山西省晉中市靈石縣2023-2024學年九年級上學期月考數(shù)學試題（ 含答案解析 ）

2023—2024學年第一學期12月教學水平調(diào)研卷九年級數(shù)學（說明：本試卷閉卷筆答，全卷共6頁，滿分120分，考試時間120分鐘）注意事項：1．本試題分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷相應(yīng)的位置．3．答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效．第Ⅰ卷（客觀卷）30分一、選擇題（每題3分，共30分）1.下列各點中，在反比例函數(shù)圖象上的點是（）A.（4，1） B.（2，﹣2） C.（﹣1，4） D.（2，3）【答案】A【解析】【分析】根據(jù)將點的橫坐標代入反比例函數(shù)，得到的結(jié)果是否等于該點的縱坐標，即可求解判斷．【詳解】解：A、當時，，則在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項符合題意；B、當時，，則不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項不符合題意；C、當時，，則不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項不符合題意；D、當時，，則（2，3）不在反比例函數(shù)的圖象上，故本選項不符合題意；故選：A【點睛】本題主要考查判斷點是否在反比例函數(shù)圖象上，熟練掌握求反比例函數(shù)的值的方法是解題的關(guān)鍵．2.如圖是一個幾何體的三種視圖，則該幾何體可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三視圖的定義逐項判斷即可．【詳解】解：A、B、C的俯視圖都和題干中給出的圖形不符，故不符合題意，故選：D．【點睛】此題考查由三視圖判斷幾何體，熟知三視圖的定義是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形．位似中心是（）A.（8，0） B.（8，1） C.（10，0） D.（10，1）【答案】C【解析】【分析】連接兩組對應(yīng)點，對應(yīng)點的連線的交點即為位似中心．【詳解】解：如圖，點E即為位似中心，E（10，0），故選：C．【點睛】此題考查了位似中心的定義：位似圖形的對應(yīng)點的連線的交點即為位似中心，熟記定義是解題的關(guān)鍵．4.在中，，，，則的長為（）A.10 B.24 C.5 D.12【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦的定義可得，將代入即可求得的長，再利用勾股定理計算即可．【詳解】解：如圖，在中，，，，故選：A．【點睛】本題考查了已知余弦求邊長，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵，在中，，也考查了勾股定理．5.已知A（7，y1）和B（2，y2）是反比例函數(shù)圖象上的兩點，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A.y1＞y2 B.y1＝y(tǒng)2 C.y1＜y2 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)增減性即可得．【詳解】解：∵反比例函數(shù)中的，∴在每一象限內(nèi)，隨的增大而減小，又∵和是反比例函數(shù)圖象上的兩點，且，∴，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6.如圖，若要測量小河兩岸相對的兩點A，B的距離，可以在小河邊取AB的垂線BP上的一點C，測得BC＝50米，∠ACB＝46°，則小河寬AB為多少米（）A.50sin46° B.50cos46° C.50tan46° D.50tan44°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：在中，，，米，故選：C，【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義．7.一塊三角形板，測得邊的中心投影長為，則邊的中心投影的長為（）A.24cm B.20cm C.15cm D.5cm【答案】B【解析】分析】由投影得，由相似性質(zhì)得，求得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查中心投影，相似三角形的性質(zhì)；由相似三角形得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8.參加足球友誼賽的每兩支球隊之間都要進行一場比賽，共比賽了21場，設(shè)參加比賽的球隊有x支，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)有x個隊參賽，根據(jù)參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行一場比賽，共要比賽21場，可列出方程．【詳解】解：設(shè)有x個隊參賽，則故選B【點睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系列一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9.當溫度不變時，某氣球內(nèi)的氣壓與氣體體積成反比例函數(shù)關(guān)系（其圖象如圖所示），已知當氣球內(nèi)的氣壓時，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，氣球?nèi)氣體體積V應(yīng)滿足的條件是（）A.不大于 B.大于 C.不小于 D.