湖北省黃石市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月階段性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題

2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)（12月）階段性訓(xùn)練試題數(shù)學(xué)試卷本試題卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽宇筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得p，進(jìn)而求得焦點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2.若為實(shí)數(shù)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線平行條件和充分必要條件的概念可判斷結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行的充要條件是且，即且，解得.所以由充分必要條件的概念判斷可知：“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選：A3.設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（）A. B. C.15 D.40【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計(jì)算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.4.由雙曲線的兩漸近線所成的角可求其離心率的大小，初中學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)的圖象也是雙曲線，據(jù)此可求得曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的漸近線垂直得其為等軸雙曲線，從而可得離心率.【詳解】，故該曲線是由反比例函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的，所以雙曲線的兩漸近線為和，因?yàn)閮蓾u近線互相垂直，故該曲線為等軸雙曲線，所以離心率為.故選：D.5.已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等差數(shù)列 D.是等比數(shù)列【答案】C【解析】【分析】分析可知數(shù)列每一項(xiàng)都是正數(shù)，由已知條件可得出，結(jié)合等差中項(xiàng)法判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，故對(duì)任意的，，則，所以，數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，所以，，可得，由等差中項(xiàng)法可知，數(shù)列是等差數(shù)列，故選：C.6.將一個(gè)頂角為120°的等腰三角形（含邊界和內(nèi)部）的底邊三等分，挖去由兩個(gè)等分點(diǎn)和上頂點(diǎn)構(gòu)成的等邊三角形，得到與原三角形相似的兩個(gè)全等三角形，再對(duì)余下的所有三角形重復(fù)這一操作．如果這個(gè)操作過程無限繼續(xù)下去…，最后挖剩下的就是一條“雪花”狀的Koch曲線，如圖所示已知最初等腰三角形的面積為1，則經(jīng)過4次操作之后所得圖形的面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可知，每一次操作之后面積是上一次面積的，按照等比數(shù)列即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，每次挖去的三角形面積是被挖三角形面積的，所以每一次操作之后所得圖形的面積是上一次三角形面積的，由此可得，第次操作之后所得圖形的面積是，即經(jīng)過4次操作之后所得圖形的面積是.故選：A7.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為、，過作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則，利用橢圓的定義及勾股定理解得，表示出，，再利用銳角三角函數(shù)表示出，由余弦定理表示出，即可得到方程，解得，即可求出離心率.【詳解】如圖所示，設(shè)，，設(shè)，則，在中，，由橢圓定義可知，，，解得，所以，，在中，可得，在中，由余弦定理可得，，，即0，解得，所以橢圓離心率.故選：D.8.已知數(shù)列中的前項(xiàng)和為，，且對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】已知與的關(guān)系，通常利用，分類討論n為奇偶時(shí)，求，數(shù)列不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最值問題，即可求出結(jié)果.【詳解】，，時(shí)，若為偶數(shù)，，（為奇數(shù)），若為奇數(shù)且，則，所以（為偶數(shù)），為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)，，所以，為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)，所以，對(duì)任意恒成立，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題和數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)取值，考查了計(jì)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題目.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.直線與圓交于、兩點(diǎn)，則可能為（）A B.3 C. D.8【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用圓的弦長公式，求得圓心到直線的距離為，結(jié)合垂徑定理求出表達(dá)式，利用基本不等式求出范圍，結(jié)合選項(xiàng)即可判斷.【詳解】由圓，可得圓心為，半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為，則，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為，所以，又直線恒過定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即，等號(hào)成立，此時(shí)；當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即，等號(hào)成立，此時(shí)；綜上所述，.結(jié)合選項(xiàng)知，，.故選：CD.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列選項(xiàng)正確的有（）A. B.C.中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為 D.數(shù)列的前項(xiàng)和最大項(xiàng)為【答案】BCD【解析】【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)判斷A、B、C；再由的正負(fù)分界點(diǎn)，判斷最大項(xiàng)判斷D.【詳解】由題意，可得，顯然，，即為遞減數(shù)列，且，，即，故A錯(cuò)，B、C對(duì)；由題意，的前8項(xiàng)為正，第9項(xiàng)開始均為負(fù)，故最大項(xiàng)為，D對(duì).故選：BCD11.設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過拋物線C上不同的兩點(diǎn)A，B分別作C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為P，AB的中點(diǎn)為Q，則（）A.軸 B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】設(shè)切線求交點(diǎn)根據(jù)兩根之和判斷A選項(xiàng)；特殊值法判斷B,C選項(xiàng)；根據(jù)定義數(shù)形結(jié)合判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：設(shè),,,過點(diǎn)A切線為：①,過點(diǎn)B切線為:②,①②得化簡可得軸,A選項(xiàng)正確.設(shè)過A點(diǎn)的切線為,過B點(diǎn)的切線為,交點(diǎn)為AB的中點(diǎn)為，所以不垂直,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；,所以,D選項(xiàng)錯(cuò)誤;作拋物線準(zhǔn)線垂線,連接則顯然,所以

