寧夏中衛(wèi)市2023屆高三二模數(shù)學（理）試題（含答案與解析）

2023年中衛(wèi)市高考第二次模擬考試

數(shù)學（理科）

本試卷分第I卷（選擇題）和第∏卷（非選擇題）兩部分.第H卷第22、23題為選考題，其他

題為必考題.考生做答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.考試結束后，將本試卷

和答題卡一并交回.

注意事項：

1、答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的準考證號、

姓名，并將條形碼粘貼在指定位置上.

2、選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇

題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.

3、請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.

4、保持卡面清潔，不折疊，不破損.

5、做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂

黑.

第I卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.每小題給出的選項中，只有一項是

符合題目要求的，請將正確的答案涂到答題卡上）

1.復數(shù)Z在復平面內(nèi)對應的點為（一2」），則15+3"=（）

A.8B.4C.2√2D.√2

2.己知集合A={0,l,2,3,4},B={x∣lnx<l},則AB=（）

A.{1,2}B.{0,l,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

3.等比數(shù)列{4}的前"項和為S“，且4q,2a2,%成等差數(shù)列，若q=1，則?％=

A7B.8C.15D.16

4.蘇軾是北宋著名的文學家、書法家、畫家，在詩詞文書畫等方面都有很深的造詣.《蝶戀花春景》是蘇

軾一首描寫春景的清新婉麗之作，表達了對春光流逝的嘆息詞的下闕寫到：“墻里秋千墻外道.墻外行

人，墻里佳人笑.笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱.”假如將墻看作一個平面，秋千繩、秋千板、墻外

的道路看作直線，那么道路和墻面平行，當秋千靜止時，秋千板與墻面垂直，秋千繩與墻面平行.在佳人

蕩秋千的過程中，下列說法中錯誤的是（）

A.秋千繩與墻面始終平行B.秋千繩與道路始終垂直

C.秋千板與墻面始終垂直D.秋千板與道路始終垂直

5.新冠肺炎疫情防控中，測量體溫是最簡便、最快捷，也是篩查成本比較低、性價比很高的篩查方式，是

更適用于大眾的普通篩查手段.某班級體溫檢測員對某一周內(nèi)甲、乙兩名同學的體溫進行了統(tǒng)計，其結果

如圖所示，則下列結論不正確的是（）

A.甲同學的體溫的極差為0.5。C

B.甲同學的體溫的眾數(shù)為36.3。C

C.乙同學的體溫的中位數(shù)與平均數(shù)不相等

D.乙同學的體溫比甲同學的體溫穩(wěn)定

6.青少年視力被社會普遍關注，為了解他們的視力狀況，經(jīng)統(tǒng)計得到圖中右下角12名青少年的視力測量

值4（i=1,2,3,…』2）（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數(shù)，葉表示十分位數(shù).如果執(zhí)行如圖所示

的算法程序，那么輸出的結果是（）

A.4B.5C.6D.7

則豆子落在圖中陰影部分的概率為

c??D.i-?

ππTr

8.己知點A(l,4)在直線二+3=l(α>0∕>0)上，若關于，的不等式"+8≥產(chǎn)+5f+3恒成立，則實數(shù)，

ab

的取值范圍為()

A.[-6,1]B.[-1,6]

C(-∞,-l]u[6,+∞)D.(-∞,-6]U[1,+∞)

π

9.已知函數(shù)/(x)="si∏5+cos5(G>0)的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為一，且

2

TT

/(0)+/(-)=3,為了得到函數(shù)g(x)=sins-αcos5的圖象，只要把/3圖象上所有的點

6

A.向左平移々TT個單位長度B.向右平移3TT個單位長度

44

C.向左平移一TT個單位長度D.向右平移差TT個單位長度

22

10.將正整數(shù)排列如下:

1

23

456

78910

1112131415

則圖中數(shù)2022出現(xiàn)在()

A.第64行第5列B.第64行6列

C.第65行5列D.第65行6列

22

11.已知雙曲線C:事一點?=l(α>0/>0)的左、右焦點分別為￡,F2,焦距為4,點〃在圓

E:l+y2+4x-8y+i6=0上，且C的一條漸近線上存在點M使得四邊形OMN6為平行四邊形，。

為坐標原點，則C的離心率的取值范圍為()

A.[2,+∞)B.[G,+∞)C.[4,÷w)D.(l,?/?]

