專題09 一次函數的圖象與性質（解析版）

專題09一次函數的圖象與性質知識點框架知識點講解正比例函數定義：一般地，形如y=kx（k為常數，k≠0）的函數，叫做正比例函數，k叫做比例系數。【擴展】正比例函數y=kx（k為常數，k≠0）必過點（0,0）、（1，k）。一次函數定義：如果y=kx+b（k，b是常數，k≠0），那么y叫做x的一次函數，k叫比例系數。當b=0時，一次函數y=kx+b變?yōu)閥=kx，正比例函數是一種特殊的一次函數?！緮U展】1）一次函數y=kx+b（k，b是常數，k≠0）必過點（0，b）、（-，0）。2）直線l1與坐標原點構成的三角形面積為s=QUOTE。畫一次函數圖象：1）畫一次函數的圖象，只需過圖象上兩點作直線即可，一般取(0，b)，(，0)兩點；2）當b=0時，一次函數變?yōu)檎壤瘮?，正比例函數是一次函數的特例，一般?。?,0）、（1，k）兩點?！菊壤瘮蹬c一次函數的性質（重難點、考點）】一、圖像特征b>0b<0b=0k>0經過第一、二、三象限經過第一、三、四象限經過第一、三象限圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大k<0經過第一、二、四象限經過第二、三、四象限經過第二、四象限圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小【小結】1）正比例函數的性質：一般地，正比例函數y=kx(k≠0)有下列性質：（1）當k>0時，圖象經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，圖象經過第二、四象限，y隨x的增大而減小。2）一次函數的性質：一般地，一次函數y=kx+b(k≠0，b≠0)有下列性質：（1）k>0，b>0時，圖象經過一、二、三象限，y隨x的增大而增大；（2）k>0，b<0時，圖象經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大；（3）k<0，b>0時，圖象經過一、二、四象限，y隨x的增大而減?。唬?）k<0，b<0時，圖象經過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。二、位置特征（直線y1=kx＋b與y2=kx圖象的位置關系）對于正比例函數：1）當b>0時，將y2=kx圖象向x軸上方平移b個單位，就得到y1=kx＋b圖象。2）當b<0時，將y2=kx圖象向x軸下方平移－b個單位，就得到y2=kx＋b圖象。對于一次函數（規(guī)則：上加下減，左加右減）：1）上下平移：①將直線y=kx+b向上平移n個單位長度：得到直線y=kx+b+n；②將直線y=kx+b向下平移n個單位長度：得到直線y=kx+b-n；2）左右平移：①將直線y=kx+b向右平移n個單位長度：得到直線y=k(x-n)+b；②將直線y=kx+b向左平移n個單位長度：得到直線y=k(x+n)+b；確定一次函數解析式的方法：1）依據題意中等量關系直接列出解析式；2）待定系數法。用待定系數法求一次函數表達式的一般步驟：①設出函數的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；②根據已知條件(自變量與函數的對應值)代入表達式得到關于待定系數的方程或方程組；③解方程或方程組求出待定系數的值；④將所求得的系數的值代入到函數的一般形式中。典型題型考查題型一判斷正比例函數與一次函數1．（2022·江蘇南通·八年級期末）下列函數中，是的正比例函數的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據正比例函數的定義：一般地，形如y=kx（k是常數，k≠0）的函數叫做正比例函數，即可判斷．【詳解】解：A、，是的正比例函數，故符合題意；B、，是的反比例函數，故不符合題意；C、，是的一次函數，故不符合題意；D、，是的二次函數，故不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了正比例函數的定義，熟練掌握正比例函數的定義是解題的關鍵．2．（2022·江蘇鹽城·八年級期末）下列函數中，是正比例函數的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正比例函數的定義判斷．【詳解】∵是一次函數，∴不符合題意；∵不是正比例函數，∴不符合題意；∵是正比例函數，∴符合題意；∵不是正比例函數，∴不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了正比例函數即形如y=kx+b（k≠0）的函數叫做一次函數；當b=0時，叫做正比例函數，熟練掌握正比例函數的定義是解題的關鍵．3．（2022·江蘇淮安·八年級期末）下列函數中，是一次函數的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據一次函數的定義解答即可．【詳解】解：A、自變量次數為，故是二次函數；B、自變量次數為，是一次函數；C、分母中含有未知數，故是反比例函數；D、分母中含有未知數，不是一次函數．故選：B．【點睛】本題考查一次函數的定義，一次函數的定義條件是：、為常數，，自變量次數為．4．（2020·江蘇·射陽縣第二初級中學八年級期中）函數①；②；③；④中，是的一次函數的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用一次函數定義進行解答即可．【詳解】解：①y=πx是一次函數；②y=2x-1是一次函數；③不是一次函數；④y=x2-1不是一次函數，因此一次函數共2個，故選：B．【點睛】此題主要考查了一次函數的定義，關鍵是掌握形如y=kx+b（k≠0，k、b是常數）的函數，叫做一次函數．考查題型二根據正比例函數與一次函數的定義求參數5．（2020·江蘇揚州·八年級期末）在y=（k-1）x+k2-1中，若y是x的正比例函數，則k的值為（

