數(shù)學(xué)-第14講 等腰三角形與直角三角形（解析）

第十四講——等腰三角形與直角三角形考向一等腰三角形的性質(zhì)1．（2020·青海中考真題）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是（）A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°【答案】D【分析】先根據(jù)等腰三角形的定義，分的內(nèi)角為頂角和的內(nèi)角為底角兩種情況，再分別根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】（1）當(dāng)?shù)膬?nèi)角為等腰三角形的頂角,則另外兩個(gè)內(nèi)角均為底角，它們的度數(shù)為（2）當(dāng)?shù)膬?nèi)角為等腰三角形的底角，則另兩個(gè)內(nèi)角一個(gè)為底角，一個(gè)為頂角;底角為，頂角為綜上，另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是或故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義、三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的定義，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．2．（2020·四川瀘州市·中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問(wèn)題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，，使得其中較長(zhǎng)的一段是全長(zhǎng)與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則的面積為（）A． B． C． D．

【答案】A【分析】作AF⊥BC，根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長(zhǎng)，再根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出BE、CD的長(zhǎng)度，得到中DE的長(zhǎng)，利用三角形面積公式即可解題.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，∵AB=AC，∴BF=BC=2，在Rt,AF=，∵D是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，∴即，解得CD=，同理BE=，∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，∴DE=CD-CE=4-8，∴S△ABC===，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了“黃金分割比”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及三角形的面積公式，求出DE和AF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵。1．（2020·山東濱州市·中考真題）在等腰ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A的大小為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等可求∠C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°-2×50°=80°．故答案為：80°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)．2．（2020·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題）等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4

，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是_____．【答案】10或11【分析】分3是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解即可．【詳解】解：①3是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3、3、4，∵此時(shí)能組成三角形，∴周長(zhǎng)＝3+3+4＝10；②3是底邊長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3、4、4，此時(shí)能組成三角形，所以周長(zhǎng)＝3+4+4＝11．綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是10或11．故答案為：10或11．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意，正確分情況討論是解題的關(guān)鍵．考向二等腰三角形的判定1．（2020·浙江臺(tái)州市·中考真題）如圖，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于點(diǎn)O．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）判斷△BOC的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）等腰三角形，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO，∴△BOC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．2．（2020·四川南充市·中考真題）如圖，在等腰三角形ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，則CD=（）

A． B． C．a(chǎn)-b D．b-a【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出BD=BC=AD，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：∵在等腰△ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，∴∠ABD=36°=∠A，∴BD=AD，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，∴BD=BC，

∵AB=AC=a，BC=b，∴CD=AC-AD=a-b，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出BD=BC=AD解答．1．（2020·廣東中考真題）如圖，在中，點(diǎn)，分別是、邊上的點(diǎn)，，，與相交于點(diǎn)，求證：是等腰三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】先證明，得到，，進(jìn)而得到，故可求解．【詳解】證明：在和中∴∴∴又∵∴即∴

是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與性質(zhì)．考向三等邊三角形的性質(zhì)1．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連結(jié)BD．若BD的長(zhǎng)為2，則m的值為_(kāi)____．【答案】2或2．【分析】由作圖知，點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，得到點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，求得BD垂直平分AC，設(shè)垂足為E，得到BE＝，當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的兩側(cè)時(shí)，如圖，證出BE＝DE，即可求出m；當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的同側(cè)時(shí)，如圖，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：由作圖知，點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，∵△ABC是等邊三角形，∴點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，∴BD垂直平分AC，設(shè)垂足為E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝AB·sin60°=，當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的兩側(cè)時(shí)，如圖，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；當(dāng)點(diǎn)D、B在AC的同側(cè)時(shí)，如圖，∵＝2，∴＝3，∴＝＝2，∴m＝2，綜上所述，m的值為2或2，故答案為：2或2．

【點(diǎn)睛】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想、銳角三角函數(shù)和勾股定理是解決此題的關(guān)鍵．2．（2020·吉林中考真題）如圖，是等邊三角形，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作，交折線于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，使點(diǎn)，在異側(cè)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與重疊部分圖形的面積為．（1）的長(zhǎng)為_(kāi)_____（用含的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值．（3）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）根據(jù)“路程速度時(shí)間”即可得；（2）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直的定義可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后在中，利用直角三角形的性質(zhì)列出等式求解即可得；

（3）先求出點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)x的值，再分、和三種情況，然后分別利用等邊三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)、以及三角形的面積公式求解即可得．【詳解】（1）由題意得：故答案為：；（2）如圖，和都是等邊三角形，即，在和中，在中，，即解得；（3）是等邊三角形當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，則，解得結(jié)合（2）的結(jié)論，分以下三種情況：①如圖1，當(dāng)時(shí)，重疊部分圖形為由（2）可知，等邊的邊長(zhǎng)為由等邊三角形的性質(zhì)得：PQ邊上的高為則②如圖2，當(dāng)時(shí)，重疊部分圖形為四邊形EFPQ則在中，，

在中，，即則③如圖3，當(dāng)時(shí)，重疊部分圖形為同②可知，，在中，，即則綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），依據(jù)題意，正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．1．（2020·福建中考真題）如圖，面積為1的等邊三角形中，分別是，，的中點(diǎn)，則的面積是（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可以判斷四個(gè)小三角形是全等三角形,即可判斷一個(gè)的面積是．

