【專項(xiàng)訓(xùn)練】初二數(shù)學(xué)-全等三角形的綜合應(yīng)用

第16頁(yè)全等三角形的綜合應(yīng)用全等三角形的綜合應(yīng)用一、一、?？家族e(cuò)題分析【例1】（2018秋?濱海縣期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC，垂足為D，過點(diǎn)D作DE⊥DF，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：△DBE≌△DCF；（2）連接EF，若AE＝4，F(xiàn)C＝3，求①BF的長(zhǎng)；②四邊形BFDE的面積．【解答】（1）證明：∵D是AC中點(diǎn)，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC，∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠CDF＝90°，∴∠EDB＝∠CDF，在△BED和△CFD中，∵∠EBD=∴△BED≌△CFD（ASA）；（2）解：①∵△BED≌△CFD，∴BE＝CF＝3；同理可證：△AED≌△BFD，∴AE＝BF＝4；②∵△BED≌△CFD，∴，，∴四邊形BFDE的面積＝【例2】（2017秋?雞西期末）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目：小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況?探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與的DB大小關(guān)系．請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．（2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，當(dāng)E不是AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，線段AE與的DB的大小關(guān)系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．并說明理由：（提示：過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE＝2，請(qǐng)你畫出圖形，并直接寫出CD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）AE＝DB，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴∠ABC＝60°，∠BCE＝30°，∵ED＝EC，∴∠D＝∠BCE＝30°，∴∠BED＝∠ABC﹣∠D＝30°，∴BD＝BE，∴AE＝BD，故答案為：＝；（2）AE＝DB，理由如下：作EF∥BC交AC于F，∵△ABC是等邊三角形，∴△AEF是等邊三角形，∵EF∥BC，∴∠ECB＝∠FEC，∵ED＝EC，∴∠D＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BDE，在△EDB和△CEF中，∠EDB=∴△EDB≌△CEF，∴EF＝BD，∴AE＝BD，故答案為：＝；（3）如圖①，CD＝BC+BD＝BC+AE＝3，如圖②，CD＝BD﹣BC＝AE﹣BC＝1，綜上所述，CD的長(zhǎng)為3或1．二二、鞏固練習(xí)一．選擇題（共5小題）1．（2019春?永壽縣期末）如圖，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E為BC上一點(diǎn)，∠AED＝90°，AE＝DE，則BE＝（）A．13 B．8 C．6 D．52．（2018秋?香洲區(qū)期末）如圖，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，CE＝BF，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠C＝∠B B．DF∥AE C．∠A+∠D＝90° D．CF＝BE3．（2018秋?黔東南州期末）如圖，Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，若AB＝10cm，AC＝6cm，則BE的長(zhǎng)度為（）A．10cm B．6cm C．4cm D．2cm4．（2018秋?沙河口區(qū)期末）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．作法如下：如圖所示，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點(diǎn)C的射線OC即是∠AOB的平分線．這種作法的道理是（）A．HL B．SSS C．SAS D．ASA5．（2017秋?甘南縣期末）如圖：點(diǎn)C在AB上，△DAC、△EBC均是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N，則下列結(jié)論正確的是（）①AE＝DB②CM＝CN③△CMN為等邊三角形④MN∥BCA．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二．填空題（共5小題）6．（2018秋?秦淮區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為E、F，若PE＝PF，且∠OPF＝72°，則∠AOB的度數(shù)為．7．（2018秋?海陵區(qū)期末）如圖，直線l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2與點(diǎn)D．已知l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，則線段AB的長(zhǎng)等于．8．（2018秋?如皋市校級(jí)月考）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣8，4），則B點(diǎn)的坐標(biāo)是．9．（2018秋?寧津縣校級(jí)月考）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝5，AC＝8，則AD的取值范圍是．10．（2016春?海南校級(jí)期末）如圖，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作直線l，過點(diǎn)B、D作l的垂線，垂足分別為E、F．若BE＝8，DF＝6，則EF的長(zhǎng)度等于．三．解答題（共4小題）11．（2019春?貴陽(yáng)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于E，BF⊥CE于F．（1）△AEC與△CFB全等嗎？請(qǐng)說明理由；（2）請(qǐng)說明BF，AE，EF之間的數(shù)量關(guān)系．12．（2019春?南山區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)C是線段BD上一點(diǎn)，以BC、DC為一邊在BD的同一側(cè)作等邊△ABC和等邊△ECD，連接AD，BE相交于點(diǎn)F，AC和BE交于點(diǎn)M，AD，CE交于點(diǎn)N，（注：等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都等于60°）（1）求證：AD＝BE（2）線段CM與CN相等嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論．（3）求∠BFD的度數(shù)．13．（2019春?