12.設“X)是定義在R上的函數(shù)，若/(x)+f是奇函數(shù)，/(x)-X是偶函數(shù)，函數(shù)

/?f∕(x),x∈[0,11,

g(x)=L/1?Z1\,則下列說法正確的個數(shù)有()

2g(x-l),x∈(l,+∞),

(1)當x∈[2,3]時,g(%)=-2(x-2)(x-3)

⑵8代42”5)

7

(3)若g(m)22,則實數(shù)俄的最小值為彳

(4)若〃(X)=g(x)-A(x-2)有三個零點，則實數(shù)Z=-L

6

A.1個B.2個C.3個D.4個

第∏卷(非選擇題共90分)

二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

%>01

13.命題PM八，命題4：一>0,則〃是q的__________條件.

γ>0孫

(填”充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或”既不充分也不必要”)

14.設點P為拋物線無2=4y上到直線2x-丁-6=0距離最短的點，且在點P處的切線與X軸和Y軸的交

點分別是M和N,則過",N兩點的最小圓截拋物線的準線所得的弦長為.

15.某校高二學生一次數(shù)學診斷考試成績(單位：分)X服從正態(tài)分布N(IIO,IO?),從中抽取一個同學

的數(shù)學成績4,記該同學的成績90<JVl10為事件A,記該同學的成績80<《≤100為事件8,則在A

事件發(fā)生的條件下8事件發(fā)生的概率P（B?A）=.（結果用分數(shù)表示）

附參考數(shù)據(jù)：P^μ-σ<X<χz+cr）=0.68；P"-2σ<XSμ+2cr）=0.95；

P（μ-3b<X≤χ∕÷3σ）=0.99.

b

16.當a>0時，若不等式InX≤數(shù)2+汝一l恒成立，則一的最小值是.

a

三、解答題：（本大題共6小題，滿分70分.解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，側面PAZ）為等腰直角三角形，底面ABCQ為直角梯形，ABLAD,

BC//AD,PA=PD=PC=2√2>AD=2AB=2BC,。為AD的中點.

（1）求證：POLCD；

（2）求平面PAD與平面PC。所成銳角二面角的余弦值.

18.在①tanA+tanB+百=KtanAtanB;（2）（c+α-?）（sinC-sinA+sinB）=αsinδ；

③百CSin8=仇COSC+1）；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答.問題：在一ABC中，

內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.

（1）求角C；

（2）若一45。的內(nèi)切圓半徑為且4=4,求α-c.

2

19.區(qū)塊鏈技術被認為是繼蒸汽機、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后，下一代顛覆性的核心技術.區(qū)塊鏈作為構造信任的

機器，將可能徹底改變整個人類社會價值傳遞的方式，2018年至2022年五年期間，中國的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量

逐年增長，居世界前列.現(xiàn)收集我國近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關數(shù)據(jù)，如表：

年份20182019202020212022

編號X12345

企業(yè)總數(shù)量y（單位:千個）21563.7278.30524.27936.224

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，y=。+加與y=cetir（其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)），哪一個回歸方

程類型適宜預測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結果即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的結果，求y關于X的回歸方程；（結果精確到小數(shù)點后第三位）

Yjxiyi-rixy

附：線性回歸方程9=5X+6中，BT------------.a=y-bx

2—2

Xi一招

ΣZ=I

55_]5_]5

參考數(shù)據(jù)：$=lny，ZXR.=40.457,Zxj=55,尤=WZXi=3,Z=WZz,.=2.196

（

=1I=I5,=|5i=|

（3）為了促進公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進行一次信息化技術比賽，邀請甲、乙、丙三

家區(qū)塊鏈公司參賽，比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的公司與

未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結束，

該公司就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”.已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為1,甲勝丙的概率為

3

|,乙勝丙的概率為請通過計算說明，哪兩個公司進行首場比賽時，甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率最

大？

20.已知橢圓C:]+二=l（α>6>0）的左、右焦點分別為大，鳥，離心率為走，過左焦點耳的直線/

ah2

與橢圓C交于A,3兩點（48不在工軸上），ZXAB"的周長為8√L

（1）求橢圓C的標準方程；

IOPl2

（2）若點P在橢圓C上，且OP_LAB（O為坐標原點），求亍曲取值范圍.