小于【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)圖象可知，函數(shù)圖象是反比例函數(shù)，且過點，將點代入反函數(shù)解析式即可求得的值，從而得出函數(shù)解析式，再根據(jù)的范圍即可得出答案．【詳解】函數(shù)圖象是雙曲線的一條分支，且過點，則故選：C．10.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，點，，都在格點上，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】連接，得出是直角三角形，再求正切即可．【詳解】解：連接，∵，，，∴，∴是直角三角形，在中，，故選：C．【點睛】本題考查正切函數(shù)，直角三角形的判定，得出是直角三角形是解題的關(guān)鍵．第Ⅱ卷（主觀卷）90分二、填空題（每題3分，共15分）11.皮影戲是一種以獸皮或紙板做成的人物剪影，在燈光照射下用隔亮布進行表演的民間戲?。硌菡咴谀缓蟛倏v剪影、演唱，或配以音樂，具有濃厚的鄉(xiāng)土氣息．“皮影戲”中的皮影是______（填寫“平行投影”或“中心投影”）【答案】中心投影【解析】【分析】根據(jù)平行投影和中心投影的定義解答即可．【詳解】解：“皮影戲”中的皮影是中心投影．故答案是中心投影．【點睛】本題主要考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一點向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光線照射下形成的投影．12.在中，若，則________．【答案】等腰直角三角形【解析】【分析】根據(jù)題意可得，．據(jù)此即可求得答案．【詳解】根據(jù)題意，得，．可得，．則．所以，．所以，為等腰直角三角形．故答案為：等腰直角三角形．【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)、等腰三角形的判定，牢記，，的銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．13.如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點，過點A作軸，垂足為點M，連接，若，則k的值是_______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得長方形面積為，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即．由題意可知A、B關(guān)于點O對稱，所以O(shè)為線段的中點，故，從而求出結(jié)果．【詳解】解：因為直線與雙曲線交于A、B兩點，

所以A，B兩點關(guān)于坐標原點成中心對稱，即，所以．又因為，所以．所以，解得．又反比例函數(shù)圖象位于第二、四象限，所以，所以．故答案為：．14.如圖，將等邊三角形沿邊上的高線平移到，陰影部分面積記為，若，，則_____．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)可知，進而可證得，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方可得結(jié)論．【詳解】解：∵等邊三角形沿邊上的高線平移到，∴，，∴，∴，∵，∴，∵的面積記為，，∴，解得．故答案為：9．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平移的性質(zhì)證得陰影三角形與原來的三角形相似．15.如圖，矩形的頂點，分別在軸、軸的正半軸上，它的對角線與函數(shù)的圖象相交于點，且，若矩形的面積為，則的值是______．【答案】【解析】【分析】過點作軸于點，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)已知條件得出，進而根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作軸于點，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴∵矩形的面積為，∴∴∵函數(shù)過點，則又∵在第一象限，∴故答案為：．三、解答題（共75分）16.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查的是特殊角的三角函數(shù)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．（1）把特殊三角函數(shù)值代入原式計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘方法則，特殊角的三角函數(shù)值計算．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】解：原式．17.解方程：（1）（x﹣4）（5x+7）＝0；（2）x2﹣4x﹣6＝0．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程方程即可得；（2）利用配方法解一元二次方程即可得．【小問1詳解】解：，或，或，即．【小問2詳解】解：，，，，，，即．【點睛】本題考查了解一元二次方程，常見方法有：直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法等，熟練掌握方程的解法是解題關(guān)鍵．18.如圖，某數(shù)學興趣小組要測量學校旗桿的高度，在某一時刻測得長的竹竿豎直放置時影長為，在同時刻測量旗桿的影長時，因旗桿靠近一教學樓，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，測得落在地面上的影長為，留在墻上的影高為，求旗桿的高度．【答案】15m【解析】【分析】過C作于E，首先證明四邊形為矩形，可得，，根據(jù)題意得到，求出得長，即可求出旗桿的高度．【詳解】解：如圖，過點作于點，，，，四邊形為矩形，，根據(jù)題意可得，即，解得，，答：旗桿的高度為．