5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系6種常見考法歸類

5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系6種常見考法歸類1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系關(guān)系式文字表述平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1商數(shù)關(guān)系eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切注意以下三點(diǎn)：（1）“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，即與角的表達(dá)形式無關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．（2）sin2α是(sinα)2的簡寫，讀作“sinα的平方”，不能將sin2α寫成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書寫．（3）注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，sin2α＋cos2α＝1對(duì)一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)僅對(duì)α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．2、已知一個(gè)三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值的方法(1)若已知sinα＝m，可以先應(yīng)用公式cosα＝±eq\r(1－sin2α)，求得cosα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先應(yīng)用公式sinα＝±eq\r(1－cos2α)，求得sinα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(3)若已知tanα＝m，可以應(yīng)用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝m?sinα＝mcosα及sin2α＋cos2α＝1，求得cosα＝±eq\f(1,\r(1＋m2))，sinα＝±eq\f(m,\r(1＋m2))的值．(4)注意要根據(jù)角終邊所在的象限，判斷三角函數(shù)的符號(hào)．3、利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡、證明的常用方法(1)化切為弦，減少函數(shù)名稱．(2)對(duì)含根號(hào)的，應(yīng)先把被開方式化為完全平方，再去掉根號(hào)．(3)對(duì)含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關(guān)系，以降冪化簡．4、正、余弦齊次式的計(jì)算(1)已知tanα＝m，可以求eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的值，將分子分母同除以cosα或cos2α，化成關(guān)于tanα的式子，從而達(dá)到求值的目的．(2)對(duì)于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α進(jìn)行代替后分子分母同時(shí)除以cos2α，得到關(guān)于tanα的式子，從而可以求值．(3)齊次式的化切求值問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．5、sinθ±cosθ與sinθcosθ之間的關(guān)系(1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ，利用該公式，已知其中一個(gè)，能求另外二個(gè)，即“知一求二”．(2)求sinθ＋cosθ或sinθ－cosθ的值，要注意判斷它們的符號(hào)．6、三角函數(shù)恒等式證明證明三角恒等式的過程，實(shí)質(zhì)上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡．②證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立．考點(diǎn)一已知一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值考點(diǎn)二利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡、求值考點(diǎn)三正、余弦齊次式的計(jì)算考點(diǎn)四由條件等式求正、余弦考點(diǎn)五sinθ±cosθ型求值問題考點(diǎn)六三角函數(shù)恒等式的證明考點(diǎn)一已知一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值1．（2023上·四川·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C2．（2023上·上海松江·高三?？计谥校┮阎?，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可得到答案.【詳解】由題意得，則，故選：A.3．（2023·湖北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用平方關(guān)系求余弦值，注意角的范圍確定值的符號(hào).【詳解】由題設(shè).故選：A4．（2023上·上海靜安·高三上海市市西中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)為第二象限角，若，則.【答案】/【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，列方程組解出，求和即可.【詳解】為第二象限角，則，，若，則有，解得，所以.故答案為：.5．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）（1）已知，在第四象限，求，的值；（2）已知，在第二象限，求，的值；（3）已知，求，的值；（4）已知，求，的值．【答案】見解析【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系代值計(jì)算即可.【詳解】（1），在第四象限，；（2），在第二象限，；（3），，當(dāng)為第二象限角時(shí)，，當(dāng)為第四象限角時(shí)，，（4），當(dāng)為第一象限角時(shí)，，，當(dāng)為第四象限角時(shí)，時(shí)，．考點(diǎn)二利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡求值6．（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）化簡：(1)－；(2)；(3)．【答案】(1)(2)1(3)．【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行化簡；（2）利用完全平方公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行求解；（3）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行化簡.【詳解】（1）原式＝.（2）原式＝（3）原式＝7．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）化簡與求值(1)；(2)．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根據(jù)及求解.（2）根據(jù)求解.【詳解】（1）.（2）.8．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）化簡：．【答案】答案見詳解【分析】先根據(jù)式子有意義求的范圍，然后利用平方關(guān)系化簡目標(biāo)式，再根據(jù)進(jìn)行分類去絕對(duì)值，利用輔助角公式化簡.【詳解】由題知，，得且，當(dāng)時(shí)，，原式；當(dāng)時(shí)，，，原式；當(dāng)?shù)慕K邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有，所以，原式當(dāng)為第一象限角時(shí)，原式；當(dāng)為第二象限角時(shí)，原式；當(dāng)為第三象限角時(shí)，原式；當(dāng)為第四象限角時(shí)，原式.綜上，當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)為第二象限角時(shí)，原式；當(dāng)為第三象限角時(shí)，原式；當(dāng)為第四象限角時(shí)，原式.9．（2023上·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）若，則α不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及三角函數(shù)在各象限的符號(hào)即可求解.