福建省部分學(xué)校2024屆高三年級上冊12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

福建省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:___________姓名：_________班級：___________考號：___________

一、單選題

1.已知集合4={x|d-x-6W0},8={-3,-2,0,2,3},則4c5=()

A.{-3,-2,0,2}B.{-2,0}

C.{-2,0,2,3}D.{0,2}

2.復(fù)數(shù)z=在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

4+31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知。=0-9",6=logi!,c=log[2,貝U（）

DI，八IJ\Z

2J3

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

4.若某等差數(shù)列的前3項和為27,且第3項為5,則該等差數(shù)列的公差為（）

A.-3B.-4C.3D.4

5.在△48C中，角4B,C的對邊分別是a,b,c,若3a=44/=25,則cosB=()

12

A.—B.—cD

33-1-1

6.己知/（無）是奇函數(shù)，且在[0,+/）上單調(diào)遞減，則下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在（-鞏0）

上單調(diào)遞增的是（）

A.g(x)=/(x)—B.g(x)=/(x)+/(-x)

C.g(x)=/(2,一2一工)D.g(x)=/(-x)-/(x)

7.已知拋物線C:V=6無，過點44,2）的直線/與拋物線C交于兩點，若疝=訴

則直線/的斜率是（）

A2「3-43

A.-B.一C.—D.一

3432

8.已知函數(shù)/(x)=2(x—l)e'r2-QX在R上單調(diào)遞增，則。的最大值是（）

1

A.0B.-C.eD.3

e

二、多選題

試卷第1頁，共4頁

9.若函數(shù)/(x)=2sin[(x_5]則()

B./(x)的圖象關(guān)于點弓,。]對稱

A.〃x)的最小正周期為10

〃的圖象關(guān)于直線對稱

C.7(x)在上有最小值D.x)x=?

10.設(shè)凡6ER,若4Q2+/=1,則()

A.ab>—B.2a+bW也

4

11、3

C.4a+〃W2D.-；----1—5—2一

a2+lZ?+i2

11.已知直線/：加x+(%-2)y+2=0與圓C：一+/-4尤+6y-23=0,點尸在圓C上,

則()

A.直線/過定點(1,1)

B.圓C的半徑是6

C.直線/與圓C一定相交

D.點尸到直線/的距離的最大值是6+若

12.已知函數(shù)〃戈)=卜叫卜||,xe(-l,0)U(0,4],若關(guān)于x的方程/(x)=a有3個實數(shù)

解X],巧，%3>且X]<%<三,貝(I()

A.%+4x3的最小值為4B.再馬三的取值范圍是[

C.再+x,+%的取值范圍是。,4]D.-------1---------1----的最小值是13

xtx3xtx2x3

三、填空題

13.若向量之、石為單位向量，且卜+2秋=0,則向量之與石的夾角為.

14.卜-的展開式中，含X?項的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)

15.已矢口sin[a+受)=3sin(a—兀)，貝!jtan2a=.

22

16.過雙曲線C?f=l(a>0,b>0)的右焦點且作C的一條漸近線的垂線，垂足為A,

2ab

且C的左頂點為閔4即=,則。的離心率為

yja2+b2

四、解答題

試卷第2頁，共4頁

17.在銳角AA8C中，內(nèi)角4民。的對邊分別為a,6,c,已知缶sinC-c=O.

(1)求4；

(2)求2esin8-2sinC的取值范圍.

18.鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐

富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機抽取部分板栗進行稱重(單位：克)，將得到的數(shù)據(jù)

按［30,40),［40,50),［50,60),［60,70),［70,80］分成五組，繪制的頻率分布直方

圖如圖所示.

(1)請估計該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；

⑵現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在［40,50)和［70,80］內(nèi)的板栗中抽取10顆，再從這10

顆板栗中隨機抽取4顆，記抽取到的特等板栗(質(zhì)量之70克)的個數(shù)為X,求X的分

布列與數(shù)學(xué)期望.

