專題16.2 二次根式的乘除【十大題型】（舉一反三）-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（人教版）（解析版）

專題16.2二次根式的乘除【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次根式乘除法法則成立的條件】 1【題型2二次根式的乘除混合運(yùn)算】 3【題型3把根號(hào)外的因數(shù)（式）移到根號(hào)內(nèi)】 6【題型4判斷最簡二次根式】 8【題型5化為最簡二次根式】 9【題型6根據(jù)最簡二次根式的概念求值】 11【題型7分母有理化及其應(yīng)用】 13【題型8比較二次根式的大小】 15【題型9應(yīng)用二次根式的乘除運(yùn)算解決實(shí)際問題】 17【題型10二次根式乘除法中的新情境題】 19【知識(shí)點(diǎn)1二次根式的乘除法則】①二次根式的乘法法則：a?②積的算術(shù)平方根：a?b=③二次根式的除法法則：ab④商的算術(shù)平方根：ab【題型1二次根式乘除法法則成立的條件】【例1】（2023·上海閔行·八年級(jí)?？计谥校┤绻鷶?shù)式2m?1m?4=2m?1m?4，那么m的取值范圍是_____________【答案】m＞4.【分析】根據(jù)二次根式除法法則和分式有意義的條件，列出不等式組即可解答.【詳解】∵2m?1∴2m-1≥0，m-4＞0，解得：m＞4，故答案為m＞4.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的乘除法，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.【變式1-1】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谀┤?x?2)(3?x)=x?2?3?x成立．則A．x≤3 B．x≥2 C．2<x<3 D．2≤x≤3【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的意義得到x-2≥0，3-x≥0，從而求出x的范圍．【詳解】解：∵(x?2)(3?x)=∴x-2≥0，3-x≥0，∴x≥2，x≤3，∴2≤x≤3，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)二次根式的定義，二次根式的乘法等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)法則得出x-2≥0和3-x≥0是解此題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）等式x?3x+1=x?3x+1成立的A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出x的范圍．【詳解】由題意可知：x?3≥0x+1>0解得：x?3,故選：B．【點(diǎn)睛】考查二次根式的意義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式有意義的條件.【變式1-3】（2023春·遼寧朝陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若等式2x2?【答案】0?x?2．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值法則列不等式即可求出答案．【詳解】解：∵2x2∴|x|2?x=x2?x∴x?02?x?0解得：0?x?2；故答案為：0?x?2．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值法則，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式有意義的條件和絕對(duì)值的法則列不等式．【題型2二次根式的乘除混合運(yùn)算】【例2】（2023春·八年級(jí)上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┯?jì)算:（1）345（2）32（3）8【答案】（1）206；（2）?15【分析】（1）根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可．【詳解】（1）原式=3×=2×100×6（2）原式3×(?1（3）原式=4a【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，主要考查學(xué)生的化簡能力，題目比較典型，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．【變式2-1】（2023春·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算(1)?(2)(【答案】(1)?(2)6+2【分析】（1）先計(jì)算括號(hào)里的乘法運(yùn)算，相除化簡即可得到結(jié)果；（2）運(yùn)用完全平方公式、平方差公式化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解原式＝?4＝?4＝?6（2）解原式=7=7+2=6+2【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算、完全平方公式、平方差公式等相關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．【變式2-2】（2023春·上海黃浦·八年級(jí)上海外國語大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：312【答案】?2【分析】根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：3===?22根據(jù)12x與3xy得：∴原式=?2【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，掌握二次根式的乘除運(yùn)算法則是關(guān)鍵，最后二次根式要化成最簡二次根式．【變式2-3】（2023春·黑龍江雞西·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）計(jì)算：2?