江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．設(shè)為實(shí)數(shù)，若向量，，且，則的值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】由向量共線定理結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使得，又，，所以，解得，所以的值為.故選：B．2．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的虛部為i B．C．的共軛復(fù)數(shù) D．為純虛數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)模的定義、共軛復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義、純虛數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】解：∵，∴z的虛部為1，為純虛數(shù)，，∴正確的結(jié)論是D．故選：D．3．在中，若，，，則（

）A．或 B． C． D．或【答案】B【分析】利用正弦定理結(jié)合角的范圍求解即可.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，又因?yàn)榍?，，所?故選：B.4．已知中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】中，，所以.故選：A.5．已知，則（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】由平方關(guān)系求得、，再由兩角和的余弦展開(kāi)式求得答案.【詳解】依題意，均為銳角，由得，由得，所以，而，所以.故選：A.6．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求解即可.【詳解】易得為增函數(shù)，且，，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B．7．在中，，，則的大小為（

）A．或 B． C． D．或【答案】C【分析】將所給兩式平方相加化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)分析角度范圍求解即可.【詳解】由，，等式兩邊平方相加得：，即，故，故或.由，得，得，故，則，故.故選：C8．在任意四邊形中，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，再兩邊平方求解即可.【詳解】

由，則①，又②，由①+②可得，即，故，設(shè)與夾角為，則，解得.故選：C．二、多選題9．已知向量，，且，則（

）A． B．C．向量與向量的夾角是 D．向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是【答案】ACD【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式求出向量判斷A，利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B，利用數(shù)量積的夾角坐標(biāo)公式求解判斷C，利用數(shù)量積的幾何意義求解判斷D.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，由得，解得，所以，故A正確；又，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)向量與向量的夾角為，因?yàn)?，，所以，又，所以，即向量與向量的夾角是，故C正確；向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是，故D正確.故選：ACD.10．下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則或B．若，則C．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為3D．若（，），則【答案】BC【分析】對(duì)于A：令，由此即可驗(yàn)證；對(duì)于B：由模長(zhǎng)公式以及復(fù)數(shù)乘法即可驗(yàn)證；對(duì)于C：由復(fù)數(shù)的幾何意義即可驗(yàn)證；對(duì)于D：令即可驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A：令，所以由復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式有，但這與或矛盾，故A選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于B：令，所以，所以，且，所以，故B選項(xiàng)符合題意；對(duì)于C：令，若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則有（其中），所以，所以，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為3，故C選項(xiàng)符合題意；對(duì)于D：令可知，但這與矛盾，故D選項(xiàng)不符合題意.故選：BC．11．下列各式的值為的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)三角恒等變換逐個(gè)選項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，故，故，故A正確；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC．12．中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式，求其法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即．現(xiàn)有滿(mǎn)足，且，則（

）A．外接圓的半徑為B．若的平分線與交于，則的長(zhǎng)為C．若為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為D．若為的外心，則【答案】BD【分析】依題意由正弦定理可得，根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可求得，再由正弦定理可得A錯(cuò)誤；根據(jù)等面積法可得角平分線的長(zhǎng)為，即B正確；由可求得，即C錯(cuò)誤；利用外接圓以及投影向量的幾何意義可得D正確.【詳解】根據(jù)題意由，利用正弦定理可得，不妨設(shè)，利用余弦定理可得，又，可得；又面積為，解得，所以，對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，分別作垂直于，垂足為，如下圖所示：

易知的面積為，可得，即B正確；對(duì)于C，若為的中點(diǎn)，易知，如下圖所示：

所以可得，可得，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，延長(zhǎng)交外接圓于點(diǎn)，連接；如下圖所示：

易知即為直徑，所以可知，；利用投影向量的幾何意義可得，即可得D正確.故選：BD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形問(wèn)題中遇到與角平分線或者中線相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)題目信息采用等面積法求解角平分線長(zhǎng)度，利用向量求解中線長(zhǎng)度.三、填空題13．在中，若，，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】設(shè)外接圓半徑為，則由正弦定理可得：故答案為：14．若，則的值為.【答案】/【分析】對(duì)平方后展開(kāi)，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系及二倍角公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解?故答案為：.15．已知四邊形中，，，是的中點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為.【答案】【分析】設(shè)，由直角三角形知識(shí)及同角三角函數(shù)關(guān)系得，所以，從而求出，再利用余弦定理即可求出.【詳解】設(shè)，在中，，所以，所以，同理在中，，則，在中，，即，解得.

