四川省蓬溪中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測（3月）數(shù)學(xué)試題

蓬溪中學(xué)高2022級第四學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1.當時，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的加減運算及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得.【詳解】當時，有，故其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.2.已知直線與直線夾角為，則的傾斜角為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】先求直線斜率及傾斜角，再根據(jù)夾角為求出的傾斜角即可.【詳解】直線斜率則傾斜角為，直線與直線夾角為，則的傾斜角為或.故選：C.3.已知數(shù)列滿足，，=（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】由，結(jié)合題意可、、為偶數(shù)，為奇數(shù)，代入所給關(guān)系式計算即可得.【詳解】由，故、、為偶數(shù)，為奇數(shù)，故.故選：A.4.已知圓，圓，則兩圓的位置關(guān)系（）A.內(nèi)切 B.外切 C.相交 D.相離【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的方程求得圓心和半徑，再由圓心距和兩半徑之間的關(guān)系可得兩圓外切.【詳解】易知圓的圓心為，半徑為；圓可化為，圓心，半徑為；圓心距，所以兩圓外切.故選：B5.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲中靶的概率為，乙中靶的概率為0.9，且兩人是否中靶相互獨立．若甲、乙各射擊一次，恰有一人中靶的概率為0.26，則（）A.兩人都中靶的概率為0.63 B.兩人都中靶的概率為0.70C.兩人都中靶的概率為0.72 D.兩人都中靶的概率為0.74【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件概率計算公式，先求得，然后求得正確答案.【詳解】依題意，解得，所以兩人都中靶的概率為.故選：C6.如圖，已知四面體的所有棱長都等于，，，分別是棱，，的中點．則與分別等于（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】A【解析】【分析】依題意以、、為基底，表示出、、，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】依題意，所以，，，所以.故選：A7.雙曲線：（，）的一個焦點為（），且雙曲線的兩條漸近線與圓：均相切，則雙曲線的離心率為A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出，再由離心率公式即可得出答案.【詳解】設(shè)漸近線與該圓交于點，為坐標原點在中，故選：A【點睛】本題主要考查了求雙曲線的離心率，屬于中檔題.8.已知橢圓C的方程為：，點A是橢圓的下頂點，點是橢圓上任意一點，則的最大值是（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)得到點，再假設(shè)點，利用兩點距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為橢圓C的方程為：，則，設(shè)，則，故，且，所以，當時，取得最大值，故.故選：C.二、多選題9.已知平面與平面平行，若平面的一個法向量為，則平面的法向量可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用空間向量的坐標分別判斷與四個選項中的向量是否平行即可得解.【詳解】因為平面與平面平行，所以平面的法向量與平面的法向量平行，對于選項A:若，則此時，滿足平面的法向量與平面的法向量平行，故選項A正確；對于選項B:若，則此時無解，不滿足平面的法向量與平面的法向量平行，故選項B錯誤；對于選項C:若，則此時，滿足平面的法向量與平面的法向量平行，故選項C正確；對于選項D:若，則此時無解，不滿足平面的法向量與平面的法向量平行，故選項D錯誤.故選：AC.10.以下四個命題表述正確的是（）A.直線距離為B.已知直線過點，且在x，y軸上截距相等，則直線的方程為C.“直線與直線平行”是“”的必要不充分條件D.過兩點的直線方程為【答案】AC【解析】【分析】利用平行線間的距離公式可得A正確；若截距都為零也符合題意，即B錯誤；利用兩直線平行可得或，即可知C正確；兩點式的前提是分母不為零，即D錯誤.