（2）下面是王鑫同學(xué)進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算的過程，認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的問題：9=9=3=3=9①以上化簡步驟中第一步化簡的依據(jù)是：______；②第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出錯(cuò)誤的原因______；③該運(yùn)算正確結(jié)果應(yīng)是______.【答案】（1）?7+42；（2）①商的算術(shù)平方根，等于算術(shù)平方根的商或ab=ab（a≥b【分析】（1）根據(jù)平方差公式，完全平方公式化簡計(jì)算即可．（2）①根據(jù)二次根式的性質(zhì)：ab=ab（②括號(hào)前是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后第二項(xiàng)沒有變號(hào)．③根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則，正確運(yùn)算即可．【詳解】（1）2?5（2）①化簡步驟中第一化簡的依據(jù)為ab=ab（故答案為：ab=ab（②第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因?yàn)椋豪ㄌ?hào)前是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后第二項(xiàng)沒有變號(hào)；故答案為：二，括號(hào)前是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后第二項(xiàng)沒有變號(hào)；③9====?33該運(yùn)算正確結(jié)果應(yīng)是?33故答案為：?33【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算和性質(zhì)，熟練掌握二次根式運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．【題型3把根號(hào)外的因數(shù)（式）移到根號(hào)內(nèi)】【例3】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）把2?x1【答案】?【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分式分母不為零，將根號(hào)外的因式轉(zhuǎn)化成正數(shù)形式，然后進(jìn)行計(jì)算，化簡求值即可．【詳解】解：∵1x?2∴x?2>0；2?x=?(x?2)1=?(x?2)=?(x?2)(x?2)=?x?2故答案為：?【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)和二次根式計(jì)算，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·山東·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若把﹣43根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，得（）A．12 B．﹣12 C．﹣48 D．48【答案】C【分析】把4寫成16的形式，利用二次根式的乘法法則即可得到．【詳解】解：﹣43＝﹣16×3＝﹣48故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法法則，以及二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是避免出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤的問題．【變式3-2】（2023春·江蘇南通·八年級(jí)階段練習(xí)）把?a?A．?a B．?a C．??a 【答案】A【詳解】試題分析：因?yàn)?a?1a考點(diǎn)：二次根式的化簡．【變式3-3】（2023春·河北唐山·八年級(jí)?？计谀┌严铝懈?hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi).(1)a1a(2)xyx-y·x2-(3)ab1a-1b(0<【答案】（1）a;（2）xy;（3）ab【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件可知a>0，利用二次根式的乘法法則化簡；（2）(3)利用二次根式的乘法法則求解即可．【詳解】(1)

∵1a>0,∴a>0,a=a2,∴a1a(2)

∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即xyx∴xyx∴xyx-y·x(3)

∵0<a<b,∴ab>0,b-a＞0,∴ab=(ab∴ab1a-1【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡，正確確定a、b和x的范圍是關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)2最簡二次根式】我們把滿足①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式這兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式．【題型4判斷最簡二次根式】【例4】（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在二次根式①a2+b2②x5

③x2A．①② B．③④ C．①③ D．①④【答案】C【分析】判斷一個(gè)二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】①a2②x5③x2④27abc=3①③是最簡二次根式．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個(gè)條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【變式4-1】（2023春·湖南益陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列式子中，為最簡二次根式的是()A．12 B．2 C．8 D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，判斷即可．【詳解】解：A.原式=2B.2是最簡二次根式，故B符合題意．C.原式=22D.原式=3，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查最簡二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解最簡二次根式，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式4-2】（2023春·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果x?3是最簡二次根式，則x的值可能是（

