2024年初中升學(xué)考試專(zhuān)題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)）解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的應(yīng)用55．（2023?赤峰）為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對(duì)A地和B地之間的一處垃圾填埋場(chǎng)進(jìn)行改造，把原來(lái)A地去往B地需要繞行到C地的路線，改造成可以直線通行的公路AB．如圖，經(jīng)勘測(cè)，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，則改造后公路AB的長(zhǎng)是9.9千米（精確到0.1千米；參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈【答案】9.9．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在RtRt△ADC中利用∠CAB的余弦函數(shù)求出AD，利用∠CAB的正弦函數(shù)求出CD，然后再Rt△BCD中利用∠CBA正切函數(shù)求出DB，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ADC中，AC＝6，∠CAB＝60°，cos∠CAB=ADAC，∴AD＝AC?cos∠CAB＝6cos60°＝3（千米），CD=ACsin∠CAB=6sin60°=33在Rt△CDB中，∠CBA＝37°，CD=33，tan∠CBA＝CD/DB∴DB=CD∴AB=AD＋DB=3＋43答：改造后公路AB的長(zhǎng)是9.9千米．故答案為：9.9．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形，解答此題的關(guān)鍵理解題意，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，難點(diǎn)是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形．56．（2023?蘭州）如圖1是我國(guó)第一個(gè)以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍?jiān)础?、“蘭州龍?jiān)础钡摹褒垺弊种黝}雕望以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢(shì)如虹，屹立在黃河北岸、某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了測(cè)量“龍”字雕塑CD高度的實(shí)踐活動(dòng)，具體過(guò)程如下，如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測(cè)得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m．求“龍”字雕塑CD的高度，（B，C，D三點(diǎn)共線，BD⊥AB，結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin38°＝0.622，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，sin53°＝080，cos53°＝0.60，tan53°＝1.33）【答案】9.9m．【分析】先在Rt△ABC中由AB＝18m，∠BAC＝38°得BC＝AB?tan∠BAC＝14.04（m），再在Rt△ABD中由AB＝18m，∠BAD＝53°得BD＝AB?tan∠BAD＝23.94m，然后由CD＝BD－BC即可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝18m，∠BAC＝38°，∵tan∠BAC=BC∴BC＝AB?tan∠BAC＝18tan38°＝18×0.78＝14.04（m），在Rt△ABD中，AB＝18m，∠BAD＝53°，∵tan∠BAD=BD∴BD＝AB?tan∠BAD＝18tan53°＝18×1.33＝23.94（m），∴CD＝BD－BC＝13.94－14.04＝9.9（m）．答：“龍”字雕塑CD的高度約為9.9m．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形，解答此題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．解直角三角形的應(yīng)用51．（2023?內(nèi)蒙古）如圖源于我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則cosα的值為（）A．34 B．43 C．35【答案】D【分析】首先根據(jù)兩個(gè)正方形的面積分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后結(jié)合題意進(jìn)一步設(shè)直角三角形較短的直角邊為a，則較長(zhǎng)的直角邊為a＋1，再利用勾股定理得到關(guān)于a的方程，解方程可求出直角三角形的兩個(gè)個(gè)直角邊的邊長(zhǎng)，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出cosa的值．【解答】解：∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，∴小正方形的邊長(zhǎng)為1，大正方形的邊長(zhǎng)為5，設(shè)直角三角形較短的直角邊為a，則較長(zhǎng)的直角邊為a＋l，其中a＞0，由勾股定理得：a2＋（a＋1）2＝52，解得：a＝3，∴a＋1＝4，∴cosα=4故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，難點(diǎn)是設(shè)置適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，利用勾股定理構(gòu)造方程求出三角形的邊．解直角三角形的應(yīng)用51．（2023?南充）如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（）A．xsinα米 B．xcosα米 C．x?sinα米 D．x?cos【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意可得：BC⊥AB，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)，即可解答．【解答】解：由題意得：BC⊥AB，在Rt△ABC中，∠CAB＝α，AB＝x米，∴AC=AB∴A，C兩處相距xcosα故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．解直角三角形的應(yīng)用51．（2023?成都）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝遮陽(yáng)篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)篷AB長(zhǎng)為5米，與水平面的夾角為16°，且靠墻端離地高BC為4米，當(dāng)太陽(yáng)光線AD與地面CE的夾角為45°時(shí)，求陰影CD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；平行投影．【分析】過(guò)A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，在Rt△ABT中，BT＝AB?sin∠BAT＝1.4（米），AT＝AB?cos∠BAT≈4.8（米），可得CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝4﹣1.4＝2.6（米），而∠ADK＝45°，知DK＝AK＝2.6米，故CD＝CK﹣DK＝4.8﹣2.6＝2.2米．