專題02 一元二次函數(shù)、方程和不等式-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)重難培優(yōu)與單元檢測（人教A版2019）解析版

專題02一元二次函數(shù)、方程和不等式目錄目錄【知識梳理】 2【重點保分】 4【重點保分一】作差（商）比較大小 4【重點保分二】利用性質(zhì)證明簡單不等式 7【重點保分三】一元二次不等式解法 10【重點保分四】一元二次方程根的分布 13【重點保分五】基本不等式與最值 16【重點保分六】巧用“1”的代換求最值 19【難點增分】 22【難點增分一】二次函數(shù)綜合應(yīng)用 22【難點增分二】含參一元二次不等式 24【難點增分三】利用基本不等式求參數(shù)的值（范圍） 27【培優(yōu)滿分】 30【培優(yōu)滿分一】三個“二次”之間的關(guān)系 30 【培優(yōu)滿分二】不等式恒成立問題 33【技巧總結(jié)】 37【單元檢測】 40知識梳理知識梳理1、不等關(guān)系與不等式(1)在現(xiàn)實世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，常用不等式來研究含有不等關(guān)系的問題.(2)用數(shù)學(xué)符號“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示不等關(guān)系.“a≠b”應(yīng)包含“a>b”或“a<b”.2、兩個實數(shù)的大小關(guān)系依據(jù)a>b?a－b>0a＝b?a－b＝0a<b?a－b<0結(jié)論要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小3、不等式：?a，b∈R，a2＋b2≥2ab一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立.4、不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正5、基本不等式(1)基本不等式：如果a>0，b>0，則eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立.(2)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).(3)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：①當(dāng)a＝b時取等號，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②僅當(dāng)a＝b時取等號，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.(4)基本不等式可變形為a＋b≥2eq\r(ab)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2).6、最值問題已知x，y都為正數(shù)，則：(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2，簡記為：積定和最小，和定積最大.7、一元二次不等式(1)一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.(2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.(3)一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點.8、二次函數(shù)與一元二次不等式(方程)的關(guān)系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}9、簡單的分式不等式的解法10、一元二次不等式恒成立問題(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是a<0且Δ<0.(2)分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題.重點保分重點保分【重點保分一】作差（商）比較大小【典例精講】（多選）（2023上·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于實數(shù)，，，下列選項正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則， D．若，，則【答案】ABD【分析】利用比較法、特例法逐一判斷即可.【詳解】對選項A，因為，所以，，所以，故A正確；對選項B，，，所以，因為，所以，即，故B正確；對選項C，令，，滿足，不滿足，，故C錯誤；對選項D，因為，，所以，故D正確．故選：ABD．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·山東青島·高一青島三十九中?？计谥校┫铝忻}為假命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若且，則【答案】A【分析】對于A：舉例分析判斷；對于BC：根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷；對于D：根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合作差法分析判斷.【詳解】對于選項A：例如，則，故A為假命題；對于選項B：若，則，即，故B為真命題；對于選項C：若，則，可得，因為，所以，故C為真命題；對于選項D：因為，則，又因為，則，可得，故D為真命題；故選：A.2．（2020上·江蘇南通·高一江蘇省南通中學(xué)?？奸_學(xué)考試）同學(xué)們在生活中都有過陪同爸爸媽媽去加油站加油的經(jīng)歷，小明發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：爸爸和媽媽加油習(xí)慣有所不同.爸爸每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而媽媽則說“師傅幫我把油箱加滿”這個時候小明若有所思，如果爸爸?媽媽加油兩次，第一次加油汽油單價為x元/升，第二次加油汽油單價是y元/升，媽媽每次加滿油箱，需加油a升，我們規(guī)定誰的平均單價低誰就合算，請問爸爸?媽媽誰更合算呢？（

）A．爸爸 B．媽媽 C．一樣 D．不確定【答案】A【分析】由題意，先計算爸爸和媽媽兩次加油的平均單價，再作差法比較大小，即得解【詳解】由題意，媽媽兩次加油共需付款元，爸爸兩次能加升油設(shè)爸爸兩次加油的平均單價為元/升，媽媽兩次加油的平均單價為元/升則，且所以爸爸的加油方式更合算故選：A二、多選題3．（2023上·江蘇淮安·高三金湖中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】選項A取可判斷；選項B，C用作差法可判斷；選項D先平方，再作差可判斷.【詳解】選項A.