19.如圖，在三棱柱NBC-431cl中，平面/3C,/8C是等邊三角形，且。為

棱的中點.

⑴證明：/31平面CG。.

⑵若2/4=3AB,求平面4。與平面/8G夾角的余弦值.

20.已知點片(-1,0),凡(1,0),動點M滿足W/I+M工|=4,動點M的軌跡記為E.

⑴求E的方程；

⑵過點心的直線/與E交于48兩點，O為坐標(biāo)原點，求AGMB面積的最大值.

21.設(shè)數(shù)列｛叫的前"項和為S”為=g,且a“+aMT=a“T("N2,"€N+).

(1)求｛?！保耐椆?；

試卷第3頁，共4頁

(2)設(shè)”=(一1嚴(2〃+3”".,求數(shù)歹lj抄.｝的前〃項和T..

22.已知函數(shù)/(x)=sinx+x2.

(1)求曲線^=/(%)在點(0,7(0))處的切線方程，

(2)證明:

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求得N={M-2VXW3},結(jié)合集合交集的運算，即可求

解.

【詳解】由不等式，一x-6=(x+2)(x-3)W0,解得一2V尤W3,所以/=卜卜2VxV3},

又由B={-3,-2,0,2,3},所以/口8={-2,0,2,3}.

故選：C.

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求得2=:2+21謂結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

l+2i（l+2i）（4-3i）_4-3i+8i-6i2_21

【詳解】由復(fù)數(shù)z=

4+3i（4+3i）（4-3i）-16-9i2'-55

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,該點位于第一象限.

故選：A.

3.D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷。的范圍，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷

ac的范圍，即可得答案.

【詳解】因為y=0.9'為R上的單調(diào)減函數(shù)，>=log2x,y=log3x為(0,+⑹上的單調(diào)增函數(shù),

11

故0<0.9<0.9°=l,log,1=lo&3>l,logl2=-log2<(,

所以6>a>c,

故選:D

4.B

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為{%},則4+%+%=她=27,則g=9,

所以公差d=a3—a2=5—9=—4.

故選：B.

5.B

【分析】利用正弦定理、二倍角公式等知識求得正確答案.

答案第1頁，共13頁

【詳解】因為4=25,所以sirU=sin2B=2sin5cos5.

因為-7=”^，所以a

.---,所以cosB=—

SIIL4sinB2sin5cos5sinB2b

因為%=也所以Aj則cos底差J

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義與性質(zhì)，及單調(diào)性的定義與性質(zhì)判斷即可.

【詳解】由題意得“X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，則＞=/(-無)在(-8,0)上單調(diào)遞增,

對于A,因為y=/(x)與y=-/(-x)均在(-8,0)上單調(diào)遞減,

所以g(x)=/(x)-/(-x)在(-刑0)上單調(diào)遞減，故A錯誤;

對于B,g(f)=/(-x)+/(x)=g(x),則g(x)為偶函數(shù)，故B錯誤；

對于C,g(-2)=/(2-2_2?)=/1,卜(T)=/仁一2卜/卜],

因為一,<一|，所以/[-[]>/]-口，即g(-2)>g(-l),故C錯誤;

對于D,g(r)=/(x)-/(-x)=-g(x),則g(無)為奇函數(shù)，

J=/(-無)與了=-/(x)均在(-8,0)上單調(diào)遞增，

貝Ug(x)=/(-x)-“X)在(一巴0)上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：D.

7.D

【分析】設(shè)M(x”yJ,N(X2，%),由題意可得A為跖V的中點，然后利用中點坐標(biāo)公式和斜

率公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)在(再,乃),N(%,%),則才=6再,貨=6%,

因為訪i=NW，所以4(4,2)為MN的中點，

所以M+%=4,

2_6=3

故直線/的斜率%1-x2yfy\為+%2.

~6~~6

故選：D

答案第2頁，共13頁

8.A

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)，將/(x)在R上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為/'(x)=2xe'-2x-a20恒成立，再參變

分離，轉(zhuǎn)化為042尤e，-2x恒成立，即求出2xe、-2x的最小值即可得.