【詳解】對于A，易知兩直線平行，所以距離，A正確；對于B，直線過原點時也滿足題意，所以直線方程還可以是，即B錯誤；對于C，因為直線與直線平行，所以，則，解得或，由取值的結(jié)果可得C正確；對于D，兩點式直線方程的前提是，可得D錯誤.故選：AC11.已知非零實數(shù)，，不全相等，則下列說法正確的是（）A.如果，，成等差數(shù)列，則，，能構(gòu)成等差數(shù)列B.如果，，成等差數(shù)列，則，，不可能構(gòu)成等比數(shù)列C.如果，，成等比數(shù)列，則，，能構(gòu)成等比數(shù)列D.如果，，成等比數(shù)列，則，，不可能構(gòu)成等差數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)實數(shù)，，以及等差數(shù)列、等比數(shù)列定義，利用等差中項和等比中項性質(zhì)，并對選項進行逐一分析即可求得結(jié)論.【詳解】由非零實數(shù)，，不全相等，若，，成等差數(shù)列，可得；易知，要使，，能構(gòu)成等差數(shù)列，需滿足，即可得，即為，即A錯誤；若，，成等差數(shù)列，可得，則，若，，構(gòu)成等比數(shù)列，則，需滿足，這與前提矛盾，因此，，不可能構(gòu)成等比數(shù)列；可得B正確；若，，成等比數(shù)列，則，，能構(gòu)成等比數(shù)列，例如時，可知C正確；由，，成等比數(shù)列，可知，此時，則則，，不可能構(gòu)成等差數(shù)列，即D正確.故選：BCD12.如圖，在正方體，，是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個動點，則（）A.存在唯一點，使得B.當點在上移動時，直線與直線所成角不變C.直線與平面所成角的最小值為D.當時，點的軌跡為圓的一部分【答案】BD【解析】【分析】首先以點為原點，建系設(shè)點，利用數(shù)量積公式，即可判斷AB；利用線面角的向量公式，結(jié)合點的坐標的范圍，即可判斷C；由條件得到，根據(jù)圓的定義，即可判斷D.【詳解】如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，，，，，，，，，，得，所以點的軌跡為線段，有無數(shù)個點，滿足，故A錯誤；B.當點在上移動時，設(shè)，，，，即，所以直線與直線所成角為，故B正確；C.，平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，，當時，的最小值為，的最小值不是，故C錯誤；D.當時，根據(jù)勾股定理可知，，即點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓在正方形的一部分，故D正確.故選：BD三、填空題13.已知樣本空間含有等可能的樣本點，且，，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意分別求得，，，結(jié)合獨立事件的定義，可判定事件與相互獨立，再結(jié)合對立事件的概念關(guān)系可運算得解.【詳解】由題意，，，，，所以事件與相互獨立，則與也相互獨立，.故答案為：.14.已知平面內(nèi)一點，點在平面外，若的一個法向量為，則到平面的距離為______________．【答案】1【解析】【分析】依題意求得，再利用點到平面距離公式即可得解.【詳解】因為，點，所以，又的一個法向量為，所以到平面的距離為.故答案為：1．15.設(shè)雙曲線C：的左右焦點分別為，它的實軸長為4，P是C上的一點且滿足，的面積是4，則C的方程是______.【答案】【解析】【分析】由實軸長為4可得，利用雙曲線定義以及的面積和勾股定理可求得，可求出C的方程.【詳解】根據(jù)題意可知不妨取在雙曲線左支上，如下圖所示：根據(jù)實軸長為4可得，即可得；又可得，由的面積是4可得，即；由，解得，所以，可得C方程是.故答案為：16.已知拋物線的焦點為F，是拋物線上的兩點，若，則的中點到軸距離的最小值為______.【答案】3【解析】【分析】的中點到軸距離為，由，利用拋物線性質(zhì)求得的最小值即可.【詳解】易知拋物線的焦點為，準線方程為，過兩點作準線的垂線，垂足分別為，如下圖所示：由可知，當且僅當三點共線時，等號成立；則有，可得；所以的中點到軸距離為，當且僅當三點共線時，等號成立；即的中點到軸距離的最小值為.故答案為：四、解答題17.已知直線：與垂直，且經(jīng)過點.（1）求的一般式方程；（2）若與圓：相交于兩點，求.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）由直線的方程和垂直關(guān)系可得的斜率為，由點斜式方程整理可得結(jié)果；（2）求出圓心C到直線的距離為，再由圓的弦長公式即可求得.