）A．1 B．-1 C．±1 D．無法確定【答案】B【分析】先根據正比例函數的定義列出關于k的方程組，求出k的值即可．【詳解】∵函數y=（k1）x+k21是正比例函數，∴，解得k=1．故選：B．【點睛】本題考查的是正比例函數的定義，即形如y=kx（k≠0）的函數叫正比例函數．6．（2020·江蘇泰州·八年級期末）若函數y＝（k﹣5）x+4是一次函數，則k應滿足的條件為（

）A．k≠5 B．k＝5 C．k＞5 D．k＜5【答案】A【分析】根據一次函數y=kx+b的定義條件是：k、b為常數，k≠0，自變量次數為1，即可得出答案．【詳解】解：由題意得：k-5≠0，解得：k≠5．故選：A．【點睛】本題主要考查了一次函數的定義，解題時注意一次函數解析式的結構特征：k≠0；自變量的次數為1；常數項b可以為任意實數．7．（2019·江蘇蘇州·八年級期末）如果y=(m-1)+3是一次函數，那么m的值是(

)A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據一次函數的定義解答．【詳解】解：∵y=(m-1)+3是一次函數，∴，∴m=-1，故選B．【點睛】本題主要考查了一次函數的定義，一次函數y=kx+b的定義條件是：k、b為常數，k≠0，自變量次數為1．考查題型三正比例函數的圖象與性質8．（2021·江蘇南通·八年級期末）正比例函數的圖象經過的象限是（）A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限【答案】A【分析】根據正比例函數的性質進行求解．【詳解】解：正比例函數中，，此函數的圖象經過一、三象限．故選：A．【點睛】本題考查的是正比例函數的性質，即正比例函數中，當時，函數的圖象經過一、三象限．9．（2022·四川·渠縣東安雄才學校八年級期中）三個正比例函數的表達式分別為①；②③，其在平面直角坐標系中的圖像如圖所示，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．a C． D．a【答案】C【分析】先根據函數圖象經過的象限得出，，，再根據直線越陡，越大得出答案．【詳解】解：∵和的圖象經過一、三象限，的圖象經過二、四象限，∴，，，∵直線比直線陡，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了正比例函數的圖象，當時，函數圖象經過一、三象限；當時，函數圖象經過二、四象限；直線越陡，越大．10．（2022·安徽·馬鞍山東方實驗學校八年級期中）正比例函數中，y隨x的增大而增大，則直線經過（

）A．第一、三象限 B．第二、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】C【分析】根據正比例函數的增減性，可得；則，據此判斷直線經過的象限．【詳解】解：∵正比例函數中，y隨x的增大而增大，∴，∴，∴直線經過第二、四象限．故選：C．【點睛】此題考查了正比例函數，熟練掌握正比例函數的性質是解題的關鍵．11．（2022·江蘇無錫·八年級期末）已知點P（a，2a﹣2）在直線y＝x上，則a的值為（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】將點P（a，2a﹣2）在直線y＝x中計算即可．【詳解】解：∵點P（a，2a﹣2）在直線y＝x上，∴a=2a-2，解得a=2，故選：D．【點睛】此題考查了正比例函數圖象上點坐標特征，點在直線上，點的坐標即可代入函數解析式求對應的參數．考查題型四一次函數的圖象與性質12．（2022·江蘇無錫·八年級期末）已知正比例函數的函數值隨x的增大而增大，則一次函數的圖像經過（

