《向量概念課》教學(xué)設(shè)計(jì)：HPM視角下高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)研究

HPM視角下高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)研究以平面向量第一課時(shí)為例一、向量發(fā)展的歷史：向量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)。很多物理量如力、速度、位移以及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量。大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到?！跋蛄俊币辉~來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段。最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)大科學(xué)家牛頓。向量一詞始于19世紀(jì)20年代，用于復(fù)數(shù)的幾何表現(xiàn)。CasparWessel，JeanRobertArgand，CarFriedrichGauss，還有至少一到兩個(gè)其他人將復(fù)數(shù)想象成分布在二維平面中的點(diǎn)，也就是二維向量。數(shù)學(xué)家和科學(xué)家以不同的方式應(yīng)用這些新的復(fù)數(shù)，比如高斯主要利用復(fù)數(shù)來證明基礎(chǔ)代數(shù)理論。1837年，WilliamRowanHamilton展示了任意復(fù)數(shù)可以被看做實(shí)數(shù)的有序?qū)?a,b)。這種想法是許多數(shù)學(xué)家，包括哈密頓自己，尋找一種方式來將二維“數(shù)字”擴(kuò)展到三維空間的研究的一部分，但是沒有人能夠做到同時(shí)保留實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的基本代數(shù)性質(zhì)。1827年，莫比烏斯出版了一本小書《TheBarycentricCalculus》（重心演算），在這本書里他介紹了用英文字母表示的有向線段，除了名字外這就是向量定義的全部?jī)?nèi)容。莫比烏斯在重心和射影幾何的學(xué)習(xí)中，發(fā)展出了這些有向線段的運(yùn)算，他對(duì)它們進(jìn)行加法運(yùn)算并且展示了如何用一個(gè)實(shí)數(shù)來與它們相乘。哈密頓在經(jīng)歷一番挫折后，最終放棄了諸如三維空間"數(shù)字"的研究轉(zhuǎn)而創(chuàng)造出了四維系統(tǒng)，他稱之為四元數(shù)Clifford把兩四元數(shù)的乘積拆分成兩個(gè)很不相同的向量乘積，他稱之為數(shù)量積（現(xiàn)在也稱為點(diǎn)乘）和向量積（現(xiàn)在也稱為叉乘）。對(duì)于向量分析，他斷言“我確信它的法則將對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的未來產(chǎn)生廣泛的影響。”二、教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)：1.通過對(duì)力、速度、位移等分析，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義。掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；2.通過對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)重難點(diǎn)：1.教學(xué)重點(diǎn)：向量的概念2.教學(xué)難點(diǎn)：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.教學(xué)過程：1、情景引入師：滑雪運(yùn)動(dòng)員在平臺(tái)上準(zhǔn)備比賽的時(shí)候，請(qǐng)同學(xué)們說說此時(shí)該運(yùn)動(dòng)員的受力情況。生：運(yùn)動(dòng)員受到向上的支持力和向下的重力。師：請(qǐng)同學(xué)們說說該運(yùn)動(dòng)員滑下去的過程中的受力情況如何？（忽略空氣阻力）生：該運(yùn)動(dòng)員滑下去的時(shí)候除了支持力和重力之外，還受到沿斜面向上的摩擦力。師：在下滑的過程中，該運(yùn)動(dòng)員速度如何變化？生：該運(yùn)動(dòng)員下滑速度越來越快，并且產(chǎn)生了正的加速度。師：上面這個(gè)問題中，該運(yùn)動(dòng)員受到的重力、支持力、摩擦力，產(chǎn)生的加速度這些量有什么共同點(diǎn)？生：都是矢量，都有大小和方向。師：我們?cè)賮砜匆粋€(gè)問題，某同學(xué)家離學(xué)校直線距離是1KM，那是否該同學(xué)走1KM就一定能走到家呢？