【小問1詳解】由直線：，可得斜率，因為，所以直線的斜率為，又因為直線過點，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】由圓C：，可得圓心，半徑，則圓心C到直線：的距離為，又由圓的弦長公式可得弦長18.已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解公差和首項，進而可求通項，（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式即可求解.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，由題意得,解得：，所以【小問2詳解】因為所以．19.某商場舉行購物抽獎活動，抽獎箱中放有編號分別為的五個小球.小球除編號不同外，其余均相同.活動規(guī)則如下：從抽獎箱中隨機抽取一球，若抽到的小球編號為，則獲得獎金元；若抽到的小球編號為偶數(shù)，則獲得獎金元；若抽到其余編號的小球，則不中獎.現(xiàn)某顧客依次有放回的抽獎兩次.（1）求該顧客兩次抽獎后都沒有中獎的概率；（2）求該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用列舉法得到所有的基本事件數(shù)，然后根據(jù)古典概型概率公式可得事件發(fā)生的概率；（2）根據(jù)互斥事件的概率加法公式求解可得結(jié)果．【詳解】（1）由題意得，該顧客有放回抽獎兩次的所有可能結(jié)果為：共有25種情況．設(shè)“該顧客兩次抽獎后都沒有中獎”為事件A，則事件A包含的結(jié)果為，共4種，所以．即該顧客兩次抽獎后都沒有中獎的概率為．（2）兩次抽獎獎金之和為100元包括三種情況：①第一次獎金為100元，第二次沒有獲獎，其包含的情況為，概率為；②第一次沒中獎，第二次獎金為100元，其包含的情況為，概率為；③兩次各獲獎金50元，包含的情況有，概率為．由互斥事件有一個發(fā)生的概率公式可得所求概率為，即該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為元的概率為．【點睛】（1）求古典概型概率的關(guān)鍵是得到基本事件的個數(shù)，常用的方法是列舉法，解題時要分清抽取是有放回的還是無放回的，列舉時要做到不重不漏．（2）對于一些復(fù)雜的事件，在求概率時可將其分解為若干個互斥事件的和來求解，然后利用概率的加法公式可得結(jié)果．20.如圖，四棱錐，底面是正方形，，，，分別是，的中點.（1）求證：；（2）求平面和平面所成夾角大小【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得；（2）建立空間直角坐標系，分別求得平面和平面的法向量，即可得其夾角大小為.【小問1詳解】取AB中點M，連結(jié)EM，F(xiàn)M，如圖所示：∵ABCD是正方形，∴，又∵，，，∴又∵E，F(xiàn)，M都是中點，∴，，，，，MF，平面，∴平面，平面，∴；【小問2詳解】由（1）中，且,平面；所以平面，又，是正方形，所以；即可得兩兩垂直；取AD中點O，過O作AB平行線，連接OP，建立以為坐標原點的空間直角坐標系，如下圖所示：由題意得，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，得，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得；令，則，得，因此，所以平面和平面所成夾角大小為21.已知平面內(nèi)一動點到定點的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)（1）求動點的軌跡的方程；（2）不過原點的直線與軌跡交于、兩點，求面積的最大值以及此時直線的方程.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）設(shè)點，借助距離公式計算化簡即可得；（2）聯(lián)立直線與曲線，借助韋達定理、弦長公式及點到直線距離公式即可表示出面積，即可得解.【小問1詳解】設(shè)滿足，整理可得，軌跡的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，聯(lián)立，可得，因為直線與軌跡交于、兩點，所以，解得，由韋達定理可得，，由弦長公式可得，點O到直線l的距離為，所以，當且僅當即時取得等號，所以面積的最大值為，此時直線l的方程為.22.已知拋物線C：，其焦點為F，過焦點作直線與拋物線交于兩點，如果A點的橫坐標為1時，點A到拋物線的焦點F的距離是2.（1）求拋物線的方程；（2）某同學(xué)想通過調(diào)整直線的傾斜程度，在拋物線C的準線上能找到一點Q滿足為等邊三角形，你試一試，若直線存在，求出直線的方程和Q坐標；若不存在，說