當(dāng)時，不成立，故選項A不正確.選項B.由,所以，故選項B正確.選項C.

由所以，故選項C不正確.選項D.

由，所以，故選項D正確.故選：BD三、填空題4．（2022上·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）若，，，則，的大小關(guān)系是.【答案】【分析】直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符號即可判斷大小.【詳解】由,有，，則，故,故答案為：.【重點保分二】利用性質(zhì)證明簡單不等式【典例精講】（2023上·吉林長春·高一長春十一高校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀材料：(1)下側(cè)圖片中為初中化學(xué)實驗試題，請用數(shù)學(xué)中不等式知識解釋題中“氯化鈉加得越多，溶液越咸”這句話，用代替溶質(zhì)，代替溶液，代替添加的溶質(zhì)并證明.(2)結(jié)合（1）中的不等式關(guān)系與，，則有的不等式性質(zhì).解答問題：已知，，是三角形的三邊，求證：.【答案】(1)(，)，證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由濃度的關(guān)系得到不等式，再利用作差法證明即可；（2）由三角形三邊關(guān)系結(jié)合（1）中的不等式及不等式的可加性證明即可.【詳解】（1）依題意可得(，)，證明：因為，又、、且，所以，，所以，即，所以.（2）因為，，是三角形的三邊，則，，，所以，，，所以.【變式訓(xùn)練】1．（2023上·陜西榆林·高一?？计谥校┳C明下列不等式：(1)已知，求證：；(2)已知，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）依題意可得，再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明；（2）利用作差法證明即可.【詳解】（1），即，，則.（2），，，則，2．（2023上·安徽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）（1），其中x，y均為正實數(shù)，比較a，b的大小；（2）證明：已知，且，求證：【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）利用作差法判斷即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）因為，作差得，因為，，所以，，所以，即；（2）因為，且，，，所以，所以所以，所以，所以，故.3．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）（1）已知，求證：；（2）已知，求證：（3）已知，求證：【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，逐項推理、運算，即可求解.【詳解】（1）因為，可得，所以，又因為，可得.（2）因為，所以，又因為，所以，可得，因為，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，即以.（3）因為，要證，只需證明，展開得，即，即，又因為，所以.4．（2023上·江西·高一江西省余干中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）設(shè)，，比較，的大?。唬?）若，根據(jù)性質(zhì)“如果，，那么”，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）利用作差法求解即可.（2）利用不等式的性質(zhì)證明即可.【詳解】（1），所以.（2）因為，，所以，所以，即.又因為，所以.【重點保分三】一元二次不等式解法【典例精講】（多選）（2023上·安徽阜陽·高一阜陽市第三中學(xué)校考期中）已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（