為什么？生：不一定走到家，1KM是位移，路程和位移不一樣。師：上面這個(gè)問題中，位移與路程這兩個(gè)量有什么區(qū)別？生：位移是矢量，距離是標(biāo)量，一個(gè)有方向一個(gè)沒有方向。師：在實(shí)際生活中，很多時(shí)候考慮一個(gè)量不僅需要大小而且需要方向來進(jìn)行刻畫，在物理學(xué)中把這樣的量叫做矢量，而只有大小沒有方向的量叫做標(biāo)量，在數(shù)學(xué)中，我們也要來研究具有這樣特征的量。2、探索新知師：根據(jù)剛剛的探究，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量（板書）。只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量。師：在物理學(xué)中，我們是如何表示重力、支持力、加速度等一些矢量的呢？生：可以通過一條帶箭頭的線段來表示。師：在數(shù)學(xué)中，我們也可以用一條帶箭頭的線段來表示一個(gè)向量。例如向量AB，箭頭表示方向，方向是從A指向B，那么這個(gè)向量的大小可以用什么來表示？生：可以用線段的長(zhǎng)度來表示向量AB的大小。A(起點(diǎn))B（終點(diǎn)）師：那么帶箭頭的線段來表示一個(gè)向量我們就把它稱為向量的幾何表示法。但是在研究問題的過程中，我們用帶箭頭的線段來表示向量顯得不是很方便，所以我們還需要用符號(hào)來表示。我們可以用AB來表示一個(gè)向量，方向是從A指向B，同樣也可以使用小寫字母a來表示A(起點(diǎn))B（終點(diǎn)）師：剛剛同學(xué)們說到，對(duì)于AB，我們可以用線段AB的長(zhǎng)度來表示向量的大小，那么我們把向量AB的大小稱為向量AB的長(zhǎng)度（或模），記作AB或記作a。師：同學(xué)們思考一下，向量的模取值范圍是什么？生：向量的模的范圍是[0,﹢∞)（強(qiáng)調(diào)不是絕對(duì)值符號(hào)）師：通過剛剛的探究，我們研究一個(gè)向量要從幾個(gè)角度來進(jìn)行？生：需要考慮大小和方向。師：我們研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念，通常需要從特殊的情況入手，推出一般的情況，那么我們分別從向量的大小和方向兩個(gè)角度，去思考有哪些特殊的向量？師：先從向量大小的角度來研究，向量的大小對(duì)應(yīng)了什么數(shù)？生：對(duì)應(yīng)了非負(fù)數(shù)（實(shí)數(shù)）。師：那么同學(xué)們思考一下，我們?cè)谘芯糠秦?fù)數(shù)（實(shí)數(shù)）的過程中，研究的比較特殊的數(shù)是什么？生：0和1。師：類比非負(fù)數(shù)（實(shí)數(shù)）中的特殊的兩個(gè)數(shù)，在向量中，也有這樣的兩個(gè)特殊的向量，它們模的大小分別是0和1。我們把長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作0，把長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量。（板書）師：同學(xué)們思考一下，零向量和單位向量的方向如何確定？生：?jiǎn)挝幌蛄康姆较虿灰欢?，零向量的方向無法確定（強(qiáng)調(diào)任意）師：零向量的方向是任意的，單位向量的方向具體而定.師：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)在原點(diǎn)的單位向量，它們的終點(diǎn)的軌跡是什么圖形？生：是一個(gè)圓。（單位圓）師：我們需要注意向量是不能比較大小的,但向量的模是可以進(jìn)行大小比較的.師：剛剛我們從大小的角度研究了特殊的兩個(gè)向量，接下來我們從方向的角度來研究又有哪些特殊的情況，請(qǐng)同學(xué)們看一個(gè)問題，在平行四邊形ABDC中，你能寫出哪些向量？生：AB，DC，AC……師：同學(xué)們思考一下，在你寫的這些向量當(dāng)中，有那些具有特殊關(guān)系的向量？生：我發(fā)現(xiàn)AB和CD方向相同（AC和BD）師：我們發(fā)現(xiàn)，AB和CD所在直線AB和CD是互相平行的，那么這兩個(gè)向量也應(yīng)該互相平行。那么AB和DC互相平行嗎？他們的方向有什么關(guān)系？生：也互相平行。方向相反師：請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下，向量平行應(yīng)該如何定義。生：方向相同或者相反的向量叫作平行向量。師：我們一般研究的平行向量是非零向量，但是零向量的方向是任意的，所以我們規(guī)定零向量和任意向量平行，所以對(duì)于同學(xué)們總結(jié)出來的平行向量的定義，我們需要在這個(gè)向量前面加上非零兩個(gè)字。剛剛同學(xué)們寫出來的一組平行向量就可以記為AB∥CD。師：AB和CD除了方向相同之外，還有什么相同點(diǎn)？