初中九年級數學課件-二次函數y=ɑx2+bx+c的圖象和性質

二次函數y=ɑx2+bx+c的圖象和性質開口方向對稱軸頂點坐標增減性最值知識回顧問題探究課堂小結（1）二次函數

的圖象性質：向上當

時，y隨x的增大而減??；當

時，y隨x的增大而增大當

時，y隨x的增大而增大；當

時，y隨x的增大而減小向下當

時，當

時，知識回顧問題探究課堂小結（2）拋物線的平移規(guī)律：（h）左加右減，（k）上加下減。拋物線拋物線當h﹥0時，向“右”平移h個單位當h<0時，向“左”平移|h|個單位當k﹥0時，向“上”平移k個單位當k<0時，向“下”平移|k|個單位拋物線左右平移上下平移知識回顧問題探究課堂小結活動1探究一：從舊知識過渡到新知識。復習配方填空：（1）x2+4x+9=（x+）2+；（2）x2-5x+8=（x-）2+。25總結規(guī)律：當二次項的系數為1時，常數項須配一次項系數一半的平方。知識回顧問題探究課堂小結活動1探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標、對稱軸。合作探究重點、難點知識★▲例1畫函數

的圖象，并指出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標。分析：首先要用配方法將函數寫成y＝a（x－h(huán)）2＋k的形式；然后，確定函數圖象的開口方向、對稱軸與頂點坐標；接下來，利用函數的對稱性列表、描點、連線。知識回顧問題探究課堂小結活動1探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標、對稱軸。重點、難點知識★▲解：所以它的開口向上，對稱軸是x=6，頂點坐標是（6，3）。同學們自己畫圖！歸納：一般式化為頂點式的思路：（1）二次項系數化為1；（2）加、減一次項系數一半的平方；（3）寫成平方的形式。例1畫函數

的圖象，并指出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標。合作探究知識回顧問題探究課堂小結活動2探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標、對稱軸。小組討論重點、難點知識★▲如果每次都采取“配方”，豈不是很麻煩？有更好的辦法嗎？例2求二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸和頂點坐標。解：把二次函數y=ax2+bx+c的右邊配方，得知識回顧問題探究課堂小結活動2探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標、對稱軸。重點、難點知識★▲點撥：1.運用配方法，可以將二次函數表達式的兩種形式y(tǒng)=ax2+bx+c與y＝a（x－h(huán)）2＋k相互轉化。將二次函數y=ax2+bx+c（一般式）轉化為y＝a（x－h(huán)）2＋k（頂點式）的形式，即：則：2.在二次函數y=ax2+bx+c與二次函數y＝a（x－h(huán)）2＋k中，小組討論知識回顧問題探究課堂小結活動重點、難點知識★▲探究三：二次函數的圖象及性質。師生共研，探究性質畫出函數

的圖象，并試著說出它的性質。解：列表：x…02468…y…1042410…描點、連線：知識回顧問題探究課堂小結活動重點、難點知識★▲探究三：二次函數的圖象及性質。觀察圖象知：開口向上，對稱軸是x＝4，頂點坐標是（4，2）。當x>4時，y隨x的增大而增大；當x<4時，y隨x的增大而減小。當x＝4時，函數y取最小值2。師生共研，探究性質畫出函數

的圖象，并試著說出它的性質。知識回顧問題探究課堂小結重點、難點知識★▲探究三：二次函數的圖象及性質。思考、討論下列問題：1.對于任意一個二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0），如何確定它的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標？你能把結果寫出來嗎？2.觀察二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象，在對稱軸的左右兩側，y隨x的增大有什么變化規(guī)律？3.函數的最大值或最小值與函數圖象的開口方向有什么關系？這個值與函數圖象的頂點坐標有什么關系？4.你能歸納總結二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象和性質嗎？活動師生共研，探究性質。知識回顧問題探究課堂小結重點、難點知識★▲探究三：二次函數的圖象及性質二次函數y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數，a≠0）的圖象與性質：a＞0（1）當a＞0時，拋物線開口向上，并且向上無限延伸。（2）對稱軸是直線頂點坐標為（3）在對稱軸的左側，即相當于