【詳解】∵分別是，，的中點(diǎn),且△ABC是等邊三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面積是．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及全等,關(guān)鍵在于熟練掌握等邊三角形的特殊性質(zhì)．2．（2020·浙江嘉興市·中考真題）如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，將△ABC繞它的外心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C'，則它們重疊部分的面積是（）A．2 B．343 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)重合部分是正六邊形，連接O和正六邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，所得的三角形都是全等的等邊三角形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：作AM⊥BC于M，如圖：重合部分是正六邊形，連接O和正六邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，所得的三角形都是全等的等邊三角形．∵△ABC是等邊三角形，AM⊥BC，∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，∴AM＝BM＝，∴△ABC的面積＝BC×AM＝×3×＝，

∴重疊部分的面積＝△ABC的面積＝；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心、等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解連接O和正六邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，所得的三角形都為全等的等邊三角形是關(guān)鍵．考向四等邊三角形的判定1．（2020·湖北宜昌市·中考真題）如圖，在一個(gè)池塘兩旁有一條筆直小路（B，C為小路端點(diǎn)）和一棵小樹(shù)（A為小樹(shù)位置）測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)為：米，則________米．【答案】48【分析】先說(shuō)明△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵∴∠BAC=180°-60°-60°=60°∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°∴△ABC是等邊三角形∴AC=BC=48米．故答案為48．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，證得△ABC是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵．2．（2020·四川宜賓市·中考真題）如圖，都是等邊三角形，且B，C，D在一條直線上，連結(jié)，點(diǎn)M，N分別是線段BE，AD上的兩點(diǎn)，且，則的形狀是（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．不等邊三角形【答案】C【分析】先證明，得到，根據(jù)已知條件可得，證明，得到，即可得到結(jié)果；【詳解】∵都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，又∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形．故答案選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，正確分析題目條件是解題的關(guān)鍵．1．（2020·浙江臺(tái)州市·中考真題）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點(diǎn)．分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長(zhǎng)是_____．

【答案】6【分析】先說(shuō)明△DEF是等邊三角形，再根據(jù)E，F(xiàn)是邊BC上的三等分求出BC的長(zhǎng)，最后求周長(zhǎng)即可.【詳解】解：∵等邊三角形紙片ABC∴∠B=∠C=60°∵DE∥AB，DF∥AC∴∠DEF=∠DFE=60°∴△DEF是等邊三角形∴DE=EF=DF∵E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點(diǎn),BC=6∴EF=2∴DE=EF=DF=2∴△DEF=DE+EF+DF=6故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、三等分點(diǎn)的意義，靈活應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)是正確解答本題的關(guān)鍵．2．（2020·四川中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．將Rt△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到．此時(shí)恰好點(diǎn)C在上，交AC于點(diǎn)E，則△ABE與△ABC的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，則△BCC'是等邊三角形，∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，設(shè)CE=a，則BE=a，AE=3a，求出，可求出答案．【詳解】∵∠A=30°，∠ABC=90°，∴∠ACB=60°，∵將Rt△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△A'BC'，∴BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，∴△BCC'是等邊三角形，∴∠CBC'=60°，∴∠ABA'=60°，∴∠BEA=90°，設(shè)CE=a，則BE=a，AE=3a，∴，∴，∴△ABE與△ABC的面積之比為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考向五“三線合一”

1．（2020·貴州銅仁市·中考真題）已知等邊三角形一邊上的高為2，則它的邊長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：三線合一，利用勾股定理可求解即可．【詳解】根據(jù)等邊三角形的三線合一性質(zhì)：設(shè)它的邊長(zhǎng)為x，可得：，解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理列出方程求解是解答此類問(wèn)題的常用方法．2．（2020·內(nèi)蒙古赤峰市·中考真題）如圖，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，EF是AC的垂直平分線，交AD于點(diǎn)O.若OA=3，則外接圓的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AD是BC的垂直平分線，從而可得點(diǎn)O即為外接圓的圓心，再利用圓的面積公式即可得．【詳解】，AD是的平分線，且AD是BC邊上的中線（等腰三角形的三線合一）是BC的垂直平分線是AC的垂直平分線點(diǎn)O為外接圓的圓心，OA為外接圓的半徑外接圓的面積為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、三角形外接圓，正確找出三角形外接圓的圓心是解題關(guān)鍵．

1．（2020·湖北荊門市·中考真題）中，，D為的中點(diǎn)，，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接AD，用等腰三角形的“三線合一”，得到的度數(shù)，及，由得，得，計(jì)算的面積即可．【詳解】連接AD，如圖所示：∵，且D為BC中點(diǎn)∴，且，∴中，∵∴∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，及解直角三角形和三角形面積的計(jì)算，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考向六直角三角形

1．（2020·海南中考真題）如圖，在中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在邊上，連接，則的長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，進(jìn)而得出為等邊三角形，進(jìn)而求出．【詳解】解：∵由直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可知，∴cm，又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，且，∴為等邊三角形，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，熟練掌握其性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵．2．（2020·廣東中考真題）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，，點(diǎn)，分別在射線，上，長(zhǎng)度始終保持不變，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離分別為4和2．在此滑動(dòng)過(guò)程中，貓與老鼠的距離的最小值為_(kāi)________．