【詳解】由題意可得/''(x)=2xe'-2尤-明

因為/(x)在R上單調(diào)遞增,所以廣(無)=2xe，-2x-。20恒成立，

即a<2xe*—2x恒成立，

設(shè)g(x)=2xe，-2x,貝!Jg'(x)=(2x+2)e*—2,

當(dāng)x<0時，g,(x)<0,當(dāng)x>0時，g'(x)>0,

則g(x)在(-鞏0)上單調(diào)遞減，在(0,+巧上單調(diào)遞增，

故gOOmn=g(O)=O,即a<o.

故選：A.

9.AD

【分析】由正弦型函數(shù)的周期公式可求A,通過代入求值的方法可判斷BD選項，利用正弦

函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷C.

7=空=10

【詳解】四，A正確.

因為/[g)=2sin(-標(biāo)|#0,所以/⑴的圖象不關(guān)于點對稱，B錯誤.

因為/生l=2sin?=2,所以/(x)的圖象關(guān)于直線片與對稱,D正確.

UJ24

若則，由V=sinx的圖象可知，

答案第3頁，共13頁

/(X)在［0,彳J上有最大值，沒有最小值，C錯誤.

故選：AD.

10.BCD

【分析】利用基本不等式即可判斷AB；利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C；利用1的妙用結(jié)合基

本不等式可判斷D.

,1

【詳解】*?*4a2+Z?2=1,1=（2G）'+b2>2x2axb=4ab,即

當(dāng)且僅當(dāng)2a=6=變時，等號成立，故A錯誤；

2

???（2a+b）2=4q2+/+4MWl+4x；=2,當(dāng)且僅當(dāng)2Q=6=/時，等號成立,

A-42<2a+b<42^故B正確；

4Q2+6?=1，**?4。+Z?2=4。+1—4。2——4（?！?+2（2,

當(dāng)且僅當(dāng)。=1,6=0時，等號成立，故C正確；

2

V4a2+b2=\,.?.（4/+4）+&+1）=6,4〃+4>0萬+1>0,

1141

-----1-----=--------1-----

a2+]b2+l4a2+4b2+]

1（4（萬+1）47+4小（卜&+1）4=+4]_3

2

6C4/+4b+l~6山/+4b2+i-2

、7\7

當(dāng)且僅當(dāng)。=0,6=±1時，等號成立，故D正確.

故選：BCD.

11.BC

【分析】求解直線經(jīng)過的定點，圓心與半徑，兩點間的距離判斷選項的正誤即可.

【詳解】直線/：mx+（m-2）y+2=0,即加（x+〉）-2y+2=0

由1Ix2+二y=0=。,解\x得=-},則直線,過定點/(叫、，故A錯誤;

圓C：x2+/-4x+6y-23=0,（x-2）2+（y+3）2=36,

則圓C的圓心坐標(biāo)為C(2,-3),半徑為6,故B正確;

因為點(-U)與。(2,-3)的距離為4="(2+1)2+(_3-1)2=5<6,

答案第4頁，共13頁

則點(T,l)在圓C的內(nèi)部，所以直線/與圓C一定相交，故C正確;

點P到直線I的距離的最大值是4+5=6+5=11,故D錯誤.

故選：BC.

12.BCD

【分析】作出函數(shù)的圖象，即可根據(jù)對數(shù)的運算可得馬演=1，%+占=0,結(jié)合函數(shù)圖象以

及基本不等式即可求解ABC,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解D.

【詳解】作出了(刈的大致圖象，如圖所示.

a=-log2(-Xj)=-log2x2=log2x3,其中XjC。4],所以ae(0,2],

貝1|國?1-1,-；,x2e；/，々w=1.所以9+4W22《4%尤3=4,

當(dāng)且僅當(dāng)馬=4退=「即％=2時，等號成立，但2七,1}A錯誤.

