進行區(qū)分（3）極值點（4）對稱性（奇偶性）——易于判斷，進而優(yōu)先觀察（5）函數(shù)的凹凸性：導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性決定原函數(shù)的凹凸性，導(dǎo)函數(shù)增區(qū)間即為函數(shù)的下凸部分，減區(qū)間為函數(shù)的上凸部分。其單調(diào)性可由二階導(dǎo)函數(shù)確定2、利用圖像變換作圖的步驟：（1）尋找到模板函數(shù)（以此函數(shù)作為基礎(chǔ)進行圖像變換）（2）找到所求函數(shù)與的聯(lián)系（3）根據(jù)聯(lián)系制定變換策略，對圖像進行變換。例如：作圖：第一步尋找模板函數(shù)為：第二步尋找聯(lián)系：可得第三步制定策略：由特點可得：先將圖像向左平移一個單位，再將軸下方圖像向上進行翻折，然后按照方案作圖即可3、如何制定圖象變換的策略（1）在尋找到聯(lián)系后可根據(jù)函數(shù)的形式了解變換所需要的步驟，其規(guī)律如下：①若變換發(fā)生在“括號”內(nèi)部，則屬于橫坐標(biāo)的變換②若變換發(fā)生在“括號”外部，則屬于縱坐標(biāo)的變換例如：：可判斷出屬于橫坐標(biāo)的變換：有放縮與平移兩個步驟：可判斷出橫縱坐標(biāo)均需變換，其中橫坐標(biāo)的為對稱變換，縱坐標(biāo)的為平移變換（2）多個步驟的順序問題：在判斷了需要幾步變換以及屬于橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)的變換后，在安排順序時注意以下原則：①橫坐標(biāo)的變換與縱坐標(biāo)的變換互不影響，無先后要求②橫坐標(biāo)的多次變換中，每次變換只有發(fā)生相應(yīng)變化例如：可有兩種方案方案一：先平移（向左平移1個單位），此時。再放縮（橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?，此時系數(shù)只是添給，即方案二：先放縮（橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?，此時，再平移時，若平移個單位，則（只對加），可解得，故向左平移個單位③縱坐標(biāo)的多次變換中，每次變換將解析式看做一個整體進行例如：有兩種方案方案一：先放縮：，再平移時，將解析式看做一個整體，整體加1，即方案二：先平移：，則再放縮時，若縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，那么，無論取何值，也無法達到，所以需要對前一步進行調(diào)整：平移個單位，再進行放縮即可（）4、變換作圖的技巧：（1）圖像變換時可抓住對稱軸，零點，漸近線。在某一方向上他們會隨著平移而進行相同方向的移動。先把握住這些關(guān)鍵要素的位置，有助于提高圖像的精確性（2）圖像變換后要將一些關(guān)鍵點標(biāo)出：如邊界點，新的零點與極值點，與軸的交點等三、例題精析：例1：己知函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極大值是（）A.B.C.D.思路：由圖像可知：時，,單調(diào)遞增，時，,單調(diào)遞減，所以的極大值為答案：B小煉有話說：觀察導(dǎo)函數(shù)圖像時首要關(guān)注的是函數(shù)的符號，即是在軸的上方還是下方，導(dǎo)函數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調(diào)性例2：設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖像可能為（）xxyO圖1xyOAxyOBxyOCyODx思路：根據(jù)原函數(shù)的圖像可得：在單調(diào)遞增，在正半軸先增再減再增，故在負半軸的符號為正，在正半軸的符號依次為“正負正”，觀察四個選項只有D符合答案：D小煉有話說：本題可直接由導(dǎo)函數(shù)的符號來排除其他選項，若選項中也有符合D中“負半軸的符號為正，在正半軸的符號依次為‘正負正’”，那么可觀察第二條標(biāo)準(zhǔn)：從圖上看在負半軸中，函數(shù)增長的速度越來越快，則說明切線斜率隨的增大而增大，進而導(dǎo)函數(shù)在負半軸也單調(diào)遞增，依次類推可得到正半軸的情況，D選項依然符合特征例3：函數(shù)的部分圖象為（）思路：，可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