【答案】【分析】根據(jù)當(dāng)、、三點(diǎn)共線，距離最小，求出BE和BD即可得出答案．【詳解】如圖當(dāng)、、三點(diǎn)共線，距離最小，∵，為的中點(diǎn)，∴，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，勾股定理，兩點(diǎn)間的距離線段最短，判斷出距離最短的情況是解題關(guān)鍵．1．（2020·貴州黔西南布依族苗族自治州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，則BD的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．【答案】【分析】首先證明DB=AD=2CD，然后再由條件BC=可得答案．【詳解】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD．

∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD．∵BC＝，∴CD＋2CD＝，∴CD＝，∴DB＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．2．（2020·山東濟(jì)寧市·中考真題）如圖，在△ABC中點(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心,∠A=60°,CD=2,BD=4．則△DBC的面積是（）A．4 B．2 C．2 D．4【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H．由點(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心，∠A=60°，得∠BDC=120°，則∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面積．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H．

∵點(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心，∠A=60°，∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，則∠BDH=60°，∵BD=4，BD：CD=2：1∴DH=2，BH=2，CD=2，∴△DBC的面積為CD?BH=×2×2=2.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的相關(guān)計(jì)算，熟練運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考向七勾股定理

1．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖1，直角三角形紙片的一條直角邊長(zhǎng)為2，剪四塊這樣的直角三角形紙片，把它們按圖2放入一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形中（紙片在結(jié)合部分不重疊無(wú)縫隙），則圖2中陰影部分面積為_(kāi)____．【答案】4．【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到直角三角形的一條直角邊的長(zhǎng)和斜邊的長(zhǎng)，從而可以得到直角三角形的另一條直角邊長(zhǎng)，再根據(jù)圖形，可知陰影部分的面積是四個(gè)直角三角形的面積，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】解：由題意可得，直角三角形的斜邊長(zhǎng)為3，一條直角邊長(zhǎng)為2，故直角三角形的另一條直角邊長(zhǎng)為：，故陰影部分的面積是：，故答案為：4.【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理解三角形，正方形的性質(zhì)，正確理解正方形的邊長(zhǎng)3與直角三角形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.2．（2020·山東煙臺(tái)市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處．若AB＝3，BC＝5，則tan∠DAE的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的長(zhǎng)，則CF可得，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x

的方程，解方程即可得到x，進(jìn)一步可得DE的長(zhǎng)，再根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴DE＝EF＝3﹣x＝，∴tan∠DAE＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理等知識(shí)，屬于?？碱}型，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理與計(jì)算是解題的關(guān)鍵．1．（2020·山東煙臺(tái)市·中考真題）如圖，為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OAn的長(zhǎng)度為（）A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1【答案】B【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長(zhǎng)，依據(jù)規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：∵△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，∴OA2＝；

∵△OA2A3為等腰直角三角形，∴OA3＝2＝；∵△OA3A4為等腰直角三角形，∴OA4＝2＝．∵△OA4A5為等腰直角三角形，∴OA5＝4＝，……∴OAn的長(zhǎng)度為（）n﹣1，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理得出是解題關(guān)鍵．2．（2020·陜西中考真題）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)，利用面積和差關(guān)系可求的面積，由三角形的面積法求高即可．【詳解】解：由勾股定理得：AC＝＝，∵S△ABC＝3×3﹣＝，∴，∴，∴BD＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．1．（2020·貴州銅仁市·中考真題）已知m、n、4分別是等腰三角形(非等邊三角形)三邊的長(zhǎng)，且m、n是關(guān)于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的兩個(gè)根，則k的值等于()A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6【答案】B

【分析】當(dāng)m=4或n=4時(shí)，即x=4，代入方程即可得到結(jié)論，當(dāng)m=n時(shí)，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到結(jié)論．【詳解】當(dāng)m=4或n=4時(shí)，即x=4，∴方程為42﹣6×4+k+2=0，解得：k=6；當(dāng)m=n時(shí)，﹣6+k+2=0∵，，，∴，解得：，綜上所述，k的值等于6或7，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根、根的判別式以及等腰三角形的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得出方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2或方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．2．（2020·廣西中考真題）如圖，在中，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCA，進(jìn)而求得∠ACD，由作圖痕跡可知CE為∠ACD的平分線，利用角平分線定義求解即可．【詳解】∵在中，，∴，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，由作圖痕跡可知CE為∠ACD的平分線，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義和作法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的尺規(guī)作圖法是解答的關(guān)鍵．3．（2020·四川中考真題）已知：等腰直角三角形ABC的腰長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在斜邊AB上，點(diǎn)P為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PC＝2，則PM的最小值為（）A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2【答案】B

