湖南省長(zhǎng)沙市雨花區(qū)雅禮教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1湖南省長(zhǎng)沙市雨花區(qū)雅禮教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，即，解得，所以，由，即，解得，所以，所以.

故選：C2.“”是“直線與直線平行”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】“直線與直線平行”因?yàn)?，所以直線，直線，與平行，故充分條件成立；當(dāng)直線與直線平行時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，當(dāng)時(shí)，直線，直線平行，故充要條件成立．故選：A．3.空氣質(zhì)量指數(shù)是評(píng)估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字，空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為、、、、和六檔，分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“嚴(yán)重污染”六個(gè)等級(jí)．如圖是某市2月1日至14日連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，則下面說(shuō)法中正確的是（）．A.這14天中有5天空氣質(zhì)量為“中度污染”B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來(lái)越好C.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是214D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是5日到7日【答案】B【解析】A選項(xiàng)：這14天中空氣質(zhì)量為“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)逐漸降低，空氣質(zhì)量越來(lái)越好，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：方差表示波動(dòng)情況，根據(jù)折線圖可知連續(xù)三天中波動(dòng)最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.4.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)、，圓經(jīng)過(guò)、，且圓心在軸上，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】易知，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由可得，解得，所以，圓的半徑為，因此，圓的方程為，即為.故選：A.5.已知雙曲線C：-=1的焦距為10，點(diǎn)P（2,1）在C的漸近線上，則C的方程為A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1【答案】A【解析】由題意得，雙曲線的焦距為，即，又雙曲線漸近線方程為，點(diǎn)在的漸近線上，所以，聯(lián)立方程組可得，所以雙曲線的方程為．6.拋物線焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且，面積為，則拋物線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則由得，即，則，則，則，解得，即拋物線的方程為．．7.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②可能是偶函數(shù)；③在上一定存在最大值；④的解集為．共中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】對(duì)于①，中令，則，解得，①正確；對(duì)于②，中，令得，故為奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，故不為常函數(shù)，故不可能為偶函數(shù)，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，設(shè)，則，又為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故，所以，故是減函數(shù)，在上最大值不是，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)?，故，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以，解得，所以的解集為，④正確.故選：B8.焦點(diǎn)在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是，則橢圓離心率的范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，不妨設(shè)矩形對(duì)角線所在的直線方程為：（假設(shè)），聯(lián)立，則，解得：，，所以矩形的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，因?yàn)辄c(diǎn)在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是，所以，則，即，，即，解得：，即.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓和圓相交于兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）．A.圓的圓心為，半徑為1 B.直線的方程由為C.圓心到的距離為 D.線段的長(zhǎng)為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，圓，化簡(jiǎn)得，所以圓的圓心為，半徑為1，故A正確；對(duì)于B，已知圓和圓相交于兩點(diǎn)，所以兩式相減得：，所以直線的方程為，故B正確；對(duì)于C，由B選項(xiàng)得直線的方程為，因?yàn)?，所以圓心到的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，圓心到的距離為，所以，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.在上單調(diào)遞增D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ABD【解析】由圖可知，則，故A正確.因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以，則B正確.令，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；令，解得，此時(shí)單調(diào)遞減.由，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則C錯(cuò)誤.因?yàn)椋?令，，得，.當(dāng)時(shí)，，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.故選：ABD.11.如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為C.三棱錐外接球的表面積為D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)得，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理，平面，平面，所以平面，又，且平面，平面，所以平面平面，又平面，從而直線平面，故A正確；對(duì)于B，由A知，平面平面，點(diǎn)在平面上，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，三棱錐外接球的半徑，所以三棱錐外接球的表面積為，故C正確；對(duì)于D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，設(shè)，則，即，，可得面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，故，有最大值為，故D正確.故選：ACD.12.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的積等于的點(diǎn)P的軌跡，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱 B.點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最大值為C.周長(zhǎng)的最大值為 D.