時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側，即相當于

時，y隨x的增大而增大；簡記為“左減右增”。（4）拋物線有最低點，當

時，y有最小值，y最小值=活動師生共研，探究性質。知識回顧問題探究課堂小結重點、難點知識★▲探究三：二次函數的圖象及性質二次函數y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數，a≠0）的圖象與性質：a<0（1）當a<0時，拋物線開口向下，并且向下無限延伸。（2）對稱軸是直線頂點坐標為（3）在對稱軸的左側，即相當于

時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即相當于

時，y隨x的增大而減??；簡記為“左增右減”。（4）拋物線有最高點，當

時，y有最大值，y最大值=活動師生共研，探究性質知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用?；顒?基礎型例題例1把下面的二次函數的一般式化成頂點式：【解題過程】解法一：用配方法：知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用?；顒?【思路點撥】一般式化為頂點式有兩種方法，一種是配方法，另一種是代入公式法。例1把下面的二次函數的一般式化成頂點式：基礎型例題【解題過程】解法二：用公式法：知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用?；顒?基礎型例題練習：若二次函數y＝x2＋bx＋5配方后為y＝（x－2）2＋k，則b，k的值分別為（）A.0，5B.0，1C.－4，5D.－4，1解：∵y＝（x－2）2＋k=x2-4x+4+k，∴b=-4，4+k=5，∴k=1，故選D。D知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用?；顒?基礎型例題例2已知：拋物線（1）直接寫出拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標；（2）求拋物線與x軸的交點坐標、與y軸的交點坐標；（3）當x為何值時，y隨x的增大而增大？【解題過程】解：（1）開口向上，對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，－8）。（2）令y＝0，得解得所以與x軸的交點坐標為（－1，0），（3，0）。令x＝0，得y＝－6，所以與y軸的交點坐標為（0，－6）。（3）當x≥1時，y隨x的增大而增大。知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用。活動1基礎型例題練習：若點A（2，y1）、B（3，y2）是二次函數y=x2－2x＋1的圖象上兩點，則y1與y2的大小關系為y1

y2（填“＞”、“＜”、“=”）?！窘忸}過程】解：∵二次函數y=x2﹣2x+1的圖象的對稱軸是x=1，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，∵點A（2，y1）、B（3，y2）是二次函數y=x2﹣2x+1的圖象上兩點，1＜2＜3，∴y1＜y2。＜【思路點撥】根據已知條件求出二次函數的圖象的對稱軸，再根據點A、B的橫坐標的大小即可判斷出y1與y2的大小關系。知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用?；顒?提升型例題例3已知

那么函數y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（

）﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣6【解題過程】解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2?！嘣搾佄锞€的對稱軸是x=2，且在x＜2上y隨x的增大而增大。又∵∴當

時，y取最大值，C【思路點撥】確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值。知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用。活動2提升型例題…－2－1012……04664…從上表可知，下列說法中正確的是

。（填寫序號）①拋物線與x軸的一個交點為（3，0）；②函數

的最大值為6；③拋物線的對稱軸是④在對稱軸左側，y隨x增大而增大。【思路點撥】題中給出表格，可根據所給數據，求出函數解析式，再據此即可作出判斷；也可根據表格中的數據，拋物線的對稱性，以及二次函數的圖象性質，進行判斷。練習：拋