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到斜邊AB＝4，由已知條件得到點(diǎn)P在以C為圓心，PC為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)P在斜邊AB的中線上時(shí)，PM的值最小，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰長(zhǎng)為4，∴斜邊AB＝4，∵點(diǎn)P為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PC＝2，∴點(diǎn)P在以C為圓心，PC為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)P在斜邊AB的中線上時(shí)，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM＝AB＝2，∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線段最小值問(wèn)題，涉及等腰三角形的性質(zhì)和點(diǎn)到圓的距離，解題的關(guān)鍵是能夠畫出圖形找到取最小值的狀態(tài)然后求解．4．（2020·山東濟(jì)寧市·中考真題）一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北航行，2小時(shí)后到達(dá)海島B處．燈塔C在海島在海島A的北偏西42°方向上，在海島B的北偏西84°方向上．則海島B到燈塔C的距離是（）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠C=∠CAB=42°，根據(jù)等角對(duì)等邊得出BC=AB，求出AB即可．【詳解】解：∵根據(jù)題意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，∴BC=AB，

∵AB=15海里/時(shí)×2時(shí)=30海里，∴BC=30海里，即海島B到燈塔C的距離是30海里．故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定和三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是求出∠C=∠CAB，題目比較典型，難度不大．5．（2020·湖南張家界市·中考真題）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩根，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．8 D．2或4【答案】A【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的邊長(zhǎng)，用三角形存在的條件分類討論邊長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，2，4時(shí)，不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，4，4時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)能組成三角形，所以三角形的底邊長(zhǎng)為2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解一元二次方程，能求出方程的解并能夠判斷三角形三邊存在的條件是解此題的關(guān)鍵．6．（2020·重慶中考真題）如圖，三角形紙片ABC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把沿著AD翻折，得到，DE與AC交于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F.若，，，的面積為2，則點(diǎn)F到BC的距離為()A． B． C． D．

【答案】B【分析】首先求出ABD的面積．根據(jù)三角形的面積公式求出DF，設(shè)點(diǎn)F到BD的距離為h，根據(jù)?BD?h＝?BF?DF，求出BD即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝2，∴S△ADE＝4，由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，∴?（AF+DF）?BF＝4，∴?（3+DF）?2＝4，∴DF＝1，∴DB＝＝＝，設(shè)點(diǎn)F到BD的距離為h，則?BD?h＝?BF?DF，∴h＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，三角形的面積，勾股定理二次根式的運(yùn)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．7．（2020·黑龍江綏化市·中考真題）在中，，若，則的長(zhǎng)是________．【答案】17【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理列出方程即可求解．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，∴AC2+BC2=AB2，

即（AB-2）2+82=AB2，解得AB=17．故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解答的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的定義及其在直角三角形中的表示形式．8．（2020·貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）如圖所示，在四邊形中，，，．連接，，若，則長(zhǎng)度是_________．【答案】10【分析】根據(jù)直角三角形的邊角間關(guān)系，先計(jì)算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．【詳解】解：在中，

∵，∴．在中，．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的邊角間關(guān)系，求出AC是解決本題的關(guān)鍵．9．（2020·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn)，若BC=12，AD=8，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】5【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=6，∴∠ADB=90°，∴AB=，∵E為AB的中點(diǎn)，∴DE=AB=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．10．（2020·四川雅安市·中考真題）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線交于點(diǎn)．若，則__________．

【答案】20【分析】由垂美四邊形的定義可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，從而求解.【詳解】∵四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2，∵AD=2，BC=4，∴AD2+BC2=22+42=20，故答案為：20.【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并熟練運(yùn)用勾股定理.11．（2020·江蘇常州市·中考真題）如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)E、F．若是等邊三角形，則_________°．【答案】30【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到∠B=∠BCF，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠AFC=60°，從而可得∠B.【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF為等邊三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.故答案為：30.【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得到∠B=∠BCF.12．（2020·天津中考真題）如圖，的頂點(diǎn)C在等邊的邊上，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，G為的中點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．

【答案】【分析】延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)M（圖見(jiàn)詳解），根據(jù)平行四邊形與等邊三角形的性質(zhì)，可證△CFM是等邊三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)，可得出CG=，代入數(shù)值即可得出答案．【詳解】解：如下圖所示，延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)M，，，平行四邊形的頂點(diǎn)C在等邊的邊上，，是等邊三角形，．在平行四邊形中，，，又是等邊三角形，，．G為的中點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，且是的中位線，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、中位線等知識(shí)點(diǎn)，延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)M，利用平行四邊形、等邊三角形性質(zhì)求出相應(yīng)的線段長(zhǎng)，證出是的中位線是解題的關(guān)鍵．13．（2020·湖北襄陽(yáng)市·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，則∠C=_______．【答案】40°

【解析】∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B==80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，∵AD=DC，∴∠C==40°．14．（2020·湖北武漢市·中考真題）如圖，折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，為折痕，，．設(shè)的長(zhǎng)為，用含有的式子表示四邊形的面積是________．【答案】【分析】首先根據(jù)題意可以設(shè)DE=EM=x，在三角形AEM中用勾股定理進(jìn)一步可以用t表示出x，再可以設(shè)CF=y，連接MF，所以BF=2?y，在三角形MFN與三角形MFB中利用共用斜邊，根據(jù)勾股定理可求出用t表示出y，進(jìn)而根據(jù)四邊形的面積公式可以求出答案.【詳解】設(shè)DE=EM=x，∴，∴x=，設(shè)CF=y，連接FM，∴BF=2?y，又∵FN=y，NM=1，∴，∴y=，∴四邊形的面積為：=?1，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的綜合運(yùn)用，熟練掌握技巧性就可得出答案.15．（2020·遼寧阜新市·中考真題）如圖，在中，，．將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到，則邊的中點(diǎn)D與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離是____________．

