高中 概率、隨機(jī)變量及其概率分布教案 知識(shí)點(diǎn)+例題+練習(xí)

教學(xué)內(nèi)容概率、隨機(jī)變量及其概率分布教學(xué)目標(biāo)掌握幾何概型、古典概型、離散型隨機(jī)變量的概率分布、均值、方差重點(diǎn)概率、隨機(jī)變量及其概率分布難點(diǎn)概率、隨機(jī)變量及其概率分布教學(xué)準(zhǔn)備教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程概率、隨機(jī)變量及其概率分布【高考考情解讀】1.該部分?？純?nèi)容有幾何概型、古典概型、離散型隨機(jī)變量的概率分布、均值、方差，常與相互獨(dú)立事件的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)交匯考查.2.從考查形式上來(lái)看，兩種題型都有可能出現(xiàn)，填空題突出考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，有時(shí)會(huì)在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題；解答題則著重考查知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查統(tǒng)計(jì)、古典概型、二項(xiàng)分布以及離散型隨機(jī)變量的概率分布等，都屬于中、低檔題．知識(shí)梳理1．隨機(jī)事件的概率(1)隨機(jī)事件的概率范圍：0≤P(A)≤1；必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0.(2)古典概型的概率P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(A中所含的基本事件數(shù),基本事件總數(shù)).(3)幾何概型的概率P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).2．條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).3．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．4．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.5．超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布．超幾何分布的模型是不放回抽樣，超幾何分布中的參數(shù)是M，N，n.6．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為x1，x2，…，xi，…，ξ取每一個(gè)值xi的概率為P(ξ＝xi)＝pi，則稱(chēng)下表：ξx1x2x3…xi…Pp1p2p3…pi…為離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布表．(2)離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布具有兩個(gè)性質(zhì)：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1,2,3，…)．(3)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望．V(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xn－E(ξ))2·pn＋…叫做隨機(jī)變量ξ的方差．(4)性質(zhì)①E(aξ＋b)＝aE(ξ)，V(aξ＋b)＝a2V(ξ)；②X～B(n，p)，則E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)；③X～兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，V(X)＝p(1－p).考點(diǎn)一古典概型與幾何概型例1已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)設(shè)集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率；(2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0，,x>0，,y>0))內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率．(1)解答有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí)．(2)在求基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性．(3)當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解．(1)(2013·江蘇)現(xiàn)有某類(lèi)病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為_(kāi)_______．(2)(2013·四川)節(jié)日前夕，小李在家門(mén)前的樹(shù)上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是________．考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)例2甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)一起參加某高校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合格者將成為該高校的預(yù)錄取生(可在高考中加分錄取)，兩次考試過(guò)程相互獨(dú)立．根據(jù)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)的平時(shí)成績(jī)分析，甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)能通過(guò)筆試的概率分別是0.6、0.5、0.4，能通過(guò)面試的概率分別是0.6、0.6、0.75.(1)求甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)中恰有一人通過(guò)筆試的概率；(2)求經(jīng)過(guò)兩次考試后，至少有一人被該高校預(yù)錄取的概率．求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的注意點(diǎn)(1)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解．(2)一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對(duì)立事件進(jìn)行求解．對(duì)于“至少”“至多”等問(wèn)題往往也用這種方法求解．(3)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：①在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同．甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是eq\f(2,3)和eq\f(3,4).假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒(méi)有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒(méi)有影響．(1)求甲射擊3次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；(2)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則停止射擊，問(wèn)：乙恰好射擊4次后，被中止射擊的概率是多少？(3)設(shè)甲連續(xù)射擊3次，用ξ表示甲擊中目標(biāo)時(shí)射擊的次數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)．考點(diǎn)三隨機(jī)變量的概率分布、均值與方差例3(2013·重慶)某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球，根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)．