當(dāng)xe(-l,0)U(0,l)時，/(》)=魄2同是偶函數(shù)，則占+工2=0,

所以再迎退=再e卜+x2+x3=x3e(1,4],B,C均正確.

「、i11+Xox+x.,X.2LL…

因為——+——=入~-=-―-=-?~-=1+—=l+x^,所以

XX

XxX3XxX2毛%2%3~22

11+3=1+4+3

---+----

XyX3X1X2x3x3

設(shè)函數(shù)g(x)=1+，+3(1<X44),則g，(x)=2x-與=2/「6

XXX-

當(dāng)l<x<2時，g\x)<0,當(dāng)2<x?4時，g\x)>0,所以g(x)min=g(2)=1+4+8=13,D

正確.

故選：BCD

答案第5頁，共13頁

【分析】由平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得cos,1）的值，結(jié)合向量夾角的取值范圍可求

得結(jié)果.

【詳解】因為向量入石為單位向量，且B+2+0,

?一一|2->2-—一2一一__一一]

則卜+24=a+4a-6+4b=5+4〃方=7,可得。力二萬，

因為0W僅同（兀，故生弓=T，即向量z與3的夾角為，

故答案為：—.

14.-12

【分析】利用二項展開式的通項公式，求出尤2系數(shù).

【詳解】1-11展開式的通項&|=^.-{-2；=（一2廣鼠?”4，.

令6—4尸=2,得尸=1,

貝!）%=—2xC?2=一12X2.

故答案為：-12

3

15.——/-0.75

4

【分析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求得tana,再由二倍角的正切公式求解.

【詳解】丁sin（a+g）=sin（2兀+]+a）=sin（^+a）=cosa,

sin（a—兀）=sin[-（兀-a）]=-sin（兀一a）=—sina,

cosa=-3sina,tana=--,

3

..2tana3

..tan2a=----------=——.

1-tana4

3

故答案為：-二.

4

16.2

【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，找出見仇。之間的等量關(guān)系式，利用解方程的方法即可求出

雙曲線的離心率.

【詳解】設(shè)。為坐標(biāo)原點，。的焦距為2c.過點A作垂直于％軸，垂足為H.

答案第6頁，共13頁

易得|/月|=J!?記=6,=，"勾2一1力閭2=J02=a,

所以M〃||O段二|，O|M耳卜?，

2

由△CM”RF2A可得|CM『=\OH\]OF2\,即阿二土,

所以忸印=a+L=\/|45『—,得c+a=Qb,

cW?c

所以(c+a)2=3〃=3(c2-/),故0=￡=2.

a

故答案為：2.

17.(1)-

v4

(2)(。,也)

【分析】(1)根據(jù)題意利用正弦定理邊化角分析求解；

(2)利用三角恒等變換整理得2而inB-2sinC=2sin/-結(jié)合正弦函數(shù)的值域求解.

【詳解】(1)因為J^zsinC-c=0，由正弦定理可得收sin4sinC-sinC=0，

因為“為銳角三角形，可知?！闧0,^),

則sinC>0,所以sin/

2

且/所以/=；.

(2)因為4=:，可知5+。=T9即C=-----B,

444

答案第7頁，共13頁

IT

且“BC為銳角三角形，貝U。/7，解得jr

C3?！ㄘ?2

0<------B<—

[42

又因為2亞sin8-2sinC=2收sin3-2sin(/+3)

=2V2sin5-2^-sinB+^-cosB=A^-sinB-^"cosB=2sin[B~—

I22JI"

由1〈Be,,可知則,

4244

18.（1）57.5

o

（2）分布列見解析，|

【分析】（1）先通過分析確定中位數(shù)在［50,60）內(nèi)；再設(shè)中位數(shù)為加，列出方程求解即可.