21.已知函數(shù)/（x）=xlnx-?^χ2-χ（αeR）.

（1）若/（x）<0恒成立，求“的取值范圍；

（2）若函數(shù)/（x）存在兩個極值點為,為，且4+恒成立，求兀的取值范圍.

XIΛ2

選考題：（請考生在第22、23兩道題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分.作

答時請用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑）

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

22.在平面直角坐標系XOy中，以。為極點，X軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方

x=-2+^t

2

程為p1COS2+3p2sin2θ=?2直線/的參數(shù)方程為〈（f為參數(shù)），直線/與曲線C分別交

√2

于M,N兩點.

(1)若點P的極坐標為(2,乃)，求IPMHpM的值;

(2)求曲線C的內(nèi)接矩形周長的最大值.

選修4-5：不等式選講

23..已知“，h,C是正實數(shù)，且α+b+c=2?

1119

(1)證明：一+-+-≥-;

abc2

(2)求病+癡的最大值.

參考答案

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分.每小題給出的選項中，只有一項是

符合題目要求的，請將正確的答案涂到答題卡上)

1.復數(shù)Z在復平面內(nèi)對應的點為(-2』)，貝IJl彳+3"=()

A8B.4C.2√2D.√2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義得復數(shù)z,求出N+3i,再求1彳+3”即可.

【詳解】復數(shù)Z在復平面內(nèi)對應的點為(-2,1),則復數(shù)z=-2+i,所以N+3i=—2+2i,

22

W∣JIz+3i∣?∣-2+2i∣?λ∕(-2)+2=2√2.

故選：C.

2.已知集合A={0,l,2,3,4},B={x∣lnx<l},則AB=()

A.{1,2}B.{0,l,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)求解集合B,再求交集即可得結果.

【詳解】由題意可得：B={x∣lnx<l}={x∣0<x<e},

故AnB={1,2}.

故選：A.

3.等比數(shù)列｛α,,｝的前〃項和為S“，且4q,Ia1,%成等差數(shù)列，若G=1，則$4=

A.7B.8C.15D.16

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：由數(shù)列LJ為等比數(shù)列，且4"2%g成等差數(shù)列，所以4生=4苗-生，即

4qg=40「a：1，因為。工0,所以4g=4-/,解得：g=?2,根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式

aα-√）ι-24

O=-1-----------=--------=15.

i?-q1-2

考點：1.等比數(shù)列通項公式及前n項和公式；2.等差中項.

4.蘇軾是北宋著名的文學家、書法家、畫家，在詩詞文書畫等方面都有很深的造詣.《蝶戀花春景》是蘇

軾一首描寫春景的清新婉麗之作，表達了對春光流逝的嘆息詞的下闕寫到：“墻里秋千墻外道.墻外行

人，墻里佳人笑.笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱假如將墻看作一個平面，秋千繩、秋千板、墻外

的道路看作直線，那么道路和墻面平行，當秋千靜止時，秋千板與墻面垂直，秋千繩與墻面平行.在佳人

蕩秋千的過程中，下列說法中錯誤的是（）

A.秋千繩與墻面始終平行B.秋千繩與道路始終垂直

C.秋千板與墻面始終垂直D.秋千板與道路始終垂直

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圖中秋千繩，墻面，道路的位置關系以及相關的線面，線線垂直的判定定理、性質(zhì)定理等即可

判斷.

【詳解】顯然，在蕩秋千的過程中，秋千繩與墻面始終平行，

但與道路所成的角在變化，則秋千繩與道路的位置關系在發(fā)生變化，

而秋千板始終與墻面垂直，故也與道路始終垂直.

故選：B.