點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最大值為【答案】AB【解析】由題意，曲線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的積等于的點(diǎn)的軌跡，設(shè)，可得，即，以替換替換方程不變，所以曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，故A正確；由，又，所以且，所以，則，當(dāng)同向時(shí)取等，故，故B正確，設(shè)，得到，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)的最小值為，故C錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)作，如下圖所示：則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，顯然當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大面積為，又由，解得，即點(diǎn)到軸的最大距離為，故D錯(cuò)誤；故答案為：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，若直線l的方向向量的坐標(biāo)為．則__________．【答案】【解析】設(shè)直線的斜率為，因?yàn)橹本€的方向向量坐標(biāo)是，所以，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)和，所以，解得.故答案為：.14.已知橢圓上的點(diǎn)M到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的距離為2，N是MF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么線段ON的長(zhǎng)是________.【答案】4【解析】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為E，則|MF|+|ME|=10，又∵|MF|=2，∴|ME|=8，又ON為△MEF的中位線，∴|ON|=|ME|=4.故答案為：415.已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________．【答案】【解析】令，即，解得或，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，方程有個(gè)實(shí)數(shù)解，有個(gè)實(shí)數(shù)解，且均互不相同，所以，的實(shí)數(shù)解有個(gè)，所以，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是個(gè).故答案為：16.已知N為拋物線上的任意一點(diǎn)，M為圓上的一點(diǎn)，，則的最小值為__________．【答案】【解析】根據(jù)題意可得拋物線與圓都關(guān)于軸對(duì)稱，且圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.因?yàn)?，圓下方與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，取線段中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得，連接，畫出示意圖如上圖所示.因?yàn)椤⒎謩e為和的中點(diǎn)，所以，，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn).所以的最小值即為的最小值.因?yàn)镹為拋物線上的任意一點(diǎn)，設(shè)，，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，即的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，向量，，且．（1）求的值；（2）若，，求的面積．解：（1）因?yàn)?，，且，，，又∵為?nèi)角，，（2）由余弦定理，得，解得或（舍去），故，所以．18.2023年，某省實(shí)行新高考，數(shù)學(xué)設(shè)有4個(gè)多選題，在給出的A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中，有兩項(xiàng)或三項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．現(xiàn)正在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試．（1）根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，小李同學(xué)做對(duì)第一個(gè)多選的概率為，做對(duì)第二個(gè)多選題的概率為，對(duì)第三個(gè)多選題的概率為．求小李同學(xué)前三個(gè)多選題錯(cuò)一個(gè)的概率．（2）若最后一道數(shù)學(xué)多選題有三個(gè)正確的選項(xiàng)，而小智和小博同學(xué)完全不會(huì)做，只能對(duì)這道題的選項(xiàng)進(jìn)行隨機(jī)選取，每個(gè)選項(xiàng)是否被選到是等可能的，若小智打算從中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，小博打算從中隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)．（i）求小博得2分的概率；（ii）求小博得分比小智得分高的概率．解：（1）設(shè)事件為小李同學(xué)前三個(gè)多選題錯(cuò)一個(gè)題，則.（2）（i）因?yàn)樽詈笠坏罃?shù)學(xué)多選題有三個(gè)正確的選項(xiàng)，不妨設(shè)正確答案為，而小博打算從中隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)，則共有種，其中選中錯(cuò)誤答案的有種，所以小博得2分的概率.（ii）設(shè)小博得分為，由（i）可知，，設(shè)小智得分為，則，，設(shè)小博得分比小智得分高為事件，則.19.如圖，在梯形中，，，，將沿邊翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）若為線段的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）等腰梯形中，，，，則，則，∴，又由，可知，又，平面，平面，故平面.（2）過(guò)點(diǎn)作平面，以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，設(shè)面法向量為，則，則，令，則，，則，又面一個(gè)法向量為，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.20.已知拋物線（）的焦點(diǎn)為F，的頂點(diǎn)都在拋物線上，滿足．（1）求的值；（2）設(shè)直線AB、直線BC、直線AC的斜率分別為，，，若實(shí)數(shù)滿足：上，求的值．解：（1）設(shè)，，因?yàn)?，所以，，即，由拋物線定義知，，，，所以.（2）由（1）知，．∵，同理，∴，，解得.21.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求的方程；（2）過(guò)作兩條相互垂直的直線和，與的右支分別交，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．解：（1）設(shè)雙曲線，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線，，其中，雙曲線的漸近線為，因?yàn)椋c的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，，所以，將的方程與聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以，用替換，可得，所以．令，所以，則，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故四邊形面積的最小值為．22.如圖，設(shè)P是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是點(diǎn)P在x軸上的投影，Q點(diǎn)滿足（）．（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；（2）若，設(shè)點(diǎn)，A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，直線l過(guò)點(diǎn)且與曲線C交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，設(shè)直線AM與直線BN交于點(diǎn)T，設(shè)直線AM的斜率為，直線BN的斜率為．（i）求證：為定值；（ii）求證：存在兩條定直線、，使得點(diǎn)T到直線、的距離之積為定值．解：（1）設(shè)點(diǎn)，則，，由，得，，由P是上的動(dòng)點(diǎn)，得，即有，整理得，所以點(diǎn)Q的軌跡C的方程為.（2）（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知，曲線C的方程為，顯然點(diǎn)，在曲線C上，設(shè)，直線方