5.7 解直角三角形（一）（銳角三角函數(shù)）（題型精練）（原卷版）

第7講解直角三角形（一）（銳角三角函數(shù)）（精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析題型一：正弦角度1：正弦概念辨析角度2：求角的正弦角度3：已知正弦值求邊長(zhǎng)題型二：余弦角度1：余弦概念辨析角度2：求角的余弦角度3：已知余弦值求邊長(zhǎng)題型三：正切角度1：正切概念辨析角度2：求角的正切角度3：已知正切值求邊長(zhǎng)題型四：特殊角的三角函數(shù)值角度1：求特殊角的三角函數(shù)值角度2：特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算角度3：由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型五：由三角函數(shù)值求銳角題型六：銳角三角函數(shù)的增減性角度1：已知角度比較三角函數(shù)值的大小角度2：根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角取值范圍第四部分：中考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)的相關(guān)概念在中，，，，1正弦的定義與計(jì)算：我們把銳角的對(duì)邊與斜邊的比值叫做的正弦值。表示為，即2余弦的定義與計(jì)算：我們把銳角的鄰邊與斜邊的比值叫做的余弦值。表示為，即3正切的定義與計(jì)算：我們把銳角的對(duì)邊與鄰邊的比值叫做的正切值。表示為，即根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來(lái)理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.注意：正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中引入的，實(shí)際上是兩條邊的比，它們是正實(shí)數(shù)，沒(méi)單位，其大小只與角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形無(wú)關(guān)。知識(shí)點(diǎn)二：特殊角的三角函數(shù)1第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2023秋·山西朔州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知是銳角，且，那么等于（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，的頂點(diǎn)位于正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若，則滿足條件的是（）A． B．C． D．3．（2023秋·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正方形網(wǎng)格中，如圖所示放置（點(diǎn)O，A，C均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且點(diǎn)C在上），則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？计谀_______．5．（2023秋·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，若，，，都是銳角，則是______三角形．6．（2023秋·北京平谷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，如果，，那么的長(zhǎng)為___．第三部分：典型例題剖析題型一：正弦角度1：正弦概念辨析典型例題例題1．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，，若的三邊都縮小5倍，則的值（

）A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不變 D．無(wú)法確定例題3．（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列用線段比表示出的值，正確的是（

）A． B． C． D．角度2：求角的正弦典型例題例題1．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)北京市十一學(xué)校校考期末）在中，，，，則的值是（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E在上，將矩形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，則的值為_____．例題4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，為上一點(diǎn)，交于，若，求的值．角度3：已知正弦值求邊長(zhǎng)典型例題例題1．（2023秋·山西大同·九年級(jí)大同一中?？计谀┤鐖D，大同南站某自動(dòng)扶梯的傾斜角為，自動(dòng)扶梯的長(zhǎng)為15米，則大廳兩層之間的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．以上都不對(duì)例題2．（2023秋·重慶·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，為的弦，直徑，交于點(diǎn)，連接、、、，若，的半徑為2，則的長(zhǎng)度為（

）A．1 B． C． D．例題3．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市第七中學(xué)校考期末）如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．例題4．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)啟東市長(zhǎng)江中學(xué)校考期末）如圖，在矩形中，，、分別為、邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，沿將四邊形翻折至四邊形，點(diǎn)落在上，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（1）寫出與之間的位置關(guān)系是：，（2）求證：（3）連接，若，，求的長(zhǎng)．題型一同類題型歸類練1．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）在中，，那么銳角的正弦等于（

