新教材數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案5-2-1第2課時(shí)三角函數(shù)的概念（二）

第2課時(shí)三角函數(shù)的概念(二)必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)值的符號(hào)如圖所示：正弦：一二象限正，三四象限負(fù)；余弦：一四象限正，二三象限負(fù)；正切：一三象限正，二四象限負(fù).思考1：(1)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)由什么決定？(2)三角函數(shù)值的符號(hào)有簡(jiǎn)記口訣嗎？提示：(1)三角函數(shù)值的符號(hào)是根據(jù)三角函數(shù)定義和各象限內(nèi)坐標(biāo)符號(hào)推導(dǎo)出的．從原點(diǎn)到角的終邊上任意一點(diǎn)的距離r總是正值．因此，三角函數(shù)在各象限的符號(hào)由角α的終邊所在象限決定．(2)有；簡(jiǎn)記口訣為：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知識(shí)點(diǎn)2誘導(dǎo)公式(一)sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.思考2：根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？提示：終邊相同的角，其同名三角函數(shù)的值相等．因?yàn)檫@些角的終邊都是同一條射線，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知這些角的三角函數(shù)值相等．基礎(chǔ)自測(cè)1．sineq\f(25,6)π等于(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)[解析]由誘導(dǎo)公式一及特殊角的三角函數(shù)知：sineq\f(25π,6)＝sin(4π＋eq\f(π,6))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2).2．若sinα>0，tanα<0，則α為(B)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析]由sinα>0知α終邊在第一、二象限或在y軸正半軸上；由tanα<0知α終邊在第二、四象限．綜上知α為第二象限角．3．在△ABC中，若sinA·cosB·tanC<0，則△ABC是(C)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．銳角或鈍角三角形[解析]∵A、B、C是△ABC的內(nèi)角，∴sinA>0.∵sinA·cosB·tanC<0，∴cosB·tanC<0.∴cosB和tanC中必有一個(gè)小于0.即B、C中必有一個(gè)鈍角，選C．4．確定下列各三角函數(shù)值的符號(hào)：(1)cos260°；(2)sin(－eq\f(π,3))；(3)taneq\f(10π,3).[解析](1)因?yàn)?60°是第三象限角，所以cos260°<0.(2)因?yàn)椋璭q\f(π,3)是第四象限角，所以sin(－eq\f(π,3))<0.(3)因?yàn)閑q\f(10π,3)是第三象限角，所以taneq\f(10π,3)>0.關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一三角函數(shù)在各象限的符號(hào)例1(1)若cosα>0，sinα<0，則角α的終邊在(D)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)確定下列各式的符號(hào)：①sin105°·cos230°；②sineq\f(7π,8)·taneq\f(7π,8).[分析]先確定角所在象限，進(jìn)而確定各式的符號(hào)．[解析](1)由cosα>0，得角α的終邊在第一象限或第四象限或x軸的正半軸上．由sinα<0，得角α的終邊在第三象限或第四象限或y軸的負(fù)半軸上．綜上可得，角α的終邊在第四象限．(2)①∵105°、230°分別為第二、第三象限角，∴sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0.②∵eq\f(π,2)<eq\f(7π,8)<π，∴eq\f(7π,8)是第二象限角，則sineq\f(7π,8)>0，taneq\f(7π,8)<0.∴sineq\f(7π,8)·taneq\f(7π,8)<0.[歸納提升](1)能準(zhǔn)確判定角的終邊位置是判斷該角的三角函數(shù)值符號(hào)的關(guān)鍵；(2)要熟記三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)判斷下列各式的符號(hào)：①sin3·cos4·tan5；②α是第二象限角，sinα·cosα.(2)若cosθ<0且sinθ>0，則eq\f(θ,2)是第__象限角．(C)A．一 B．三C．一或三 D．任意象限角[解析](1)①eq\f(π,2)<3<π，π<4<eq\f(3π,2)，eq\f(3π,2)<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0.②∵α是第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴sinαcosα<0.(2)由cosθ<0且sinθ>0，知θ是第二象限角，所以eq\f(θ,2)是第一或三象限角．題型二誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用例2計(jì)算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)·sin750°；(2)sin(－eq\f(23,6)π)＋coseq\f(22π,5)·tan6π.