5.新冠肺炎疫情防控中，測量體溫是最簡便、最快捷，也是篩查成本比較低、性價比很高的篩查方式，是

更適用于大眾的普通篩查手段.某班級體溫檢測員對某一周內(nèi)甲、乙兩名同學的體溫進行了統(tǒng)計，其結果

如圖所示，則下列結論不正確的是（）

A.甲同學的體溫的極差為0.5。C

B.甲同學的體溫的眾數(shù)為36.3。C

C.乙同學的體溫的中位數(shù)與平均數(shù)不相等

D.乙同學體溫比甲同學的體溫穩(wěn)定

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)折線圖，進行數(shù)據(jù)分析，直接計算極差判斷A,由眾數(shù)概念判斷B,由中位數(shù)和平均數(shù)確定

C,由折線圖直接判斷D.

【詳解】對于A：甲同學的體溫的極差為36.6—36.1=0.5℃,故A選項正確；

對于B：甲同學的體溫從低到高依次為36.1C,36.1℃,36.3℃,36.3℃,36.3C,36.5℃,36.6C,故眾

數(shù)為36.3°C,故B選項正確；

對于C：乙同學的體溫從低到高依次為36.2C,36.3℃,36.3°C,36.4°C,36.5°C,36.5℃,36.6°C,故中

位數(shù)為36.4°C,而平均數(shù)也是36.4°C,故C選項錯誤；

對于D：從折線圖上可以看出，乙同學的體溫比甲同學的體溫穩(wěn)定，故D選項正確.

故選：C

6.青少年視力被社會普遍關注，為了解他們的視力狀況，經(jīng)統(tǒng)計得到圖中右下角12名青少年的視力測量

值q（i=l,2,3,…,12）（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數(shù)，葉表示十分位數(shù).如果執(zhí)行如圖所示

的算法程序，那么輸出的結果是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】依題意該程序框圖是統(tǒng)計這12名青少年視力小于等于4.3的人數(shù)，結合莖葉圖判斷可得；

【詳解】解：根據(jù)程序框圖可知，該程序框圖是統(tǒng)計這12名青少年視力小于等于4.3的人數(shù)，由莖葉圖可

知視力小于等于4.3的有5人，

故選：B

7.如圖，若在矩形。鉆C中隨機撒一粒豆子，則豆子落在圖中陰影部分的概率為

πππ~71`

【答案】A

【解析】

【分析】分別求出矩形和陰影部分的面積，即可求出豆子落在圖中陰影部分的概率.

（詳解】S矩形=TrxA=兀,

π

X?sin6Zx=-cosx∣θ=-(cosπ-cos0)=2,

o

?"?S陰影=?-2,

乃一22

.??豆子落在圖中陰影部分的概率為——二1--

ππ

故選A.

【點睛】本題考查幾何概率的求解，屬于基礎題，難度不大，正確求面積是關鍵.

8.己知點A(l,4)在直線2+4=l(a>0,0>0)上，若關于，的不等式4+8≥戶+5f+3恒成立，則實數(shù)，

ab

的取值范圍為()

A.[-e,1]B.[―1,6]

C.(-ɑo,—1]□[6,+oo)D.co,-6]u[l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】將點代入直線方程，再利用基本不等式求得α+8的最小值，從而將問題轉(zhuǎn)化92/+5/+3,解之

即可.

【詳解】因為點A(l,4)在直線^+上=1(〃>0/>0)上,

ab

14

所以一十一=1,

ab

故a+)=(α+5)-b+—4a+5L≥c2b4a+5L=9c,

abλ?ab

b4/714

當且僅當2=絲且一+—=1,即α=31=6時等號成立,

abab

因為關于，的不等式4+82/+5/+3恒成立，

所以92∕+5r+3,解得-6YW1,

所以rw[-6,l].

故選:A

TT

9.已知函數(shù)/(x)=αsi∏69x+COSs：3>0)的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為一，且

2

/(θ)+∕(-)=3,為了得到函數(shù)g(x)=sin<yχ-&cos0>x的圖象，只要把f(χ)圖象上所有的點

6

πTT

A.向左平移一個單位長度B.向右平移一個單位長度

44

7171

C.向左平移一個單位長度D.向右平移一個單位長度

22

【答案】B

【解析】

T7ΓTIL

[分析]根據(jù)對稱軸之間距離得到一=一，求出周期,然后得到。=2；代入X=O和X=-求解出α=百:

226

再把/(x)和g(x)都整理成ASinwX+0)的形式，確定平移的方向和單位.

