江西省“三新”協(xié)同教研共同體2023-2024學年高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學試卷

2023年“三新”協(xié)同教研共同體高二聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號深黑．如需改動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：北師大版選擇性必修第一冊第一章至第五章計數(shù)原理中的排列組合（不考二項式定理）．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（）A．B．C．D．2．已知，若四點共面，則（）A．3B．C．7D．3．已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線C上一點，若．則的面積為（）A．B．C．D．4．已知正方體的棱長為a,點P是平面內的動點，若點P到直線的距離與到直線的距離相等，則點P的軌跡為（）A．拋物線B．橢圓C．雙曲線D．圓5．手工課可以提高學生的動手能力、反應能力、創(chuàng)造力．某小學生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個直三棱柱和一個正方體的組合體．其直觀圖如圖所示，分別是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A．B．C．D．6．某學校派出五名教師去三所鄉(xiāng)村學校支教，其中有一對教師夫婦參與支教活動．根據(jù)相關要求，每位教師只能去一所學校參與支教，并且每所學校至少有一名教師參與支教，同時要求教師夫婦必須去同一所學校支教，則不同的安排方案有（）A．18種B．24種C．36種D．48種7．如圖，正方體的棱長為2，點分別是的中點，過點的平面截該正方體所得的截面記為，則截面的面積為（）A．B．C．D．8．曲率半徑可用來描述曲線在某點處的彎曲變化程度，曲率半徑越大，則曲線在該點處的彎曲程度越小，已知橢圓上任意一點處的曲率半徑公式為．若橢圓C上任意一點相應的曲率半徑的最大值為,最小值為1，則橢圓C的標準方程為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列排列組合數(shù)中，正確的是（）A．B．C．D．10．已知圓,直線,下列說法正確的是（）A．無論a取何值，直線l與圓C相交B．直線l被圓C截得的最短弦長為4C．若,則圓C關于直線l對稱的圓的方程為D．直線l的方程能表示過點的所有直線的方程11．在棱長為2的正方體中，兩點在線段上運動，且在線段上運動，則下列結論正確的是（）A．三棱錐的體積為定值B．在平面內存在點P,使得平面C．E點在正方形（包括邊界）內運動，且直線與直線成角，則線段長度的最小值為D．與平面所成角的正弦值的取值范圍為12．已知拋物線上任意一點處的切線方程可以表示為．直線分別與該拋物線相切于點相交于點D,與分別相交于點P,Q,則下列說法正確的是（）A．點D落在一條定直線上B．若直線過該拋物線的焦點，則C．D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．圓與圓的位置關系是&&．14．已知空間向量的模長分別為2,2,3，且兩兩夾角均為，點G為的重心，則&&．15．2023年10月11日，習近平總書記在江西省上饒市考察，他來到婺源縣秋口鎮(zhèn)王村石門自然村了解推進鄉(xiāng)村振興等情況．其中婺源“曬秋”展開的是一幅鄉(xiāng)村振興新圖景．當?shù)匕傩詹粌H要晾曬農產品使其得到更好的保存和售賣，更要考慮曬出獨一無二的“中國最美的符號”．當?shù)匕傩宅F(xiàn)將“金色南瓜”“白色扁豆”“紅色辣椒”“黃色皇菊”四種農產品全部曬入如圖所示的5個小區(qū)域中，規(guī)定每個區(qū)域只能曬一種農產品，且相鄰區(qū)域的農產品不能相同，則不同的晾曬方案種數(shù)為&&．（用數(shù)字作答）16．已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A,B（不重合），線段的垂直平分線過點，則雙曲線C的離心率為&&．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）用數(shù)字1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)．（1）偶數(shù)不能相鄰，則不同的六位數(shù)有多少個？（結果用數(shù)字表示）（2）若數(shù)字1和2之間恰有一個奇數(shù)，沒有偶數(shù)，則不同的六位數(shù)有多少個？（結果用數(shù)字表示）18．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點．（1）求圓C的標準方程；（2）若過點的直線l被圓C截得的弦長為6，求直線l的方程．19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面為線段的中點，已知．（1）證明：平面．（2）求直線與平面所成角的正弦值．20．（12分）已知雙曲線的漸近線方程為,實軸長為2．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）直線l與雙曲線C相切，且與雙曲線C的兩條漸近線相交于兩點，求（O為坐標原點）的面積．21．（12分）如圖，在四棱臺中，底面是菱形，,，平面．（1）證明：．（2）棱上是否存在一點E,使得二面角的余弦值為？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．22．（12分）已知分別是橢圓的右頂點和上頂點，,直線的斜率為．（1）求橢圓C的方程．（2）已知是橢圓C上的兩點，直線的斜率為,直線的斜率為,且滿足．過點A作,垂足為H,試問平面上是否存在定點T,使得線段的長度為定值？若存在，求出該定點；若不存在，請說明理由．2023年“三新”協(xié)同教研共同體高一聯(lián)考數(shù)學試卷參考答案選擇題123456789101112CBBDDACDABACACDAC1．C．2．B由題可得解得．3．B由命題p可得,解得,所以p可以推出q,q推不出p,故p是q的充分不必要條件．4．DA選項，當時不符合；B選項，當時不符合；C選項，當時不符合；D選項，，由,可得．5．D圖象的對稱軸為直線,且最大值為．令,可得或．由，可得．6．A由，得，則，當且僅當，即時，等號成立．7．C由題知的周期為4．又函數(shù)為奇函數(shù)，所以．8．D由題意可設,由,得，則,所以．構造函數(shù)則在上單調遞減．由的圖象（圖略），可得．9．ABA選項，；B選項，由題可得；C選項，；D選項，．10．AC由的圖象（圖略），可知．由，得，故A正確，B錯誤；由,可得,故C正確，D錯誤．11．ACD當時，可得,故A,D均不可能；設，由,可得,化簡可得在R上恒成立，所以故C選項不可能．12．AC在R上任取,且,則．因為,所以,即,則,所以在R上為增函數(shù)．令,可得,令,可得，同理可得，故在上的值域為．令,可得,故的圖象關于點對稱．由,可得，所以在R上恒成立，則解得．填空題13．30等價于，所以解得，則，故集合A的非空真子集的個數(shù)為30．14．原式．15．由題意可得，則．16．由，可得當不等式在上恒成立時，則解得，此時，所以a的取值范圍是．解答題17．解：．2分（1）∵“”是“”的充分條件，,．5分（2）．7分當時，．8分當時，．9分綜上，或．10分18．解：（1）當時，可設．由表知，2分．當時，可設，則4分解得5分．綜上，6分（2）當時，函數(shù)單調遞增，．8分當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，∴當時，．10分又，∴當廣告宣傳費投入3萬元時，超市的利潤最大．12分19．（1）證明：令,2分．4分．6分（2）解：結合圖象（圖略）可知，方程的根是的圖象與交點的橫坐標，方程的根是的圖象與交點的橫坐標．又的圖象與的圖象關于直線對稱，8分解得10分∴點與點關于點對稱，所以．12分20．解：（1）由題知,方程的兩根為,2，解得2分由，可得，即，4分，∴不等式的解集為．6分（2）．8分，當且僅當，即時，等號成立．10分又在上單調遞減，當時，，∴當時，有最小值2．12分21．解：（1）．①令,得．②聯(lián)立①②，解得．4分（2）∵在上單調遞增，．5分又．對，不妨設,則．單調遞增．又，,即在上單調遞增，8分．又由題意可知的值域的值域．10分，可得．12分22．解：（1）為奇函數(shù)，的定義域關于原點對稱．又的解集關于原點對稱，,即，2分．當