）A．B．不等式的解集為C．D．的最小值為【答案】AB【分析】利用二次不等式解與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于的表達式，結(jié)合基本不等式，逐一分析判斷各選項即可得解.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，所以是方程的兩根，且，故A正確；所以，解得，所以，即，則，解得，所以不等式的解集為，故B正確；而，故C錯誤；因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，等號成立，與矛盾，所以取不到最小值，故D錯誤.故選：AB.【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·江蘇徐州·高一徐州高級中學(xué)校考期中）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用一元二次不等式的解法求解即得.【詳解】不等式，化為，即，解得，所以不等式的解集為.故選：A2．（2023上·江蘇徐州·高一徐州高級中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于的不等式的解集是，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，結(jié)合韋達定理即可求出，，，之間的關(guān)系，再代入不等式即可求解.【詳解】關(guān)于的不等式的解集是和是方程的兩個實數(shù)根，且.則，解得.所以不等式等價于（），即，解得：所以不等式的解集是故選：B.二、多選題3．（2023上·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．的解集為【答案】ACD【分析】利用一元二次不等式解的性質(zhì)得到關(guān)于的表達式，且，從而分析各選項即可得解.【詳解】由題意知，和3是方程的兩根，且，所以，，則，，因為，所以，，，故AC正確，B錯誤；不等式為，即，解得，所以的解集為，故D正確．故選：ACD．三、填空題4．（2023上·廣西河池·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若集合，且“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)“”是“”的必要不充分條件，得出B是A的真子集，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式，即可求得答案.【詳解】由題意得，又“”是“”的必要不充分條件，則B是A的真子集，故，解得，即實數(shù)的取值范圍為為，故答案為：【重點保分四】一元二次方程根的分布【典例精講】（多選）（2023上·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰O(shè)為實數(shù)，已知關(guān)于的方程，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，方程的兩個實數(shù)根之和為0B．方程無實數(shù)根的一個必要條件是C．方程有兩個不相等的正根的充要條件是D．方程有一個正根和一個負根的充要條件是【答案】BCD【分析】逐項分析每個選項方程根的情況對應(yīng)的參數(shù)m滿足的不等式，解出m的范圍，判斷正誤.【詳解】對于A選項，時無實根，A錯誤；對于B選項，當(dāng)時方程有實根，當(dāng)時，方程無實根則，解得，一個必要條件是，B正確；對于C選項，方程有兩個不等正根，則，，，，解得；對于D選項，方程有一個正根和一個負根，則，，解得，D正確；故選：BCD.【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·河北滄州·高一統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時，方程的兩個實數(shù)根之和為B．方程無實數(shù)根的充分不必要條件是C．方程有兩個正根的充要條件是D．方程有一個正根一個負根的充要條件是【答案】B【分析】由判斷A；利用方程對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求參數(shù)范圍，結(jié)合充分、必要性定義判斷B、C、D.【詳解】A：由題設(shè)，顯然無解，錯；B：若方程無實根，則，即，所以是方程無實數(shù)根的充分不必要條件，對；C：令，要使方程有兩個正根，所以，可得，故不是充要條件，錯；D：同C分析，，可得，故不是充要條件，錯.故選：B2．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谥校┤绻P(guān)于的一元二次方程有兩個不同的正數(shù)實數(shù)根，那么的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方程有兩個不同的正實根，則兩根之和大于零，兩根之積大于零及，列出不等式組，解出即可.【詳解】因為關(guān)于的一元二次方程有兩個不同的正數(shù)實數(shù)根，則有，故選：A二、多選題3．（2023上·江蘇·高一統(tǒng)考期中）關(guān)于的不等式的解集為，下列說法正確的是（

）A．B．不等式的解集為C．的最大值為D．關(guān)于的不等式解集中僅有兩個整數(shù)，則的取值范圍是【答案】ACD【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程的根之間的關(guān)系，即可得，進而可判斷ABC，根據(jù)二次函數(shù)零點分布即可求解D.【詳解】不等式的解集為或，故和是方程的兩個根，所以，解得，故A正確，對于B，可變?yōu)椋獾没?，故B錯誤，對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為，C正確，對于D，的不等式可變?yōu)?，記由于，?是的一個整數(shù)解，由于對稱軸，要使不等式解集中僅有兩個整數(shù)，則，故，故D正確，故選：ACD三、填空題4．（2023上·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）命題“時，方程有兩個不等實數(shù)根”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】利用存在量詞命題，結(jié)合二次函數(shù)圖象與一元二次方程解的關(guān)系，計算得結(jié)論．【詳解】因為命題“時，方程有兩個不等實數(shù)根”是真命題，所以函數(shù)的圖象在上與軸有兩個不同的交點，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：【重點保分五】基本不等式與最值【典例精講】（多選）（2023上·山東淄博·高一山東省淄博實驗中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．若，則的最大值為4B．，則的最小值是4C．當(dāng)取得最大值D．的最小值為【答案】CD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中：由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為4，所以A錯誤；對于B中：若，滿足，可得，所以B不正確；對于C中：當(dāng)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，等號成立，所以C正確；對于D中：由，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，即，顯然該方程無實根，對勾函數(shù)最小值取，代入可得最小為，所以D正確.故選：CD.【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則（

）A．有最小值8 B．有最小值C．有最大值8 D．有最大值【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式可得，即可由不等式的性質(zhì)求解.【詳解】由可得，所以，由于，且，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，因此有最小值8，故選：A2．（2023上·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】變形后由基本不等式求出最值.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng),即時，等號成立.故選：B二、多選題3．（2023上·江蘇南京·高三南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，，則（

）A．的最小值為4 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BCD【分析】根據(jù)基本不等式即可求解BD，由乘“1”法即可求解A,代換后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解C.【詳解】對于A，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，故A錯誤，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，故B正確，，故當(dāng)時，取到最小值，此時，滿足題意，故C正確，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以D正確故選：BCD三、填空題4．（2023上·重慶·高一重慶一中?？计谥校┮阎?，且滿足，則的最大值為．【答案】1【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即取最大值1.故答案為：1【重點保分六】巧用“1”的代換求最值【典例精講】（多選）（2023上·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）已知a，b為正實數(shù)，滿足，則下列判斷中正確的是（

