對彩虹形成原理的定量探究

物理建模論文對彩虹形成原理的探究陜西省寶雞市寶雞中學(xué)高一5班楊霄指導(dǎo)老師魏宗博【摘要】本文主要應(yīng)用光的折射模型與一些數(shù)學(xué)計算，定量探究了彩虹的形成原因，解釋了彩虹出現(xiàn)的位置，時間，條件以及生活中的一些特殊現(xiàn)象?！娟P(guān)鍵詞】彩虹折射率彩虹角問題的提出在初中的學(xué)習(xí)中，老師在物理課上有講到彩虹的形成是由于陽光在空氣中的小水滴中發(fā)生了色散形成了彩虹，可是這樣模糊的答案不能解釋為什么會是拱形的而且不會和太陽出現(xiàn)在同一側(cè)等問題，在使用數(shù)學(xué)工具建立模型，進行分析，就可以讓更多的同學(xué)更加清楚的理解彩虹形成的原理。模型的假設(shè)空氣中懸浮的水滴是規(guī)那么的球形太陽光線是相互平行的陽光在水滴中傳播所用的時間忽略不記把人眼看作一個點太陽在水滴中只發(fā)生了一次反射模型的建立&問題的解決符號規(guī)定：太陽光線射入水滴時的入射角：太陽光線射入水滴時的折射角：各種色光折射最密集的入射角的大?。禾柟饩€從射入水滴到射出水滴總偏折角度：光線從空氣到水中的折射率：可見光從空氣射進水中的折射率：彩虹角通過查閱一些資料了解到，彩虹在形成的過程中是由于在水滴中發(fā)生了一次反射兩次折射形成的，由此結(jié)合光的折射定律就可以到了右圖。據(jù)此借助數(shù)學(xué)幾何知識可得到以下關(guān)系：根據(jù)折射定律有所以可得到根據(jù)查閱的一些資料，我了解到了可見光在水中的折射率大約為，將紅光的折射率帶入上面的表達式可以得到如下列圖像.在這個圖像中我發(fā)現(xiàn)，每一束光線經(jīng)水滴折射后都會有一個偏折角。我把每該函數(shù)從0開始自變量每隔10°取一個值，對該區(qū)間內(nèi)D〔α〕的變化幅度ΔD(α)進行比擬，發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α越接近D(α)的最低點，D(α)的變化幅度越小，也就是說，太陽光線從不同角度射入水滴以后，都集中在了D(α)的最低點附近。αD(α)ΔD(α)018010169.99210.00820160.3949.59830151.678.72440144.3967.27450139.3295.06760137.4871.84270140.185-2.69880148.919-8.73490164.986-16.067100188.919-23.933110220.185-31.266因此我嘗試著對D(α)進行求導(dǎo)，有又因為時有因此代入上式可得另可得又因為帶入可得經(jīng)過化簡對于折射率為n的光線我們就得到了分別把各種色光的折射率帶入上式就可以得到下表色光nαmD〔α〕紅光1.32260.0511137.488橙光1.332559.4395137.484黃光1.333159.4047137.484綠光1.334959.3001137.485藍光1.33959.622137.484紫光1.343558.8014137.479根據(jù)太陽光與人的位置，得到了下面的位置關(guān)系由上圖，可以得到關(guān)系據(jù)此我算出了θ的值如下表色光θ紅光42.512橙光42.516黃光42.516綠光42.515藍光42.516紫光42.521由于人眼的位置可以看作是一個點，因此過這個點的所有與太陽的平行光線放到一起就構(gòu)成了一個圓椎體，如下列圖由于人眼處在這個圓錐的頂點，而且圓錐的底面是一個圓形，因而彩虹看上去就應(yīng)該是一個圓圈，并且根據(jù)上表中不同色光對應(yīng)的θ值不同，并且從紅光到紫光隨著波長變短，折射率變大θ值一直在減小，這也就解釋了為什么看到的彩虹最外層是紅色的而紫色在最內(nèi)側(cè)。我們平時看到的彩虹都是拱形的，可到現(xiàn)在為止我們計算出來的彩虹還是一個封閉的圓環(huán)。是不是在考慮問題的時候漏掉了一些什么。想到太陽的東升西落，而根據(jù)我建立的模型，彩虹總是在從人看太陽的另一邊，那么太陽到中午時，彩虹不就跑到了腳底下去了么，這顯然是不可能的，因此很容易想到，隨著陽的升高，彩虹的高度也隨之下降，而我們所觀察到的彩虹那么只露在天空的那一局部，而當(dāng)其有一局部下降到地平線一下的時候，在天空上也就剩下這個圓環(huán)的一段弧線了，也就是我們所看到的拱形的彩虹。而如果太陽再繼續(xù)向上升起，彩虹繼續(xù)下降的話等到其完全在地面一下的話，我們就一點彩虹也看不到了，這也就能夠解釋為什么彩虹只出現(xiàn)在早晨和黃昏，而在中午卻看不到彩虹的蹤影。得出結(jié)論我們所看到的彩虹是在以過人眼位置的太陽平行光線為軸與太陽光線夾角在42.52°左右的一條弧形的光帶上。并且不同色光由紅到紫從外向內(nèi)依次排列。彩虹只有在太陽高度較低的早晨和下午才可以看到。參考文獻1.余小英，李