【答案】【分析】先由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明：為等邊三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，分別為的中點(diǎn)，為等邊三角形，為中點(diǎn)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．（2020·貴州貴陽(yáng)市·中考真題）如圖，中，點(diǎn)在邊上，，，垂直于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，則邊的長(zhǎng)為_(kāi)____．

【答案】【分析】如圖，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)G，使DG=BD，連接CG，則由線段垂直平分線的性質(zhì)可得CB=CG，在EG上截取EF=EC，連接CF，則∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和等腰三角形的判定可得FC=FG，設(shè)CE=EF=x，則可根據(jù)線段間的和差關(guān)系求出DF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出FC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可求出CD的長(zhǎng)，再一次運(yùn)用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)G，使DG=BD，連接CG，則CB=CG，在EG上截取EF=EC，連接CF，則∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，∵∠AEB=∠CEF，∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，∵∠EFC=∠G+∠FCG，∴∠G=∠FCG，∴FC=FG，設(shè)CE=EF=x，則AE=BE=11－x，∴DE=8－（11－x）=x－3，∴DF=x－（x－3）=3，∵DG=DB=8，∴FG=5，∴CF=5，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，得，

∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)、勾股定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，具有一定的難度，正確添加輔助線、靈活應(yīng)用上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．（2020·湖北中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點(diǎn)．若，連接，則的最大值與最小值的差為_(kāi)____．【答案】12【分析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，

∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．

∴則的最大值與最小值的差為12．故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等與三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵在于添加輔助線構(gòu)建全等三角形把AD轉(zhuǎn)化為BE從而求解，是一道較好的中考題．18．（2020·江西中考真題）如圖，平分，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為_(kāi)_________．

【答案】【分析】如圖，連接，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)利用等腰三角形的三線合一證明是的垂直平分線，從而得到再次利用等腰三角形的性質(zhì)得到：從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)平分，，是的垂直平分線，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．19．（2020·遼寧大連市·中考真題）如圖，中，，點(diǎn)在邊上，．求證．【答案】證明見(jiàn)解析．

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)三角形的判定與性質(zhì)即可得證．【詳解】，，，，即，在和中，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（2020·山東煙臺(tái)市·中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．（問(wèn)題解決）（1）如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；（類比探究）（2）如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）FC＝CD+CE，見(jiàn)解析【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易證△CEH是等邊三角形，得出EH＝EC＝CH，證明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)D作DG∥AB，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由平行線的性質(zhì)易證∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD為等邊三角形，則DG＝CD＝CG，證明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．【詳解】（1）證明：在CD上截取CH＝CE，如圖1所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等邊三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，

在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；（2）解：線段CE，CF與CD之間的等量關(guān)系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，過(guò)D作DG∥AB，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD為等邊三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF為等邊三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；作輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵．21．（2020·黑龍江牡丹江市·朝鮮族學(xué)校中考真題）等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=45o，以AC為腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD為90o，請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出點(diǎn)B到CD的距離．【答案】畫出圖形見(jiàn)解析；點(diǎn)B到CD的距離為2或．【分析】根據(jù)題目描述可以作出兩個(gè)圖形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)分別進(jìn)行求解即可．【詳解】本題有兩種情況：（1）如圖，

∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴點(diǎn)B到CD的距離等于點(diǎn)A到CD的距離，過(guò)點(diǎn)A作，∵，∴，∴點(diǎn)B到CD的距離為2；（2）如圖：∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴點(diǎn)B到CD的距離即BE的長(zhǎng)，∵，∴，∴，即點(diǎn)B到CD的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目描述作出兩個(gè)圖形是解題的關(guān)鍵．22．（2020·湖北荊門市·中考真題）如圖，中，，的平分線交于D，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的長(zhǎng)．

【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)求出，，再根據(jù)垂直與外角的性質(zhì)即可求出；（2）根據(jù)題意證明，再得到為等邊三角形，故可得到，可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出AF．【詳解】（1）∵，，∴．∵平分，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，又，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，在中，．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用．23．（2020·浙江紹興市·中考真題）問(wèn)題：如圖，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度數(shù)．答案：∠DAC＝45°思考：（1）如果把以上“問(wèn)題”中的條件“∠B＝45°”去掉，其余條件不變，那么∠DAC的度數(shù)會(huì)改變嗎？說(shuō)明理由；（2）如果把以上“問(wèn)題”中的條件“∠B＝45°”去掉，再將“∠BAE＝90°”改為“∠BAE＝n°”，其余條件不變，求∠DAC的度數(shù)．

【答案】（1）∠DAC的度數(shù)不會(huì)改變，值為45°；（2）n°．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°-∠BAD＝90°-（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到結(jié)論；（2）設(shè)∠ABC＝m°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∠DAC的度數(shù)不會(huì)改變；∵EA＝EC，∴∠AED＝2∠C，①∵∠BAE＝90°，∴∠BAD＝[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；（2）設(shè)∠ABC＝m°，則∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠AEB＝90°﹣n°﹣m°，∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．1．（2020·河北中考真題）如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案．現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復(fù)選?。┌磮D的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理，，則小的兩個(gè)正方形的面積等于大三角形的面積，再分別進(jìn)行判斷，即可得到面積最大的三角形．

