新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第8章立體幾何初步8.4空間點直線平面之間的位置關系8.4.1平面學案新人教A版必修第二冊

8．4.1平面課標要求1．了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法．2．掌握平面的基本事實及推論，能用符號語言描述空間點、直線、平面之間的位置關系．3．能用圖形、文字、符號三種語言描述三個基本事實，并能解決空間線面的位置關系問題．素養(yǎng)要求1．通過引導解決共線、共面問題，培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng)．2．通過畫或找立體圖形中平面與平面的交線，培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)．3．利用判斷點、線、面的位置關系判斷命題的真假，培養(yǎng)數(shù)學建模核心素養(yǎng).知識點1平面1．平面的概念幾何中所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來的．類似于直線向兩端無限延伸，幾何中的平面是向四周_無限延展__的．2．平面的畫法我們常用矩形的直觀圖，即_平行四邊形__表示平面，它的銳角通常畫成_45°__，且橫邊長等于其鄰邊長的_2__倍，如圖①.如果一個平面的一部分被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用_虛線__畫出來，如圖②.3．平面的表示法平面通常用希臘字母α，β，γ等表示，如平面α、平面β、平面γ等，也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱．如平面ABCD、平面AC或者平面BD，還可以用平面內(nèi)不共線的三點的字母表示，如平面ABC.[拓展]平面的幾個特點(1)平面是平的．(2)平面是沒有厚度的．(3)平面是無限延展而沒有邊界的．練一練：1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)書桌面是平面．(×)(2)8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚．(×)(3)一個平面的面積是16cm2.(×)(4)所有的平面都是無限延展的．(√)2．如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為(A)A．平面MN B．平面MPC．平面α D．平面MNPQ[解析]表示平面不能用一條邊的兩個端點表示，但可以表示為平面MP.故選A.知識點2用符號語言表示點、線、面之間的位置關系1．直線在平面內(nèi)的概念如果直線l上的_所有點__都在平面α內(nèi)，就說直線l在平面α內(nèi)，或者說平面α經(jīng)過直線l.2．一些文字語言與符號語言的對應關系：文字語言表達符號語言表示文字語言表達符號語言表示點A在直線l上_A∈l__點A在直線l外_A?l__點A在平面α內(nèi)_A∈α__點A在平面α外_A?α__直線l在平面α內(nèi)_l?α__直線l在平面α外_l?α__直線l，m相交于點Al∩m＝A平面α，β相交于直線lα∩β＝l[拓展]從集合的角度理解點、線、面之間的位置關系(1)直線可以看成無數(shù)個點組成的集合，故點與直線的關系是元素與集合的關系，用“∈”或“?”表示．(2)平面也可以看成點集，故點與平面的關系也是元素與集合的關系，用“∈”或“?”表示．(3)直線和平面都是點集，它們之間的關系可看成集合與集合的關系，故用“?”或“?”表示．練一練：如圖，點A_∈__平面ABC；點A_?__平面BCD；BD_?__平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝_BC__.知識點3平面的基本性質(zhì)及應用1．三個基本事實及其表示基本事實內(nèi)容圖形符號作用基本事實1過不在一條直線上的三個點，_有且只有__一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是確定平面；二是證明點、線共面問題；三是判斷兩個平面重合的依據(jù)基本事實2如果一條直線上的_兩個點__在一個平面內(nèi)，那么這條直線在_這個平面內(nèi)__A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?_l?α__既可判定直線和點是否在平面內(nèi)，又能說明平面是無限延展的基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的_公共直線__P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據(jù)②判定點在直線上2.基本事實1,2的推論推論1_經(jīng)過一條直線和這條直線外一點__，有且只有一個平面．推論2_經(jīng)過兩條相交直線__，有且只有一個平面．推論3_經(jīng)過兩條平行直線__，有且只有一個平面．[拓展]準確認識三個基本事實的意義和作用(1)基本事實1意義：是在空間確定一個平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個轉(zhuǎn)化是立體幾何中解決相當一部分問題的主要的思想方法．作用：①確定平面；②證明點、線共面．(2)基本事實2意義：說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別．通過直線的“直”來刻畫平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展”．作用：既是判斷直線是否在平面內(nèi)，又是檢驗平面的方法．利用基本事實1和基本事實2，再結(jié)合“兩點確定一條直線”，可推出不共線的三點，一條直線和這條直線外一點，兩條相交直線，兩條平行直線，都能唯一確定一個平面．(3)基本事實3意義：揭示了兩個平面相交的主要特征，提供了確定兩個平面交線的方法．作用：①判斷兩個平面是否相交；②確定兩個平面的交線；③證明若干點共線問題．練一練：1．若平面α與平面β相交，點A，B既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi)，則點A，B必在_α與β的交線上__.[解析]設α∩β＝l，因為A，B∈α，且A，B∈β，所以A，B∈l.2．不重合的三條直線，若相交于一點，最多能確定_3__個平面．[解析]三條直線相交于一點，最多可確定3個平面，如圖所示，直線a，b，c相交于點A，直線a，b確定平面α，直線b，c確定平面β，直線a，c確定平面γ，共3個平面．題|型|探|究題型一三種語言的相互轉(zhuǎn)化典例1根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系．(1)點P與直線AB；(2)點C與直線AB；(3)點M與平面AC；(4)點A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.[解析](1)點P∈直線AB.(2)點C?直線AB.(3)點M∈平面AC.(4)點A1?平面AC.(5)直線AB∩直線BC＝點B.(6)直線AB?平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.[歸納提升]三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關系只能用“?”或“?”．提醒：根據(jù)符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．對點練習?(1)若點M在直線a上，a在平面α內(nèi)，則M、a、α間的關系可記為M∈a，a?α，M∈α；(2)根據(jù)右圖，填入相應的符號：A∈平面ABC，A?