【解答】解：過(guò)A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如圖：在Rt△ABT中，BT＝AB?sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4（米），AT＝AB?cos∠BAT＝5×cos16°≈4.8（米），∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，∴四邊形ATCK是矩形，∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝4﹣1.4＝2.6（米），在Rt△AKD中，∵∠ADK＝45°，∴DK＝AK＝2.6米，∴CD＝CK﹣DK＝4.8﹣2.6＝2.2（米），∴陰影CD的長(zhǎng)約為2.2米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義，求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度．解直角三角形的應(yīng)用43．（2023?蘇州）四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問(wèn)題．如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖，BE，CD，GF為長(zhǎng)度固定的支架，支架在A，D，G處與立柱AH連接（AH垂直于MN，垂足為H），在B，C處與籃板連接（BC所在直線垂直于MN），EF是可以調(diào)節(jié)長(zhǎng)度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點(diǎn)F處的螺栓改變EF的長(zhǎng)度，使得支架BE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形ABCD的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，測(cè)得∠GAE＝60°時(shí)，點(diǎn)C離地面的高度為288cm．調(diào)節(jié)伸縮臂EF，將∠GAE由60°調(diào)節(jié)為54°，判斷點(diǎn)C離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；三角形的穩(wěn)定性．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】當(dāng)∠GAE＝60°時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥HA，交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，根據(jù)已知易得BC∥AH，從而可得四邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而可得AB∥CD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠ADC＝∠GAE＝60°，再根據(jù)已知可得DK＝80cm，最后在Rt△CDK中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)；當(dāng)∠GAE＝54°，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥HA，交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，在Rt△CDQ中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DQ的長(zhǎng)，然后進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：點(diǎn)C離地面的高度升高了，理由：如圖，當(dāng)∠GAE＝60°時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥HA，交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，∵BC⊥MN，AH⊥MN，∴BC∥AH，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ADC＝∠GAE＝60°，∵點(diǎn)C離地面的高度為288cm，DH＝208cm，∴DK＝288﹣208＝80（cm），在Rt△CDK中，CD=DKcos60°=如圖，當(dāng)∠GAE＝54°，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥HA，交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，在Rt△CDQ中，CD＝160cm，∴DQ＝CD?cos54°≈160×0.6＝96（cm），∴96﹣80＝16（cm），∴點(diǎn)C離地面的高度升高約16cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角形的穩(wěn)定性，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．解直角三角形的應(yīng)用46．（2023?遂寧）某實(shí)踐探究小組想測(cè)得湖邊兩處的距離，數(shù)據(jù)勘測(cè)組通過(guò)勘測(cè)，得到了如下記錄表：實(shí)踐探究活動(dòng)記錄表活動(dòng)內(nèi)容測(cè)量湖邊A、B兩處的距離成員??組長(zhǎng)：××??組員：××××××××××××工具測(cè)角儀，皮尺等測(cè)量示意圖?說(shuō)明：因?yàn)楹匒、B兩處的距離無(wú)法直接測(cè)量，數(shù)據(jù)勘測(cè)組在湖邊找了一處位置C，可測(cè)量C處到A、B兩處的距離，通過(guò)測(cè)角儀可測(cè)得∠A、∠B、∠C的度數(shù)．測(cè)量數(shù)據(jù)角的度數(shù)∠A＝30°∠B＝45°∠C＝105°邊的長(zhǎng)度BC＝40.0米AC＝56.4米?數(shù)據(jù)處理組得到上面數(shù)據(jù)以后做了認(rèn)真分析，他們發(fā)現(xiàn)不需要勘測(cè)組的全部數(shù)據(jù)就可以計(jì)算出A、B之間的距離．于是數(shù)據(jù)處理組寫(xiě)出了以下過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)全內(nèi)容．已知：如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝40.0米（答案不唯一）．（從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線）求：線段AB的長(zhǎng)（為減小結(jié)果的誤差，若有需要，2取1.41，3取1.73，6取2.45進(jìn)行計(jì)算，最后結(jié)果保留整數(shù)．）