）A．11 B．13 C．21 D．27【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方式非負(fù)，列出不等式得到解集后，再由最簡二次根式定義代值逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：∵x?3是二次根式，∴x?3≥0，解得x≥3，A、當(dāng)x=11時(shí)，x?3=8=2B、當(dāng)x=13時(shí)，x?3=10，確定C、當(dāng)x=21時(shí)，x?3=18=3D、當(dāng)x=27時(shí)，x?3=24=2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件及最簡二次根式定義，熟練掌握最簡二次根式的定義是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·安徽銅陵·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于二次根式x2+9，以下說法不正確的是（A．它是一個(gè)無理數(shù) B．它是一個(gè)正數(shù) C．它是最簡二次根式 D．它有最小值為3【答案】A【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義：被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含開的盡的因數(shù)或因式，可得答案．【詳解】x2當(dāng)時(shí)x=0，x2故選A.【點(diǎn)睛】考查了最簡二次根式，利用最簡二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【題型5化為最簡二次根式】【例5】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）下列各組二次根式化成最簡二次根式后的被開方數(shù)完全相同的是(

)A．a(chǎn)b與ab2 B．mnC．m2+n2與m2【答案】D【分析】利用二次根式的性質(zhì)將選項(xiàng)中的二次根式化成最簡二次根式然后比較被開方數(shù)即可．【詳解】解：A、ab2=B、1m+1C、m2+nD、4a3b2=2aba故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡，將選項(xiàng)中的二次根式化成最簡二次根式是解決此題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·重慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）把2015【答案】2【分析】根據(jù)二次根式的除法法則可得2015【詳解】2015＝20故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式，關(guān)鍵是理解最簡二次根式的定義和能化成最簡二次根式，最簡二次根式定義滿足下列條件的二次根式，叫做最簡二次根式：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有能開的盡方的因式或因數(shù)．【變式5-2】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)期末）設(shè)2=a，3=b，用含a,b的代數(shù)式表示【答案】3ab【分析】將0.54化簡后，代入a，b即可．【詳解】解：0.54=∵2=a，3∴0.54故答案為：3ab10【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法法則的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將0.54化簡變形，本題屬于中等題型．【變式5-3】（2023春·八年級(jí)單元測試）把下列根式化成最簡二次根式．（1）5（2）6（3）50（4）n【答案】（1）103；（2）362；（3）5a【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案；（2）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案；（3）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案；（4）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【詳解】解：（1）512（2）63（3）50=5a2b（4）n==?1【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的化簡，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，二次根式開出來的數(shù)一定為非負(fù)數(shù)．【題型6根據(jù)最簡二次根式的概念求值】【例6】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若2m+3和32m?n+1都是最簡二次根式，則m+n＝【答案】﹣6．【分析】由于二次根式都是最簡二次根式，因此被開方數(shù)的冪指數(shù)均為1，由此可得出關(guān)于m、n的方程組，可求出m、n的值．【詳解】由題意可得：m+3=1解得：m=?2∴m+n＝﹣6故答案：﹣6．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式的定義，當(dāng)已知一個(gè)二次根式是最簡二次根式時(shí)，那么被開方數(shù)（或因式）的冪指數(shù)必為1．【變式6-1】（2023春·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）24化簡后與最簡二次根式5a+1的被開方數(shù)相等，則a=【答案】5【分析】本題先將24化簡為最簡二次根式，繼而利用題干信息“被開方數(shù)相同”列方程求解．