）A． B． C． D．．2．（2023秋·河北秦皇島·九年級(jí)秦皇島市第七中學(xué)?？计谀┰谥校?，，，則邊的長(zhǎng)是（

）A．3 B． C． D．3．（2023春·河北張家口·九年級(jí)張家口市第五中學(xué)校考期末）如圖，是的外接圓，是的直徑，若的半徑為2，，則的值是（）A． B． C． D．4．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，架在消防車上的云梯AB長(zhǎng)為15m，，，云梯底部離地面的距離BC為2m．則云梯的頂端離地面的距離AE的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江蘇徐州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，那么_____________．6．（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京市第六十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°，，D為AC上一點(diǎn)，∠BDC=45°，CD=6．求AD的長(zhǎng)．題型二：余弦角度1：余弦概念辨析典型例題例題1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，則下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)邢臺(tái)市第七中學(xué)校考期末）在直角三角形中，各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大3倍，則銳角的三角函數(shù)值A(chǔ)．也擴(kuò)大3倍 B．縮小為原來(lái)的C．都不變 D．有的擴(kuò)大，有的縮小角度2：求角的余弦典型例題例題1．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么的值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·湖南湘潭·九年級(jí)湘潭鳳凰初級(jí)中學(xué)?？计谀┰谥?，，，，則的值等于（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，則的值為______．例題4．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的直徑，弦，相交于點(diǎn)，如果，，那么________________．角度3：已知余弦值求邊長(zhǎng)典型例題例題1．（2023秋·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與交于點(diǎn)，再分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)、,作直線，分別交于點(diǎn)、，則的長(zhǎng)度為（）A． B．3 C． D．例題2．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)邯鄲市翰光學(xué)校校考期末）在中，，，，則的長(zhǎng)為（）A．6 B．2 C．3 D．9例題3．（2022·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，在直線上截取，使，連接、、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，連接，求的長(zhǎng)．例題4．（2022·四川成都·一模）如圖，為的直徑，為弦，，交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的長(zhǎng)度．題型二同類題型歸類練1．（2022秋·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則等于（

）A． B． C． D．2．（2022秋·重慶·九年級(jí)校考期末）如下圖所示，在矩形中，于點(diǎn)，設(shè)，且，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C． D．3．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)?？计谥校┰谥?，，，則的值是___________．4．（2022秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，，以上的一點(diǎn)O為圓心為半徑作，若與邊始終有交點(diǎn)（包括B、C兩點(diǎn)），則線段的取值范圍是_____．5．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，和都是等腰直角三角形，，連接、(1)求證：∽；(2)如圖，延長(zhǎng)圖中交于點(diǎn)，交于點(diǎn)求的值．6．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第二十二中學(xué)?？计谀┤鐖D12，已知，點(diǎn)E在邊AC上，且，過(guò)點(diǎn)A作的平行線，與射線交于點(diǎn)D，連接．(1)求證：；(2)如果，，，求的長(zhǎng)．7．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若過(guò)A、B的直線與x軸交于點(diǎn)C，求的值．題型三：正切角度1：正切概念辨析典型例題例題1．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，各邊都擴(kuò)大5倍，則的值（

）A．不變 B．?dāng)U大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定例題2．（2023·九年級(jí)單元測(cè)試）在中，，、、分別為、、的對(duì)邊，下列各式成立的是（）A． B． C． D．角度2：求角的正切典型例題例題1．（2023秋·安徽宣城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)邯鄲市翰光學(xué)校?？计谀┤鐖D，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的正切值是（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·河南漯河·九年級(jí)漯河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則（）A． B． C． D．例題4．（2023秋·遼寧鞍山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，求的值．例題5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)及的值．角度3：已知正切值求邊長(zhǎng)典型例題例題1．（2023秋·上海徐匯·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，如果，，那么等于（