）A．有最小值B．有最小值C．函數(shù)的最小值為1D．有最大值【答案】AD【分析】直接利用基本不等式即可判斷A；先求得，再利用基本不等式求得其最大值，進而即可判斷B；先求得，再利用基本不等式求得其最小值，注意等號取不到，進而即可判斷C；先令，得到，再根據(jù)“1”的妙用得到，再結(jié)合基本不等式求得的最小值，進而即可判斷D．【詳解】由a，b為正實數(shù)，滿足，對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以有最小值，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以有最大值，故B錯誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，等號成立，但，所以取不到最小值，故C錯誤；對于D，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，則，即，所以有最大值，故D正確．故選：AD．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·浙江·高一臺州市黃巖中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．【答案】C【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合基本不等式進行求解即可．【詳解】因為，所以，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選：C．2．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【分析】利用“1的代換”的方法，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以的最小值為.故選：C.二、多選題3．（2023上·新疆伊犁·高一校聯(lián)考期中）已知，且，則（

）A．的最小值是9B．a(chǎn)b的最大值是8C．的最小值是16D．的最小值是4【答案】AD【分析】根據(jù)基本不等式乘“1”法即可判定A,直接利用不等式即可判斷B，根據(jù)不等式等號成立的條件，即可判定C，代換后利用不等式可求解D.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則A正確.因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則B錯誤.因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以等號不能同時取到，所以，則C錯誤.因為，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則D正確.故選：AD三、填空題4．（2023上·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）已知，，，則的最小值為.【答案】/【分析】對代數(shù)式結(jié)合已知等式進行變形，再利用基本不等式進行求解即可.【詳解】因為，所以，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時，有最小值，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：利用等式把代數(shù)式變形為.難點增分難點增分【難點增分一】二次函數(shù)綜合應(yīng)用【典例精講】（2022上·湖北·高一宜昌市夷陵中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)在區(qū)間上的最小值為9，則a可能的取值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸和開口方向進行分類討論，即可求解.【詳解】因為函數(shù)的對稱軸為，開口向上，又因為函數(shù)在區(qū)間上的最小值為9，當(dāng)，即時，函數(shù)的最小值為與題干不符，所以此時不成立；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得：或，因為，所以；當(dāng)，也即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得：或，因為，所以；綜上：實數(shù)a可能的取值或，故選：.【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·新疆阿克蘇·高一?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．其圖像的開口向上 B．圖像的對稱軸為直線C．當(dāng)時，隨的增大而減小 D．函數(shù)有最小值3【答案】C【分析】求得二次函數(shù)圖像的開口方向判斷選項A；求得二次函數(shù)圖像的對稱軸判斷選項B；求得二次函數(shù)當(dāng)時的單調(diào)性判斷選項C；求得3為函數(shù)最大值否定選項D.【詳解】選項A：二次函數(shù)開口向下.判斷錯誤；選項B：二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線.判斷錯誤；選項C：二次函數(shù)當(dāng)時，隨的增大而減小.判斷正確；選項D：當(dāng)時，函數(shù)有最大值3，該函數(shù)無最小值.判斷錯誤.故選：C2．（2021上·浙江寧波·高一?？计谥校┖瘮?shù)，則恒成立的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)原函數(shù)表示出，化簡后解不等式；【詳解】解：由題意得故，解得故選：B二、多選題3．（2020上·山東濟南·高一期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】BCD【解析】根據(jù)對稱軸和區(qū)間的關(guān)系可得，結(jié)合條件可得解.【詳解】由知對稱軸為，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，又，所以.故選：BCD三、填空題4．（2023上·廣東·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對稱軸求解.【詳解】由題意得，，解得，，故的范圍,故答案為：.【難點增分二】含參一元二次不等式【典例精講】（多選）（2023上·湖南株洲·高一株洲市南方中學(xué)?？计谥校┮阎坏仁降慕饧癁榛?，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．的解集為【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由條件可得，即可判斷ABC，將不等式化簡可得，即可判斷D.【詳解】因為不等式的解集為或，則，是方程的兩根，則，解得，故A正確，C錯誤；因為，故B正確；不等式可以化簡為，解得，故D正確；故選：ABD【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得出與的關(guān)系式，再利用基本不等式求的最小值．【詳解】因為是不等式的解集，所以是方程的兩個實數(shù)根且，所以，，所以，且，；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時“”成立；所以的最小值為．故選：A．2．（2023上·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考期中）若關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對分類討論,利用一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系即可得出.【詳解】當(dāng)時，恒成立，則符合題意；當(dāng)時，由題意可得，解得綜上，的取值范圍是.故選：B二、多選題3．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知關(guān)于的不等式的解集為，則（