故答案為：16．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【答案】6【分析】利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)數(shù)形結(jié)合即可判定結(jié)果.【詳解】由，令，作出函數(shù)的草圖如下：

當(dāng)時(shí),由可得，當(dāng)時(shí),由得，易知在之間兩函數(shù)有6個(gè)交點(diǎn)，故零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.故答案為：6.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，的虛部為2，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求：(1)復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)（，），根據(jù)題意列式求解即可；（2）由（1），再代入結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】（1）設(shè)（，），所以，①因?yàn)?，又的虛部?，所以，②由①②解得或，所以或，又所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以．（2），因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．18．已知，，，試求：(1)；(2)與的夾角.【答案】(1)2(2)【分析】（1）利用數(shù)量積即可求得的值；（2）利用向量的夾角公式即可求得與的夾角.【詳解】（1）由，可得，則，即，又，，則，則（2），又，則，故與的夾角為.19．已知直角梯形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，且．(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量共線及垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算即可；（2）利用平面向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示計(jì)算求模即可.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)椋?，，則，，，在直角梯形中，，且，所以A，為直角，則，即，解得，，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）

因?yàn)闉榫€段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則，設(shè)，則，所以，，所以，又因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，所以，，則，所以20．在中，已知，最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為.(1)求的大?。?2)若，求最短邊的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）先根據(jù)角的函數(shù)值判斷最小角和最大角，然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出角B的三角函數(shù)值，利用兩角和的正弦公式求出，最后根據(jù)正弦定理即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?在中，由余弦定理得，又，故.（2）因，故，又因?yàn)?，所?所以為最小角，為最大角，則為最短邊，為最大邊.由，可得，解得，所以.在中，由正弦定理得，即，得.21．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）通過(guò)二倍角公式和兩角和正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，利用正弦型函數(shù)周期公式求解即可；（2）通過(guò)三角恒等變換及分離參數(shù)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，然后令，利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性即可求解范圍.【詳解】（1），所以函數(shù)的最小正周期.（2）因?yàn)?，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)椋?，所以，所以?duì)恒成立，令，則，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以在上的最大值為，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.22．已知中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，且①，②，③，④.(1)求的長(zhǎng)；(2)為邊上的一點(diǎn)，若為銳角三角形，求的周長(zhǎng)取值范圍.上面問(wèn)題的條件，現(xiàn)請(qǐng)你在①，②，③，④中刪除一個(gè)，并將剩下三個(gè)作為條件解答這個(gè)問(wèn)題，要求答案存在且唯一.你刪去的條件是_______，請(qǐng)你寫(xiě)出剩余條件解答本題的過(guò)程.【答案】(1)選擇見(jiàn)解析，(2)選擇見(jiàn)解析，【分析】（1）若刪除②或③，由余弦定理得出兩解，不滿(mǎn)足題意，刪除條件①和④，在和中分別利用余弦定理建立方程可求解；（2）若刪去①：設(shè)，通過(guò)正弦定理及三角恒等變換得的周長(zhǎng)，利用銳角三角形求出的范圍，利用正切函數(shù)的性質(zhì)求出范圍即可；若刪去④：先利用余弦定理求出，然后設(shè)，通過(guò)正弦定理及三角恒等變換得的周長(zhǎng)，利用銳角三角形求出的范圍，利用正切函數(shù)的性質(zhì)求出范圍即可.【詳解】（1）刪除條件①：設(shè)，，則.在中，，即，同理在中，，即，聯(lián)立，可得，．即，，故；刪除條件④：設(shè)，則，在中，，同理在中，，因?yàn)椋?，即，解得：，所以；刪除條件②：在中，，所以，解得或，不唯一，不符合題意；刪除條件③：在中，，即