4.1 數(shù)列的概念（8大題型）精講

數(shù)列的概念重點(diǎn)：1、理解數(shù)列的概念；2、掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用；3、掌握數(shù)列前n項(xiàng)和的概念，能由Sn求an難點(diǎn)：1、理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；2、能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；一、數(shù)列的概念及表示方式1、數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)首項(xiàng)數(shù)列的第1項(xiàng)常稱為首項(xiàng)通項(xiàng)數(shù)列中的第項(xiàng)叫做數(shù)列的通項(xiàng)2、數(shù)列的表示（1）一般形式：，，，…，，…（2）字母表示：上面的數(shù)列也可以記為注：是數(shù)列的第項(xiàng)，也叫通項(xiàng)。3、數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成，那個(gè)這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.二、數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列其中n∈N+遞減數(shù)列常數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列三、數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)1、數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.2、數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，由于一般函數(shù)有三種表示方法，數(shù)列也不例外，有列舉法、圖像法和解析法。3、判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法（1）作差比較法：?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（2）作商比較法：ⅰ.當(dāng)時(shí)，則?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列；ⅱ.當(dāng)時(shí)，則?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（3）結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷：寫出數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)到數(shù)列中去．四、求數(shù)列最大(小)項(xiàng)的方法（1）構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)．（2）利用，求數(shù)列中的最大項(xiàng)；利用，求數(shù)列中的最小項(xiàng).當(dāng)解不唯一時(shí)，比較各解大小即可確定．五、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）各項(xiàng)的符號(hào)特征，通過(guò)或來(lái)調(diào)節(jié)正負(fù)項(xiàng)．（2）考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系．（3）相鄰項(xiàng)(或其絕對(duì)值)的變化特征．（4）拆項(xiàng)、添項(xiàng)后的特征．（5）通過(guò)通分等方法變化后，觀察是否有規(guī)律．【注意】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式其實(shí)是利用了不完全歸納法，蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，由不完全歸納法得出的結(jié)果不一定是準(zhǔn)確的.六、數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系①當(dāng)時(shí)，a1若適合，則的情況可并入時(shí)的通項(xiàng)；②當(dāng)時(shí)，a1若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示.題型一數(shù)列的概念與分類【例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．?dāng)?shù)列可表示為集合B．?dāng)?shù)列，，，與數(shù)列是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為D．?dāng)?shù)列，可記為【答案】C【解析】由數(shù)列定義知A錯(cuò)；B中排列次序不同，錯(cuò)誤；C中第項(xiàng)為，正確；D中，錯(cuò)誤.故選：C【變式11】（2023·黑龍江雞西·高二雞西市第四中學(xué)?？计谥校┫铝薪Y(jié)論中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)B．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)一定是無(wú)限的C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式的形式是唯一的D．?dāng)?shù)列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通項(xiàng)公式【答案】A【解析】對(duì)于A，由數(shù)列定義知，A正確；對(duì)于B，數(shù)列只有5項(xiàng)，該數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為，也可以為，該數(shù)列通項(xiàng)公式不唯一，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為，D錯(cuò)誤.故選：A【變式12】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則關(guān)于此數(shù)列的圖像敘述不正確的是（）A．此數(shù)列不能用圖像表示B．此數(shù)列的圖像僅在第一象限C．此數(shù)列的圖像為直線D．此數(shù)列的圖像為直線上滿足的一系列孤立的點(diǎn)【答案】D【解析】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，它的圖像就是直線上滿足的一系列孤立的點(diǎn).故選:D．【變式13】（2022·吉林白山·高三撫松縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有下列說(shuō)法：①元素有三個(gè)以上的數(shù)集就是一個(gè)數(shù)列；②數(shù)列1，1，1，1，…是無(wú)窮數(shù)列；③每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式；④根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，只能寫出唯一的通項(xiàng)公式；⑤數(shù)列可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)．其中正確的有（）．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】B【解析】對(duì)于①，數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)，而數(shù)集的元素?zé)o順序性，①不正確；對(duì)于②，由無(wú)窮數(shù)列的意義知，數(shù)列1，1，1，1，…是無(wú)窮數(shù)列，②正確；對(duì)于③，不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)，如按精確度為得到的不足近似值，依次排成一列得到的數(shù)列沒(méi)有通項(xiàng)公式，③不正確；對(duì)于④，前4項(xiàng)為1，1，1，1的數(shù)列通項(xiàng)公式可以為，等，即根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，寫出的通項(xiàng)公式可以不唯一，④不正確；對(duì)于⑤，有些數(shù)列是有窮數(shù)列，不可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，⑤不正確，所以說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是1.故選：B題型二由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)【例2】（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（）A．B．C．D．【答案】B【解析】數(shù)列，則其分母為，分子為，則其通項(xiàng)公式為.故選：B【變式21】（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，可以得出第8個(gè)圖有個(gè)點(diǎn).【答案】57【解析】根據(jù)題意，圖（1）中只有1個(gè)點(diǎn)，無(wú)分支；圖（2）除中間一個(gè)點(diǎn)外，有兩個(gè)分支，每個(gè)分支由1個(gè)點(diǎn)；圖（3）除中間一個(gè)點(diǎn)外，有三個(gè)分支，每個(gè)分支由2個(gè)點(diǎn)；圖（4）除中間一個(gè)點(diǎn)外，有四個(gè)分支，每個(gè)分支由3個(gè)點(diǎn)，則第個(gè)圖形中除中間一個(gè)點(diǎn)外，有個(gè)分支，每個(gè)分支有個(gè)點(diǎn)，第個(gè)圖形中有個(gè)點(diǎn)，故第8個(gè)圖形中有個(gè)點(diǎn)．【變式22】（2023·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列{an}：1，，，，…，的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】觀察數(shù)列{an}各項(xiàng)，可寫成：，選項(xiàng)D滿足，選項(xiàng)A中，，選項(xiàng)B中，，選項(xiàng)C中，，均不符合題意．