高考數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練9-4直線與圓圓與圓的位置關(guān)系

核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系

1.已知點(diǎn)M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是 ()A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定2.若直線x+my=2+m與圓x2+y22x2y+1=0相交,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.(∞,+∞) B.(∞,0)C.(0,+∞) D.(∞,0)∪(0,+∞)3.圓x2+y22x+4y=0與直線2txy22t=0(t∈R)的位置關(guān)系為 導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.相離 B.相切C.相交 D.以上都有可能4.圓(x3)2+(y3)2=9上到直線3x+4y11=0的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】1.選B.因?yàn)镸(a,b)在圓O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圓心O到直線ax+by=1的距離d=QUOTE=QUOTE<1,故直線與圓O相交.2.選D.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2+(y1)2=1,圓心C(1,1),半徑r=1.因?yàn)橹本€與圓相交,所以d=QUOTE<r=1.解得m>0或m<0.3.選C.直線2txy22t=0恒過(guò)點(diǎn)(1,2),因?yàn)?2+(2)22×1+4×(2)=5<0,所以點(diǎn)(1,2)在圓x2+y22x+4y=0內(nèi),直線2txy22t=0與圓x2+y22x+4y=0相交.4.選C.如圖所示,因?yàn)閳A心到直線的距離為QUOTE=2,又因?yàn)閳A的半徑為3,所以直線與圓相交,故圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè).判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法:利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法:若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi),可判斷直線與圓相交.上述方法中最常用的是幾何法,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問(wèn)題.【秒殺絕招】第3題中,直線2txy22t=0恒過(guò)點(diǎn)(1,2),且該點(diǎn)在圓內(nèi),所以直線與圓相交.考點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系

【典例】1.(2020·鄭州模擬)已知圓C1:(x+2a)2+y2=4和圓C2:x2+(yb)2=1只有一條公切線,若a,b∈R且ab≠0,則QUOTE+QUOTE的最小值為 ()A.2 B.4 C.8 D.92.已知圓C:(x3)2+(y4)2=1與圓M關(guān)于x軸對(duì)稱,Q為圓M上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)Q到直線y=x+2的距離最小時(shí),Q的橫坐標(biāo)為 ()A.2QUOTE B.2±QUOTE C.3QUOTE D.3±QUOTE3.已知☉O:x2+y2=5與☉O1:(xa)2+y2=r2(a>0)相交于A、B兩點(diǎn),若兩圓在A點(diǎn)處的切線互相垂直,且|AB|=4,則☉O1的方程為 導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.(x4)2+y2=20 B.(x4)2+y2=50C.(x5)2+y2=20 D.(x5)2+y2=50【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由兩圓只有一條公切線聯(lián)想到兩圓相內(nèi)切2由兩圓關(guān)于x軸對(duì)稱聯(lián)想到圓心關(guān)于x軸對(duì)稱3由兩圓相交于A、B,且|AB|=4聯(lián)想到相交弦的直線方程【解析】1.選D.由題意可知,圓C1的圓心為(2a,0),半徑為2,圓C2的圓心為(0,b),半徑為1,因?yàn)閮蓤A只有一條公切線,所以兩圓內(nèi)切,所以QUOTE=21,即4a2+b2=1.所以QUOTE+QUOTE=QUOTE·(4a2+b2)=5+QUOTE+QUOTE≥5+2QUOTE=9,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,且4a2+b2=1,即a2=QUOTE,b2=QUOTE時(shí)等號(hào)成立,所以QUOTE+QUOTE的最小值為9.2.選C.圓M的方程為:(x3)2+(y+4)2=1,過(guò)M(3,4)且與直線y=x+2垂直的直線方程為y=x1,代入(x3)2+(y+4)2=1,得x=3±QUOTE,故當(dāng)Q到直線y=x+2的距離最小時(shí),Q的橫坐標(biāo)為x=3QUOTE.3.選C.依題意,得O(0,0),R=QUOTE,O1(a,0),半徑為r,兩圓在A點(diǎn)處的切線互相垂直,則由切線的性質(zhì)定理知:兩切線必過(guò)兩圓的圓心,如圖,|OC|=QUOTE=1,OA⊥O1A,OO1⊥AB,所以由直角三角形射影定理得:|OA|2=|OC|×|OO1|,即5=1×|OO1|,所以|OO1|=5,r=|AO1|=QUOTE=2QUOTE,由QUOTE=5,得a=5,所以,圓O1的方程為:(x5)2+y2=20.1.判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法,即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系,一般不采用代數(shù)法.2.若兩圓相交,則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2,y2項(xiàng)得到.3.兩圓公共弦長(zhǎng),在其中一圓中,由弦心距d,半弦長(zhǎng)QUOTE,半徑r所在線段構(gòu)成直角三角形,利用勾股定理求解.4.兩圓公共弦的垂直平分線過(guò)兩圓的圓心.已知兩圓C1:x2+y22x6y1=0和C2:x2+y210x12y+45=0.(1)求證:圓C1和圓C2相交.(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng).【解析】(1)圓C1的圓心為C1(1,3),半徑r1=QUOTE,圓C2的圓心為C2(5,6),半徑r2=4,兩圓圓心距d=|C1C2|=5,r1+r2=QUOTE+4,|r1r2|=4QUOTE,所以|r1r2|<d<r1+r2,所以圓C1和C2相交.(2)圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減,得4x+3y23=0,所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x+3y23=0.圓心C2(5,6)到直線4x+3y23=0的距離為QUOTE=3,故公共弦長(zhǎng)為2QUOTE=2QUOTE.考點(diǎn)三直線與圓的綜合問(wèn)題