7ΓTJT

【詳解】相鄰對稱軸之間距離為一=>-=-=T=乃

222

Clr2n.

即—=兀=G=2

ω

.八C.71Tt^-a+-=3=>〃=石

???∕(θ)÷∕^-QSIno+cos0+asm——FCOS-=1+

3322

/(x)=V5sin2x+cos2x=2sin(2x+=2sin

=2Sin2(x--

g(x)=sin2x-?/?∞s2x=2sin2x—?-

l6J

則一看-^?=^^9=>∕(χ)向右平移5個單位長度得到g(χ)

本題正確選項：B

【點睛】本題考查已知三角函數(shù)圖像求解析式、三角函數(shù)平移變換的問題，易錯點在于最終平移時，忽略

了左右平移只針對X的變化量，導致求解錯誤.

10.將正整數(shù)排列如下：

1

23

456

78910

1112131415

則圖中數(shù)2022出現(xiàn)在()

A.第64行第5列B.第64行6列

C.第65行5列D.第65行6列

【答案】B

【解析】

【分析】計算每行首個數(shù)字的通項公式，再判2022出現(xiàn)在第幾列，得到答案.

【詳解】每行的首個數(shù)字為：1,2,4,7,11-

4=1,4一。“T=〃-1

利用累加法：

〃一1)

-a+a

%=(a“-fl,,-∣)+(ɑ,?-?rt_2)-i----∣-(α2ι)ι=∏-1+n-2-ι-----Fl=------計算知：

α64=2017,

數(shù)2022出現(xiàn)在第64行6列

故選：B

??.已知雙曲線C:?一斗=1(。>0/>0)的左、右焦點分別為"，B，焦距為4,點M在圓

E:f+y2+4x_8y+16=0上，且C的一條漸近線上存在點M使得四邊形OMN寫為平行四邊形，0

為坐標原點，則C的離心率的取值范圍為()

A.[2,+∞)B.[百,+∞)C.[4,+∞)D.(1,百]

【答案】A

【解析】

b

【分析】設雙曲線的一條漸漸近線方程y=-χ,設出M點坐標，求出M8中點坐標B,建立方程進行轉(zhuǎn)

a

化求解即可.

【詳解】由題意，設雙曲線一條漸近線方程為y=2χ,因為E:/+y2+4x-8y+i6=0,

a

所以點M在圓E:(x+2『+(y—4)2=4上，設"(x0,九)，則2≤%≤6,四邊形OMNG為平行四邊

形，令ONCMF2=B,

則”中點坐標為5(空代入漸近線方吟宇音，即/恭,

,?./_]=(為)2_%_)'o______3?_____

XO+2(%o+2)~4-(%-4)——yj+8y0-12

1

211

設f==1，貝IIfe?,?e~l=

，則-⑵FiT2(TW

No62

??

，-12(，-])~+]∈0,—,則e2—1∈[3,+8),解得e∈[2,+8),

6,2

故選：A

12.設/(x)是定義在R上的函數(shù)，若/(x)+f是奇函數(shù)，/(x)-X是偶函數(shù)，函數(shù)

/?f∕(χ),χ∈[o,ιl,

g(x)=C/7、，則下列說法正確的個數(shù)有()

[2g(x-l),x∈(l1,+05),

⑴當x∈[2,3]時，^(x)=-2(x-2)(x-3)

⑵gP?T=2i(壯M)

7

(3)若g(m)≥2,則實數(shù)”的最小值為5

(4)若〃(x)=g(x)-MX-2)有三個零點，則實數(shù)4=-，

6

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】由f(x)+x2是奇函數(shù)，/(x)-x是偶函數(shù)，得/(幻=x—χ2,再依據(jù)