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學會利用物長：影長=定值，解決問題，屬于中考?？碱}型．19.如圖，在中，，是的中線，點是的中點，過點作CF∥AB交的延長線于點，連接．請判斷四邊形的形狀，并加以證明．【答案】四邊形BFCD是菱形，理由見詳解【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，可得，再由點是的中點，可得AE=EF，然后根據(jù)CF∥AB，可得∠AFC=∠DAE，∠FCE=∠ADE，從而得到△ADE≌△FCE，進而得到CF=AD，可得四邊形BFCD是平行四邊形，再由CF=CD，即可求解．【詳解】解：四邊形BFCD是菱形，理由如下：在中，∵，是中線，∴，∵點是的中點，∴AE=EF，∵CF∥AB，∴∠AFC=∠DAE，∠FCE=∠ADE，∴△ADE≌△FCE，∴CF=AD，∴CF=BD=CD，∵CF∥AB，∴四邊形BFCD是平行四邊形，∵CF=CD，∴四邊形BFCD是菱形．【點睛】本題主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．20.暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風景區(qū)登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達處，再由處乘坐登山纜車到達山頂處．已知點A，B．D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時間忽略不計）（1）求登山纜車上升的高度；（2）若步行速度為，登山纜車速度為，求從山底A處到達山頂處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）登山纜車上升的高度；（2）從山底A處到達山頂處大約需要.【解析】【分析】（1）過B點作于C，于E，則四邊形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求得的長，據(jù)此求解即可；（2）在中，求得的長，再計算得出答案．【小問1詳解】解：如圖，過B點作于C，于E，則四邊形是矩形，在中，，，∴，∴，答：登山纜車上升的高度；【小問2詳解】解：在中，，，∴，∴從山底A處到達山頂處大約需要：，答：從山底A處到達山頂處大約需要.【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．21.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式．（2）求的面積．（3）當時，直接寫出x的取值范圍．【答案】（1），（2）（3）或【解析】【分析】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解含義解析式，坐標與圖形面積，利用函數(shù)圖象解不等式；熟練的利用數(shù)形結(jié)合的思想解題是關(guān)鍵．（1）將A點坐標代入反比例函數(shù)可得反比例函數(shù)解析式，再求解B的坐標，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；（2）令直線與x軸的交點為M．由，再計算即可；（3）直接利用函數(shù)圖象解答即可．【小問1詳解】解：將A點坐標代入反比例函數(shù)得，．∴反比例函數(shù)的解析式為．將B點坐標代入反比例函數(shù)解析式得，．即點B的坐標為．將A，B兩點坐標代入一次函數(shù)解析式得，，解得．∴一次函數(shù)解析式為．【小問2詳解】令直線與x軸的交點為M．將代入一次函數(shù)解析式得，，解得即點M的坐標為．∴，，故．【小問3詳解】由函數(shù)圖象可知，在直線的左側(cè)和直線與直線之間的部分，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，即，∴當時，x的取值范圍是：或．22.如圖①，一塊材料的形狀是銳角三角形，邊，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊，上．（1）加工成的正方形零件的邊長是多少？（2）如果原題中要加工成一個矩形零件，且此矩形可由兩個大小相同的正方形并排放置組成，如圖②，則這個矩形零件的長和寬分別是多少？（3）圖③，如果把這塊材料形狀改為的斜板，已知，，，要把它加工成一個形狀為平行四邊形的工件，使在上，P、N兩點分別在，上，且，則平行四邊形的面積為______．【答案】（1）正方形的邊長為（2）這個矩形零件的兩條邊長為，（3）768【解析】【分析】（1）設(shè)正方形的邊長為，則，，再證明，得到，即，由此求解即可；（2）設(shè)，則，同理可證，得出，求出，即可得出答案；（3）過點A作于D，交于E，同理可證，，得到，利用勾股定理和面積法求出，，從而求出，則．【小問1詳解】解：由題意得四邊形是矩形，設(shè)正方形的邊長為，則，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴正方形的邊長為；【小問2詳解】解：∵此矩形可由兩個大小相同的正方形并排放置組成，∴，設(shè)，則，同理可證，∴，即，解得：，∴，，∴此時這個矩形零件的兩條邊長為，．【小問3詳解】解：過點A作于D，交于E，如圖所示：同理可證，，∴，在中，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：768．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．23.綜合與探究如圖，在矩形中，，分別以所在的直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系．反比例函數(shù)的圖象交于點，交于點F．（1）求k的值與點F的坐標；（2）在x軸上找一點M，使的周長最小，并求出點