）A．函數(shù)有最大值B．C．D．的解集為【答案】ABD【分析】（1）由一元二次不等式解集即可知，即函數(shù)有最大值，A正確；由可知即B正確；利用韋達定理可得，即可知C錯誤；易知不等式可化為，解得可知D正確.【詳解】因為不等式的解集為，所以，函數(shù)開口向下，有最大值，A正確；又，函數(shù)值即B正確；又是關(guān)于的二次方程的兩根，則，所以，則C錯誤；不等式即為，即，解得或，，D正確.故選：ABD.三、填空題4．（2022上·上海黃浦·高一格致中學(xué)?？计谀┤绻P(guān)于的不等式的解集為，其中常數(shù)，則的最小值是.【答案】【分析】根據(jù)不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系和基本不等式即可求解.【詳解】不等式的解集為，其中常數(shù)，所以是方程的實數(shù)根，時，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值是故答案為：【難點增分三】利用基本不等式求參數(shù)的值（范圍）【典例精講】（多選）（2023下·河北石家莊·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）下列說法正確的是（

）A．若，則函數(shù)的最小值為B．若實數(shù)a，b滿足，且，則的最小值是3C．若實數(shù)a，b滿足，且，則的最大值是4D．若實數(shù)a，b滿足，且，則的最小值是1【答案】BD【分析】結(jié)合均值不等式求解.對A，，調(diào)整式子；對B，，“1”的妙用；對C，，組成不等式求解；對D，令，則.【詳解】對A，，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即函數(shù)的最大值為，A錯；對B，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，則的最小值是3，B對；對C，，且，∴，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C錯；對D，，且，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，D對.故選：BD【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·山東·高一統(tǒng)考期中）不等式對于，恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分離參數(shù)得對于，恒成立，通過換元求最值即可求出的取值范圍.【詳解】因為不等式對于，恒成立，所以不等式對于，恒成立，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，.故選：A2．（2023上·全國·高一專題練習(xí)）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．4【答案】B【分析】使用變量分離，將化為，使用基本不等式解決.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選：B．二、多選題3．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，點在函數(shù)圖象上，則下列說法正確的是（

）A．有最小值 B．有最小值2C．有最小值 D．若，則有最小值【答案】ACD【分析】A.利用基本不等式判斷；B.利用重要不等式判斷；C.由，利用基本不等式判斷；D.由，結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式判斷.【詳解】解：依題意，，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則有最小值，選項A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則有最小值4，選項B錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則有最小值為，選項C正確；因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則有最小值，選項D正確．故選：ACD．三、填空題4．（2021·高一課時練習(xí)）用的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為2m，則車廂的最大容積是．【答案】【分析】設(shè)長方體長為m，高為m，依題意，可求得，利用基本不等式可求得，從而可得車廂的最大容積．【詳解】設(shè)長方體長為m，高為m，則有，即．∵，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號∴，即，解得∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立∴車廂的最大容積是故答案為：．培優(yōu)滿分培優(yōu)滿分【培優(yōu)滿分一】三個“二次”之間的關(guān)系【典例精講】（多選）（2023上·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．若方程沒有根，則不等式的解集為B．若不等式的解集是，則C．若關(guān)于的不等式的解集為，則D．不等式的解集為【答案】BCD【分析】由方程和不等式之間的關(guān)系能判斷A、B、C，由分式不等式能確定選項D.【詳解】選項A：若方程沒有根，則，故當(dāng)時，不等式的解集為，故不符合題意；A錯誤.選項B：不等式的解集是，則、為方程的根，則代入得；故B正確；選項C：當(dāng)時，不等式變?yōu)椋瑒t解集不是R，不符合題意；當(dāng)時，不等式得解集為R，則，即；綜上，，故C正確；選項D：不等式，即，解得，故D正確.故選：BCD【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．等價于B．若不等式的解集為，則必有C．不等式的解集為D．若方程沒有實數(shù)根，則不等式的解集為【答案】B【分析】根據(jù)二次不等式，分式不等式的解法；二次不等式，對應(yīng)的二次方程，二次函數(shù)之間的關(guān)系逐一判斷每個選項.【詳解】A錯誤，等價于且；B正確，根據(jù)二次不等式解集的形式和二次項系數(shù)的符號的關(guān)系可知其正確；C錯誤，當(dāng)時，其解集為，當(dāng)時，其解集為；D錯誤，若方程沒有實數(shù)根，則二次函數(shù)開口向下且和軸無交點，則不等式的解集為.故選：B2．（2020上·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）已知不等式的解集是，則不等式的解集是（