/(x),x∈[0,11,/、

g(x)=Y/Z、作出函數(shù)g(χ)的圖像，再逐項判斷即可

[2g(x-1lλ),x∈(1l,+e),

【詳解】因為/(x)+X2是奇函數(shù)，/(x)-X是偶函數(shù)，

f(-x)+X2=-/(%)—X2,

所以*j,解得/(X)=Aχ2,

./(-%)+%=/(%)-X

由g(x)=["/:叫

[2^(x-l),x∈(l,+∞),

當x∈(l,2)時，g(x)=2g(x-l),貝∣Jx-l∈(O,l),所以g(x)=2g(x-l)=2∕(%-l),

同理:當x∈(2,3)時,g(x)=2g(%—l)=4g(x-2)=4∕(%-2),

以此類推，我們可以得到如下g(x)的圖象：

對于⑴：根據(jù)上述規(guī)律，當x∈(2,3)時，g(x)=4∕(x-2)=4[x-2—(x—2)2]=—4(x—2)(x—3),

故(1)錯誤；

對于(2)：根據(jù)圖象，—^-(?∈N+)剛好是相鄰兩個自然數(shù)中間的數(shù)，

則g(C)∕eN+)剛好是每一段圖象中的極大值，代入函數(shù)解析式得gK1?)=2*τ∕∈Z),故

(2)正確;

對于⑶：根據(jù)圖象，當xe(3,4)時g(x)=8(—V+7x_i2),gg)=2由圖像可得⑶正確；

對于(4):〃(X)=g(x)-M%-2)有三個零點，

等價于函數(shù)g(x)與函數(shù)y=%(x-2)有三個不同的交點，設A(2,0),則函數(shù)y=Z(x-2)的

圖象為恒過點A的直線，如圖所示.

當函數(shù)y=Z(x-2)與g(x),Xe(0,1)相切的時候，有三個交點，

?-θ?

相切時斜率左小于直線AB的斜率，直線AB的斜率為4-=

1-26

2

故MX)=g(x)-左(％-2)有三個零點，％<-，，故(4)錯誤.

6

說法正確的個數(shù)為2.

故選：B.

【點睛】思路點睛：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，解出/(x),再依據(jù)g(x)的函數(shù)特征，作出函數(shù)g(x)的圖

像，由圖像研究相關性質(zhì).

第∏卷(非選擇題共90分)

二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

x>01

13.命題八，命題4：一>0,則"是q的__________條件.

y>0孫

(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)

【答案】充分不必要

【解析】

【分析】先解」->0,然后根據(jù)條件判斷即可.

孫

【詳解】因為：x>0x<0

ql>>0=><C或.

孫[y>0y<0'

%>0

而P：,

y>o

所以"是《的充分不必要條件.

故答案為：充分不必要.

14.設點P為拋物線無2=4y上到直線2x-y-6=0距離最短的點，且在點P處的切線與X軸和y軸的交

點分別是M和N，則過M,N兩點的最小圓截拋物線的準線所得的弦長為.

【答案】4

【解析】

【分析】在P處的切線與直線2x-y-6=0平行，利用導數(shù)求出P點坐標和切線方程，得",N兩點坐標,

以MN為直徑的圓為所求最小圓，利用垂徑定理求弦長.

【詳解】設切點為P(∕,為)，根據(jù)題意可知在尸處的切線與直線2x-y-6=。平行,

則/=??,所以2=gx0,得Xo=4,所以y0=4,因此P(4,4),

可得切線方程為2x-y-4=0,從而"(2,0),N(0,4),

則過M,N兩點的最小圓，以MN為直徑,方程為(x-l)2+(y+2)2=5,

拋物線的準線方程為N=-1,利用垂徑定理可得圓截拋物線的準線所得的弦長為2j==4.

故答案為：4

15.某校高二學生一次數(shù)學診斷考試成績(單位：分)X服從正態(tài)分布N(IlO,IO?),從中抽取一個同學

的數(shù)學成績4,記該同學的成績90<JWl10為事件A,記該同學的成績80<q≤100為事件8,則在A

事件發(fā)生的條件下8事件發(fā)生的概率尸(Ba)=.(結果用分數(shù)表示)

附參考數(shù)據(jù)：P^μ-σ<X<χ∕+cr)=0.68；P(μ-2σ<X<∕z+2cr)=0.95；

P(μ-3σ<X≤χ∕+3σ)=0.99.