）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限【答案】C【分析】由正比例函數的函數值隨x的增大而增大，可得結合可得的圖象經過一，二，四象限，從而可得答案.【詳解】解：正比例函數的函數值隨x的增大而增大，則一次函數的圖像經過一，二，四象限，故選C【點睛】本題考查的是正比例函數圖象的性質，一次函數的圖象與性質，掌握“一次函數的圖象與性質”是解本題的關鍵.13．（2021·江蘇淮安·八年級期末）若直線經過第一、二、四象限，則函數的大致圖像是(

)A． B． C．D．【答案】B【分析】根據一次函數的圖像經過第一、二、四象限，可以得到和的正負，然后根據一次函數的性質，即可得到一次函數圖像經過哪幾個象限，從而可以解答本題．【詳解】一次函數的圖像經過第一、二、四象限，，，，，一次函數圖像第一、二、三象限，故選：．【點睛】本題考查一次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質解答．14．（2022·江蘇·宿遷市鐘吾初級中學八年級期末）已知一次函數中y隨x的增大而減小，且，則在直角坐標系內它的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據一次函數的圖象及性質由y隨x的增大而減小即可判斷的符號，再由即可判斷的符號，即可得出答案．【詳解】解：一次函數中y隨x的增大而減小，，又，，一次函數的圖象經過一、二、四象限，故選A．【點睛】本題考查了一次函數的圖象及性質，解題關鍵在于熟練掌握一次函數四種圖象的情況．15．（2022·江蘇南通·八年級期末）一次函數y＝2x＋1的圖象經過的象限是（

）A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四【答案】A【分析】根據函數的系數與常數判斷函數圖象經過的象限即可．【詳解】解：y＝2x＋1，∵2＞0，所以函數圖象是遞增的，∵函數圖象經過點（0，1），故函數圖象經過一、二、三、象限，故選：A．【點睛】本題考查一次函數的圖象與系數之間的關系，能夠掌握數形結合思想是解決本題的關鍵．16．（2021·江蘇·景山中學八年級期中）下列關于一次函數的結論中，正確的是（

）A．圖像經過點(3，0) B．當x＞2時，y＜0C．y隨x增大而增大 D．圖像經過第二、三、四象限【答案】C【分析】根據一次函數的圖象和性質逐一判斷選項的正確性．【詳解】A、當x=3時，y=2×3-4=2，圖象經過點（3，2），故此選項錯誤；B、當x=2時，y=0，則x﹥2時，y﹥0，故此選項錯誤；C

、k=2，k﹥0，y隨著x的增大而增大，故此選項正確；D、

k﹥0，b﹤0，函數圖象經過第一、三、四象限，故此選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查一次函數，解題的關鍵是掌握一次函數的圖象和性質．17．（2022·江蘇徐州·八年級期末）關于函數y＝x﹣2的圖像，下列說法正確的是(