【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，由勾股定理，得，A、∵1+4=5，則兩直角邊分別為：1和2，則面積為：；B、∵2+3=5，則兩直角邊分別為：和，則面積為：；C、∵3+4≠5，則不符合題意；D、∵2+2=4，則兩直角邊分別為：和，則面積為：；∵，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，以及正方形的性質(zhì)進(jìn)行解題．2．（2020·貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于4，一邊長(zhǎng)等于9，則它的周長(zhǎng)為（）A．9 B．17或22 C．17 D．22【答案】D【分析】分類討論腰為4和腰為9，再應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行取舍即可．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)腰為4時(shí)，，所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰為9時(shí)，，所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．3．（2020·浙江寧波市·中考真題）△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi)．若求五邊形DECHF的周長(zhǎng)，則只需知道（）A．△ABC的周長(zhǎng)B．△AFH的周長(zhǎng)C．四邊形FBGH的周長(zhǎng)D．四邊形ADEC的周長(zhǎng)【答案】A【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，進(jìn)而可根據(jù)AAS證明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH

，然后根據(jù)等量代換和線段間的和差關(guān)系即可推出五邊形DECHF的周長(zhǎng)＝AB+BC，從而可得結(jié)論．【詳解】解：∵△GFH為等邊三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，∴BE＝FH，∴五邊形DECHF的周長(zhǎng)＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周長(zhǎng)即可．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及多邊形的周長(zhǎng)問(wèn)題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2020·福建中考真題）如圖，是等腰三角形的頂角平分線，，則等于（）A．10 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可判斷CD的長(zhǎng)．【詳解】∵是等腰三角形的頂角平分線∴CD=BD=5．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的三線合一，關(guān)鍵在于熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)．5．（2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題）如圖，的垂直平分線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）

A．25° B．20° C．30° D．15°【答案】D【分析】根據(jù)等要三角形的性質(zhì)得到∠ABC，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出∠ABD，從而可得結(jié)果．【詳解】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°，∴∠A=180°-65°×2=50°，∵M(jìn)N垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的性質(zhì)定理．6．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，將BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），得到BP，連結(jié)CP，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CP交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連結(jié)AP，則∠PAH的度數(shù)（）A．隨著θ的增大而增大B．隨著θ的增大而減小C．不變D．隨著θ的增大，先增大后減小【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性質(zhì)可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．【詳解】解：∵將BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度數(shù)是定值，故選：C．【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．7．（2020·遼寧盤錦市·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一道有趣的問(wèn)題．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何．譯為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？設(shè)蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是尺．根據(jù)題意，可列方程為（）A．B．C． D．【答案】B【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是尺，根據(jù)勾股定理即可得出答案．【詳解】解：設(shè)蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是尺，如下圖則，，在中，即故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為勾股定理問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．8．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）如圖，把某矩形紙片沿，折疊（點(diǎn)E、H在邊上，點(diǎn)F，G在邊上），使點(diǎn)B和點(diǎn)C落在邊上同一點(diǎn)P處，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為、D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，若，為8，的面積為2，則矩形的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．

【答案】D【分析】設(shè)AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因?yàn)椤鰽′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分別求出PE和PH，從而得出AD的長(zhǎng).【詳解】解：∵四邊形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，設(shè)AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面積為8，△D′PH的面積為2，

又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′PD′=90°，則∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，∴D′H=x，∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，∴x=2（負(fù)根舍棄），

∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，∴PE=，PH=，∴AD==，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．9．（2020·山東青島市·中考真題）如圖，將矩形折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)重合，折痕為，與交于點(diǎn)若，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明再求解利用軸對(duì)稱可得答案．【詳解】解：由對(duì)折可得：矩形，BC=8

由對(duì)折得：故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2020·江蘇無(wú)錫市·中考真題）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)在邊上，，線段在邊上運(yùn)動(dòng)，，有下列結(jié)論：①與可能相等；②與可能相似；③四邊形面積的最大值為；④四邊形周長(zhǎng)的最小值為．其中，正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【答案】D【分析】①通過(guò)分析圖形，由線段在邊上運(yùn)動(dòng)，可得出，即可判斷出與不可能相等；②假設(shè)與相似，設(shè)，利用相似三角形的性質(zhì)得出的值，再與的取值范圍進(jìn)行比較，即可判斷相似是否成立；③過(guò)P作PE⊥BC于E，過(guò)F作DF⊥AB于F，利用函數(shù)求四邊形面積的最大值，設(shè)，可表示出，，可用函數(shù)表示出，，再根據(jù)，依據(jù)，即可得到四邊形面積的最大值；④作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)D1，作D1D2∥PQ，連接CD2交AB于點(diǎn)P′，在射線P′A上取P′Q′=PQ，此時(shí)四邊形P′CDQ′的周長(zhǎng)為：，其值最小，再由D1Q′=DQ′=D2P′，，且∠AD1D2=120°，∠D2AC=90°，可得的最小值，即可得解．【詳解】解：①∵線段在邊上運(yùn)動(dòng)，，