（2）先根據(jù)分層抽樣確定從質(zhì)量在［40,50）內(nèi)的板栗中抽取6顆，從質(zhì)量在［70,80］內(nèi)的板栗

中抽取4顆；再寫出X的所有可能取值并計算相應(yīng)的概率，列出分布列并根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式

可得出答案.

【詳解】（1）因為（0.008+0.018）X10=0.26<0.5,

0.26+0.032xl0=0.58>0.5

所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在［50,60）內(nèi).

設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為加，

貝I］（加一50）x0.032+0.26=0.5,解得加=57.5,

所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5.

（2）由題意可知采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在［40,50）內(nèi)的板栗中抽取10x^^F上=6

顆，從質(zhì)量在［70,80］內(nèi)的板栗中抽取10、而詈^=4顆.

X的所有可能取值為0,1,2,3,4.

「41*;=￡

P（x=°）=甫=彳尸?=1）=

品21

答案第8頁，共13頁

r2r2?d

網(wǎng)萬=2）=吉=*尸（入=3）=#4

Jo'C1O35

P（X=4）=_21__L

CT-21O

從而X的分布列為

X01234

18341

P

1421735210

112

故E（X）=0x—+lx—+2x—+3x——+4又一二—

v714217352105

19.(1)證明見解析

唔

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理可證；

(2)以。為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為x，%z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利

用兩平面夾角的向量法求解.

【詳解】(1)由三棱柱的性質(zhì)可CG〃必，

必_L平面ABC,CC]±平面ABC,

'：ABu平面ABC,：.CQ1AB,

?.?。為N3的中點，且“3C是等邊三角形，48,

CO,C。u平面CCXD,CGnCD=C,

:.AB1平面CC\D.

(2)取4瓦的中點2,連接。。，由題意可得。伐。。,。。兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點，以。民。所在直線分別為陽v,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系.

答案第9頁，共13頁

則A(-l,0,0),5(1,0,0),C(0,百,0),n(0,0,0),4(-1,0,3),G(0,A/3,3),

故方=(2,0,0),布=(1,?3),西=(T,0,3),DC=(0,百,0),

設(shè)平面4co的法向量為〃=（芭,必，4）,

n?DA=-x+3Z]=0

則Xx，令再=3,得7=(3,0,1),

五灰=回=0

設(shè)平面ZBG的法向量加=（工2，%/2），

市?AB=2%=0

則＜令％=G，得加=(0,V3,-l)，

麗?AC】=x2+3Z2=0

設(shè)平面A.CD與平面ABC1夾角為

m八I尸一\ln'm1Vio

則c°s°=H〃用卜還=加=后，

即平面4c。與平面/8G夾角的余弦值為巫.

20

22

20.⑴？+?=1

（2）-.

2

【分析】（1）根據(jù)橢圓定義可確定橢圓的長軸長以及焦距，進而求得〃，即得答案.

（2）首先設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，由此求得弦長，結(jié)合原點到

直線的距離，即可求得面積表達式，然后換元，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.

【詳解】（1）因為|九%|+也園=4＞閨閭=2,所以E是以耳，匕為焦點，且長軸長為4的橢

答案第10頁，共13頁

圓.

22

設(shè)￡1的方程為三+彳=l（q>0）,則2。=4,可得。=2.

ab

又橢圓焦距為2c=1,.-.c=\,所以/=/—02=3,

22

所以E的方程為土+匕=1；

43

（2）由題意可知直線/的斜率不為0,設(shè)直線/:%=叼+1,/（石，必）,5（%2，%），

x=my+\

聯(lián)立X23y2，整理得（3療+4）/+6〃沙一9=0,

43

則A=（6機r-4（3丁+4卜（一9）=144（"/+1）>0,

6m9

%=一3/+4’必%—-3/+4

由弦長公式可得恒同=回-刃=yJm2+1-

12（m2+l）

3m2+4

點O到直線/的距離則△045的面積S=』4劇-d=6J^+l,

Vm2+12*113m2+4

6t_6，_6

設(shè)」=J加2+1">1,則-3,2—1）+4-3/+1—3/+1，