物線

上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用?；顒?提升型例題【解題過程】解法一：略。（請同學們自己完成）解法二：根據表格中的數據，拋物線的對稱性，觀察拋物線的對稱軸是③選項正確；∵拋物線與x軸的一個交點為（-2，0），∴拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），①選項正確；∵拋物線過（0，6）、（1，6）兩點，∴函數的最大值不可能為6，②選項錯誤；觀察表格知，在對稱軸左側，y隨x增大而增大，④選項正確。故正確的是①③④。知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用?；顒?提升型例題例4將拋物線y=ax2+bx+c向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到拋物線y＝x2+2x+3，求a，b，c的值?！窘忸}過程】解：∵y＝x2+2x+3=（x+1）2+2，∴把拋物線y＝（x+1）2+2向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到拋物線y＝（x+4）2+4，∴ax2+bx+c＝（x+4）2+4=x2+8x+20，∴a＝1，b＝8，c＝20。【思路點撥】此題應用了逆向思維。由拋物線y=ax2+bx+c變到拋物線y＝x2+2x+3，不易求a，b，c的值；但反過來由拋物線y＝x2+2x+3平移成拋物線y=ax2+bx+c就可輕松求解。知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用?；顒?提升型例題練習：將拋物線

向左平移3個單位，再向上平移5個單位，得到拋物線的表達式為【思路點撥】先將一般式化為頂點式，根據左加右減，上加下減來平移。知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用活動3探究型例題例5如圖所示，二次函數y=－x2+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C。（1）求m的值；【解題過程】解：（1）將（3，0）代入二次函數解析式，得－32+2×3+m=0。解得，m=3。知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用?；顒?（2）求點B的坐標；解：（2）二次函數解析式為y=－x2+2x+3，令y=0，得－x2+2x+3=0。解得x=3或x=－1?！帱cB的坐標為（－1，0）。探究型例題例5如圖所示，二次函數y=－x2+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C?！窘忸}過程】知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用?；顒?【思路點撥】解題的關鍵是掌握二次函數與一元二次方程的關系，底相同且面積相等的兩個三角形高相等。探究型例題例5如圖所示，二次函數y=－x2+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C?！窘忸}過程】（3）該二次函數圖象上有一點D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使求點D的坐標。解：（3）∵點D在第一象限，∴點C、D關于二次函數對稱軸對稱?！哂啥魏瘮到馕鍪娇傻闷鋵ΨQ軸為x=1，點C的坐標為（0，3），∴點D的坐標為（2，3）。知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用?；顒?探究型例題練習：兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標系，左面的一條拋物線可以用

表示，而且左右兩條拋物線關于y軸對稱。⑴鋼纜的最低點到橋面的距離是多少？【解題過程】解：（1）因此鋼纜的最低點到橋面的距離是1m。知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用?；顒?【解題過程】解：（2）（2）兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？探究型例題練習：兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀。按照圖中的直角坐標系，左面的一條拋物線可以用

表示，而且左右兩條拋物線關于y軸對稱。知識回顧問題探究課堂小結探究四：二次函數的圖象及性質的應用?；顒?（1）鋼纜的最低點到橋面的距離是多少？（2）兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？【思路點撥】（1）將二次函數解析式配方，求得頂點坐標，從而獲得鋼纜的最低點到橋面的距離；（2）由左右兩條拋物線關于y軸對稱，得出另一條拋物線解析式，可知它們的頂點坐標，從而求得兩條鋼纜最低點之間的距離。探究型例題練習：兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標系，左面的一條拋物線可以用

表示，而且左右兩條拋物線關于y軸對稱。知識梳理知識回顧問題探究課堂小結歸納二次函數y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數，a≠0）的圖象與性質：a＞0（1）當a＞0時，拋物線開口向上，并且向上無限延伸.（2）對稱軸是直線頂點坐標為（3）在對稱軸的左側，即相當于

時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側，即相當于

時，y隨x的增大而增大；簡記為“左減右增”。（4）拋物線有最低點，當

時，y有最小值，y最小值=知識梳理知識回顧問題探究課堂小結歸納二次函數y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數，a≠0）的圖象與性質：a<0（1）當a<0時，拋物線開口向下，并且向下無限延伸。（2）對稱軸是直線頂點坐標為（3）在對稱軸的左側，即相當于

時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即相當于

時，y隨x的增大而減??；簡記為“左