高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二篇 函數(shù) 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性習(xí)題 理試題

第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)函數(shù)奇偶性的判定1,2,13函數(shù)周期性的應(yīng)用6利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值5,8,12利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式或參數(shù)4,9,10利用函數(shù)的奇偶性比較函數(shù)值的大小、解函數(shù)不等式3,7函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用11,14,15,16,17基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間:30分鐘)1.(2016·河北唐山市一模)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(C)(A)y=1x (B)y=-x(C)y=ex+e-x (D)y=|x+1|解析:y=1x是奇函數(shù),y=|x+1|為非奇非偶函數(shù),y=-x2+∞)上單調(diào)遞減,只有C是偶函數(shù),且f′(x)=ex-e-x>0(x∈(0,+∞)).故選C.2.若函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)(x∈R)是偶函數(shù),則一定成立的是(C)(A)函數(shù)f(g(x))是奇函數(shù) (B)函數(shù)g(f(x))是奇函數(shù)(C)函數(shù)f(f(x))是奇函數(shù) (D)函數(shù)g(g(x))是奇函數(shù)解析:由題得函數(shù)f(x),g(x)滿足f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),則有f(g(-x))=f(g(x)),g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x)),f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x)),g(g(-x))=g(g(x)),可知函數(shù)f(f(x))是奇函數(shù).故選C.3.(2016·福建福州模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱,當(dāng)x2>x1>1時(shí),[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,設(shè)a=f(-12)(A)c>a>b (B)c>b>a(C)a>c>b (D)b>a>c解析:由于函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故函數(shù)y=f(x)的圖象本身關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以a=f(-12)=f(52).當(dāng)x2>x1>1時(shí),[f(x2)-f(x1)](x2-x+∞)上單調(diào)遞減,所以b>a>c.故選D.4.(2016·安徽“江淮十?！甭?lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?3-2a,a+1),且f(x+1)為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為(B)(A)23解析:法一因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?3-2a,a+1),所以由3-2a<x+1<a+1,得2-2a<x<a,所以f(x+1)的定義域?yàn)?2-2a,a).又因?yàn)閒(x+1)為偶函數(shù),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以2-2a=-a,a=2.故選B.法二因?yàn)閒(x+1)是偶函數(shù),所以f(x+1)=f(1-x),所以y=f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱.故(3-2a)+(a+1)=2.解之得a=2.故選B.5.(2016·河北冀州中學(xué)高三月考)已知函數(shù)f(x)=asin3x+bx3+4(a∈R,b∈R),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f(2014)+f(-2014)+f′(2015)-f′(-2015)等于(A)(A)8 (B)2014 (C)2015(D)0解析:根據(jù)題意有f′(x)=3acos3x+3bx2,所以f′(2015)=f′(-2015),而f(x)+f(-x)=4+4=8,所以有f(2014)+f(-2014)+f′(2015)-f′(-2015)=8,故選A.6.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=2x-m,若f(x+2)=1f(A)12 (B)-12 (C)-32解析:因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),且x∈[-1,0]時(shí),f(x)=2x-m,所以f(0)=1-m=0,所以m=1.又f(x+2)=1f因?yàn)閒(2017)=f(4×504+1)=f(1),又f(-1)=2-1-1=-12故選A.7.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702041已知f(x)=x4+e|x|,則滿足不等式2f(lnt)-f(ln1t)≤(A)[e-1,e] (B)[e-2,e2](C)[0,e2] (D)[e-2,e]解析:因?yàn)閒(x)=x4+e|x|,所以f(0)=1,f(-x)=f(x),因?yàn)?f(lnt)-f(ln1t)≤所以2f(lnt)-f(-lnt)=2f(lnt)-f(lnt)≤f(2),即f(lnt)≤f(2).因?yàn)閒(x)=x4+e|x|,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以|lnt|≤2,解得e-2≤t≤e2.故選B.8.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702042已知f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+x,則f(-1)=.

解析:因?yàn)閒(1)=12+1=2.又f(x)是奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=-2.答案:-29.(2016·廣東深圳市第一調(diào)調(diào)研)已知f(x),g(x)分別是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)和偶函數(shù),且f(x)+g(x)=3x,則f(1)=.

