2.2.4均值不等式的應(yīng)用第2課時(shí)課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

第二章等式與不等式

2.2不等式

2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第2課時(shí)

均值不等式的應(yīng)用典例精析

解：因?yàn)?gt;0，所以根據(jù)均值不等式有

因此x=1時(shí)，y取得最小值2.

根據(jù)均值不等式，得

例3(1)已知矩形的面積為100，則這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，矩形的周長最短？最短周長是多少？(2)已知矩形的周長為36，則這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，它的面積最大？最大面積是多少？分析：在(1)中，矩形的長與寬的積是一個(gè)常數(shù)，要求長與寬之和的兩倍的最小值；在(2)中，矩形的長與寬之和的兩倍是一個(gè)常數(shù)，要求長與寬之積的最大值。

x=yxy=100可知此時(shí)x=y=10.

x=yx＋y=18可知此時(shí)______________.因此，當(dāng)矩形的長和寬都是9時(shí)，它的面積最大，最大面積為81。x=y=9例3的結(jié)論可以表述為：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值;當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值。例4已知x∈(－1，3)，求y=(1＋x)(3－x)的最大值，以及y取得最大值時(shí)x的值。解：當(dāng)x∈(－1，3)時(shí)，－1<x<3，因此1＋x>0，3－x>0。由均值不等式可得

例5已知a，b是實(shí)數(shù)，求證：a2＋b2≥2ab.并說明等號成立的條件.證明：因?yàn)閍2＋b2－2ab=(a－b)2≥0,所以a2＋b2－2ab≥0，即a2＋b2≥2ab.等號成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)2=0，即a=b.例5的結(jié)論也是經(jīng)常要用的。不難看出，均值不等式與例5的結(jié)論既有聯(lián)系，又有區(qū)別。區(qū)別在于例5中去掉了a，b

是正數(shù)的條件，聯(lián)系在于均值不等式可以看成例5結(jié)論的一種特殊情況。例6已知a，b∈R，求證：(1)(a+b)2≥4ab；(2)2(a2＋b2)≥(a+b)2.證明(1)因?yàn)閍2+b2≥2ab，兩邊同時(shí)加上2ab，得a2+b2＋2ab≥4ab即(a+b)2≥4ab(2)因?yàn)閍2＋b2≥2ab，兩邊同時(shí)加上a2＋b2，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，即2(a2＋b2)≥(a+b)2典例剖析1．無附加條件的不等式的證明用均值不等式證明不等式歸納提升：利用均值不等式證明不等式的注意點(diǎn)：(1)多次使用均值不等式時(shí)，要注意等號能否成立。(2)累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時(shí)注意使用。(3)對不能直接使用均值不等式的證明可重新組合，達(dá)到使用均值不等式的條件。2．有附加條件的不等式的證明思路探究：本題的關(guān)鍵是把分子的“1”換成a＋b，由均值不等式

即可證明。歸納提升：利用均值不等式證明不等式的兩種題型(1)無附加條件的不等式的證明。其解題思路：觀察待證不等式的結(jié)構(gòu)形式，若不能直接使用均值不等式，則結(jié)合左、右兩邊的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之達(dá)到使用均值不等式的條件。(2)有附加條件的不等式的證明。觀察已知條件與待證不等式之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)厥褂靡阎獥l件，條件的巧妙代換是一種較為重要的變形。對點(diǎn)訓(xùn)練典例剖析利用均值不等式解決實(shí)際問題如圖所示，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原來的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。(1)現(xiàn)有36m長的鋼筋網(wǎng)，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？思路探究：設(shè)每間虎籠長為xm，寬為ym，則問題(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而問題(2)是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值，因此可用均值不等式來解決。歸納提升：求實(shí)際問題中最值的一般思路1．讀懂題意，設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系式。2．把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題。3．在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，一般先考慮用均值不等式，當(dāng)用均值不等式求最值的條件不具備時(shí)，再考慮利用第三章要學(xué)習(xí)的函數(shù)的單調(diào)性求解。4．正確地寫出答案。對點(diǎn)訓(xùn)練某公司計(jì)劃建一面長為a米的玻璃幕墻，先等距安裝x根立柱，然后在相鄰的立柱之間安裝一塊與立柱等高的同種規(guī)格的玻璃。一根立柱的造價(jià)為6400元，一塊長為m米的玻璃造價(jià)為(50m＋100m2)元。假設(shè)所有立柱的粗細(xì)都忽略不計(jì)，且不考慮其他因素，記總造價(jià)為y元(總造價(jià)＝立柱造價(jià)＋玻璃造價(jià))。(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)a＝56時(shí)，怎樣設(shè)計(jì)能使總造價(jià)最低？典例剖析忽略等號成立的條件誤區(qū)警示：利用均值不等式求最值時(shí)，等號必須取得到才能求出最值，若題設(shè)條件中的限制條件使等號不能成立，則要轉(zhuǎn)換到另一種形式解答。典例剖析與不等式有關(guān)的恒成立問題不等式恒成立問題的實(shí)質(zhì)是已知不等式的解集求不等式中參數(shù)的取值范圍。對于求不等式成立時(shí)參數(shù)的范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決。常見求解策略是將不等式恒成立