【詳解】顯然，因此，從而，對(duì)于A，因?yàn)闉榈谒南笙藿?，所以，A可能；對(duì)于B，因?yàn)闉榈诙笙藿牵?，B不可能；對(duì)于C，因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以，C可能；對(duì)于D，因?yàn)闉榈谒南笙藿?，所以，D可能.故選：B10．（2023·全國·高一課堂例題）化簡：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡，從而求得正確答案.（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角函數(shù)的符號(hào)等知識(shí)進(jìn)行化簡，從而求得正確答案.【詳解】（1）原式．（2）因?yàn)椋裕剑键c(diǎn)三正、余弦齊次式的計(jì)算11．（2023上·山東青島·高二?？计谥校┮阎?，則.【答案】【分析】利用弦化切求解即可.【詳解】由，得，所以.故答案為：12．（2023上·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎?，則.【答案】/【分析】由，再將弦化切，最后代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：13．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）已知，則.【答案】【分析】在代數(shù)式上除以，再利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)?，則.故答案為：.14．（2023上·上海奉賢·高三上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，那么．【答案】1【分析】弦化切即可.【詳解】故答案為：115．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果，那么，，．【答案】1/0.6【分析】空一：由齊次式將弦化切求值；空二、三：由正余弦的平方關(guān)系，將已知式中弦化切求值.【詳解】由，得，，．故答案為：1，，16．（2023上·廣東廣州·高三廣州市第十六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將變形為，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡為，即可求得答案.【詳解】由題意知，則，故選：D17．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？计谥校┮阎?1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)角的范圍確定，即可由一元二次方程求解，（2）（3）根據(jù)弦切齊次式即可求解.【詳解】（1）由于，所以，又得，解得或（舍去），故（2）（3）18．（2023下·四川南充·高一四川省南充高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求出，再利用“1”的變換，將所求的式子化為關(guān)于的齊次分式，化弦為切，即可求解.【詳解】若，則，不合題意，所以，由，可得，解得，所以.故選：C.19．（2023下·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習(xí)）已知角終邊上,且，求的值．【答案】2或0【分析】首先根據(jù)正切函數(shù)的定義，求，再將關(guān)于的齊次分式轉(zhuǎn)化為正切表示，最后代入求值.【詳解】由于，故，解得.當(dāng)時(shí),，當(dāng)，考點(diǎn)四由條件等式求正、余弦20．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤簦瑒t【答案】【分析】由已知結(jié)合，求解、的值，由即可求解.【詳解】由可得：，由可得：，解得：或，因?yàn)?，所以，所以，，，故答案為?21．（2023上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）若，則.【答案】【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系變形即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，由題：，即，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求值，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出其中隱含的平方關(guān)系，構(gòu)造出的等價(jià)形式求解.22．（2023上·安徽六安·高三六安二中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，即，即，顯然，所以，則，又，所以，所以.故選：D23．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系和角的范圍可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到，由同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由得：，，解得：或，又，，即，，.故選：C.24．（2023下·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)有，結(jié)合平方關(guān)系可得，再求出目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，又，所以，則.故選：C25．（2023下·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）已知，那么的值為（

）A．6 B．4 C．2 D．0【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，則，代入即可求解.【詳解】，則，解得或（舍去），故，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.考點(diǎn)五sinθ±cosθ型求值問題26．（2023下·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，且則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩邊平方得到，進(jìn)而得到，聯(lián)立求出，得到答案.【詳解】由，兩邊平方得，因?yàn)椋?，又，又因?yàn)椋?，，得，?lián)立與，求得，故故選：C27．【多選】（2023下·江西上饒·高一上饒市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先利用題給條件求得的值，進(jìn)而得到的范圍，的值和的值.【詳解】由可得，，則，即解之得或,又，則，故，則選項(xiàng)B判斷正確；由，可得為第四象限角，又，則，則選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；，則選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；，則選項(xiàng)D判斷正確.故選：BD28．【多選】（2023上·山東德州·高一?？茧A段練習(xí)）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對(duì)A，由平方法求得的符號(hào)，結(jié)合角的范圍即可判斷；對(duì)BCD，結(jié)合平方關(guān)系及角的范圍即可求解判斷.【詳解】對(duì)A，，∵，則，∴，∴，A對(duì)；對(duì)BCD，∵，，聯(lián)立可解得，，BD對(duì)，C錯(cuò).故選：ABD.29．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中校考二模）已知是第四象限角，且滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)得到，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，進(jìn)而求得，聯(lián)立方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由是第四象限角，可得，則，因?yàn)?，可得，可得，又由，因?yàn)椋傻?，?lián)立方程組，可得，所以.故答案為：.30．（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）已知（），求和的值．【答案】，.【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式，結(jié)合三角函數(shù)的符號(hào)法則求解即得.【詳解】由，得，即，解得，而，則，因此，所以，.31．（2023上·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則．【答案】/【分析】