)A．從左往右呈下降趨勢B．可以由y＝x的圖像平移得到C．經過第一、二、三象限D．與y軸的交點的坐標為（0，2）【答案】B【分析】根據一次函數圖象與系數的關系以及一次函數圖象與幾何變換進行一一分析．【詳解】解：A、由于函數y=x-2中k=1＞0，所以從左往右呈上升趨勢，故不符合題意；B、由于y=x與y=x-1的k值相同，b值不相同，所以函數y=x-2的圖象可以由y=x的圖象平移得到，故符合題意；C、由于函數y=x-2中，k=1＞0，b=-2＜0，所以該函數圖象經過一、三、四象限，故不符合題意；D、令x=0時，y=-2，所以該圖象與y軸的交點的坐標為（0，-2），故不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了兩條直線平行問題，一次函數的的性質，一次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握一次函數的圖象及性質是解題的關鍵．18．（2022·江蘇·射陽縣第六中學八年級期末）已知一次函數y＝（2m﹣1）x+2，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根據一次函數的性質得出關于m的不等式，求出m的取值范圍即可．【詳解】解：∵一次函數y=（2m-1）x+2，y隨x的增大而減小，∴2m-1＜0，解得m＜，故選B．【點睛】本題考查的是一次函數的圖象與系數的關系，熟知一次函數的增減性是解答此題的關鍵．19．（2022·江蘇無錫·八年級期末）若點（﹣5，y1）、（3，y2）都在函數y＝（k2+1）x+b的圖像上，則y1與y2的大小關系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能確定【答案】C【分析】根據非負數的性質得即可k2+1＞0，根據一次函數的性質判斷即可．【詳解】解：∵k2+1＞0，∴函數y隨x的增大而增大，∵3＞﹣5，∴y1＜y2，故選：C．【點睛】此題主要考查了一次函數圖像上點的坐標特點，一次函數的性質，推出k＝k2+1＞0，y隨x的增大而增大是解題的關鍵．考查題型五一次函數的平移問題20．（2022·江蘇南京·八年級期末）函數的圖像向左平移2個單位，相應的函數表達式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由“上加下減”的平移規(guī)律即可得出函數的圖象向左平移2個單位后的解析式．【詳解】解：將函數向左平移2個單位得到，故選：A．【點睛】本題考查了函數圖象與幾何變換，牢記函數圖象的平移規(guī)律是“上加下減，左加右減”．21．（2022·江蘇淮安·八年級期末）在平面直角坐標系中，把一次函數向上平移3個單位后，得到的新的一次函數的表達式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據“上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】函數圖像的平移法則為：上加下減，左加右減，則一次函數的圖象向上平移個單位長度得到的新一次函數的解析式是：故選：B【點睛】本題考查的是一次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵．22．（2022·江蘇·南通市八一中學八年級期中）若直線沿軸平移2個單位得到新的直線，則為（

）A．1或 B．或3 C．2或 D．或3【答案】A【分析】根據上加下減的原則可知，將直線y=kx+b沿y軸平移2個單位得到新的直線y=kx+b2，即直線y=kx-1，那么b2=-1，即可求出b的值．【詳解】解：根據上加下減的原則可得：b2=-1解得：b=1或-3．故選：A．【點睛】本題主要考查圖形的平移變換和函數解析式之間的關系，在平面直角坐標系中，圖形的平移和圖形上某點的平移相同，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．平移后解析式有這樣一個規(guī)律：左加右減，上加下減．關鍵是要搞清楚平移前后的解析式有什么關系．23．（2021·江蘇徐州·八年級期末）一次函數y=2x+1的圖像，可由函數y=2x的圖像（）A．向左平移1個單位長度而得到 B．向右平移1個單位長度而得到C．向上平移1個單位長度而得到 D．向下平移1個單位長度而得到【答案】C【分析】根據一次函數圖象平移規(guī)律，直接判斷即可．【詳解】解：∵一次函數圖象向上平移m（m>0）個單位，常數項增加m，∴函數y=2x的圖像向上平移1個單位可以得到y=2x+1的圖像，故選：C．【點睛】本題考查了一次函數圖象平移的規(guī)律，解題關鍵是掌握一次函數圖象平移的規(guī)律：上加下減常數項，左加右減自變量．考查題型六求一次函數解析式24．（2022·江蘇·揚州中學教育集團樹人學校八年級期末）已知y﹣3與x+4成正比例，且當x＝﹣1時，y＝﹣3．求：(1)y與x之間的函數表達式；(2)當x＝﹣5時，y的值．【答案】(1)(2)y＝5【分析】（1）設，通過待定系數法求解．（2）將x＝?5代入解析式求解．（1）解：設，將x＝?1，y＝?3代入得?3?3＝3k，解得k＝?2，∴，即．（2）解：把x＝?5代入y＝?2x?5得y＝?2×（?5）?5＝5．【點睛】本題考查待定系數法求函數解析式，解題關鍵是掌握一次函數與方程的關系，由y﹣3與x+4成正比例設．25．（2022·江蘇南通·八年級期末）已知一次函數的圖象經過，兩點．(1)求這個一次函數的解析式；(2)設圖象與軸和軸交點分別是，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）把經過的點的坐標代入，求解得到、的值即可得解；（2）根據一次函數的解析式即可求出點、的坐標，然后利用三角形面積公式即可求得的面積．（1）解：一次函數的圖象經過，兩點，，解得，，這個一次函