牡丹區(qū)期末）（1）閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC邊上的中線BD的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)BD至E，使DE＝BD，連結(jié)CE，利用全等將邊AB轉(zhuǎn)化到CE，在△BCE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線BD的取值范圍．在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是；中線BD的取值范圍是．（2）問題解決：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在BC邊上，若DM⊥DN．求證：AM+CN＞MN．14．（2019春?漳州期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)P在AB邊上，CP平分∠BCD，DP平分∠ADC．（1）按三角形內(nèi)角的大小分類，試判斷△CPD的形狀，并說明理由；（2）若AB＝10，∠B＝90°，求點(diǎn)P到CD的距離．參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．【解答】解：在△ABE和△ECD中∠B=∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE＝AB＝5．∴BE＝BC﹣CE＝13﹣5＝8．故選：B．2．【解答】解：∵CE＝BF，∴CE﹣EF＝BF﹣EF，∴CF＝BE，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△CFD和Rt△BEA中，CD=ABCF=BE∴Rt△CFD≌Rt△BEA（HL），∴∠C＝∠B，∠D＝∠A，∴CD∥AB，故A，B，D正確，∵∠C+∠D＝90°，∴∠A+∠C＝90°，故C錯(cuò)誤，故選：C．3．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，CD=DEAD=AD∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝6cm，∵AB＝10cm，∴EB＝4cm．故選：C．4．【解答】解：由圖可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC為公共邊，∴△COM≌△CON，∴∠AOC＝∠BOC，即OC即是∠AOB的平分線．故選：B．5．【解答】解：∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝60°，CE＝CB，∠BCE＝60°，∴∠DCE＝60°，∠ACE＝∠BCD＝120°，在△ACE和△DCB中CA=CD∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，所以①正確；∠CAE＝∠CDB，在△ACM和△DCN中∠MAC=∴△ACM≌△DCN，∴CM＝CN，所以②正確；∵CM＝CN，∠MCN＝60°，∴△CMN為等邊三角形，∴∠CMN＝60°，∴∠CMN＝∠MCA，∴MN∥BC，所以④正確．故選：D．二．填空題（共5小題）6．【解答】解：∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為E、F，若PE＝PF，∴OP是∠AOB的角平分線．∴∠AOP＝∠BOP．∴在Rt△OPE中，∠AOP＝180°﹣∠OEP﹣∠OPE＝180°﹣90°﹣72°＝18°，∴∠BOP＝18°∠AOB＝∠AOP+BOP＝18°+18°＝36°故答案為：36°7．【解答】解：如圖，作BF⊥l3于F，AE⊥l3于E交直線BD于G．∵∠ACB＝∠CFB＝∠AEC＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，在△ACE和△CBF中，∠BFC=∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CE＝BF，CF＝AE，∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，∴CE＝BF=3，CF＝AE=4，∴BG=EF=7，AG=1，∴.8．【解答】解：過A和B分別作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵∠ADC=∴△ADC≌△CEB（AAS），∴DC＝BE，AD＝CE，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣8，4），∴OC＝3，AD＝CE＝4，OD＝8，∴CD＝OD﹣OC＝5，OE＝CE﹣OC＝4﹣3＝1，∴BE＝5，∴則B點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，5）故答案為（1，5）；9．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，∵BD=CD∠ADB=∠EDC∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝5，AC＝8，∴8﹣5＜AE＜8+5，即3＜2AD＜13，∴1.5＜AD＜6.5，故答案為：1.5＜AD＜6.5．10．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAE+∠DAF＝90°，∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF．在△ABE與△ADF中，∠AEB=∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AE＝DF，BE＝AF，∴EF=AF-AE=BE-DF=8-6=2.故答案為：2．三．解答題（共4小題）11．【解答】解：（1）全等，理由如下：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，又∵BF⊥CE于F，∴∠CBF+∠BCF＝90°．∴∠ACE＝∠CBF．在△ACE與△CBF中，∠E=∴△ACE≌△CBF（AAS）；（2）BF＝EF+AE，理由如下：由（1）知：△AEC≌△CFB，∴AE＝CF，EC＝BF，又∵EC＝EF+CF，∴EC＝EF+AE．∴EC＝BF＝EF+AE，∴BF＝EF+AE．12．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，同理：CE＝CD，∠ECD＝60°，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）解；CM＝CN，理由如下：∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACE＝60°∴∠ACB＝∠ACE，在△BCM和△ACN中，∠CBM=∴△BCM≌△ACN（ASA），∴CM＝CN；（3）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠BFD＝∠BAF+∠ABE＝∠BAC+∠CAD+∠ABE＝∠BAC+∠CBE+∠ABE＝∠BAC+∠ABC＝60°+60°＝120°．13．【解答】（1）解：∵BD是AC邊上的中線，∴AD＝CD，在△ABD和△CED中，AD=CD∠ADB=∠CDE∴△ABD≌△CED（SAS），∴CE＝AB＝10，在△CBE中，由三角形的三邊關(guān)系得：CE﹣BC＜BE＜CE+BC，∴10﹣8＜AE＜10+8，即2＜BE＜18，∴1＜BD＜9；故答案為：SAS；1＜BD＜9；（2）證明：延長(zhǎng)ND至點(diǎn)F，使FD＝ND，連接AF、MF，如圖2所示：同（1）得：△AFD≌△CND（SAS），∴AF＝CN，∵DM⊥DN，F(xiàn)D＝ND，∴MF＝MN，在△AFM中，由