∴,∴與不可能相等，則①錯(cuò)誤；②設(shè)，∵，，∴，即，假設(shè)與相似，∵∠A=∠B=60°，∴，即，從而得到，解得或（經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根），又，∴解得的或符合題意，即與可能相似，則②正確；③如圖，過(guò)P作PE⊥BC于E，過(guò)D作DF⊥AB于F，設(shè)，由，，得，即，∴，∵∠B=60°，∴，∵，∠A=60°，∴,則，，∴四邊形面積為：,又∵，∴當(dāng)時(shí)，四邊形面積最大，最大值為：，即四邊形面積最大值為，則③正確；④如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)D1，作D1D2∥PQ，連接CD2交AB于點(diǎn)P′，在射線P′A上取P′Q′=PQ，此時(shí)四邊形P′CDQ′的周長(zhǎng)為：，其值最小，

∴D1Q′=DQ′=D2P′，，且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB=120°，∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，∴，在Rt△AD2C中，由勾股定理可得，，∴四邊形P′CDQ′的周長(zhǎng)為：，則④錯(cuò)誤，所以可得②③正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、利用函數(shù)求最值、動(dòng)點(diǎn)變化問(wèn)題等知識(shí)．解題關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)用函數(shù)求最值、作對(duì)稱點(diǎn)求最短距離，即可得解．11．（2020·湖北黃岡市·中考真題）已知：如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，則_______度．【答案】40【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，故，由三角形的內(nèi)角和即可求解的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∴，

∵，∴，∴，故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和，熟練掌握幾何知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．12．（2020·湖南岳陽(yáng)市·中考真題）如圖：在中，是斜邊上的中線，若，則_________．【答案】【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，則有，最后利用三角形外角的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】∵在中，是斜邊上的中線，，∴．∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2020·遼寧阜新市·中考真題）如圖，在中，，．將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到，則邊的中點(diǎn)D與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離是____________．【答案】【分析】先由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明：為等邊三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，分別為的中點(diǎn)，為等邊三角形，

為中點(diǎn)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2020·湖南邵陽(yáng)市·中考真題）如圖，在中，，斜邊，過(guò)點(diǎn)C作，以為邊作菱形，若，則的面積為_(kāi)_______．【答案】【分析】如下圖，先利用直角三角形中30°角的性質(zhì)求出HE的長(zhǎng)度，然后利用平行線間的距離處處相等，可得CG的長(zhǎng)度，即可求出直角三角形ABC面積．【詳解】如圖，分別過(guò)點(diǎn)E、C作EH、CG垂直AB，垂足為點(diǎn)H、G，∵根據(jù)題意四邊形ABEF為菱形，∴AB=BE=，

又∵∠ABE=30°∴在RT△BHE中，EH=，根據(jù)題意，AB∥CF，根據(jù)平行線間的距離處處相等，∴HE=CG=，∴的面積為．【點(diǎn)睛】本題的輔助線是解答本題的關(guān)鍵，通過(guò)輔助線，利用直角三角形中的30°角所對(duì)直角邊是斜邊一半的性質(zhì)，求出HE，再利用平行線間的距離處處相等這一知識(shí)點(diǎn)得到HE=CG，最終求出直角三角形面積．15．（2020·遼寧丹東市·中考真題）如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，連接，，，若，則的面積是_________．【答案】．【分析】由題可得△ACD為等腰直角三角形，CD=8，可求出AD=AC=，點(diǎn)和點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理和直角三角形斜邊中線定理可得到EF=AD，BE=AC，從而得到EF=EB，又，得∠CAB=15°，∠CEB=30°進(jìn)一步得到∠FEB=120°，又△EFB為等腰三角形，所以∠EFB=∠EBF=30°，過(guò)E作EH垂直于BF于H點(diǎn)，在Rt△EFH中，解直角三角形求出EH，F(xiàn)H,以BF為底，EH為高，即可求出△BEF的面積．【詳解】解：∵，，∴△ADC為等腰直角三角，∵CD=8，∴AD=AC=CD=，∵E,F為AC，DC的中點(diǎn)，∴FE∥AD，EF=AD=，∴BE=AC=，∵AD=AC，∴EF=EB，△EFB為等腰三角形，又∵EF∥AD，∴EF⊥AC，∴∠FEC=90°，又EB=EA，∴∠EAB=∠EBA=105°－90°=15°，∴∠CEB=30°，∴∠FEB=120°，∴∠EFB=∠EBF=30°，

過(guò)E作EH垂直于BF于H點(diǎn)，∴BH=FH，在Rt△EFH中，∵∠EFH=30°，∴EH=EF·sin30°=×=，F(xiàn)H=EF·cos30°=×=，∴BF=2×=，∴SBEF=BF·EH=××=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線定理，解直角三角形。正確的運(yùn)用解題方法求出相關(guān)線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．16．（2020·黑龍江牡丹江市·中考真題）如圖，在中，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接．則下列結(jié)論中：①；②；③；④；⑤若平分，則；⑥，正確的有___________．（只填序號(hào)）【答案】①②③④⑤⑥【分析】證明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判斷①；再證明△BFM≌△CEM，從而判斷△EMF為等腰直角三角形，得到EF=EM，可判斷③，同時(shí)得到∠MEF=∠MFE=45°，可判斷②；再證明△DFM≌△NEM，得到△DMN為等腰直角三角形，得到DN=DM