(1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；(2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額X的概率分布與期望E(X)．解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問(wèn)題的一般思路：(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值．(2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值．(3)根據(jù)概率分布和期望、方差公式求解．(2013·浙江)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．(1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若E(η)＝eq\f(5,3)，V(η)＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c.概率模型的應(yīng)用，需熟練掌握以下常考的五種模型：(1)基本事件的發(fā)生具有等可能性，一般可以抽象轉(zhuǎn)化為古典概型問(wèn)題，解決古典概型問(wèn)題的關(guān)鍵是分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中包含的基本事件個(gè)數(shù)m；(2)與圖形的長(zhǎng)度、面積或體積有關(guān)的概率應(yīng)用問(wèn)題，一般可以應(yīng)用幾何概型求解，即隨機(jī)事件A的概率可用“事件A包含的基本事件所占圖形的度量(長(zhǎng)度、面積或體積)”與“試驗(yàn)的基本事件所占圖形的度量(長(zhǎng)度、面積或體積)”之比表示；(3)兩個(gè)事件或幾個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生的應(yīng)用問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為互斥事件來(lái)解決，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是分清事件是否互斥；(4)事件是否發(fā)生相互不影響的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為獨(dú)立事件的概率問(wèn)題，其中在相同條件下獨(dú)立重復(fù)多次的可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布問(wèn)題，應(yīng)用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和二項(xiàng)分布公式求解；(5)有關(guān)平均值和穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，一般可抽象為隨機(jī)變量的期望與方差問(wèn)題，先求出事件在各種情況下發(fā)生的概率，再應(yīng)用公式求隨機(jī)變量的期望和方差．課堂練習(xí)1．如圖，用K、A1、A2三類(lèi)不同的元件連結(jié)成一個(gè)系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為_(kāi)_______．2．某保險(xiǎn)公司新開(kāi)設(shè)了一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，若在一年內(nèi)事件E發(fā)生，該公司要賠償a元．設(shè)在一年內(nèi)E發(fā)生的概率為p，為使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司應(yīng)要求顧客交保險(xiǎn)金為_(kāi)_______元．3．甲乙兩支球隊(duì)進(jìn)行總決賽，比賽采用七場(chǎng)四勝制，即若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則此隊(duì)為總冠軍，比賽結(jié)束．因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，每場(chǎng)比賽兩隊(duì)獲勝的可能性均為eq\f(1,2).據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，第一場(chǎng)比賽可獲得門(mén)票收入40萬(wàn)元，以后每場(chǎng)比賽門(mén)票收入比上一場(chǎng)增加10萬(wàn)元．(1)求總決賽中獲得門(mén)票總收入恰好為300萬(wàn)元的概率；(2)設(shè)總決賽中獲得的門(mén)票總收入為X，求X的均值E(X)．課后鞏固(推薦時(shí)間：60分鐘)一、填空題1．(2013·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ改編)從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是________．2．(2013·陜西改編)如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，假設(shè)其信號(hào)的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是________．3．箱中有號(hào)碼分別為1,2,3,4,5的五張卡片，從中一次隨機(jī)抽取兩張，則兩張?zhí)柎a之和為3的倍數(shù)的概率為_(kāi)_______．4．甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為_(kāi)_______．5．若從集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,4)，3，4))中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為a，從集合{－1,1，－2,2}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為b，則函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)第三象限的概率為_(kāi)_______．6．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)_______．7．花園小區(qū)內(nèi)有一塊三邊長(zhǎng)分別是5m，5m，6m的三角形綠化地，有一只小花貓?jiān)谄鋬?nèi)部玩耍，若不考慮貓的大小，則在任意指定的某時(shí)刻，小花貓與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)2m的概率是________．8．一個(gè)袋子中裝有大小相同且質(zhì)地形狀完全一樣的四張紙牌．四張牌上分別標(biāo)有數(shù)字2、3、8、10，現(xiàn)從中任取兩張牌，將牌上的數(shù)字作為對(duì)數(shù)logab的底數(shù)與真數(shù)，則所得對(duì)數(shù)logab>2的概率為_(kāi)_______．9．連續(xù)擲一枚均勻的正方體骰子(6個(gè)面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6)，現(xiàn)定義數(shù)列an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，點(diǎn)數(shù)不是3的倍數(shù)，,1，點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)，))Sn是其前n項(xiàng)和，則S5＝3的概率是________．二、解答題10．(2012·江蘇)設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的概率分布，并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ)．11．(2013·山東)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是eq\f(2,3).假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分，對(duì)方得1分．求乙隊(duì)得