平面BCD，BD?平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝直線AC；(3)用符號語言表示下面語句，并畫出圖形：三個平面α、β、γ相交于一點P，且平面α與平面β交于PA，平面α與平面γ交于PB，平面β與平面γ交于PC.[解析](3)符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.圖形表示：如圖所示．題型二點共線問題典例2已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．求證：P、Q、R三點共線．[分析](1)P、Q、R三點分別在哪幾個平面上？(2)在兩個相交平面上的點，有什么特點？[證明]證法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事實3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P、Q、R三點共線．證法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.又∵Q∈平面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三點共線．[歸納提升]點共線的證明方法：證明多點共線通常利用基本事實3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上．對點練習?如圖，已知D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經(jīng)過D，E兩點．試作出直線AB與平面α的交點P，并說明理由．[解析]延長AB交平面α于點P，如圖所示．因為D∈AC，AC?平面ABC，所以D∈平面ABC，同理有E∈平面ABC，又D∈α，E∈α，所以平面ABC∩平面α＝DE，又AB?平面ABC，由圖可知AB與平面α相交，且交點在交線DE上，所以延長AB與DE，兩線交點即為所求點P.題型三線共面問題典例3已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個平面．[證明]如圖所示．由已知a∥b，所以過a，b有且只有一個平面α.設a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.即過a，b，l有且只有一個平面．[歸納提升]在證明多線共面時，可用下面的兩種方法來證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi)．(2)同一法：即先證明一些元素在一個平面內(nèi)，再證明另一些元素在另一個平面內(nèi)，然后證明這兩個平面重合，即證得所有元素在同一個平面內(nèi)．對點練習?已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．[證明]證法一(納入法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證法二(同證法一、重合法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1，l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).題型四線共點問題典例4如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l，設梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點．[分析]先證AB、CD交于一點，再證這一點在直線l上．[證明]因為梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰，所以AB，CD必定相交于一點，如圖，設AB∩CD＝M.又因為AB?α，CD?β，所以M∈α，且M∈β.又因為α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共點．[歸納提升]三線共點的證明方法：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點．對點練習?在空間四邊形ABCD中，H，G分別是邊AD，CD的中點，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點，且eq\f(CF,FB)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3).求證：(1)點E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點．[證明](1)由題意，作圖如下：連接EF、HG，空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，∴HG∥AC.又eq\f(CF,FB)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3)，∴EF∥AC，∴EF∥HG，E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)因為H，G分別是AD，CD的中點，所以HG∥AC，且HG＝eq\f(1,2)AC，又因為eq\f(CF,FB)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3)，所以EF∥AC，且EF＝eq\f(3,4)AC，所以HG∥AC，且HG≠EF，故四邊形EFGH為梯形，且EH，F(xiàn)G是梯形的兩腰，所以EH，F(xiàn)G相交于一點．設交點為P，因為EH?平面ABD，所以P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，故點P是直線EH，BD，F(xiàn)G的公共點，即直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點．易|錯|警|示對條件所給的點的位置關系考慮不全面典例5已知A、B、C、D、E五點中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，則A、B、C、D、E五點一定共面嗎？[錯解]因為A、B、C、D共面，所以點A在B、C、D所確定的平面內(nèi)，因為B、C、D、E共面，所以點E也在B、C、D所確定的平面內(nèi)，所以點A、E都在B、C、D所確定的平面內(nèi)，即A、B、C、D、E五點一定共面．[錯因分析]錯解忽略了公理2中“不在一條直線上的三點”這個重要條件，實際上B、C、D三點還可能共線．[正解]根據(jù)B，C，D三點共線與不共線分類．(1)如果B、C、D三點不共線，則它們確定一個平面α.因為A、B、C、D共面，所以點A在平面α內(nèi)，因為B、C、D、E共面，所以點E在平面α內(nèi)，所以點A、E都在平面α內(nèi)，即A、B、C、D、E五點一定共面．(2)如果B、C、D三點共線于l，若A、E都在l上，則A、B、C、D、E五點一定共面；若A、E中有且只有一個在l上，則A、B、C、D、E五點一定共面；若A、E都不在l上，則A、B、C、D、E五點可能不共面．對點練習?如果空間四點A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是(B)A．A，B，C，D四點中必有三點共線B．A，B，C，D四點中不存在三點共線C．直線AB與CD相交D．直線AB與CD平行[解析]兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點都分別確定一個平面．1．下列敘述中，一定是平面的是(B)A．一條直線平行移動形成的面B．三角形經(jīng)過延展得到的面C．組成圓錐的面D．正方形圍繞一條邊旋轉(zhuǎn)形成的面[解析]直線平行移動可以形成平面或曲面，只有在方向不