且可估計當(dāng)，即，所以為函數(shù)的漸近線，當(dāng)由此可判斷出圖像正確答案：A小煉有話說：（1）本題考查的是通過分析函數(shù)性質(zhì)作圖，單調(diào)性是非常重要的一個要素，通過單調(diào)性也可排除其他三個選項（2）關(guān)于漸近線的判斷：對于，可這樣理解，時，均趨向正無窮，但的速度更快，進而伴隨著，將遠遠大于，進而比值趨于0，當(dāng),增長速度的排名為：直線（一次函數(shù)）<二次函數(shù)<指數(shù)函數(shù)例4：函數(shù)的圖像可能是（)思路：觀察解析式可判斷出為奇函數(shù)，排除A,C.當(dāng)時，,故選擇B答案：B小煉有話說：有兩點可以優(yōu)先觀察：一個是奇偶性，則圖像具有對稱性，只需考慮正半軸的情況即可；二是含有絕對值，可利用的符號去掉絕對值，進而得到正半軸的解析式。例5（2015浙江文）：函數(shù)的圖像可能為（）思路：觀察4個選項的圖像，其中A，B圖像關(guān)于軸對稱，C,D圖像關(guān)于原點中心對稱。所以先判斷函數(shù)奇偶性，可判斷出所以為奇函數(shù)，排除A，B，再觀察C,D的區(qū)別之一就是的符號，經(jīng)過計算可得，所以排除C答案：D例6：已知為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖像是()思路：，，可判斷為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點中心對稱，排除。因為，排除。故正確。答案：A小煉有話說：可優(yōu)先判斷出奇偶性，進而排除一些選項，對于選項而言，其不同之處有兩點，一點是從處開始的符號，解析的思路也源于此，但需要代入特殊角進行判斷，A選項的圖中發(fā)現(xiàn)在軸正半軸中靠近軸的函數(shù)值小于零，從而選擇最接近0的特殊角，除此之外，圖像的不同之處還在于從開始時的單調(diào)性，所以也可對求導(dǎo)，，則時，，即應(yīng)先減再增。所以排除C例7：下面四圖都是在同一坐標(biāo)系中某三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像，其中一定不正確的序號是()A．①②B．③④C．①③D．①④思路：如圖所示：在圖①、②在每個區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性與對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)的符號是正確的，即單調(diào)增區(qū)間導(dǎo)數(shù)大于零，單調(diào)減區(qū)間上導(dǎo)數(shù)小于零；在③中顯示在區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的值為負值，而該區(qū)間上的函數(shù)圖象顯示不單調(diào)，二者不一致，所以③不正確；在④圖象顯示在區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的值總為正數(shù)，而相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)圖象卻顯示為減函數(shù)，二者相矛盾，所以不正確.故選B.答案：B小煉有話說：要注意導(dǎo)函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像的聯(lián)系：導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)的單調(diào)性相對應(yīng)，導(dǎo)函數(shù)的增減與原函數(shù)的凹凸性相對應(yīng)。例8：已知上可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為()A.B.C.D.思路：由圖像可得：時，，時，，所以所解不等式為：或，可得：答案：D例9：函數(shù)的大致圖象如圖所示,則等于()A.B.C.D.思路：由圖像可得：為的極值點，為函數(shù)的零點,即是方程的兩個根，,,由答案：C小煉有話說：在觀察一個函數(shù)圖像時，有幾個地方值得關(guān)注：極值點——單調(diào)區(qū)間的分界點，導(dǎo)函數(shù)的零點；零點——函數(shù)符號的分界點；單調(diào)性——決定導(dǎo)函數(shù)的符號。