解析:法一由題意知f即f解之得f(1)=43法二由題意知f即f消去g(x)得f(x)=3x即f(1)=3-13答案:410.(2016·湖北武漢2月考)已知函數(shù)f(x)=ln1+ax1-3解析:由f(x)=ln1+ax所以f(-x)=ln1-ax1+3x=-ln所以1-ax1+3x=當(dāng)a=-3時(shí),f(x)=ln1-3x1-3x答案:3能力提升練(時(shí)間:15分鐘)11.函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象如圖所示,下列說(shuō)法正確的是(C)①函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=-f(x);②函數(shù)y=f(x)滿足f(x+2)=f(-x);③函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=f(x);④函數(shù)y=f(x)滿足f(x+2)=f(x).(A)①③ (B)②④ (C)①② (D)③④解析:根據(jù)圖象知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故為奇函數(shù),所以①正確;又其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以②正確.12.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702043已知函數(shù)f(x)=x2+x(A)23 (B)-23 (C)4解析:因?yàn)閒(x)=1+xx2+1因?yàn)閒(-x)+f(x)=2,所以f(-a)=2-f(a)=43故選C.13.定義在R上的函數(shù)f(x),對(duì)?x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,則下列命題正確的是(D)(A)f(x)是偶函數(shù) (B)f(x)是奇函數(shù)(C)f(x)+1是偶函數(shù) (D)f(x)+1是奇函數(shù)解析:令x1=0,x2=1,得f(1)=f(0)+f(1)+1,所以f(0)=-1.令x1=-x2得f(0)=f(-x2)+f(x2)+1,所以f(x2)+f(-x2)+2=0.所以f(x2)+1=-f(-x2)-1.令g(x)=f(x)+1得g(-x)=f(-x)+1=-[f(x)+1]=-g(x),所以g(x)=1+f(x)是奇函數(shù).故選D.14.(2016·山西太原二模)若關(guān)于x的函數(shù)f(x)=tx2+2x解析:由題意,f(x)=tx2+2由于函數(shù)g(x)=2x又函數(shù)f(x)最大值為M,最小值為N,且M+N=4,所以M-t=-(N-t),即2t=M+N=4,所以t=2.答案:215.(2016·江西贛中南五校模擬)有下列4個(gè)命題:①若函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,則g(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù);②若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),?x∈R,f(x)+f(2-x)=0,則f(x)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱;③已知x1和x2是函數(shù)定義域內(nèi)的兩個(gè)值(x1<x2),若f(x1)>f(x2),則f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減;④若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(x+2)也是奇函數(shù),則f(x)是以4為周期的周期函數(shù).其中,正確命題是(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上).

解析:對(duì)于①,g(x)的定義域?yàn)镽,則g(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù);對(duì)于②,由f(x)+f(2-x)=0得f(2-x)=-f(x)=f(-x),因此函數(shù)以2為周期,又f(x)為奇函數(shù),故f(x)不可能關(guān)于x=1對(duì)稱,因此②不正確;對(duì)于③,由函數(shù)單調(diào)性的定義,可知③錯(cuò)誤;對(duì)于④,由條件,得f(-x)=-f(x)(*),f(-x+2)=-f(x+2)(**),又由(*)得f[-(x+2)]=-f(x+2)(***),結(jié)合(**)與(***)得f(-x+2)=f(-x-2)?f(x-2)=f(x+2)?f(x)=f(x+4),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),故④正確.綜上,真命題的序號(hào)是①④.答案:①④16.(2016·湖北黃岡模擬)已知函數(shù)f(x)=ln(x+x2+1),若正實(shí)數(shù)a,b滿足f(2a)+f(b-1)=0,則1a+1b解析:因?yàn)閒(x)=ln(x+x2所以f(-x)=ln(x2又因?yàn)閒(x)+f(-x)=ln(x+x2+1)+ln(=ln1=0,所以f(x)為奇函數(shù).由f(2a)+f(b-1)=0得f(2a)=-f(b-1)=f(1-b).又f(x)單調(diào),故2a=1-b,則2a+b=1,所以1a+1b=2a+ba+2a+bb=3+ba+2ab答案:3+2217.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702044設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-x2,(1)求證:f(x)是周期函數(shù);(2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí),求f(x)的解析式;(3)計(jì)算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016).(1)證明:因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)解:由f(x+2)=-f(x),且x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-x2,所以當(dāng)x∈[2,4]時(shí),f(x)=-f(x-2)=-[2(x-2)-(x-2)2]=x2-6x+8.即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].(3)解:因?yàn)閒(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=f(2016)=f(0)=0.好題天天練1.(2017·山西四校高三第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2x+sinx+ln(x2+1+x),若不等式f(3x-9x)+f(m·3x-3)<0對(duì)任意x(A)(-∞,23-1) (B)(-∞,-23+1)(C)(-23+1,23-1) (D)(-23+1,+∞)解析:因?yàn)閒(-x)=-2x+sin(-x)+ln(x2所以f(x)+f(-x)=ln(x2+1-x)+ln(又因?yàn)閥=2x+sinx中y′=2+cosx>0,且y=ln(1+x所以函數(shù)f(x)為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù),從而f(3x-9x)+f(m·3x-3)<0?f(3x-9x)<f(-m·3x+3)?3x-9x<-m·3x+3?m<3x-1+33又3x-1+33x≥23x·33x所以m的取值范圍為(-∞,23-1).故選A.2.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702045設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,若對(duì)于任意x1,x2∈D,當(dāng)x1+x2=2a時(shí),恒有f(x1)+f(x2)=2b,則稱點(diǎn)(a,b)為函數(shù)y=f(x)圖象的對(duì)稱中心,研究函數(shù)f(x)=x3+sinx+1圖象的某一個(gè)對(duì)稱中心,并利用對(duì)稱中心的上述定義,可得到f(-2015)+f(-2014)+f(