【詳解】24=26，其中被開方數(shù)為6；5a+1故有：a+1=6，則a=5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查最簡二次根式的化簡以及對(duì)二次根式概念的理解，需注意化簡原則為被開方數(shù)不含分母,也不含能開的盡方的因數(shù)或因式．【變式6-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若a是正整數(shù)，3a+6是最簡二次根式，則a的最小值為______.【答案】3【分析】直接利用最簡二次根式的定義進(jìn)行分析即可得.【詳解】∵a是正整數(shù)，3a+6是最簡二次根式，∴3a+6=3a+2∵a為1時(shí)，3a+2=3，a為2時(shí)，3a+2=2a為3時(shí)，3a+2=15∴a最小為3，故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式，正確把握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.【變式6-3】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）我們把形如ax+b（a，b為有理數(shù)，x為最簡二次根式）的數(shù)叫做x型無理數(shù)，如3x+1是x型無理數(shù)，則(2A．2型無理數(shù) B．5型無理數(shù) C．10型無理數(shù) D．20型無理數(shù)【答案】B【分析】先利用完全平方公式計(jì)算，再化簡得到原式=12+45【詳解】解：(2所以(2+10故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式．也考查了無理數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式；②兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．【題型7分母有理化及其應(yīng)用】【例7】（2023春·四川巴中·八年級(jí)校聯(lián)考期中）閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如23、23+123以上這種化簡過程叫做分母有理化．2323+1=3?13+1=(3請(qǐng)任用其中一種方法化簡：①215?3；②【答案】①15+②23【分析】（1）根據(jù)題意分子分母同時(shí)乘以15+（2）根據(jù)題意分子分母同時(shí)乘以23【詳解】解：①215?3=2（15②523+7=【點(diǎn)睛】分母有理化是本題的考點(diǎn)，能夠運(yùn)用平方差公式把分母中的根號(hào)去掉是解題的關(guān)鍵.【變式7-1】（2023春·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）分母有理化:13【答案】2?【分析】3+2的有理化因式為：3?2，故將分子分母同時(shí)乘【詳解】1故答案為2?【點(diǎn)睛】此題考查的是分母有理化，找出分母的有理化因式是解決此題的關(guān)鍵.【變式7-2】（2023春·八年級(jí)單元測試）下列各組中互為有理化因式的是（

）A．a(chǎn)+b與?b?aC．2a+3與3?2a【答案】C【分析】根據(jù)有理化因式的定義判斷即可.【詳解】A.a+b?b?B.2?aa?2=C.2a+33?2D.a·2a=2a故選C.【點(diǎn)睛】本題考查有理化因式得定義,關(guān)鍵在于掌握定義化簡判斷.【變式7-3】（2023春·河南開封·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）【閱讀材料】像5+25?2=1、a?a=aa≥0、b+1b?1=b?1b≥0【解決問題】（1）填空：7?3的有理化因式為（2）化簡：12?（3）已知正整數(shù)a，b滿足a2?1?b2【答案】（1）7+3；（2）2?23；（3）a=3，【分析】（1）根據(jù)題意，理解有理化因式的概念，即可求解；（2）對(duì)式子分別進(jìn)行有理化，然后運(yùn)算求解即可；（3）對(duì)式子分別進(jìn)行有理化，對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，列二元一次方程組，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)有理化因式的概念可得：7?3的有理化因式為（2）1（3）對(duì)a2(2+1)a?可得：a?12所以，a=3，b=10【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的分母有理化，理解題意掌握二次根式分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵．【題型8比較二次根式的大小】【例8】（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）比較大?。??3______【答案】＞【分析】先求出5?3與【詳解】∵11而7+∴5?故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較：利用平方法或倒數(shù)法進(jìn)行比較大?。咀兪?-1】（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）若a=2020×2022?2020×2021,b=20232?4×2022,c=20212+1，則aA．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a【答案】A【分析】分別將a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性質(zhì)化簡后對(duì)平方進(jìn)行比較得出結(jié)論．【詳解】解：∵a=2020×2022?2020×2021=2020×2022?2021∴a2∵b=20232?4×2022∴b2c2∵20202<2021∵a、b、c都是大于0的實(shí)數(shù)，∴c>b>a，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、二次根式大小的比較等知識(shí)點(diǎn)，利用完全平方公式計(jì)算出值，是解決本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：（1）比較15?14和（2）求y=x+1【答案】（1）15?14【分析】（1）分子有理化，將15?14即15?141分子分母同時(shí)乘以15+14將15?14轉(zhuǎn)化為1（2）分子有理化，將x+1?x?1即x+1?x?11分子分母同時(shí)乘以x+1+x?1轉(zhuǎn)化為2x+1+x?1，當(dāng)x=1時(shí)，分母x+1+【詳解】（1）15?14?