例10：（2015安徽）函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）A.B.C.D.第7煉分段函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用分段函數(shù)是函數(shù)中比較復(fù)雜的一種函數(shù)，其要點在于自變量取不同范圍的值時所使用的解析式不同，所以在解決分段函數(shù)的問題時要時刻盯著自變量的范圍是否在發(fā)生變化。即“分段函數(shù)——分段看”一、基礎(chǔ)知識：1、分段函數(shù)的定義域與值域——各段的并集2、分段函數(shù)單調(diào)性的判斷：先判斷每段的單調(diào)性，如果單調(diào)性相同，則需判斷函數(shù)是連續(xù)的還是斷開的，如果函數(shù)連續(xù)，則單調(diào)區(qū)間可以合在一起，如果函數(shù)不連續(xù)，則要根據(jù)函數(shù)在兩段分界點出的函數(shù)值（和臨界值）的大小確定能否將單調(diào)區(qū)間并在一起。3、分段函數(shù)對稱性的判斷：如果能夠?qū)⒚慷蔚膱D像作出，則優(yōu)先采用圖像法，通過觀察圖像判斷分段函數(shù)奇偶性。如果不便作出，則只能通過代數(shù)方法比較的關(guān)系，要注意的范圍以代入到正確的解析式。4、分段函數(shù)分析要注意的幾個問題（1）分段函數(shù)在圖像上分為兩類，連續(xù)型與斷開型，判斷的方法為將邊界值代入每一段函數(shù)（其中一段是函數(shù)值，另外一段是臨界值），若兩個值相等，那么分段函數(shù)是連續(xù)的。否則是斷開的。例如：，將代入兩段解析式，計算結(jié)果相同，那么此分段函數(shù)圖像即為一條連續(xù)的曲線，其性質(zhì)便于分析。再比如中，兩段解析式結(jié)果不同，進而分段函數(shù)的圖像是斷開的兩段。（2）每一個含絕對值的函數(shù)，都可以通過絕對值內(nèi)部的符號討論，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)。例如：，可轉(zhuǎn)化為：5、遇到分段函數(shù)要時刻盯住變量的范圍，并根據(jù)變量的范圍選擇合適的解析式代入，若變量的范圍并不完全在某一段中，要注意進行分類討論6、如果分段函數(shù)每一段的解析式便于作圖，則在解題時建議將分段函數(shù)的圖像作出，以便必要時進行數(shù)形結(jié)合。二、典型例題例1：已知函數(shù)，若，則實數(shù)_____思路：從里向外一層層求值，所以答案：例2：設(shè)函數(shù)，則的值為_________思路：由解析式可知，只有，才能得到具體的數(shù)值，時只能依靠向正數(shù)進行靠攏。由此可得：，而答案：小煉有話說：含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理里首先要明確目標(biāo)，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對函數(shù)圖象的影響）比如在本題中：可以立即為間隔為1的自變量，函數(shù)值差1，其作用在于自變量取負數(shù)時，可以不斷直至取到正數(shù)。理解到這兩點，問題自然迎刃而解。例3：函數(shù)，則不等式的解集是()A.B.C.D.思路：首先要把轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式，由于是分段函數(shù)，所以要對的范圍分類討論以代入不同的解析式：當(dāng)時，，可解得：或。所以或；當(dāng)時，解得，所以，綜上所述：答案：B例4：已知函數(shù)，則不等式的解集是________思路：要想解不等式，首先要把轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的表達式，觀察已知分段函數(shù)，，占據(jù)整個括號的位置，說明對于函數(shù)而言，括號里的式子小于0時，代入上段解析式，當(dāng)括號里的式子大于0時，代入下段解析式。故要對的符號進行分類討論。（1）當(dāng)時，，不等式變?yōu)椋海?）當(dāng)時，，不等式變?yōu)椋捍鸢福豪?：已知函數(shù)，則不等式的解集為___________思路：本題如果通過分類討論將不等式變?yōu)榫唧w不等式求解，則難點有二：一是要顧及的范圍，則需要分的情況太多；二是具體的不等式可能是多項式與指數(shù)式混在一起的不等式，不易進行求解。