）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式解集和一元二次方程的根的關(guān)系，利用韋達定理可求得；將所求不等式變?yōu)椋鶕?jù)一元二次不等式的解法可求得結(jié)果.【詳解】的解集為且方程的兩根為：和，解得：

即，解得：的解集為故選:【點睛】本題考查一元二次不等式的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的關(guān)系求得的值.屬于中檔題.二、多選題3．（2023上·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）若不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．且B．C．關(guān)于的不等式的解集是D．關(guān)于的不等式的解集是【答案】ACD【分析】根據(jù)題意可得，，，從而可對A、C項判斷，由是方程的根，可對B項判斷，將化簡為并結(jié)合一元二次不等式可對D項判斷.【詳解】對于A項：由題意可知，，和1是方程的兩根，可得，，所以，，即故A項正確．對于B項：因為是方程的根，所以，故B項錯誤．對于C項：由A項知：，即，因為，得：，故C項正確.對于D項：不等式即，化簡得，解得或，故D正確.故選：ACD.三、填空題4．（2023·高一課時練習(xí)）已知不等式的解集為，則不等式的解集為．【答案】【分析】由題可得，然后根據(jù)二次不等式的解法即得.【詳解】因為不等式的解集為，所以，可得，所以可化為，因為，所以可化為，即，解得：或，所以不等式的解集為.故答案為：.【培優(yōu)滿分二】不等式恒成立問題【典例精講】（多選）（2023上·福建泉州·高三校考期中）下列命題正確的是（

）A．要使關(guān)于的方程的一根比大且另一根比小，則的取值范圍是B．在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是C．關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是D．若不等式的解集為或，則對于函數(shù)有【答案】ABD【分析】令，則即可求得a的范圍，即可判斷A；令，則即可求得的范圍，即可判斷B；根據(jù)題意求出和的關(guān)系，化簡即可求出解集，即可判斷C；根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出a、b、c間的關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D．【詳解】對于A：要使關(guān)于的方程的一根比1大且另一根比1小，令，則有，即，解得，故A正確；對于B：∵在上恒成立，令，則，即，解得，故B正確；對于C：∵關(guān)于的不等式的解集是，∴，則關(guān)于的不等式等價于，即，解得，即關(guān)于的不等式的解集是，故C錯誤；對于D：若不等式的解集為或，則，且，，，則，函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增，所以，，則，故D正確．故選：ABD．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎坏仁降慕饧癁椋也坏仁綄τ谌我獾暮愠闪ⅲ瑒t實數(shù)m的取值范圍為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】由一元二次不等式的解集求出，利用不等式恒成立得出關(guān)于的不等式，求出的范圍．【詳解】由題意得：一元二次方程的兩根分別為1，2，由根與系數(shù)的關(guān)系，可得，，則不等式，即對于任意的恒成立，等價于，或，解得：或．則實數(shù)的取值范圍為或．故選：A2．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）已知，，，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，再根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.【詳解】因為，，則，所以，又，可得，令，則原題意等價于，，即，，當(dāng)時，取到最大值，所以實數(shù)m的取值范圍是．故選：C二、多選題3．（2023上·江蘇蘇州·高一校考階段練習(xí)）關(guān)于的不等式，下列說法不正確的是（