【答案】—

【解析】

/、/、ZIXP(AB)

【分析】計算出P(AB)和P(A),然后利用條件概率公式可得出P(BlA)=-^帚的值.

【詳解】由題意可知〃=HO,。=10,事件Aβ90<g≤100,Q90=χ∕-2σ,100=χ∕-σ,

所以，P(AB)=P(90<J≤100)=

_P{μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤χ∕+σ)_0.95-0.68_27

~2—2-200，

P(A)=P(90<4≤110)=P(〃-2y≤")=q---------------------z=->

由條件概率公式得P(3∣A)=?得?=爵?答=!|，故答案為京?

【點睛】本題考查條件概率的計算，同時也考查了正態(tài)分布3cr原則計算概率，解題時要將相應的事件轉(zhuǎn)

化為正態(tài)分布事件，充分利用正態(tài)密度曲線的對稱性計算，考查計算能力，屬于中等題.

b

16.當〃>0時，若不等式lnx<^χ2+灰一1恒成立，則一的最小值是.

【答案】—

e

【解析】

【分析】先將不等式轉(zhuǎn)化為生出《辦+8,進而轉(zhuǎn)化為/(X)=@上?圖像恒在g(x)=以+2圖像

XX

b1

的下方，求出兩個函數(shù)的零點，比較兩個函數(shù)的零點得到一≥~,

ae

且當g(x)=αr+人恰為/(χ)在Xj處的切線時取得最小值，即可求解.

e

【詳解】由題意知：X>O,由InX≤α√+汰一1可得見匕l(fā)<αt+b,即不等式風匚口≤*+匕恒成

XX

、A/?/、InX+1..

乂，令/(x)=--------,g(x)=0r+0,

X

易得g(x)為斜率大于0的一條直線，g(-2)=0;二-(InX+1)_Tn%,當χ∈(0,ι)時,

a∑2―^~^2~

/(x)>0"(X)單增,

當Xe(I,”)時，f(x)<O,∕(x)單減，又/(1)=0,要使不等式犯二tl≤αx+。恒成立，必有g(χ)

的零點與/(X)的零點重合

或者在/(X)的零點左側，如圖所示：

故有一2≤!,解得2N-J?,當且僅當g(x)=or+力恰為F(X)在X=J處的切線時取等，此時

Qeaee

/(X)=里出?的圖像恒在g(x)=ax+h圖像的下方，

X

即滿足生土口<以+力恒成立，即InX≤依2+區(qū)—1恒成立.又/(1)=e?,故/O)在X=L處的切線方程

Xee

為y=e2(x-1)=e2%-e,

e

即〃=，,/?=—e時，2取得最小值一！.

ae

故答案為：.

e

三、解答題：(本大題共6小題，滿分70分.解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.如圖，在四棱錐P—ABC。中，側面PAQ為等腰直角三角形，底面ABa)為直角梯形，ABYAD,

BCHAD,PA=PD=PC=26，AD=2AB?2BC,。為AO的中點.

P

（1）求證：PO±CD;

（2）求平面PAr）與平面PcD所成的銳角二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵立.

3

【解析】

分析】（1）由勾股定理證明POLOC,再由PoIAQ得出Pol平面ABCQ,進而證明POj_8；

（2）以點。為坐標原點，建立坐標系，利用向量法得出平面E4。與平面PCo所成的銳角二面角的余弦值.

【小問1詳解】

連接。C,由Q4=PD,。為AD中點，得PoIAr>,

又???四邊形ABa）為直角梯形，BCHAD,AD=2BC,

所以AO//BC,AO=BC,則四邊形AoCB是平行四邊形，

OC=AB,

在Z?P0C中，pc=2√∑,PO=^AD=2,OC=AB=[AO=2,

則PC2=PO2+OC2,則POlOC,

又ADU平面ABC。，OCU平面ABCr）,ADOC=O,

：.Pol平面ABCO,

又C￡>U平面ABCO,PO_Lcr>.