）A． B． C． D．例題2．（2023·四川·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．2例題3．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的直徑，點(diǎn)在上，是的切線，，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)，，求的長(zhǎng)．題型三同類題型歸類練1．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，a，b，c分別是的對(duì)邊，，下列各式不一定成立的是（）A． B． C． D．3．（2023秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測(cè)．某學(xué)校大門高6.5米，學(xué)生身高1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)D處測(cè)得攝像頭A的仰角為，當(dāng)學(xué)生剛好離開體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域段時(shí)，在點(diǎn)C處測(cè)得攝像頭A的仰角為，則體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域段的長(zhǎng)為（）A．米 B．米 C．10米 D．5米5．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸于H，，則k的值為______．6．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，為邊上的中線，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，求的值．7．（2023秋·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知四邊形內(nèi)接于，是的中點(diǎn)，于，與及的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)如果，求的值．8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，大渡口義渡古鎮(zhèn)某建筑物樓頂立有廣告牌，小玲準(zhǔn)備利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)估測(cè)該建筑的高度．由于場(chǎng)地有限，不便測(cè)量，所以小玲從點(diǎn)B處沿坡度為的斜坡步行25米到達(dá)點(diǎn)C處，測(cè)得廣告牌底部D的仰角為，廣告牌頂部E的仰角為（小玲的身高忽略不計(jì)），已知廣告牌米．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求C處距離水平地面的高度；(2)求建筑物的高度．題型四：特殊角的三角函數(shù)值角度1：求特殊角的三角函數(shù)值典型例題例題1．（2023秋·山東濰坊·九年級(jí)?？计谀┑闹档扔冢ǎ〢． B． C．1 D．例題2．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列三角函數(shù)中，值為的是（）．A． B． C． D．例題3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知是銳角，，則＝______；______．角度2：特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算典型例題例題1．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谀┯?jì)算題(1)(2)例題2．（2023秋·河北保定·九年級(jí)?？计谀┯?jì)算：(1)(2)角度3：由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀典型例題例題1．（2023秋·安徽滁州·九年級(jí)校考期末）在中，若，則是（

）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般銳角三角形例題2．（2023秋·河南漯河·九年級(jí)漯河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰谥校?，，都是銳角，則是___________三角形．例題3．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，,都是銳角，若，，則的形狀為______三角形.例題4．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，若，，都是銳角，則是______三角形．題型四同類題型歸類練1．（2023春·內(nèi)蒙古包頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列運(yùn)算中，值為的是（

）．A． B．C． D．2．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）在ABC中，，則ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形3．（2023秋·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：___________．4．（2022秋·甘肅嘉峪關(guān)·九年級(jí)校考期末）在中，，則的形狀是______．5．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，則以為內(nèi)角的的形狀是___________．6．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校聯(lián)考期末）．7．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）計(jì)算：．題型五：由三角函數(shù)值求銳角典型例題例題1．（2023秋·山東泰安·九年級(jí)?？计谀┮阎獮殇J角，且，則等于（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·湖南湘潭·九年級(jí)湘潭鳳凰初級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎?，且是銳角，則（

）A． B． C． D．例題3．（2022·九年級(jí)單元測(cè)試）求下列等式中的銳角：(1)(2)同類題型歸類練1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若為銳角，，則為（

）．A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，若，滿足，則＝__________．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知α，β均為銳角，且滿足，求的值．題型六：銳角三角函數(shù)的增減性角度1：已知角度比較三角函數(shù)值的大小典型例題例題1．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如果，那么與的差（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定例題2．（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第七中學(xué)?？计谀┤呛瘮?shù)sin30°、cos16°、cos43°之間的大小關(guān)系是（

）A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°例題3．（2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀┍容^大?。篲__________（填“”或“”或“=”）．角度2：根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角取值范圍典型例題例題1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知為銳角，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）若是銳角，且，則（

）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°例題3．（2022秋·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則銳角的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型六同類題型歸類練1．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）當(dāng)A為銳角，且＜cosA＜時(shí)，∠A的范圍是(

)A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90°C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30°2．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）若銳角α滿足cosα＜且tanα＜，則α的范圍是()A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°3．（2022·安徽黃山·統(tǒng)考一模）已知∠A為銳角，且cosA=0.6，那么（

）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°4．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）三角函數(shù)之間的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．5．（2022·浙江寧波·校聯(lián)考一模）sin70°，cos70°，tan70°的大小關(guān)系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°第四部分：中考真題感悟1．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且點(diǎn)G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．32．（2022·寧夏·中考真題）2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，某一時(shí)刻觀測(cè)點(diǎn)D測(cè)得返回艙底部C的仰角∠C