）A．若關(guān)于的不等式解集為或，則二次函數(shù)的零點為，B．若關(guān)于的不等式解集為或，則的解集為C．若關(guān)于的一元二次不等式解集為，則且D．若關(guān)于的不等式的解集與關(guān)于的二次不等式的解集相同都是，則【答案】BC【分析】根據(jù)二次不等式，二次方程和二次函數(shù)之間的關(guān)系分別判斷各選項.【詳解】A選項：若關(guān)于的不等式解集為或，則，且其對應(yīng)方程有兩個解，，所以對應(yīng)函數(shù)的兩個零點為和，A選項錯誤；B選項：若關(guān)于的不等式解集為或，則，且其對應(yīng)方程有兩個解，，且，，即，，所以，即，解得，所以不等式的解集為，B選項正確；C選項：若關(guān)于的一元二次不等式解集為，則且其對應(yīng)方程無解，即，C選項正確；D選項：若關(guān)于的不等式的解集為，則，且，關(guān)于的二次不等式的解集是，則，且，無法確定其比例關(guān)系，D選項錯誤；故選：BC.三、填空題4．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｖ袑W(xué)東校?？计谥校τ谌我鈱崝?shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】利用分類討論的解題思想，結(jié)合一元二次不等式恒成立，可得答案.【詳解】當(dāng)時，不等式化簡為，顯然此時不等式恒成立；當(dāng)時，由一元二次不等式恒成立可得，解得，綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.技巧總結(jié)技巧總結(jié)1.用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟：(1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語.(2)適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量.(3)用不等號表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式(組).2.作差法比較兩個實數(shù)(代數(shù)式)大小的步驟第一步：作差并變形，通常將差化為完全平方和或多個因式積的形式.第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系.第三步：得出結(jié)論.3.對于兩個正值，也可采用作商的方法，比較商與1的大小.4.比較兩數(shù)的大小或證明不等式，最基本的方法是作差比較法，其關(guān)鍵是作差變形，判斷差的符號.5.a2＋b2≥2ab對于任意實數(shù)a，b均成立，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，取“＝”.6.利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的注意點：(1)要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).(2)采用特殊值法進行排除，注意取值一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算.7.利用不等式的性質(zhì)對不等式進行證明其實質(zhì)就是利用性質(zhì)對不等式進行變形，變形要等價，同時要注意性質(zhì)適用的前提條件，不可省略條件.8.用作差法證明不等式和用作差法比較大小的方法原理一樣，變形后判斷符號時要注意充分利用題目中的條件.9.利用不等式的性質(zhì)求取值范圍，要建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進行運算，求得待求的范圍.10.同向不等式的兩邊可以相加，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍.11.利用基本不等式比較實數(shù)大小的注意事項(1)利用基本不等式比較大小，常常要注意觀察其形式(和與積).(2)利用基本不等式時，一定要注意條件是否滿足a>0，b>0.12.在利用基本不等式求最值時要注意三點一是各項均為正；二是尋求定值，求和式最小值時應(yīng)使積為定值，求積式最大值時應(yīng)使和為定值(恰當(dāng)變形，合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧)；三是考慮等號成立的條件是否具備.13.用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事項：①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②巧用“1”的代換證明不等式；③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，創(chuàng)造使用基本不等式的條件再使用.14.“1”的代換：利用已知的條件或?qū)⒁阎獥l件變形得到含“1”的式子，將“1”代入后再利用基本不等式求最值.15.利用基本不等式求參數(shù)(1)觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而求得參數(shù)的值或取值范圍.(2)不等式恒成立問題，往往先分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求最值問題.16.解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正.(2)判別式.對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式.(3)求實根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根.(4)畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.(5)寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集.17.對于含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項系數(shù)為常數(shù)，則可先考慮分解因式，再對參數(shù)進行討論；若不易分解因式，則可對判別式進行分類討論.18.若求出的兩根中含有參數(shù)，應(yīng)對兩根的大小進行討論，然后利用不等式的解集與方程根的關(guān)系得出結(jié)論.19.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0，Δ>0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).20.給出了一元二次不等式的解集，則可知不等式二次項系數(shù)的符號和相應(yīng)一元二次方程的根.在解決具體的問題時，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.21.解決不等式恒成立問題的兩種思路(1)轉(zhuǎn)化成含有參數(shù)的不等式，借助對應(yīng)函數(shù)圖象，找到滿足題目要求的條件，構(gòu)造含參數(shù)的不等式(組)，求得參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)，通過求參數(shù)的最值，進而確定參數(shù)的范圍.22.利用不等式解決實際問題的一般步驟如下：(1)選取合適的字母表示題目中的未知數(shù)；(2)由題目中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)；(3)求解所列出的不等式(組)；(4)結(jié)合題目的實際意義確定答案.單元檢測單元檢測一、單選題1．（2022下·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┤?，，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用特殊值判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B、D，利用作差法判斷C.【詳解】對于A：當(dāng)時，故A錯誤；對于B：因為，所以，故B錯誤；對于C：因為，則，所以，所以，故C錯誤；對于D：因為，所以，，所以，故D正確；故選：D2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）一輛中型客車的營運總利潤y（單位：萬元）與營運年數(shù)的變化關(guān)系如表所示，要使總利潤達到最大值，則該客車的營運年數(shù)是（