而15>∴15∴15（2）∵x+1≥0，x?1≥∴x≥1，∵y=x+1?x?1當(dāng)x=1時(shí)，分母x+1+x?1有最小值∴y=2x+1+【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義的條件以及分子有理化在二次根式中的應(yīng)用，此類問題掌握分子、分母有理化的方法是解題關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）先觀察解題過程，再解決以下問題：比較3?2與解：(3?23?2=13+（1）比較4?3與（2）試比較n+1?n與【答案】（1）4?3＜3?2【分析】（1）根據(jù)示例中的方法，把4?3與（2）根據(jù)示例中的方法，把n+1?n與【詳解】（1）∵(4?3∴4?3=又∵4+∴14+3＜13+（2）∵(n+1?n)(n+1+n)=1，(∴n+1?n=又∵n+1+n＞∴1n+1+n＜1n+【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小比較，掌握二次根式的運(yùn)算法則，把二次根式化為分子為1的數(shù)或式子，是解題的關(guān)鍵．【題型9應(yīng)用二次根式的乘除運(yùn)算解決實(shí)際問題】【例9】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）站在豎直高度?m的地方，看見的水平距離是dm，它們近似地符合公式d=8?5.某一登山者登上海拔2000m的山頂，那么他看到的水平距離是________【答案】160【分析】把h=2000代入公式d=8?【詳解】解：把h=2000代入公式d=8?d=8所以答案是：160.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的計(jì)算.熟練掌握二次根式的性質(zhì)是運(yùn)算的關(guān)鍵.【變式9-1】（2023春·八年級(jí)單元測試）站在水平高度為h米的地方看到可見的水平距離為d米，它們近似地符號(hào)公式為d=8?5，某一登山者從海拔h米處登上海拔【答案】2【分析】由題意知d和h的關(guān)系式，則由海拔h米處登上海拔2?米高的山頂，那么他看到的水平線的距離之比可以得到．【詳解】解：登山者看到的原水平線的距離為d1=8?5，現(xiàn)在的水平線的距離為d2【變式9-2】（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）“欲窮千里目，更上一層樓”，說的是登得高看得遠(yuǎn)．如圖，若觀測點(diǎn)的高度為?，觀測者視線能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離為d，則d≈2?R，其中R是地球半徑，約等于6400km．小麗站在海邊的一塊巖石上，眼睛離海平面的高度?為0.02km【答案】16【分析】根據(jù)d≈2?R，R≈6400km，【詳解】解：根據(jù)題意得，d≈2?R，R≈6400km，∴d≈2?R故答案是：16．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是代數(shù)式的求值計(jì)算，理解代數(shù)式中相應(yīng)字母的值是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一個(gè)長方體木塊放在在水平的桌面上，木塊的長、寬、高分別是a、b、ca>b>c>0，若木塊對(duì)桌面的最大壓強(qiáng)為p1，最小壓強(qiáng)為p2，則【答案】ac【分析】先分別求解最大壓強(qiáng)與最小壓強(qiáng)，再列式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，a>b>c，∴a∴ab>∵最大壓強(qiáng)是前面向下放置，∴p1∵最小壓強(qiáng)是面積最大的面向下，∴p2∴p1故答案為：acc【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的乘除混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，屬于跨學(xué)科的題，熟記公式與二次根式的除法運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．【題型10二次根式乘除法中的新情境題】【例10】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）老師在復(fù)習(xí)“二次根式”時(shí)，在黑板上寫出下面的一道題作為練習(xí)：已知7=a，70=b，用含a，b的代數(shù)式表示小豪：4.9=小麥：4.9=因?yàn)?.1=110老師看罷，提出下面的問題：(1)兩位同學(xué)的解法都正確嗎？(2)請(qǐng)你說明理由．【答案】(1)都正確(2)見解析【分析】（1）仔細(xì)閱讀兩同學(xué)的解題過程，然后判斷；（2）證明兩人所得結(jié)果可以互相轉(zhuǎn)換即可．(1)解：都正確．(2)解：理由如下：觀察兩位同學(xué)的解答過程可知，均符合二次根式運(yùn)算法則，所得結(jié)果可以互相轉(zhuǎn)換，ab10【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，靈活運(yùn)用二次根式運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2023春·福建泉州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）請(qǐng)閱讀材料，并解決實(shí)際問題：海倫—秦九韶公式：海倫（約公元50年），古希臘幾何學(xué)家，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測量問題聞名，在他的著作《度量》一書中證明了一個(gè)利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積