中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型17 全等三角形-胖瘦模型（SSA）-（原卷版+解析）

全等三角形模型(十七)——胖瘦模型(SSA)模型解密【條件】如圖，AB=AC,點(diǎn)P在線段BC上(P不是線段BC的中點(diǎn))1個(gè)角相等2個(gè)角互補(bǔ)◎結(jié)論1:(變胖)如圖，△ABQ≌△ACP,AP=AQ相當(dāng)于△ABP(加了△APQ)變胖了，◎結(jié)論2:(變瘦)如圖，△ABP≌△ACQ,AP=AQ思路：取CQ=BP,△ABP≌△ACQ,相當(dāng)于△ACP(減了△APQ)變瘦了，◎結(jié)論3:(找中間狀態(tài))如圖，△ABM≌△ACM相當(dāng)于△ACP(減了△APM)變瘦了胖的比瘦的多一個(gè)等腰三角形，瘦的加了一個(gè)直角三角形，胖的減了一個(gè)直角三角形(1)求證：∠ADC+∠B=180°;樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.垂足分別為B,C,E為AM、AN上，且2AE=AD+AB.問(wèn)：∠1和∠2有何數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.在直線AC的異側(cè))點(diǎn)D是射線CB'上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)E在線段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°.圖1含a的式子表示)(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE.②用等式表示線段BE,CD,DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(2)線段BF、BC、AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出你探究的結(jié)論； 真題熱身 1.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.2.如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACE的平分線交于點(diǎn)P,PD⊥AC于點(diǎn)D,PH⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.(1)若點(diǎn)P到直線BA的距離為5cm,求點(diǎn)P到直線BC的距離；(2)求證：點(diǎn)P在∠HAC的平分線上.3.如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD,BD平分∠ABC,DF⊥BC于F,DE⊥BA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(2)猜想BF與AB、BC存在的的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)若S△Ap=m,S△pc=n,請(qǐng)用含有m,n的式子直接寫(xiě)出Sprc的值.全等三角形模型(十七)——胖瘦模型(SSA)模型解密2個(gè)角互補(bǔ)4、變胖(加等腰)5、變瘦(減等腰)6、找中間(加減后得直角三角形)◎結(jié)論1:(變胖)如圖，△ABQ≌△ACP,AP=AQ思路：取CQ=BP,△ABP≌△ACO,相當(dāng)于△ABP(加了△APQ)變胖了，◎結(jié)論2:(變瘦)如圖，△ABP≌△ACQ,AP=AQ思路：取CQ=BP,△ABP≌△ACQ,相當(dāng)于△ACP(減了△APQ)變瘦了，相當(dāng)于△ACP(減了△APM)變瘦了胖的比瘦的多一個(gè)等腰三角形，瘦的加了一個(gè)直角三角形，胖的減了一個(gè)直角三角形變胖加等腰，變瘦減等腰，中間狀態(tài)加、減直角三角形。(2)過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AE于點(diǎn)M,先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DM=BH,設(shè)AH=x,于點(diǎn)M,由(1)已證：Rt?DMC=Rt?BHC,設(shè)AH=x,則DM=BH=AB-AH=8-x,【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)則線段AE與AF的有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.分析分點(diǎn)F在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)和點(diǎn)F在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)兩種情況，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可.理由：∵AD平分∠MAN,DB⊥AM,DC⊥AN,此時(shí)，點(diǎn)F可在C點(diǎn)左側(cè)，也可在C點(diǎn)右側(cè)，如圖，當(dāng)點(diǎn)F可在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F可在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，由(1)知，AC=AB=AE+3,得DB=DC是解題關(guān)鍵，注意分類討論思想的運(yùn)用.B、D分別在AM、AN上，且2AE=AD+AB.問(wèn)：∠1和∠2有何數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.分析作CF⊥AN于F,證明RI△ACF≌R△ACE得到AF=AE,再證明△DFC≌△BEC,得到AF=AE,由已知條件從而證得.【詳解】解：∠1與∠2互補(bǔ)，理由是：助線得到三角形全等，并利用已知條件來(lái)求解是解題的關(guān)鍵.線交于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.分析(1)連接BD,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得DE=DF,DC=DB,利用(2)利用HL可證Rt△ADF≌Rt△ADE,利用全等三角形的性質(zhì)即可求解.在Rr△DCF與Rt△DBE中，∴Rt△DCF≌Ri△DBE(HL),在RI△ADF與RI△ADE中，握角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.(點(diǎn)B'與點(diǎn)B在直線AC的異側(cè))點(diǎn)D是射線CB'上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)E在線段(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AD與CB'的位置關(guān)系是,若BC=a,則CD的長(zhǎng)為_(kāi);(用含a的式子表示)(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE.②用等式表示線段BE,CD,DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(2)①∠BAC=2∠DAE,理由見(jiàn)解析；②分析(1)先證明∠ADC=90°,再過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，證明解：∵點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且∠DAE+∠ACD=90°,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F,于F,PA=PC.(2)線段BF、BC、AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng) 分析(1)過(guò)作PD⊥AB于點(diǎn)D,由角平分線的性質(zhì)可得PD=PF,由“HL”可證進(jìn)而得出BD=BF,再根據(jù)邊與邊之間的關(guān)系即可得出2BF=AB+BC.A√D,P>N(1)利用HL證明Rt△ADP≌Rt△CFP;(2)利用HL證明Rt△BPD≌Rt△BPF. 真題熱身 求AE、BE的長(zhǎng).分析(1)連接BD、CD,先由垂直平分線性質(zhì)得BD=CD,再由角平分線性質(zhì)得DE=CF,(2)證明Rt△AED≌Rt△AFD(HL),得AE=AF,則CF=AF-AC=AE-AC,又因?yàn)锽E=AB-AE,由(1)知BE=CF,則AB-AE=AE-AC,代入AB、AC值即可∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥練掌握角平分線的性質(zhì)定義和線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.于點(diǎn)D,PH⊥BA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.(1)若點(diǎn)P到直線BA的距離為5cm,求點(diǎn)P到直線BC的距離；分析(1)過(guò)點(diǎn)分析(1)過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BE于F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解答；(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PF=PD,進(jìn)而得到PD=PH,根據(jù)角平分線的判定定理即可證明.解：過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BE于F,點(diǎn)P在∠ABC的平分線，PH⊥BA,PF⊥BE,即點(diǎn)P到直線BC的距離為5cm;【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，熟知角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，根據(jù)題意添加輔助線是解題關(guān)鍵.3.如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD,BD平分∠ABC,DF⊥BC于F,DE⊥BA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(2)猜想BF與AB、BC存在的的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)若SAp=m,SABDc=n,請(qǐng)用含有m,n的式子直接寫(xiě)出Sprc的值.(2)2BF=AB+BC,理由見(jiàn)解析分析(1)利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出Ri△DEA≌Rt△DFC(HL),∠DAE=∠C,由等量代換即可證明；(2)先由全等三角形的判定和性質(zhì)得出Rt△DEB≌Rt△DFB(HL),BF=BE=BA+AE,(3)設(shè)S~prc=s,由全等的性質(zhì)可得SFc=SpE=S,然后結(jié)合圖形求解即可.(1)證明：∵BD平分∠ABC,DF⊥BC于F,DE⊥BA∴DE=DF在Rt?DEA和RIVDFC中∴Rt△DEA≌RI△DFC(HL)∴∠DAE=∠C又∵∠DAB+∠DAE=180(2)2BF=AB+BC在