）x（年）468…7117…A．15 B．10 C．9 D．6【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】由表格數(shù)據(jù)可知，，，則二次函數(shù)開口向下，且對稱軸為，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，營運總利潤y最大為11，故選：D.3．（2021·全國·高三專題練習(xí)）下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)作差法判斷AC，舉反例判斷BD.【詳解】由于，可得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立，可知選項A錯誤；若可得則，可知選項B錯誤；由于，可得，可知選項C正確；若可得則，可知選項D錯誤；故選：C.4．（2022下·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在（

）單調(diào)遞增.A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡函數(shù)的解析式，由此作出函數(shù)的大致圖象，可得答案.【詳解】依題意，,作出函數(shù)的大致圖象如圖所示；觀察可知，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選:D.5．（2022上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）若，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．6【答案】A【分析】直接運用基本不等式求解．【詳解】因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為．故選：A．6．（2022上·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】D【分析】由不等式的解集是可得，，從而不等式可化為.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為，，，可化為，即，關(guān)于的不等式的解集是.故選：D.7．（2022上·四川成都·高一石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對變形后，利用基本不等式求解.【詳解】，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則.故選：D.8．（2022上·寧夏銀川·高三寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）命題p：，q：，若非p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解絕對值不等式及含參一元二次不等式，然后根據(jù)是的充分不必要條件得到不等式組進行求解.【詳解】∵：，解得：，∴：或，：，，解得：或，又∵是的充分不必要條件，∴，，∴，解得，∴a的取值范圍為.故選：D.二、多選題9．（2022上·湖北恩施·高一恩施市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）以下結(jié)論正確的是（

）A．若，，，則的最小值為1； B．若且，則；C．函數(shù)的最大值為0. D．的最小值是2；【答案】ABC【分析】根據(jù)均值不等式的要求“一正二定三相等”，逐個驗證選項是否正確.【詳解】對于A，由，由均值不等式可得（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），解得，所以的最小值為1，故A正確；對于B，由知，根據(jù)均值不等式可得，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），故B正確；對于C，由，有，由均值不等式可得，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以函數(shù)的最大值為0，故C正確.對于D，，等號成立的條件是，即，而不成立，所以等號不成立，因此的最小值不是2，故D錯誤；故答案為：ABC10．（2022上·廣東佛山·高一佛山一中?？茧A段練習(xí)）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．的解集為【答案】ACD【分析】根據(jù)不等式與方程的關(guān)系，結(jié)合韋達定理，求得的關(guān)系，再分析選項.【詳解】由不等式和解集的形式可知，，且方程的實數(shù)根為或，那么，所以，所以，且，故A、C正確，B錯誤；不等式，即，解得:,所以不等式的解集為，故D正確.故選：ACD11．（2022上·全國·高一期中）以下說法正確的有（

）A．實數(shù)是成立的充要條件B．不等式對恒成立C．命題“”的否定是“”D．若，則的最小值是4【答案】BC【分析】對于A,D，結(jié)合特殊值法，即可求解，對于B，結(jié)合作差法，即可求解，對于C，結(jié)合命題否定的定義，即可求解．【詳解】對于A，當(dāng)時，顯然成立，故A錯誤，對于B，＝，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故不等式對a，b∈R恒成立，故B正確，對于C，“”的否定是“”，故C正確，對于D，令，滿足，但，故D錯誤．故選：BC．12．（2022上·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．“且”是“”的充要條件B．若，，則C．方程有一正一負根的充要條件是D．若實數(shù)滿足，則的最小值為2【答案】CD【分析】特例可判斷AB，根據(jù)一元二次方程根的分布可判斷C，利用均值不等式可判斷D．【詳解】當(dāng)時滿足，但不滿足且，故A錯誤；當(dāng)，，時，滿足，，但，故B錯誤；方程有一正一負根的充要條件是，解得：，故C正確；因為，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值為2，故D正確．故選：CD．三、填空題13．（2022上·陜西安康·高二?？计谀┮阎獎t的最小值為.【答案】9【分析】利用題設(shè)條件進行常值代換，運用基本不等式計算即得.【詳解】因由當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立.則時，取最小值9.故答案為：9.14．（2022上·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集是空集，則實