[分析]eq\x(利用誘導(dǎo)公式一化簡(jiǎn))→eq\x(求出三角函數(shù)值)→eq\x(代入求值)[解析](1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6),4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1＋\r(6),4).(2)原式＝sin(－4π＋eq\f(π,6))＋cos(4π＋eq\f(2,5)π)·tan6π＝sineq\f(π,6)＋coseq\f(2,5)π×0＝eq\f(1,2).[歸納提升]誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用思路1．誘導(dǎo)公式一的實(shí)質(zhì)是終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等．2．利用誘導(dǎo)公式一可將負(fù)角或大于等于2π的角的三角函數(shù)化為0～2π之間的角的同名三角函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了“負(fù)化正，大化小”．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?求下列各式的值．(1)coseq\f(25,3)π＋tan(－eq\f(15,4)π)；(2)sin810°＋tan765°－cos360°.[解析](1)原式＝cos(8π＋eq\f(π,3))＋tan(－4π＋eq\f(π,4))＝coseq\f(π,3)＋taneq\f(π,4)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)－cos(360°＋0°)＝1＋1－1＝1.誤區(qū)警示對(duì)角的范圍限定不準(zhǔn)確例3已知sineq\f(α,2)＝eq\f(3,5)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(4,5)，試確定角α是第幾象限的角．[錯(cuò)解]因?yàn)閟ineq\f(α,2)＝eq\f(3,5)>0，coseq\f(α,2)＝－eq\f(4,5)<0，所以eq\f(α,2)是第二象限的角，所以eq\f(π,2)＋2kπ<eq\f(α,2)<π＋2kπ(k∈Z)，從而π＋4kπ<α<2π＋4kπ(k∈Z)，故角α是第三或第四象限的角或終邊在y軸的非正半軸上．[錯(cuò)因分析]錯(cuò)解中擴(kuò)大了角的取值范圍而導(dǎo)致出錯(cuò)．[正解]因?yàn)閟ineq\f(α,2)＝eq\f(3,5)>0，coseq\f(α,2)＝－eq\f(4,5)<0，所以eq\f(α,2)是第二象限的角，所以eq\f(π,2)＋2kπ<eq\f(α,2)<π＋2kπ(k∈Z)．由sineq\f(α,2)＝eq\f(3,5)<eq\f(\r(2),2)知eq\f(3π,4)＋2kπ<eq\f(α,2)<π＋2kπ(k∈Z)，所以eq\f(3π,2)＋4kπ<α<2π＋4kπ(k∈Z)，故角α是第四象限的角．[方法點(diǎn)撥]在確定α是第幾象限的角時(shí)，一定要注意題目中的隱含條件，把取值范圍限定在最小的區(qū)間，這樣才可以準(zhǔn)確得出α是第幾象限角．學(xué)科素養(yǎng)分類討論思想在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式中的應(yīng)用例4設(shè)角α的終邊不在坐標(biāo)軸上，求函數(shù)y＝eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(tanα,|tanα|)的值域．[解析]當(dāng)α是第一象限角時(shí)，sinα，cosα，tanα均為正值，∴eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(tanα,|tanα|)＝3.當(dāng)α是第二象限角時(shí)，sinα為正值，cosα，tanα為負(fù)值，∴eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(tanα,|tanα|)＝－1.當(dāng)α是第三象限角時(shí)，sinα，cosα為負(fù)值，tanα為正值，∴eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(tanα,|tanα|)＝－1.當(dāng)α是第四象限角時(shí)，sinα，tanα為負(fù)值，cosα為正值，∴eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(tanα,|tanα|)＝－1.綜上可知，函數(shù)y的值域?yàn)閧－1,3}．[歸納提升]對(duì)于多個(gè)三角函數(shù)符號(hào)的判斷問題，要進(jìn)行分類討論．課堂檢測(cè)·固雙基1．sin(－eq\f(10,3)π)的值等于(C)A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)[解析]sin(－eq\f(10,3)π)＝sin(－4π＋eq\f(2,3)π)＝sineq\f(2,3)π＝eq\f(\r(3),2)，故選C．2．已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則α的終邊在(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限，所以tanα<0，cosα<0，所以α為第二象限角．3．若角α的終邊過點(diǎn)(－5，－3)，則(C)A．sinαtanα>0 B．cosαtanα>0C．sinαcosα>0 D．sinαcosα<0[解析]∵角α的終邊過點(diǎn)(－5，－3)，∴sinα<0，cosα<0，tanα>0，∴sinαcosα>