命題精解讀考什么:(1)直線與圓的位置關(guān)系;(2)直線與圓相切、相交問(wèn)題;(3)圓的性質(zhì).怎么考:以選擇題和填空題為主,主要考查求切線方程、弦長(zhǎng)問(wèn)題.學(xué)霸好方法1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)判斷:圓心到直線的距離等于圓的半徑;(2)切線:已知圓的圓心C,半徑為R.過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線.①條數(shù):若點(diǎn)P在圓內(nèi),則無(wú)切線;若點(diǎn)P在圓上,則有且只有一條切線;若點(diǎn)P在圓外,則有兩條切線;②長(zhǎng)度:切線長(zhǎng)等于QUOTE.2.直線與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)當(dāng)直線與圓相交時(shí),由弦心距(圓心到直線的距離),弦長(zhǎng)的一半及半徑長(zhǎng)所表示的線段構(gòu)成一個(gè)直角三角形.(2)弦長(zhǎng)公式|AB|=QUOTE|xAxB|=QUOTE.圓的切線問(wèn)題【典例】1.已知圓的方程為x2+y2=1,則在y軸上截距為QUOTE的切線方程為()A.y=x+QUOTE B.y=x+QUOTEC.y=x+QUOTE或y=x+QUOTE D.x=1或y=x+QUOTE2.(2020·惠州模擬)過(guò)點(diǎn)A(3,4)作圓C:(x2)2+(y3)2=2的切線l,則切線l的方程為________________.

導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】1.選C.在y軸上截距為QUOTE且斜率不存在的直線顯然不是切線,故設(shè)切線方程為y=kx+QUOTE,則QUOTE=1,所以k=±1,故所求切線方程為y=x+QUOTE或y=x+QUOTE.2.設(shè)切線l的方程為y=kx+b,點(diǎn)A(3,4)在切線l上,故4=3k+b.圓C:(x2)2+(y3)2=2的圓心(2,3)到切線l的距離d=QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,解得k=1,故b=7,切線l的方程為x+y7=0.答案:x+y7=0求圓的切線方程時(shí),應(yīng)注意什么問(wèn)題?提示:應(yīng)注意切線斜率不存在的情況.圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題【典例】1.設(shè)圓x2+y22x2y2=0的圓心為C,直線l過(guò)(0,3)與圓C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2QUOTE,則直線l的方程為 導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.3x+4y12=0或4x3y+9=0B.3x+4y12=0或x=0C.4x3y+9=0或x=0D.3x4y+12=0或4x+3y+9=02.直線x+QUOTEy2=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)為________.

【解析】1.選B.當(dāng)直線l的斜率不存在,即直線l的方程為x=0時(shí),弦長(zhǎng)為2QUOTE,符合題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),可設(shè)直線l的方程為y=kx+3,由弦長(zhǎng)為2QUOTE,半徑為2可知,圓心到該直線的距離為1,從而有QUOTE=1,解得k=QUOTE,綜上,直線l的方程為x=0或3x+4y12=0.2.因?yàn)閳Ax2+y2=4的圓心為點(diǎn)(0,0),半徑r=2,所以圓心到直線x+QUOTEy2=0的距離d=QUOTE=1,所以弦長(zhǎng)|AB|=2QUOTE=2QUOTE.答案:2QUOTE圓心到弦的距離如何求?提示:如圖所示,設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB,圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d,則有關(guān)系式:|AB|=2QUOTE.與弦長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題【典例】1.若直線y=x+m與曲線y=QUOTE有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ()A.(1,1]∪{QUOTE} B.{QUOTE,QUOTE}C.[1,1)∪{QUOTE} D.(1,QUOTE]【解析】選C.y=QUOTE表示半圓,如圖所示:因?yàn)橹本€y=x+m與曲線y=QUOTE有且只有一個(gè)公共點(diǎn),①d=QUOTE=1,解得m=QUOTE,m=QUOTE(舍去)②代入(1,0)可得0=1+m,m=1,代入(1,0)可得0=1+m,m=1,結(jié)合圖象,綜上可得1≤m<1或m=QUOTE.2.已知點(diǎn)P是直線x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)P引圓x2+y2=1的切線,則切線長(zhǎng)的最小值為________. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】圓x2+y2=1的圓心為(0,0),半徑為1,要使切線長(zhǎng)最小,則只需要點(diǎn)P到圓心的距離最小.此時(shí)最小值為圓心到直線的距離d=QUOTE=QUOTE,此時(shí)切線長(zhǎng)的最小值為QUOTE=1.答案:1解決與弦長(zhǎng)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題,用什么方法最直觀?提示:數(shù)形結(jié)合的方法.1.已知直線3x+4y=b與圓x2+y22x2y+1=0相切,則實(shí)數(shù)b=________.

【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即:(x1)2+(y1)2=1,由題意可得圓心(1,1)到直線3x+4yb=0的距離為1,即QUOTE=1,解得:b=2或b=12.答案:2或122.直線xy1=0與圓x2+y2=5交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=________.

【解析】根據(jù)題意,圓x2+y2=5的圓心為(0,0),半徑為r=QUOTE,則圓心到直線xy1=0的距離為d=QUOTE=QUOTE,則|AB|=2QUOTE=3QUOTE.答案:3QUOTE1.過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線l被圓(x1)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí),直線l的斜率為 ()A.1 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.點(diǎn)(0,1)在圓(x1)2+y2=4內(nèi),要使得過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線l被圓(x1)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)最短,則該弦