又因?yàn)橛蓲佄锞€定義,得,故知是線段的中垂線,得到則同理可證：,，所以，即,所以,即.故選:AC.12.如圖，在棱長為2的正方體中，已知M，N，P分別是棱，，的中點(diǎn)，Q為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則（）A.平面B.平面截正方體所得的截面面積為C.點(diǎn)Q的軌跡長度為D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計(jì)）的球的半徑的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到線面垂直；B選項(xiàng)，作出輔助線，找到平面截正方體所得的截面，求出面積；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到點(diǎn)Q的軌跡，并求出軌跡長度；D選項(xiàng)，由對(duì)稱性得到平面分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體對(duì)稱，由對(duì)稱性可知，球心在上，設(shè)球心為，由得到方程，求出半徑的最大值.【詳解】A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，故.設(shè)平面的法向量為，則，令得，，故，因?yàn)?，故平面，A正確；B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镸，N，P分別是棱，，的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以平面截正方體所得的截面為正六邊形，其中邊長為，故面積為，B正確；C選項(xiàng)，Q為平面上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線的夾角為，又平面，設(shè)垂足為，以為圓心，為半徑作圓，即為點(diǎn)Q的軌跡，其中，由對(duì)稱性可知，，故半徑，故點(diǎn)Q的軌跡長度為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)镸，N，P分別是棱，，的中點(diǎn)，所以平面分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體對(duì)稱，不妨求能放入含有頂點(diǎn)的空間幾何體的球的半徑最大值，該球與平面切與點(diǎn)，與平面，平面，平面相切，由對(duì)稱性可知，球心在上，設(shè)球心為，則半徑為，，故，即，解得，故球的半徑的最大值為，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】立體幾何中截面的處理思路：（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若兩條直線與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則____________.【答案】8【解析】【分析】由題意知圓心到兩直線的距離相等，得到等量關(guān)系求解即可.【詳解】由題意直線平行，且與圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以，故答案為：8.14.已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為______.【答案】【解析】【分析】對(duì)取倒數(shù)，然后結(jié)合等比數(shù)列求和公式利用累加法求解即可.【詳解】對(duì)兩邊取倒數(shù)得，即，當(dāng)時(shí)，，，，，，將以上各式累加得，又，所以，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足，所以.故答案為：15.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積，若，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為______．【答案】9【解析】【分析】先得到為等比數(shù)列，公比為，求出通項(xiàng)公式，并得到時(shí)，取得最小值.【詳解】由得，，故為等比數(shù)列，公比為，由得，解得，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，故時(shí)，取得最小值.故答案為：916.雙曲線的左焦點(diǎn)為，過作軸垂線交于點(diǎn)，過作與的一條漸近線平行的直線交于點(diǎn)，且、在軸同側(cè)，若，則的離心率為_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)，分析可知直線的斜率為，利用斜率公式可得出關(guān)于、、的齊次等式，由此可解得雙曲線的離心率.【詳解】易知點(diǎn)，將代入雙曲線的方程，可得，解得，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)作與直線平行的直線為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，因?yàn)?，則直線的傾斜角為，則，即有，即，即，所以，，所以，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓C的圓心在直線上，且該圓與x軸相切.（1）若圓C經(jīng)過點(diǎn)，求該圓的方程；（2）若圓C被直線截得的弦長為，求該圓的方程.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將圓過的點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得參數(shù)，即得答案.（2）求出圓心到直線的距離的表達(dá)式，利用圓心距、弦長、半徑之間的關(guān)系列式計(jì)算，求得參數(shù)，即可得答案.【小問1詳解】由圓C的圓心在直線上可設(shè)圓心為，由于該圓與x軸相切.，故圓的半徑，故可設(shè)圓的方程為，又圓C經(jīng)過點(diǎn)，故，即，解得或，所以圓的方程為或；【小問2詳解】由（1）知圓的方程為，圓心到直線的距離為，圓C被直線截得的弦長為，故，即，解得，故圓的方程為或.18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求得首項(xiàng)和公差，然后利用通項(xiàng)公式求出結(jié)論；（2）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，求得，進(jìn)而得到，然后利用裂項(xiàng)相消求和法求得，最后利用不等式的基本性質(zhì)證明結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)已知數(shù)列的公差為d，依題意有，解得，，.【小問2詳解】由（1）可得，，∴，，，，，累加相消得.故.19.如圖，在四棱錐中，底面四邊形ABCD滿足，，，棱PD上的點(diǎn)E滿足．（1）證明：直線平面PAB；（2）若，，且，求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接，過C做，交BD于T點(diǎn)，先利用三角形全等證得，再根據(jù)三角形的余弦定理求得BD，再由，證明平面平面即可得證.（2）根據(jù)三角形的余弦定理及邊長關(guān)系證明平面，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD，OP所在的直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，后根據(jù)線面角的坐標(biāo)求法代入即可求解.【小問1詳解】解：由題意得：連接，過C做，交BD于T點(diǎn)，如圖所示：，，又在中，解得：平面，平面，平面，平面，平面，平面又相交于點(diǎn)平面平面平面直線平面PAB【小問2詳解】連接AC交BD于O點(diǎn)在和中，由可得，即解得：，滿足，所以又又有AC交BD于O點(diǎn)，所以平面，滿足PO，CO，DO兩兩垂直故以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD，OP所在的直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，，于是有，設(shè)平面的法向量為，由取又故所求角的正弦值為所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值為.20.設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足：．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足：，．求．【答案】20.證明見解析21.【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義證明等比數(shù)列即可；（2）分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)，分別應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和即可.【小問1詳解】由；令，得，故，；因?yàn)椋渲?，，．所以?dāng)時(shí)，，兩式相減得：，整理得：，．綜上，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．【小問2詳解】由題意得：，，，，故．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，綜上：21.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且以為圓心，為半徑的圓恰好與的準(zhǔn)線相切（為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)的且斜率的直線與交于，兩點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，設(shè)的傾斜角角分別為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，化簡得，又點(diǎn)在拋物線上即，解方程即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，即可求解.【小問1詳解】由題意，所以，即，又，所以，所以，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同