所以考慮先擱置代數(shù)方法，去分析的圖像性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)的兩段解析式均可作圖，所以考慮作出的圖像，從而發(fā)現(xiàn)是增函數(shù)，從而無論在哪個范圍，，從而解得：或答案：小煉有話說：含分段函數(shù)的不等式在處理上通常是兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對進行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解(比如例3，例4）。另一種是通過作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖像的特點解不等式（比如例5）。例6：已知函數(shù).若，則的取值范圍是A．B．C．D．思路：本題可以對進行分類討論，以將變成具體不等式求解，但也可從的特點出發(fā)，考慮判斷的奇偶性，通過作圖可發(fā)現(xiàn)為偶函數(shù)，所以，所解不等式變?yōu)椋儆蓤D像可得只需，即答案：C小煉有話說：（1）本題判斷函數(shù)的奇偶性可以簡化運算，而想到這一點是源于抓住所解不等式中的特點。由此可見，有些題目的思路源于式子中的一些暗示（2）由于兩段圖像均易作出，所以在判斷奇偶性時用的是圖像法。對于某些不易作圖的分段函數(shù)，在判斷奇偶性時就需要用定義法了，下面以本題為例說說定義法如何判斷：整體思想依然是找到，只是在代入過程中要注意的范圍：設(shè)，則，，所以，即為偶函數(shù)例7：已知函數(shù)，若，則的值域是_______________解析：是一個分段函數(shù)，其分段標(biāo)準(zhǔn)以的大小為界，所以第一步先確定好的取值，解不等式：，解得：，故，分別求出每段最值，再取并集即可答案：例8：已知函數(shù)，若在單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是_________思路：若在單調(diào)增，則在上任取，均有，在任取中就包含均在同一段取值的情況，所以可得要想在上單調(diào)增，起碼每一段的解析式也應(yīng)當(dāng)是單調(diào)遞增的，由此可得：，但僅僅滿足這個條件是不夠的。還有一種取值可能為不在同一段取值，若也滿足，均有，通過作圖可發(fā)現(xiàn)需要左邊函數(shù)的最大值不大于右邊函數(shù)的最小值。代入，有左段右端，即綜上所述可得：答案：例9：已知，則下列選項錯誤的是（）A.①是的圖像B.②是的圖像C.③是的圖像D.④是的圖像思路：考慮先作出的圖像（如右圖所示），再按照選項進行驗證即可：A.為向右平移一個單位，①正確；B.為關(guān)于軸對稱的圖像，②正確；C.為正半軸圖像不變，負半軸作與正半軸關(guān)于軸對稱的圖像，③正確；D.的圖像為在軸上方的圖像不變，下方圖像沿軸對稱翻折。而圖像均在軸上方，所以應(yīng)與圖像相同。④錯誤答案：D例10：函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上為增函數(shù)B.函數(shù)的最小正周期為4C.函數(shù)是奇函數(shù)D.函數(shù)無最小值思路：可觀察到的圖像易于作出，所以考慮先作圖，再看由圖像能否判斷各個選項，如圖所示可得：BC選項錯誤，D選項存在最小值，所以D錯誤，A選項是正確的答案：A小煉有話說：（1）本題利用數(shù)形結(jié)合是最為簡便的方法，一方面是因為本身便于作圖，另一方面四個選項在圖上也有具體的含義。（2）分段函數(shù)作圖過程中，尤其在函數(shù)圖象斷開時，一定要注意端點處屬于哪個解析式。本題中就屬于部分，所以才存在最小值。三、近年模擬題題目精選1、已知函數(shù)若，則______2、已知，若，則__________.3、（2016，湖州中學(xué)期中）函數(shù),若，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．4、已知，則的解集為______________5、（2015，北京）設(shè)函數(shù)①若，則的最小值為________②若恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________ 6、（2015，福建）若函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是___________7、（2015，新課標(biāo)II）設(shè)函數(shù)，則（）A.B.C.