，可判斷④；根據(jù)角平分線的定義可逐步推斷出DE=EM，再證明△ADE≌△ACE，得到DE=CE，則有，從而判斷⑤；最后證明△CDM∽ADE，得到，結(jié)合BM=CM，AE=CF，可判斷⑥.【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ACE=∠CBF，又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF=CE，故①正確；由全等可得：AE=CF，BF=CE，∴AE-CE=CF=CE=EF，連接FM，CM，∵點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，∴CM=AB=BM=AM，CM⊥AB，在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE，∴△BFM≌△CEM，∴FM=EM，∠BMF=∠CME，∵∠BMC=90°，∴∠EMF=90°，即△EMF為等腰直角三角形，∴EF=EM=，故③正確，∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°，∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正確，設(shè)AE與CM交于點(diǎn)N，連接DN，∵∠DMF=∠NME，F(xiàn)M=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，∴△DFM≌△NEM，∴DF=EN，DM=MN，∴△DMN為等腰直角三角形，∴DN=DM，而∠DEA=90°，∴，故④正確；∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=45°，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°，∵∠DEM=45°，∴∠EMD=67.5°，即DE=EM，∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE，∴△ADE≌△ACE，∴DE=CE，∵△MEF為等腰直角三角形，∴EF=，∴，故⑤正確；∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°，∴△CDM∽ADE，∴，∵BM=CM，AE=CF，∴，∴，故⑥正確；故答案為：①②③④⑤⑥.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等量代換，難度較大，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，找到全等三角形說(shuō)明角相等和線段相等.17．（2020·四川廣元市·中考真題）如圖所示，均為等邊三角形，邊長(zhǎng)分別為，B、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，則下列結(jié)論正確的________________．（填序號(hào)）①②③為等邊三角形④⑤CM平分【答案】①②③⑤【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，則∠ACE＝60°，利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE，則AD＝BE；②過(guò)E作,根據(jù)等邊三角形求出ED、CN的長(zhǎng)，即可求出BE的長(zhǎng)；③由等邊三角形的判定得出△CMN是等邊三角形；④證明△DMC∽△DBA，求出CM長(zhǎng)；⑤證明M、F、C、G四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD.【詳解】解：連接MC，F(xiàn)G，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BD，垂足為N，①∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，

在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；①正確；②∵△CDE都是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為3cm.∴CN=cm，EN=cm.∵BC=5cm.∴，②正確；③∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACG和△BCF中，∴△ACG≌△BCF（ASA），∴CG＝CF而∠GCF＝60°，∴△CFG是等邊三角形，③正確；⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG，∴M、F、C、G四點(diǎn)共圓，∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，∴∠BMC＝∠DMC，∴CM平分∠BMD，⑤正確；④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA∴△DMC∽△DBA∴∴∴CM=.④錯(cuò)誤.故答案為：①②③⑤.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．18．（2020·江蘇常州市·中考真題）如圖，在中，，D、E分別是、的中點(diǎn)，連接，在直線和直線上分別取點(diǎn)F、G，連接、．若，且直線與直線互相垂直，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．

【答案】4或2【分析】分當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，兩種情況，分別畫出圖形，結(jié)合三角函數(shù)，勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FM∥DG，交直線BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DE，交直線DE于點(diǎn)N，∵D，E分別是AB和AC中點(diǎn)，AB=，∴DE∥BC，BD=AD=，∠FBM=∠BFD，∴四邊形DGMF為平行四邊形，則DG=FM，∵DG⊥BF，BF=3DG，∴∠BFM=90°，∴tan∠FBM==tan∠BFD，∴，∵∠ABC=45°=∠BDN，∴△BDN為等腰直角三角形，∴BN=DN=，∴FN=3BN=9，DF=GM=6，∵BF==，∴FM==，∴BM=，∴BG=10-6=4；當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DE，交直線DE于N，過(guò)點(diǎn)B作BM∥DG，交直線DE于M，延長(zhǎng)FB和DG，交點(diǎn)為H，可知：∠H=∠FBM=90°，四邊形BMDG為平行四邊形，∴BG=MD，BM=DG，∵BF=3DG，∴tan∠BFD=，同理可得：△BDN為等腰直角三角形，BN=DN=3，∴FN=3BN=9，∴BF=，

設(shè)MN=x，則MD=3-x，F(xiàn)M=9+x，在Rt△BFM和Rt△BMN中，有，即，解得：x=1，即MN=1，∴BG=MD=ND-MN=2.綜上：BG的值為4或2.故答案為：4或2.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，分清情況.19．（2020·貴州黔東南苗族侗族自治州·中考真題）如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展運(yùn)用（2）若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長(zhǎng)．（3）若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長(zhǎng)．【答案】（1）全等，理由見(jiàn)解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面積為，AD＝．【分析】（1）依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)，可得BD的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF

的長(zhǎng)，由三角形面積公式可得△ACD的面積，最后根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如圖3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE都是等邊三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt