【中考數(shù)學】相似三角形：真題專項突破沖刺提分60題（含答案解析）

中考真題精編匯總

【中考數(shù)學】類似三角形：精選真題專項打破沖刺提分60題

(含答案解析)

【

中

一、解答題(共65小題)

考1.(2014?淄博)如圖，四邊形ABCD中，ACJ_BD交BD于點E,點F,M分別是AB,BC的中

數(shù)點，BN平分NABE交AM于點N,AB=AC=BD.連接MF,NF.

(1)判斷△BMN的外形，并證明你的結論；

學

(2)判斷△MFN與ABDC之間的關系，并闡明理由.

】

精

選

真

題

專

項

2.(2014?岳陽)如圖，矩形ABCD為臺球桌面，AD=260cm,AB=130cm,球目前在E點地位,

突

AE=60cm.如果小丁瞄準BC邊上的點F將球打過去，反彈后，球剛好彈到D點地位.

破(1)求證：△BEFs/\CDF；

沖

刺

提

分

6

。

題3.(2014?永州)如圖，D是AABC的邊AC上的一點，連接BD,已知NABD=NC,AB=6,AD=4,

(求線段CD的長.

盒

晏

木

解

析4.(2014?營口)如圖，在平面直角坐標系中，AABC的三個頂點坐標分別為A(-2,1),B(-

)1,4),C(-3,2).

(1)畫出^ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1,并直接寫出Ci點坐標；

(2)以原點O為位似，位似比為1：2,在y軸的左側，畫出△ABC放大后的圖形AA2B2c2,并直

接寫出C?點坐標；

第1頁/總102頁

中考真題精編匯總

相交于點P.

(1)若AE=CF；

①求證：AF=BE,并求NAPB的度數(shù)；

②若AE=2,試求AP?AF的值；

(2)若AF=BE,當點E從點A運動到點C時，試求點P的路徑長.

6.(2014?揚州)已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上

的P點處.

(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點O,連結AP、OP、OA

①求證：/XOCPs^PDA；

②若△OCP與4PDA的面積比為1：4,求邊AB的長；

(2)若圖1中的點P恰好是CD邊的中點，求NOAB的度數(shù)；

第2頁/總102頁

中考真題精編匯總

（3）如圖2,在（1）的條件下，擦去折痕A0、線段0P,連結BP.動點M在線段AP上（點

??????

M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延伸線上，且BN=PM,連結MN交PB于點F,作

MELBP于點E.試問當點M、N在挪動過程中，線段EF的長度能否發(fā)生變化？若變化，闡明理由；

若不變，求出線段EF的長度.

7.（2014?煙臺）如圖，AB是OO的直徑，延伸AB至P,使BP=OB,BD垂直于弦BC,垂足為

點B,點D在PC上.設NPCB=a,NPOC邛.

求證：tana?tan-t-^=—.

23

8.（2014?湘西州）如圖，在8x8的正方形網(wǎng)格中，ACAB和4DEF的頂點都在邊長為1的小正方

形的頂點上，AC與網(wǎng)格上的直線相交于點M.

（1）填空：AC=,AB=.

（2）求NACB的值和tanZl的值；

（3）判斷4CAB和4DEF能否類似？并闡明理由.

9.(2014?武漢)如圖，AB是。。的直徑，C,P是定上兩點，AB=13,AC=5.

（1）如圖（1）,若點P是贏）中點，求PA的長;

(2)如圖(2),若點P是BC的中點，求PA的長.

第3頁/總102頁

中考真題精編匯總

10.(2014?銅仁地區(qū))如圖所示，AD,BE是鈍角AABC的邊BC,AC上的高，求證：辿組.

BEBC

D

11.(2014?泰安)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,AC與BD交于點E,ZADB=ZACB.

(1)求證:AB_AC.

ATAD,

(2)若AB_LAC,AE：EC=1：2,F是BC中點，求證：四邊形ABFD是菱形.

12.(2014?綏化)已知：AABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別為A(0,3)、B(3,4),

C(2,2)(正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).

(1)畫出aABC向下平移4個單位長度得到的△AiBiCi,點Ci的坐標是；

(2)以點B為位似，在網(wǎng)格內畫出4A2B2c2,使4A2B2c2與AABC位似，且位似比為2：1,點

C2的坐標是;

(3)Z\A2B2c2的面積是平方單位.

13.(2014?紹興)課本中有一道作業(yè)題:

第4頁/總102頁

中考真題精編匯總

有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形

的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB,AC上.問加工成的正方形零件的邊長是多少mm?

小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的成績.

(1)如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1,

此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm?請你計算.

(2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2,這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，

但這個矩形面積有值，求達到這個值時矩形零件的兩條邊長.

AD〃BC,AB=DC,對角線AC、BD相交于點F,

點E是邊BC延伸線上一點，且NCDE=NABD.

(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；

(2)連接AE,交BD于點G,求證：里延.

GBDB

15.(2014?陜西)某，小明和小亮來到一河邊,想用遮陽帽和皮尺測量這條河的大致寬度，兩人在

確保無隱患的情況下，先在河岸邊選擇了一點B(點B與河對岸岸邊上的一棵樹的底部點D所確定

的直線垂直于河岸).

①小明在B點面向樹的方向站好，調整帽檐，使視野經(jīng)過帽檐正好落在樹的底部點D處，如圖所示,

這時小亮測得小明眼睛距地面的距離AB=1.7米；

②小明站在原地轉動180。后蹲下，并保持原來的觀察姿態(tài)(除身體重心下移外，其他姿態(tài)均不變)，

這時視野經(jīng)過帽檐落在了DB延伸線上的點E處，此時小亮測得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距

離CB=1.2米.

第5頁/總102頁

中考真題精編匯總

16.(2014?黔南州)如圖，AB是。O的直徑，弦CD_LAB于點G,點F是CD上一點，且滿足型=工,

FD3

連接AF并延伸交。0于點E,連接AD、DE,若CF=2,AF=3.

(1)求證：AADF^AAED；

(2)求FG的長；

求證：tan/E=Y^.

(3)

4

17.(2014?寧夏)在RtAABC中，NC=90。，P是BC邊上不同于B、C的一動點，過P作PQ±AB,

垂足為Q,連接AP.

(1)試闡明不論點P在BC邊上何處時，都有aPEQ與AABC類似；

(2)若AC=3,BC=4,當BP為何值時，ZXAQP面積，并求出值；

(3)在RtAABC中，兩條直角邊BC、AC滿足關系式BC=￡AC,能否存在一個人的值，使Rt^AQP

既與RtZXACP全等，也與RtZXBQP全等.

18.(2014?南通)如圖，點E是菱形ABCD對角線CA的延伸線上任意一點，以線段AE為邊作一

個菱形AEFG,且菱形AEFGs菱形ABCD,連接EB,GD.

(1)求證：EB=GD；

(2)若NDAB=60。，AB=2,AG=JE，求GD的長.

第6頁/總102頁

中考真題精編匯總

19.(2014?梅州)如圖，在RtZ\ABC中,ZB=90°,AC=60,AB=30.D是AC上的動點，過D作

DFJ_BC于F,過F作FE〃AC,交AB于E.設CD=x,DF=y.

(1)求y與x的函數(shù)關系式；

(2)當四邊形AEFD為菱形時，求x的值；

(3)當4DEF是直角三角形時，求x的值.

20.(2014?眉山)如圖,在Rt^ABC中，ZC=90°,RtABAP中，ZBAP=90°,己知NCBO/ABP,

BP交AC于點0,E為AC上一點，且AE=OC.

(1)求證：AP=A0：

(2)求證：PE1AO；

(3)當AE=aAC,AB=10時，求線段B0的長度.

21.(2014?瀘州)如圖，四邊形ABCD內接于。0,AB是。。的直徑，AC和BD相交于點E,且

DC2=CE?CA.

(1)求證：BC=CD；

(2)分別延伸AB,DC交于點P,過點A作AF±CD交CD的延伸線于點F,若PB=OB,CD=272-

求DF的長.

第7頁/總102頁

中考真題精編匯總

22.(2014?柳州)如圖，正方形ABCD的邊長為1,AB邊上有一動點P,連接PD,線段PD繞點

P順時針旋轉90。后，得到線段PE,且PE交BC于F,連接DF,過點E作EQ_LAB的延伸線于點

Q.

(1)求線段PQ的長；

(2)問：點P在何處時，ZXPFDSABFP,并闡明理由.

23.(2014?柳州)如圖，在AABC中，NBAC的角平分線AD交BC于E,交AABC的外接圓。O

于D.

(1)求證：△ABEs^ADC；

(2)請連接BD,OB,OC,OD,且OD交BC于點F,若點F恰好是OD的中點.求證：四邊形

OBDC是菱形.

24.(2014?樂山)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O.M為AD中點，連

接CM交BD于點N,且ON=1.

(1)求BD的長；

(2)若ADCN的面積為2,求四邊形ABNM的面積.

25.(2014?福州)如圖1,點O在線段AB上，AO=2,OB=1,OC為射線，且NBOC=60。，動點P

以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)，沿射線OC做勻速運動，設運動工夫為t秒.

(1)當時，則OP=,SAABP=____________:

(2)當4ABP是直角三角形時，求t的值；

(3)如圖2,當AP=AB時，過點A作AQ〃BP,并使得NQOP=NB,求證：AQ?BP=3.

第8頁/總102頁

中考真題精編匯總

26.（2014?防城港）如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上的任一點，連接AM并將線段AM

繞M順時針旋轉90。得到線段MN,在CD邊上取點P使CP=BM,連接NP,BP.

（1）求證：四邊形BMNP是平行四邊形；

（2）線段MN與CD交于點Q,連接AQ,若△MCQs^AMQ,則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關

系？請闡明理由.

27.（2014?東營）【探求發(fā)現(xiàn)】如圖1,AABC是等邊三角形，NAEF=60。，EF交等邊三角形外角

平分線CF所在的直線于點F,當點E是BC的中點時，有AE=EF成立；

【數(shù)學考慮】某數(shù)學興味小組在探求AE、EF的關系時，運用“從到普通”的數(shù)學思想，經(jīng)過驗證得

出如下結論：

當點E是直線BC上（B,C除外）任意一點時（其它條件不變），結論AE=EF仍然成立.

假如你是該興味小組中的一員，請你從“點E是線段BC上的任意一點”；“點E是線段BC延伸線上

的任意一點“；"點E是線段BC反向延伸線上的任意一點”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1

中畫出圖形，并證明AE=EF.

【拓展運用】當點E在線段BC的延伸線上時，若CE=BC,在備用圖2中畫出圖形，并運用上述結

論求出SMBC：SAAEF的值.

分/ABC,設CD=x.

(1)求證：△ABCS^BCD；

(2)求x的值;

(3)求cos360-cos72°的值.

第9頁/總102頁

中考真題精編匯總

29.(2014?郴州)在13x13的網(wǎng)格圖中，已知AABC和點M(1,2).

(1)以點M為位似，位似比為2,畫出AABC的位似圖形

(2)寫出的各頂點坐標.

30.(2014?巴中)如圖，在平面直角坐標系xOy中，AABC三個頂點坐標分別為A(-2,4),B

(-2,1),C(-5,2).

(1)請畫出AABC關于x軸對稱的△AIBICI.

(2)將△A1B1C1的三個頂點的橫坐標與縱坐標同時乘以-2,得到對應的點A2,B2,C2,請畫出

△A2B2C2.

(3)求△AiBiCi與4A2B2c2的面積比，即SA4RR=(不寫解答過

程，直接寫出結果).

第10頁/總102頁

中考真題精編匯總

31.（2013?益陽）如圖，在AABC中，AB=AC,BD=CD,CE_LAB于E.求證：AABD^ACBE.

32.（2013?銅仁市）為了測量旗桿AB的高度.甲同窗畫出了表示圖1,并把測量結果記錄如下，

BA_LEA于A,DCJ_EA于C,CD=a,CA=b,CE=c；乙同窗畫出了表示圖2,并把測量結果記錄

如下，DE_LAE于E,BA_LAE于A,BALCD于C,DE=m,AE=n,ZBDC=a.

（1）請你協(xié)助甲同窗計算旗桿AB的高度（用含a、b、c的式子表示）；

（2）請你協(xié)助乙同窗計算旗桿AB的高度（用含m、n、a的式子表示）.

圖1圖2

33.（2013?汕頭）如圖，矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構造一個矩形BDEF,使得另一邊EF

過原矩形的頂點C.

（1）設RtACBD的面積為Si.RtABFC的面積為S2.RtADCE的面積為S3,則SiS2+S3

（用填空）；

（2）寫出如圖中的三對類似三角形，并選擇其中一對進行證明.

第11頁/總102頁

中考真題精編匯總

D

34.(2013?莆田)定義：如圖1,點C在線段AB上，若滿足AC2=BC-AB,則稱點C為線段AB

的黃金分割點.

如圖2,AABC中，AB=AC=2,ZA=36°,BD平分NABC交AC于點D.

(1)求證：點D是線段AC的黃金分割點；

(2)求出線段AD的長.

35.(2013?寧夏)如圖，在平面直角坐標系中，已知AABC三個頂點的坐標分別為A(-1,2),

B(-3,4)C(-2,6)

(1)畫出4ABC繞點A順時針旋轉90。后得到的△AiBiCi

(2)以原點O為位似，畫出將△AiBiCi三條邊放大為原來的2倍后的4A2B2c2.

X

36.(2013?佛山)網(wǎng)格圖中每個方格都是邊長為1的正方形.若A,B,C,D,E,F都是格點,

試闡明△ABCS^DEF.

第12頁/總102頁

中考真題精編匯總

37.（2013?德宏州）如圖，是一個照相機成像的表示圖.

（1）如果像高MN是35mm,焦距是50mm,拍攝的景物高度AB是4.9m,拍攝點離景物有多遠？

（2）如果要殘缺的拍攝高度是2m的景物，拍攝點離景物有4m,像高不變，則相機的焦距應調整

為多少？

38.（2013?濱州）某高中學校為高一重生設計的先生板凳的正面視圖如圖所示，其中BA=CD,

BC=20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm.為使板凳兩腿底端A、

D之間的距離為50cm,那么橫梁EF應為多長？（材質及其厚度等暫忽略不計）.

39.（2012?武漢）已知△ABC中，AB=2爬，AC=叭而，BC=6

（1）如圖1,點M為AB的中點，在線段AC上取點N,使△AMN與△ABC類似，求線段MN的

長；

（2）如圖2,是由100個邊長為1的小正方形組成的10x1。的正方形網(wǎng)格，設頂點在這些小正方形

頂點的三角形為格點三角形.

①請你在所給的網(wǎng)格中畫出格點△AiBiCi與AABC全等（畫出一個即可，不需證明）

②試直接寫出所給的網(wǎng)格中與^ABC類似且面積的格點三角形的個數(shù)，并畫出其中一個（不需證明）.

第23頁/總102頁

中考真題精編匯總

40.(2012?上海)己知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD,ZBAF=ZDAE,

AE與BD交于點G.

(1)求證：BE=DF；

(2)當膽媽忖，求證：四邊形BEFG是平行四邊形.

FCDF

41.(2012?陜西)如圖，正三角形ABC的邊長為3+遙.

(1)如圖①，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上，在正三角形ABC及其內

部，以點A為位似，作正方形EFPN的位似正方形E，F(xiàn)PNl且使正方形EFPTM，的面積(不要求寫

作法)；

(2)求(1)中作出的正方形E，F(xiàn)PN，的邊長；

(3)如圖②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在邊AB上，

點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的值和最小值，并闡明理由.

圖①圖②

42.(2012?南京)下框中是小明對一道標題的解答以及老師的批改.

標題：某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2：1,在溫室內，沿前

側內墻保留3m的空地，其他三側內墻各保留1m的通道，當溫室的長與寬各為多少時，矩

形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2?

第24頁/總102頁

中考真題精編匯總

解：設矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm,則長為2xm,I

根據(jù)題意，得x?2x=288.

解這個方程，得xi=-12(不合題意，舍去)，X2=12

所以溫室的長為2x12+3+1=28(m),寬為12+1+1=14(m)

答：當溫室的長為28m,寬為14m時，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2.

我的結果也正確！

小明發(fā)現(xiàn)他解答的結果是正確的，但是老師卻在他的解答中畫了一條橫線，并打了一個？.

結果為何正確呢？

(1)請指出小明解答中存在的成績，并補充缺少的過程：

變化一下會怎樣…

(2)如圖，矩形ABUD'在矩形ABCD的內部，AB〃AB,AD〃ATT,且AD：AB=2：1,設AB

與AB、BC與BC、CD與CD，、DA與DA，之間的距離分別為a、b、c、d,要使矩形AP，CD's

矩形ABCD,a、b、c、d應滿足什么條件？請闡明理由.

前

側

空蔬菜種植區(qū)域

地

43.(2012?連云港)如圖，甲、乙兩人分別從A(1,6)、B(6,0)兩點同時出發(fā)，點。為坐

標原點，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達M點，乙到達N點.

(1)請闡明甲、乙兩人到達O點前，MN與AB不可能平行；

(2)當t為何值時，△OMNs^OBA；

(3)甲、乙兩人之間的距離為MN的長，設s=MN2,求s與t之間的函數(shù)關系式，并求甲、乙兩人

之間距離的最小值.

第15頁/總102頁

中考真題精編匯總

44.(2012?錦州)如圖所示，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，AABC與是以點O為

位似的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上.

(1)畫出位似點O;

(2)直接寫出AABC與△ABC的位似比；

(3)以位似O為坐標原點，以格線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，畫出△A，B，C關于點O

對稱的△A"B"C",并直接寫出△八味十"各頂點的坐標.

45.(2012?衡陽)如圖，A、B兩點的坐標分別是(8,0)、(0,6),點P由點B出發(fā)沿BA方

向向點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發(fā)沿AO(O為坐標原點)方向

向點。作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ,若設運動工夫為t(0<t<秒.解

3

答如下成績：

(1)當t為何值時，PQ〃BO?

(2)設AAQP的面積為S,

①求S與t之間的函數(shù)關系式，并求出S的值；

②若我們規(guī)定：點P、Q的坐標分別為(xi,yi),(X2,y2),則新坐標(X2-xi,y2-yi)稱為“向

量PQ”的坐標.當S取值時，求“向量PQ”的坐標.

46.(2012?荷澤)如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，AABC和4DEF的頂點都在格點

上，Pi,P2,P3，P4，P5是4DEF邊上的5個格點，請按要求完成下列各題：

(1)試證明三角形AABC為直角三角形；

(2)判斷AABC和4DEF能否類似，并闡明理由；

(3)畫一個三角形，使它的三個頂點為Pi，P2，P3，P4,P5中的3個格點并且與AABC類似(要

求：不寫作法與證明).

第16頁/總102頁

中考真題精編匯總

(1)AE和ED的數(shù)量關系為；AE和ED的地位關系為；

(2)在圖1中，以點E為位似，作4EGF與4EAB位似，點H是BC所在直線上的一點，連接GH,

HD.分別得到圖2和圖3.

①在圖2中，點F在BE上，AEGF與4EAB的類似比1：2,H是EC的中點.求證：GH=HD,

GH1HD.

②在圖3中，點F在的BE延伸線上，4EGF與4EAB的類似比是k：1,若BC=2,請直接寫CH

的長為多少時，恰好使GH=HD且GH_LHD(用含k的代數(shù)式表示).

48.(2012?桂林)如圖，Z\ABC的頂點坐標分別為A(1,3)、B(4,2)、C(2,1).

(1)作出與AABC關于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出Ai、Bi、Ci的坐標；

(2)以原點O為位似，在原點的另一側畫出4A2B2c2,使，絲=?1

A2B22

49.(2012?恩施州)如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方的紙片ABCD,先折出BC的中點E,

再折出線段AE,然后經(jīng)過折疊使EB落到線段EA上，折出點B的新地位B，，因此EB?EB.類似

地，在AB上折出點B"使AB"=AB1這時B"就是AB的黃金分割點.請你證明這個結論.

第17頁/總102頁

中考真題精編匯總

50.(2012?丹東)已知：AABC在坐標平面內，三個頂點的坐標分別為A(0,3),B(3,4),

C(2,2).(正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度)

(1)畫出AABC向下平移4個單位得到的△AiBiCi，并直接寫出Ci點的坐標；

(2)以點B為位似，在網(wǎng)格中畫出使4A2BC2與AABC位似，且位似比為2：1,并直

接寫出C2點的坐標及4A2BC2的面積.

51.(2012?常州)在平面直角坐標系xOy中，已知AABC和4DEF的頂點坐標分別為A(1,0)、

B(3,0)、C(2,1)、D(4,3)、E(6,5)、F(4,7).

按下列要求畫圖：以O為位似，將^ABC向y軸左側按比例尺2：1放大得△ABC的位似圖形△A1B1C1,

并處理下列成績：

(1)頂點Ai的坐標為,Bi的坐標為,Ci的坐標為；

(2)請你利用旋轉、平移兩種變換，使△AiBiCi經(jīng)過變換后得到4A2B2c2,且4A2B2c2恰與4DEF

拼接成一個平行四邊形(非正方形)，寫出符合要求的變換過程.

第18頁/總102頁

中考真題精編匯總

52.(2011?徐州)如圖①，在AABC中，AB=AC,BC=acm,ZB=30°.動點P以lcm/s的速度從

點B出發(fā)，沿折線B-A-C運動到點C時中止運動.設點P出發(fā)xs時，APBC的面積為yen?.已

知y與x的函數(shù)圖象如圖②所示.請根據(jù)圖中信息，解答下列成績：

(1)試判斷ADOE的外形，并闡明理由；

(2)當a為何值時，ADOE與AABC類似？

53.(2011?泰安)已知：在梯形ABCD中，AD〃BC,NABC=90。，BC=2AD,E是BC的中點,

連接AE、AC.

(1)點F是DC上一點，連接EF,交AC于點O(如圖1),求證：△AOEs/XCOF；

(2)若點F是DC的中點，連接BD,交AE與點G(如圖2),求證：四邊形EFDG是菱形.

圖1圖2

54.(2011?南平)如圖，△ABC三個頂點坐標分別為A(1,2),B(3,1),C(2,3),以

原點O為位似，將4ABC放大為原來的2倍得

(1)在圖中象限內畫出符合要求的△A，B，C1(不要求寫畫法)

55.(2011?南寧)如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，AABC的頂點

都在格點上，建立平面直角坐標系.

(1)點A的坐標為，點C的坐標為

(2)將AABC向左平移7個單位，請畫出平移后的△AIBICI.若M為^ABC內的一點，其坐標

為(a,b),則平移后點M的對應點Mi的坐標為.

第29頁/總102頁

中考真題精編匯總

(3)以原點。為位似，將aABC減少，使變換后得到的4A2B2c2與^ABC對應邊的比為1：2.請

在網(wǎng)格內畫出4A2B2c2,并寫出點A2的坐標：.

y

56.(2011?聊城)如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm.點E、F、G分別從點A、B、C

三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向挪動.點E、G的速度均為2cm/s,點F的速度為4cm/s,

當點F追上點G(即點F與點G重合)時，三個點隨之中止挪動.設挪動開始后第t秒時，4EFG

的面積為S(cm2)

(1)當t=l秒時，S的值是多少？

(2)寫出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；

(3)若點F在矩形的邊BC上挪動，當t為何值時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F、C、G

為頂點的三角形類似？請闡明理由.

57.(2011?來賓)如圖，在△ABC中，ZABC=80°,ZBAC=40°,AB的垂直平分線分別與AC、

AB交于點D、E.

(1)用圓規(guī)和直尺在圖中作出AB的垂直平分線DE,并連接BD；

(2)證明：△ABCS^BDC.

第20頁/總102頁

中考真題精編匯總

58.（2011?河北）如圖，在6*8網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1,點0和△ABC的頂點均為小

正方形的頂點.

（1）以O為位似，在圖中作△A，B，C,使△ABX7和aABC位似，且位似比為1：2；

（2）連接（1）中的AA，，求四邊形AA，CC的周長.（結果保留根號）

59.（2011?常德）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形.

（1）求證：/kMEFs^MBA；

（2）若AF、BE分別是NDAB,NCBA的平分線，求證：DF=EC.

60.（2011?安徽）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求畫出△AiBiC]

和4A2B2c2；

（1）把AABC先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，得到△AiBiCi；

（2）以圖中的。為位似，將△AiBiCi作位似變換且放大到原來的兩倍，得到4A2B2c2.

第21頁/總102頁

中考真題精編匯總

中考數(shù)學提分沖刺真題精析：類似三角形

參考答案與試題解析

一、解答題(共65小題)

1.(2014?淄博)如圖，四邊形ABCD中，AC_LBD交BD于點E,點F,M分別是AB,BC的中

點，BN平分NABE交AM于點N,AB=AC=BD.連接MF,NF.

(1)判斷△BMN的外形，并證明你的結論；

(2)判斷△MFN與ABDC之間的關系，并闡明理由.

考點：類似三角形的判定與性質；等腰直角三角形；三角形中位線定理.

專題：兒何綜合題；壓軸題.

分析：(1)根據(jù)等腰三角形的性質，可得AM是高線、頂角的角平分線，根據(jù)直角三角形的性

質，可得NEAB+NEBA=90。，根據(jù)三角形外角的性質，可得答案；

(2)根據(jù)三角形中位線的性質，可得MF與AC的關系，根據(jù)等量代換，可得MF與BD

的關系，根據(jù)等腰直角三角形，可得BM與NM的關系，根據(jù)等量代換，可得NM與BC

的關系，根據(jù)同角的余角相等，可得/CBD與NNMF的關系，根據(jù)兩邊對應成比例且夾

角相等的兩個三角形類似，可得答案.

解答：(1)答：4BMN是等腰直角三角形.

證明：點M是BC的中點，

AAMIBC,AM平分NBAC.

VBN平分/ABE,

ZEBN=ZABN.

VAC±BD,

，NAEB=90。，

.,.ZEAB+ZEBA=90°,

AZM=ZNAB+ZABN=—(ZBAE+ZABE)=45°.

2

.,.△BMN是等腰直角三角形；

(2)答：△MFNs—DC.

證明：,??點F,M分別是AB,BC的中點，

第22頁/總102頁

中考真題精編匯總

；.FM〃AC,FM=AAC.

2

VAC=BD,

.-.FM=-BD,即巴，.

2BD2

VABMN是等腰直角三角形，

.,.NM=BM」BC,即理」，

2BC2

.FMNM

"BD^BC-

VAM±BC,

.,.ZNMF+ZFMB=90°.

YFM〃AC,

，ZACB=ZFMB.

：NCEB=90。，

ZACB+ZCBD=90°.

.??ZCBD+ZFMB=90°,

.,.ZNMF=ZCBD.

.,.△MFN^ABDC.

點評：本題考查了類似三角形的判定與性質，利用了銳角是45。的直角三角形是等腰直角三角形,

兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形類似.

2.（2014?岳陽）如圖，矩形ABCD為臺球桌面，AD=260cm,AB=130cm,球目前在E點地位,

AE=60cm.如果小丁瞄準BC邊上的點F將球打過去，反彈后，球剛好彈到D點地位.

（1）求證：△BEFs/XCDF；

（2）求CF的長.

考點：類似三角形的運用.

專題：兒何綜合題.

分析：（1）利用“兩角法”證得這兩個三角形類似；

（2）由（1）中類似三角形的對應邊成比例來求線段CF的長度.

解答：（1）證明：如圖，在矩形ABCD中：ZDFC=ZEFB,ZEBF=ZFCD=90°,

/.△BEF^ACDF；

（2）解：：由（1）知，ABEF^ACDF.

第23頁/總102頁

中考真題精編匯總

.BE_BF即70_260-CF

?而而‘、130"-CF-'

解得：CF=169.

即：CF的長度是169cm.

點評：本題考查了類似三角形的運用.此題利用了“類似三角形的對應邊成比例”推知所求線段

CF與己知線段間的數(shù)量關系的.

3.(2014?永州)如圖，D是AABC的邊AC上的一點，連接BD,已知NABD=NC,AB=6,AD=4,

求線段CD的長.

考點：類似三角形的判定與性質.

專題：計算題.

分析：由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD與三角形ACB類似，由類似得比例，將

AB與AD長代入即可求出CD的長.

解答：解：在4ABD和4ACB中，ZABD=ZC,ZA=ZA,

.,.△ABD^AACB,

.AB_AD

,.記而

VAB=6,AD=4,

o

.\AC=AB丁36!_%

AD4

則CD=AC-AD=9-4=5.

點評：此題考查了類似三角形的判定與性質，純熟掌握類似三角形的判定與性質是解本題的關

鍵.

4.(2014?營口)如圖，在平面直角坐標系中，AABC的三個頂點坐標分別為A(-2,1),B(-

1,4),C(-3,2).

(1)畫出AABC關于y軸對稱的圖形△AiBiCi,并直接寫出Ci點坐標；

第24頁/總102頁

中考真題精編匯總

(2)以原點0為位似，位似比為1：2,在y軸的左側，畫出AABC放大后的圖形4A2B2c2，并直

分析r(1)利用關于y軸對稱點的性質得出各對應點地位，進而得出答案;

(2)利用位似變換的性質得出對應點地位，進而得出答案；

(3)利用位似圖形的性質得出D點坐標變化規(guī)律即可.

解答：解：(1)如圖所示：△AiBiCi,即為所求，

Ci點坐標為：(3,2)；

(2)如圖所示：AA2B2C2,即為所求,

C2點坐標為：(-6,4)；

(3)如果點D(a,b)在線段AB上，(2)的變化后D的對應點D2的坐標為：(2a,

點評：此題次要考查了軸對稱變換以及位似變換以及位似圖形的性質，利用位似圖形的性質得出

對應點變化規(guī)律是解題關鍵.

第25頁/總102頁

中考真題精編匯總

5.(2014?義烏市)等邊三角形ABC的邊長為6,在AC,BC邊上各取一點E,F,連接AF,BE

相交于點P.

(1)若AE=CF；

①求證；AF=BE,并求NAPB的度數(shù)；

②若AE=2,試求AP?AF的值；

(2)若AF=BE,當點E從點A運動到點C時，試求點P的路徑長.

考點：類似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.

專題：證明題；壓軸題；動點型.

分析：(1)①證明4ABE會Z\CAF,借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的長

度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形類似定理求得性地比值，即可以得到答案.

AF

(2)當點F靠近點C的時分點P的路徑是一段弧，由標題不難看出當E為AC的中點的

時分，點P弧AB的中點，此時4ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對應的圓心角的

度數(shù)，求得答案.點F靠近點B時，點P的路徑就是過點B向AC做的垂線段的長度；

解答：(1)①證明：???△ABC為等邊三角形，

，AB=AC,ZC=ZCAB=60°,

XVAE=CF,

在4ABE和4CAF中，

'AB=AC

-ZBAE=ZACF-

AE=CF

.".△ABE^ACAF(SAS),

；.AF=BE,ZABE=ZCAF.

又YZAPE=ZBPF=ZABP+ZBAP,

ZAPE=ZBAP+ZCAF=60°.

/.ZAPB=18O0-ZAPE=120°.

②?.,/C=NAPE=60。，ZPAE=ZCAF.AAAPE^AACF,

...AP=AE,即理」所以AP?AF=12

ACAF6AF

(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF兩種情況.

第26頁/總102頁

中考真題精編匯總

①當AE=CF時，點P的路徑是一段弧，由標題不難看出當E為AC的中點的時分，點P

弧AB的中點，此時4ABP為等腰三角形，且NABP=NBAP=30。，

/.ZAOB=120°,

又：AB=6,

.".OA=2A/3-

點P的路徑是J兀rJ20兀炳;限后穴

1801803

②當AE=BF時，點P的路徑就是過點C向AB作的垂線段的長度；由于等邊三角形ABC

的邊長為6,所以點P的路徑為：^2_32=3A/3-

所以，點P的路徑長為華冗或3

3

點評：本題考查了等邊三角形性質的綜合運用以及類似三角形的判定及性質的運用，解答本題的

關鍵是留意轉化思想的運用.

6.(2014?揚州)已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上

的P點處.

(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點O,連結AP、OP、OA.

①求證：△OCPs^PDA；

②若AOCP與4PDA的面積比為1：4,求邊AB的長；

(2)若圖1中的點P恰好是CD邊的中點，求ZOAB的度數(shù)；

(3)如圖2,在(1)的條件下，擦去折痕AO、線段OP,連結BP.動點M在線段AP上(點

M與點P、A不重合)，動點N在線段AB的延伸線上，且BN=PM,連結MN交PB于點F,作

第27頁/總102頁

中考真題精編匯總

MELBP于點E.試問當點M、N在挪動過程中，線段EF的長度能否發(fā)生變化？若變化，闡明理由;

若不變，求出線段EF的長度.

考點：類似形綜合題；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；矩形的

性質；角的三角函數(shù)值.

專題：綜合題；壓軸題；動點型；探求型.

分析：(1)只需證明兩對對應角分別相等即可證到兩個三角形類似，然后根據(jù)類似三角形的性

質求出PC長以及AP與0P的關系，然后在RtZXPCO中運用勾股定理求出0P長，從而

求出AB長.

(2)由DP=」DC=1AB=1AP及ND=90。，利用三角函數(shù)即可求出NDAP的度數(shù)，進而

222

求出NOAB的度數(shù).

(3)由邊相等常常聯(lián)想到全等，但BN與PM所在的三角形并不全等，且這兩條線段的

地位很不協(xié)調，可經(jīng)過作平行線構造全等，然后運用三角形全等及等腰三角形的性質即可

推出EF是PB的一半，只需求出PB長就可以求出EF長.

解答：解：(1)如圖1,

①?.,四邊形ABCD是矩形，/.AD=BC,DC=AB.ZDAB=ZB=ZC=ZD=90°.

由折疊可得：AP=AB,PO=BO,ZPAO=ZBAO,ZAPO=ZB.

.??ZAPO=90°.

AZAPD=90°-ZCPO=ZPOC.

VZD=ZC,ZAPD=ZPOC.

.".△OCP^APDA.

②:△OCP與4PDA的面積比為1：4,

.0C_0P_CP_Q

"PDPADAV42'

/.PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.

VAD=8,；.CP=4,BC=8.

設OP=x,貝I」OB=x,C0=8-x.

在RtZ\PCO中，

VZC=90°,CP=4,OP=x,C0=8-x,

/.x2=(8-x)