高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019選擇性必修一）專題1.5空間向量基本定理-重難點(diǎn)題型精講（學(xué)生版）

專題1.5空間向量基本定理重難點(diǎn)題型精講1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．2．空間向量的正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．3．證明平行、共線、共面問題(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.4．求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.5．求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【題型1空間向量基底的判斷】【方法點(diǎn)撥】(1)判斷一組向量能否作為空間的一個(gè)基底，實(shí)質(zhì)是判斷這三個(gè)向量是否共面，若不共面，就可以作為一個(gè)基底．(2)判斷基底時(shí)，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱對(duì)應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的判斷．【例1】（2021秋?揭西縣期末）若{aA．b→+c→，b→，b→?c→ B．a(chǎn)→+b→，a→?b→，【變式11】（2021秋?貴池區(qū)校級(jí)期中）已知{a→，b→，c→}是空間的一個(gè)基底，若p→=2a→?b→A．a(chǎn)→，p→，q→ B．b→，p→，q→ C．r→，p→，q【變式12】（2021秋?河北月考）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1與B1C相交于點(diǎn)O，則下列向量能組成一組基底的為（）A．AA1→，ABC．AA1→，【變式13】（2021秋?朝陽區(qū)校級(jí)月考）已知{a→，A．a(chǎn)→，B．b→，C．c→，D．p→，q【題型2空間向量基本定理的應(yīng)用（表示向量）】【方法點(diǎn)撥】用基底表示向量的步驟:(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．【例2】（2022春?梅州期末）已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點(diǎn)，CMCB=13，PN＝ND，設(shè)AB→=a→，A．a(chǎn)→+13b→+12c→ 【變式21】（2021秋?石家莊期末）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，點(diǎn)M是A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)N是A．12a→+b→+c→ B．【變式22】（2022春?浙江月考）如圖，在四面體OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，點(diǎn)M、N分別在線段A．13a→+2C．13a→+【變式23】（2021秋?宜昌期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，點(diǎn)A．12a→+12b→+c→ 【題型3空間向量基本定理的應(yīng)用（求參數(shù)）】【例3】（2021秋?慈溪市期末）已知空間A、B、C、D四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)P為空間中任意一點(diǎn)，若BD→=6PA→?4PB→A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【變式31】（2021秋?湖北期末）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分別是A1C1，BB1的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，若AG→=xAB→+yAA1→+zA．1 B．12 C．32 D【變式32】（2021秋?新化縣期末）四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若AE→=xAB→+2yBC→+3zAP→A．1 B．1112 C．116 D【變式33】（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，M，N分別是四面體O﹣ABC的棱OA，BC的中點(diǎn)，設(shè)OA→=a→，OB→=b→，OC→A．?12 B．12 C．32【題型4利用空間向量基本定理解決幾何問題】【方法點(diǎn)撥】利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得．【例4】（2022秋?中牟縣月考）已知在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P、M為空間任意兩點(diǎn)，如果有PM→=PB1→+7BAA．在平面BAD1內(nèi) B．在平面BA1D內(nèi) C．在平面BA1D1內(nèi) D．在平面AB1C1內(nèi)【變式41】（2021秋?三門縣校級(jí)期中）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，設(shè)AB→=a→，（1）用a→，b→，c→（2）求AC1的長．【變式42】如圖所示，在三棱錐A－BCD