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】若選擇的條件是：BC＝40.0米，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，先在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD，CD的長(zhǎng)，然后在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AD的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答；若選擇的條件是：AC＝56.4米，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AD和CD的長(zhǎng)，然后在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：若選擇的條件是：BC＝40.0米，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△BCD中，∠B＝45°，BC＝40米，∴BD＝BC?cos45°＝40×22=CD＝BC?sin45°＝40×22=在Rt△ADC中，∠A＝30°，∴AD=3CD＝206∴AB＝AD+BD＝206+202∴線段AB的長(zhǎng)約為77米；若選擇的條件是：AC＝56.4米，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝56.4米，∴CD=12AD=3CD＝28.23在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD=CD∴AB＝AD+BD＝28.23+∴線段AB的長(zhǎng)約為77米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．47．（2023?武威）如圖1，某人的一器官后面A處長(zhǎng)了一個(gè)新生物，現(xiàn)需檢測(cè)其到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測(cè)技術(shù)，檢測(cè)射線可避開(kāi)器官?gòu)膫?cè)面測(cè)量．某醫(yī)療小組制定方案，通過(guò)醫(yī)療儀器的測(cè)量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出新生物到皮膚的距離方案如下：課題檢測(cè)新生物到皮膚的距離工具醫(yī)療儀器等示意圖說(shuō)明如圖2，新生物在A處，先在皮膚上選擇最大限度地避開(kāi)器官的B處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚MN的夾角為∠DBN；再在皮膚上選擇距離B處9cm的C處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚MN的夾角為∠ECN．測(cè)量數(shù)據(jù)∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算新生物A處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AF⊥MN，垂足為F，設(shè)BF＝xcm，則CF＝（x+9）cm，然后在Rt△ABF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長(zhǎng)，再在Rt△ACF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥MN，垂足為F，設(shè)BF＝xcm，∵BC＝9cm，∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm，在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，∴AF＝BF?tan35°≈0.7x（cm），在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，∴AF＝CF?tan22°≈0.4（x+9）cm，∴0.7x＝0.4（x+9），解得：x＝12，∴AF＝0.7x＝8.4（cm），∴新生物A處到皮膚的距離約為8.4cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．解直角三角形的應(yīng)用55．（2023?杭州）第二十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個(gè)全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中間一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE．設(shè)∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，tanα＝tan2β，則n＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】設(shè)AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得ab=(ab?a)2，化簡(jiǎn)可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，結(jié)合勾股定理及正方形的面積公式可求得S正方形EFGH；【解答】解：設(shè)AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，∵tanα=ab，tanβ=ab?a，tanα∴ab∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的證明，解直角三角形的應(yīng)用，利用解直角三角形求得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab是解題的關(guān)鍵．解直角三角形的應(yīng)用43．（2023?廣西）如圖，焊接一個(gè)鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約21m（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】21．【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AD＝BD=12AB，然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC，AD的長(zhǎng)，從而求出【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD=12在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，∴AC=CDsin37°≈30.6=5（m∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），∴共需鋼材約＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），故答案為：21．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解直角三角形的應(yīng)用51．（2023?廣東）2023年5月30日，神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿(mǎn)成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國(guó)空間站．如圖中的照片展示了中國(guó)空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài)．當(dāng)兩臂AC＝BC＝10m，兩臂夾角∠ACB＝100°時(shí)，求A，B兩點(diǎn)間的距離．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）【答案】A、B的距離大約是15.3m．