高等數(shù)學(xué)：拉普拉斯變換

拉普拉斯變換11.1拉普拉斯變換的概念與性質(zhì)11.2拉氏逆變換及拉氏變換的應(yīng)用本章小結(jié)

11.1拉普拉斯變換的概念與性質(zhì)

一、拉普拉斯變換的概念在數(shù)學(xué)運(yùn)算中,為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)換為較簡單的運(yùn)算,常常采用某種變換方法,例如我們熟悉的對數(shù)變換.借助于對數(shù)變換可將乘方、開方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘除運(yùn)算,將乘除運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加減運(yùn)算.本節(jié)要介紹的拉普拉斯變換是將微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程.

定義11-1設(shè)函數(shù)f(t)在t≥0時(shí)有定義,若反常積分

在s的某一區(qū)域內(nèi)收斂,則該積分確定了一個(gè)以s為自變量的新函數(shù),記作F(s),即

式(11-1)稱為f(t)的拉氏變換式,記作L

[f(t)],即

函數(shù)F(s)稱為f(t)的拉氏變換(f(t)的象函數(shù)),f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換F(s)的象原函數(shù)),記作

注:

(1)拉氏變換中,只要求f(t)在t≥0時(shí)有定義.為了研究方便,以后總假定t<0時(shí),f(t)≡0.

(2)拉氏變換是一種積分變換,一般說來,在科學(xué)技術(shù)中遇到的函數(shù)的拉氏變換總是存在的.

(3)參數(shù)s可在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值.為方便起見,本章我們把s作為實(shí)數(shù)來討論,這并不影響對拉氏變換性質(zhì)的研究和應(yīng)用.

二、拉氏變換的性質(zhì)

性質(zhì)11-1(線性性質(zhì))若a1、a2是常數(shù),則

同樣,拉氏逆變換也具有線性性質(zhì),即

例11-5求函數(shù)f(t)=1-e-at+2t的拉氏變換.

解

性質(zhì)11-2(平移性質(zhì))若L

[f(t)]=F(s),則

可見,對象原函數(shù)f(t)乘以eat,相當(dāng)于對象函數(shù)F(s)作位移a.同樣可得

性質(zhì)11-3(延滯性質(zhì))若L

[f(t)]=F(s),則對于τ>0,有

注:將函數(shù)f(t-τ)與f(t)比較,f(t)是從t=0開始有非零數(shù)值,而f(t)則是從t=τ開始才有非零數(shù)值,即延遲了時(shí)間τ.從它們的圖像來看,f(t)的圖像由f(t)的圖像沿t軸向右平移距離τ而得,如圖11-1可得.

這個(gè)性質(zhì)表明,函數(shù)f(t)延遲時(shí)間τ的拉氏變換等于它的象函數(shù)F(s)乘以指數(shù)因子e-τs.圖11-1

性質(zhì)11-4(微分性質(zhì))若

即函數(shù)導(dǎo)數(shù)的拉氏變換等于這個(gè)函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù)s,再減去函數(shù)的初始值.

一般地,有

特別地,如果

則有

性質(zhì)11-5(積分性質(zhì))若L

[f(t)]=F(s)(s≠0)且f(t)連續(xù),則

從拉氏變換的微分、積分性質(zhì)可以看出,經(jīng)過拉氏變換后,可將函數(shù)的微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.這是拉氏變換的一個(gè)重要特點(diǎn).

三、單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換

1.單位脈沖函數(shù)(狄拉克函數(shù))

在許多實(shí)際問題中,常常會(huì)遇到具有沖擊性質(zhì)的量,如在一瞬間的大作用力或超高壓.這些物理現(xiàn)象都具有脈沖的性質(zhì).研究這類問題,不能用普通的函數(shù)表示,為此我們介紹一類特殊函數(shù).

定義11-2設(shè)

當(dāng)ε→0時(shí),函數(shù)序列δε(t)的極限

稱為狄拉克函數(shù),簡記為δ函數(shù),工程技術(shù)中常稱之為單位脈沖函數(shù).

當(dāng)t≠0時(shí),δ(t)=0;當(dāng)t=0時(shí),δ(t)的值為正無窮大,即

δε(t)的圖形如圖11-2所示.顯然對任何ε>0,均有

所以我們規(guī)定圖11-2

有些工程書中將δ函數(shù)用一個(gè)長度等于1的有向線段來表示(見圖11-3).這個(gè)線段的長度表示δ函數(shù)的積分,叫做δ函數(shù)的強(qiáng)度.圖11-3

δ函數(shù)有下述重要性質(zhì)(也稱為δ函數(shù)的篩選性質(zhì)):

設(shè)f(t)是(-∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù),則δ(t)f(t)在(-∞,+∞)上的積分等于f(t)在t=0處的函數(shù)值,即

注:δ函數(shù)是一個(gè)廣義函數(shù),它沒有普通意義下的函數(shù)值,不能用通常意義下“值的對應(yīng)關(guān)系”來定義.

2.單位脈沖函數(shù)δ(t)的拉氏變換

對單位脈沖函數(shù)作拉氏變換時(shí),有以下兩種方法:

現(xiàn)將拉氏變換的幾個(gè)性質(zhì)和在實(shí)際應(yīng)用中常用的一些函數(shù)的象函數(shù)分別列于表11-1和表11-2.

11.2拉氏逆變換及拉氏變換的應(yīng)用

一、拉氏逆變換的求法例11-9求下列象函數(shù)F(s)的逆變換:

二、拉氏變換的應(yīng)用舉例

例11-12求微分方程x'(t)+2x(t)=0滿足初始條件x(0)=3的解.

第二步,解出X(s),即

第三步,求象函數(shù)的拉氏逆變換,即

因此微分方程的解為

由例4可知,用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程的方法的運(yùn)算過程如圖11-4所示.圖11-4

本章小結(jié)

一、拉普拉斯變換的概念設(shè)函數(shù)f(t)在t≥0時(shí)有定義,反常積分的某一區(qū)域內(nèi)收斂,則函數(shù)f(t)的拉氏變換式為函數(shù)F(s)稱為f(t)的拉氏變換(f(t)的象函數(shù)),f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換(F(s)的象原函數(shù)),記作

二、拉氏變換的性質(zhì)

1)線性性質(zhì)若a1、a2是常數(shù),則

同樣,拉氏逆變換也具有線性性質(zhì),即

2)平移性質(zhì)

若L

[f(t)]=F(s),則

3)延滯性質(zhì)

若L

[f(t)]=F(s),則對于τ>0,有

三、單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換

1)單位脈沖函數(shù)(狄拉克函數(shù))

設(shè)

當(dāng)ε→0時(shí),函數(shù)序列δε(t)的極限

稱為狄拉克函數(shù),簡記為δ函數(shù),工程技術(shù)中常稱為單位脈沖函數(shù).

當(dāng)t≠0時(shí),δ(t)=0;當(dāng)t=0時(shí),δ