故選：D【變式23】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1），，，，，…；（2）1，，，，，…；（3）6，66，666，6666，66666，…；（4）2，0，2，0，2，…．【答案】（1）（2）（3）（4）；【解析】（1）該數(shù)列的分子成公差為2的等差數(shù)列，分母成公比為2的等比數(shù)列，則（2）該數(shù)列是正負(fù)交錯(cuò)的擺動(dòng)數(shù)列，被開(kāi)方次數(shù)依次遞增，故（3）9，99，999…的一個(gè)通項(xiàng)公式為則6，66，666…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（4）1，1，1，1，1，…．的一個(gè)通項(xiàng)公式為，則2，0，2，0，2，…．的一個(gè)通項(xiàng)公式為.題型三寫出或判斷數(shù)列中的項(xiàng)【例3】（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，且，則實(shí)數(shù)等于（）A．1B．3C．D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，解得．故選：B.【變式31】（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列數(shù)是該數(shù)列中的項(xiàng)的是（）A．7B．8C．9D．10【答案】D【解析】對(duì)于A，令，解得：，故A不正確；對(duì)于B，令，解得：，故B不正確；對(duì)于C，令，解得：，故C不正確；對(duì)于D，令解得：或（舍）,故D正確.故選：D.【變式32】（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列，則該數(shù)列的第項(xiàng)為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意知：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.故選：A.【變式33】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知無(wú)窮數(shù)列，，，…，，…．（1）求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)和第31項(xiàng)．（2）是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？（3）證明：不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)．【答案】（1），；（2）是這個(gè)數(shù)列中的第項(xiàng)；（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)闊o(wú)窮數(shù)列，，，…，，…，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，.（2）因?yàn)?，將代入，得，解得或（舍去），所以是這個(gè)數(shù)列中的第項(xiàng).（3）因?yàn)?，將代入，得，即，解得（?fù)值舍去），又，故也不滿足題意，所以不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng).題型四根據(jù)遞推關(guān)系求通項(xiàng)【例4】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）根據(jù)條件，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式．，.【答案】【解析】∵，∴，其中∴．又適合上式，故．【變式41】（2023·河南南陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，而，則＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，所以，，，……，，，（），所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)闈M足上式，所以，故選：B【變式42】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列中，對(duì)所有的都有，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，，故，，所以，故選：A【變式43】（2023·重慶九龍坡·高二重慶市渝高中學(xué)校?？计谀?shù)列滿足，且，則等于（）A．19B．20C．21D．22【答案】B【解析】根據(jù)題意，數(shù)列滿足，且，即，變形可得，則有，則，故；故選：B．題型五由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)【例5】（2023·浙江紹興·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【解析】由數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【變式51】（2023·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以兩式相減可得；顯然不滿足上式，綜上可得.【變式52】（2023·四川·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，由，，兩式相減得，此時(shí)，，也滿足，所以的通項(xiàng)公式為.故選：B.【變式53】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則【答案】【解析】由已知可得，.當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，有，，兩式相減得，，所以.所以有，，，，，兩邊同時(shí)相乘可得，，整理可得，.當(dāng)時(shí)，，滿足該式，，滿足該式，故.題型六數(shù)列單調(diào)性的判斷【例6】（2023·遼寧朝陽(yáng)·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則數(shù)列是（）A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．不確定【答案】A【解析】由題意可知，即從第二項(xiàng)起數(shù)列的每一項(xiàng)比它的前一項(xiàng)大，所以數(shù)列是遞增數(shù)列；故選：A【變式61】（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，但數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則稱是T數(shù)列．下列數(shù)列不是T數(shù)列的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減數(shù)列，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，所以是T數(shù)列，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，易知不是遞增數(shù)列，因?yàn)?，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，所以是T數(shù)列，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以是遞減數(shù)列，因?yàn)?，且是單調(diào)遞增數(shù)列，所以是T數(shù)列，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以不是單調(diào)遞增數(shù)列，不是T數(shù)列，故D正確.故選：D【變式62】（2023·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么“”是“為遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，數(shù)列為遞增數(shù)列，充分性成立；當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，，恒成立，又，，必要性不成立；“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.【變式63】（2023·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，且是遞增數(shù)列，所以對(duì)于都成立，所以對(duì)于都成立，即對(duì)于都成立，所以對(duì)于都成立，所以，即的取值范圍是，故選：D題型七求數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)【例7】（2023·湖北·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列中的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（）A．2B．3C．2或3D．4【答案】C【解析】；；，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列中的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)或.故選：C【變式71】（2023下·遼寧遼陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列中，，則的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可得．根據(jù)對(duì)勾函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，在上遞增，在上遞減，所以在中，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，所以的最大值是．故選：D.【變式72】（2023·江西·高二統(tǒng)考期末）（多選）數(shù)列滿是，則（）A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為B．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為C．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為D．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以，由，得到，且易知，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以所以數(shù)列