【分析】連接AB，取AB中點(diǎn)D，連接CD，根據(jù)AC＝BC，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，可得∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝50°，在Rt△ACD中，sin50°=AD10，解得AD＝10×sin50°≈7.66（m），故AB＝2【解答】解：連接AB，取AB中點(diǎn)D，連接CD，如圖，∵AC＝BC，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴中線CD為等腰三角形的角平分線（三線合一），AD＝BD=12∴∠ACD＝∠BCD=12∠在Rt△ACD中，sin∠ACD=AD∴sin50°=AD∴AD＝10×sin50°≈7.66（m），∴AB＝2AD＝2×7.66＝15.32≈15.3（m），答：A、B的距離大約是15.3m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義．解直角三角形的應(yīng)用47．（2023?紹興）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱OA垂直地面OB，支架CD與OA交于點(diǎn)A，支架CG⊥CD交OA于點(diǎn)G，支架DE平行地面OB，籃筐EF與支架DE在同一直線上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．（1）求∠GAC的度數(shù)；（2）某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）【答案】（1）∠GAC的度數(shù)為58°；（2）該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由見(jiàn)解答．【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠ACG＝90°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）延長(zhǎng)OA，ED交于點(diǎn)M，根據(jù)垂直定義可得∠AOB＝90°，從而利用平行線的性質(zhì)可得∠DMA＝∠AOB＝90°，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠DAM＝∠GAC＝58°，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠ADM＝32°，然后在Rt△ADM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系求出MO的長(zhǎng)，比較即可解答．【解答】解：（1）∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°，∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，∴∠GAC的度數(shù)為58°；（2）該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由如下：延長(zhǎng)OA，ED交于點(diǎn)M，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵DE∥OB，∴∠DMA＝∠AOB＝90°，∵∠GAC＝58°，∴∠DAM＝∠GAC＝58°，∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，在Rt△ADM中，AD＝0.8米，∴AM＝AD?sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米），∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米），∵2.924米＜3米，∴該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．解直角三角形的應(yīng)用52．（2023?宜昌）2023年5月30日，“神舟十六號(hào)”航天飛船成功發(fā)射．如圖，飛船在離地球大約330km的圓形軌道上，當(dāng)運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方F點(diǎn)時(shí)，從中直接看到地球表面一個(gè)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是點(diǎn)Q．在Rt△OQF中，OP＝OQ≈6400km．（參考數(shù)據(jù)：cos16°≈0.96，cos18°≈0.95，cos20°≈0.94，cos22°≈0.93，π≈3.14）（1）求cosα的值（精確到0.01）；（2）在⊙O中，求PQ的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）．【答案】（1）0.95；（2）2010km．【分析】（1）根據(jù)圓的切線可得∠OQF＝90°，再解直角三角形可求解；（2）通過(guò)cosα的值可求得α的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算可求解．【解答】解：（1）由題意知FQ是⊙O的切線，∴∠OQF＝90°，∵OP＝OQ＝6400km，F(xiàn)P＝330km，∴OF＝OP+FP＝6730km，∴cosα=OQ（2）∵cosα≈0.95，∴α＝18°，∴PQ的長(zhǎng)為：18π?6400180≈2010【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，圓的切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，求得∠OQF是直角是解題的關(guān)鍵．解直角三角形的應(yīng)用23．（2023?山西）2023年3月，水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動(dòng)河湖名單（2022﹣2025年）》，我省境內(nèi)有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選，在推進(jìn)實(shí)施母親河復(fù)蘇行動(dòng)中，需要砌筑各種駁岸（也叫護(hù)坡）．某?！熬C合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，利用課余時(shí)間完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了如下活動(dòng)報(bào)告．請(qǐng)根據(jù)活動(dòng)報(bào)告計(jì)算BC和AB的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，2課題母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算調(diào)查方式資料查閱、水利部門(mén)走訪、實(shí)地查看了解調(diào)查內(nèi)容功能駁岸是用來(lái)保護(hù)河岸，阻止河岸崩塌成沖刷的構(gòu)筑物材料所需材料為石料、混凝土等駁岸時(shí)剖面圖相關(guān)數(shù)據(jù)及說(shuō)明：圖中，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一豎直平面內(nèi)，AE和CD均與地面平行，岸墻AB⊥AE于點(diǎn)A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．計(jì)算結(jié)果…交通展示…【答案】BC的長(zhǎng)度約為1.4m，AB的長(zhǎng)度約為4.2m．【分析】過(guò)E作EF⊥CD于F，延長(zhǎng)AB，CD交于H，得到∠EFD＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)E作EF⊥CD于F，延長(zhǎng)AB，CD交于H，∴∠EFD＝90°，由題意得，在Rt△EFD中，∠EDF=60°，ED=6，sin∠EDF=EFED，cos∴EF=ED?sin∠EDF=6×sin60°=6×3∴FD＝ED?cos∠EDF＝6×cos60°＝6×12=由題意得，∠H＝90°，四邊形AEFH是矩形，∴AH=EF=33，HF＝AE＝1.5m∵CF＝CD﹣FD＝3.5﹣3＝0.5（m），∴CH＝HF﹣CF＝1.5﹣0.5＝1（m），在Rt△BCH中，∠H＝90°，∠BCH＝180°﹣∠BCD＝180°﹣135°＝45°，∵cos∠BCH=CH∴BC=CHcos∠BCH=∴BH＝CH?tan∠BCH＝1×tan45°＝1（m），∴AB＝AH﹣BH＝33?1≈4.2(m)答：BC的長(zhǎng)度約為1.4m，AB的長(zhǎng)度約為4.2m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．解直角三角形的應(yīng)用32．（2023?常德）今年“五一”長(zhǎng)假期間，小陳、小余同學(xué)和家長(zhǎng)去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時(shí)，小陳感覺(jué)很舒服，激發(fā)了她對(duì)這把椅子的好奇心，就想出個(gè)問(wèn)題考考同學(xué)小余，小陳同學(xué)先測(cè)量，根據(jù)測(cè)量結(jié)果畫(huà)出了圖1的示意圖（圖2）．在圖2中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，座板CD與地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝50cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．這時(shí)她問(wèn)小余同學(xué)，你能算出靠背頂端F點(diǎn)距地面（MN）的高度是多少嗎？請(qǐng)你幫小余同學(xué)算出結(jié)果（最后結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝2.23）【答案】72.7cm．【分析】過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥CD于點(diǎn)Q，過(guò)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，求出FQ、BH的值解答即可【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥CD于點(diǎn)Q，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠FBA＝114.2°，∴∠FCQ＝180°﹣114.2°＝65.8°，F(xiàn)Q＝FC?sin∠FCQ＝57sin65.8°，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥MN于點(diǎn)P，由題意知AB∥CD∥MN，F(xiàn)C∥AN，則∠ANP＝∠FCQ＝65.8°，又AN＝43cm，∴AP＝AN?sin∠ANP＝43sin65.8°，過(guò)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，∵BC＝CE，EB＝16.4，∴BH＝8.2，∴CH＝BH?tan∠CBH＝8.2×2.23≈18.29，∴靠背頂端F點(diǎn)距地面（MN）高度為FQ+AP﹣HC＝57sin65.8°+43sin65.8°﹣18.29＝100×0.91﹣18.29＝72.71≈72.7cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握平行四邊形是解題的關(guān)鍵．33．（2023?河南）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹(shù)高，測(cè)高儀ABCD為正方形，AB＝30cm，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M．如圖是測(cè)量樹(shù)高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)D，A與樹(shù)頂E在一條直線上，鉛垂線AM交BC于點(diǎn)H．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A距地面1.8m，到樹(shù)EG的距離AF＝11m，BH＝20cm．求樹(shù)EG的高度（結(jié)果精確到0.1m）．?【答案】9.1m．【分析】由題意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，F(xiàn)G＝1.8m，易知∠EAF＝∠BAH，可得tan∠EAF=EFAF=tan∠BAH=23，進(jìn)而求得EF=223【解答】解：由題意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，F(xiàn)G＝1.8m，則∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°，∴∠EAF＝∠BAH，∵AB＝30cm，BH＝20cm，則tan∠EAF=BH∴tan∠EAF=EFAF=tan∠∵AF＝11m，則EF11∴EF=22∴EG＝EF+FG=223+答：樹(shù)EG的高度為9.1m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，得到∠EAF＝∠BAH是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．解直角三角形的應(yīng)用53．（2023?綏化）如圖，直線MN和EF為河的兩岸，且MN∥EF，為了測(cè)量河兩岸之間的距離，某同學(xué)在河岸FE的B點(diǎn)測(cè)得∠CBE＝30°，從B點(diǎn)沿河岸FE的方向走40米到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)得∠CDE＝45°．（1）求河兩岸之間的距離是多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）（2）若從D點(diǎn)繼續(xù)沿DE的方向走（123+12）米到達(dá)P點(diǎn)．求tan∠CPE【答案】（1）（203+（2）52【分析】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出3CH﹣CH＝40，進(jìn)而求出答案；（2）求出HP，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EF于點(diǎn)H，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH=3∴HB=3CH在Rt△CHD中，∠CDH＝45°，∴CH＝DH，又∵BH﹣DH＝BD＝40，∴3CH﹣CH＝40，解得CH＝203+即河兩岸之間的距離是（203+（2）在Rt△CHP中，HP＝HD＝PD＝203+20﹣（123+12）＝8∴tan∠CPE==20=20=5【點(diǎn)評(píng)】本題了、考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．解直角三角形的應(yīng)用50．（2023?達(dá)州）蓮花湖濕地公園是當(dāng)?shù)厝嗣裣矏?ài)的休閑景區(qū)之一，里面的秋千深受孩子們喜愛(ài)