【小問2詳解】

由（1）可得。C,OD,QP兩兩垂直，以點。為坐標原點，分別以OC，OD，OP

方向為％Xz軸正方向，建立如圖空間直角坐標系.

ZJ

B

A(0,-2,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),D(0,2,0),P((),0,2),

易知平面PAr)的法向量為加=(i,o,o),

設平面PCO的法向量為〃=(X,y,z),OC=(2,-2,0),OP=(O,-2,2),

n?DC=O2x-2y=O

則即4取X=1,H=(1,1,1),

n?DP=O-2γ+2z=0

m?n_l×l+O+O_?/?

.*.cos(∕n,n)=

?m???n?IxJl+1+13

故平面24。與平面PC。所成的銳角二面角的余弦值為立

3

18.在①tanA+tan8+G=GtanAtanB;@(c+a-?)(sinC-sinA+sinB)=αsinβ；

③GCSinB=6(CoSC+1)；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答.問題：在,ABC中,

內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且_______.

(1)求角C;

(2)若的內(nèi)切圓半徑為且,6=4,求a—c.

2

【答案】(1)-

3

(2)-I

【解析】

【分析】(1)選擇①根據(jù)兩角和的正切公式化簡可得角，選擇②由正弦定理統(tǒng)一為邊，再由余弦定理求解,

選擇③根據(jù)正弦定理統(tǒng)一為角，由輔助角公式求解；

(2)由余弦定理及三角形面積公式聯(lián)立求解即可.

【小問1詳解】

選擇①：由已知得tanA+tan區(qū)=J)(tanAtanjB-I)，

SrCtanA+tanBr∑

所以tanC=-tan(zΛ4+B)=--------------------=√3,

1—tanAtanB

TT

在一ABC中，C∈(O,π),所以C=".

3

選擇②：由已知及正弦定理得(c+a-?)(c-a+b)=ab,

所以"+/一/=。"所以COSC=巴」』~~-=

2ab2

TT

因為O<Cvπ,所以C=一.

3

選擇③：由正弦定理可得J5sinBsinC=sinB(cosC+l),

又Be(O,兀)，所以SinB>0,則GSinC-COSC=1，

則2sin(c-2]=l,故Sin(C-?^)=g.

ILrTt「.兀5πl(wèi)l?.C兀兀

又因I為一二<C一二<——,所以C—二=:，

66666

π

解得。=7.

3

【小問2詳解】

由余弦定理得C?=/+〃2一必=16+4一4〃，①

由等面積公式得g(α+h+c)r=SinC.

1√31.√3

即hπ一(zα+bf+c)xX——=-×4ya×——?

2222

整理得34=4+c,②

57

聯(lián)立①②，解得a==,。=：,

22

所以Q-C=-I.

19.區(qū)塊鏈技術被認為是繼蒸汽機、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后，下一代顛覆性的核心技術.區(qū)塊鏈作為構造信任的

機器，將可能徹底改變整個人類社會價值傳遞的方式，2018年至2022年五年期間，中國的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量

逐年增長，居世界前列.現(xiàn)收集我國近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關數(shù)據(jù)，如表：

年份20182019202020212022

編號K12345

企業(yè)總數(shù)量y(單位:千個)2.1563.7278.30524.27936.224

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，y=。+法與y=ce^(其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù))，哪一個回歸方

程類型適宜預測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？(給出結果即可，不必說明理由)

(2)根據(jù)(1)的結果，求y關于X的回歸方程；(結果精確到小數(shù)點后第三位)

∑jχiyi-^y

附：線性回歸方程a=晟+4中，b=-^ι---------,a=y-bx

V"19—2

工石一〃X-

Z=I

.5_1__1

參考數(shù)據(jù)：$=lny，ZXiZj=40.457,ZXj=55,X=WZx；=3,Z=WZZj=2.196

∕=ιz=ι5i=ι5i=i

(3)為了促進公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進行一次信息化技術比賽，邀請甲、乙、丙三

家區(qū)塊鏈公司參賽，比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的公司與

未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結束，

該公司就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為g,甲勝丙的概率為

|,乙勝丙的概率為g,請通過計算說明，哪兩個公司進行首場比賽時，甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率最

大？

［答案］(1)y=ce也