生：它們的大小也相同。師：我們發(fā)現(xiàn)AB和CD方向相同大小也相同，我們就稱像AB和CD長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量，記作AB=CD師：兩個(gè)單位向量相等嗎？為什么？生：不相等，因?yàn)樗鼈兊姆较蚩赡懿煌?。師：A0和AC是平行向量嗎？生：是平行向量，因?yàn)樗鼈兎较蛳嗤沂欠橇阆蛄?。師：但是現(xiàn)在這兩個(gè)向量在一條直線上，為什么能說它們是平行向量呢？師：在平行四邊形ABDC中，AB和CD是相等向量，那么CD可以看作是AB平移得到的，也就是將AB向量的起點(diǎn)A移到C得到CD，從中我們可以看出，向量是可以平移的，它們是自由的，只與大小和方向有關(guān)，與起點(diǎn)是無關(guān)的。師：我們來看一幅圖，如圖所示,a、b和c這三個(gè)非零向量?jī)蓛善叫校鶕?jù)向量的平移，我們可以發(fā)現(xiàn)任一組平行向量都可移到同一直線上，所以平行向量就是共線向量。師：類比直線平行，同學(xué)們思考一下AB∥CD和AB∥CD有什么區(qū)別？生：如果AB∥CD，直線AB和直線CD不共線，但是AB∥CD，兩者能平移到同一條直線上，是可以共線的。師：AB和BA是平行向量嗎？是同一個(gè)向量嗎？生：是平行向量，但不是同一個(gè)向量，因?yàn)樗鼈兎较蛳喾础煟赫?qǐng)同學(xué)們說說什么樣的向量叫作相反向量？生：方向相反大小相同的向量叫相反向量。（板書）師：在實(shí)數(shù)中，相反的兩個(gè)數(shù)我們用什么表示？生：用負(fù)號(hào)。師：所以我們記a的相反向量為-a，即a和-a互為相反向量，記作-（-a）=a那么零向量的相反向量是什么向量？生：零向量。師：在平行四邊形ABDC中，是不是所有的向量都互相平行？請(qǐng)舉例說明。生：不是所有的向量都不行，例如OA和OB。師：我們來觀察OA和OB，這兩個(gè)向量不平行的話，我們?nèi)绾稳タ坍嬤@兩個(gè)向量之間的關(guān)系呢？生：用角來刻畫。師：我們發(fā)現(xiàn)OA和OB這組向量有一個(gè)夾角，那么用哪個(gè)角來刻畫這兩個(gè)向量的關(guān)系？生：用∠A0B來刻畫。師：我們來看這個(gè)問題，屏幕上的兩個(gè)向量a和b，這兩個(gè)向量的夾角是什么呢？如何去確定？生：通過平移，將這兩個(gè)角的起點(diǎn)移到一起，形成了一個(gè)夾角，這個(gè)夾角就是a和b的夾角。師：同學(xué)們思考一下AO和OB的夾角與OA和OB的夾角是否相等？生：不相等，AO和OB的夾角是∠AOD，OA和OB的夾角是∠A0B。師：由此可以看出，我們要確定兩個(gè)向量的夾角，首先要通過平移將這兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，進(jìn)而確定夾角是哪個(gè)角。（板書）師：同學(xué)們繼續(xù)思考，向量的夾角范圍是什么？生：夾角的范圍是0°≤θ≤180°。（板書）師：通過對(duì)夾角的范圍的討論，同學(xué)們思考一下，從夾角的范圍中可以看出向量之間的特殊關(guān)系？生：當(dāng)θ=0°，a和b同向；θ=180°時(shí)，a和b反向；θ=90°時(shí)，a⊥b。（板書）。師：這就是我們這節(jié)課需要研究的有關(guān)向量的內(nèi)容，接下來我們來看幾個(gè)例題來鞏固一下我們今天所學(xué)的知識(shí)。師：首先我們來看例題1。請(qǐng)同學(xué)們判斷正誤，錯(cuò)誤的請(qǐng)指出錯(cuò)誤的原因。3、例題講解例1、判斷正誤（1）平行向量一定方向相同（）（方向可以相反）（2）不相等的向量一定不平行（）（方向相同就平行）（3）與任意向量都平行的向量是零向量（）（4）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是平行向量（）（5）兩個(gè)非零向量相等當(dāng)且僅當(dāng)長(zhǎng)度相等且方向相同（）（6）共線向量一定在同一直線上（）（平行向量也是共線向量）師：我們來看例題2例2、如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，（1）寫出圖中的共線向量；（2）分別寫出圖中與向量、、相等的向量。（3）分別寫出OC和OD，OB和BA，AF和DC的夾角。（3）60°，120°，180°師：通過兩個(gè)例題，想必同學(xué)們已經(jīng)對(duì)向量有了初步的認(rèn)識(shí)和理解，請(qǐng)同學(xué)們來說說我們這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容。生：敘述向量的概念；敘述向量的表示方法：符號(hào)表示、幾何表示；敘述零向量和單位向量；敘述平行向量、共線向量、相等向量、相反向量的概念；敘述向量的夾角及其范圍。師：在研究向量概念的過程中，我們用到了哪些研究數(shù)學(xué)的問題的方法？生：從特殊到一般，類比，數(shù)形結(jié)合等。師