2023-2024學年人教A版必修第一冊 　簡單的三角恒等變換(1) 學案

簡單的三角恒等變換(一)學習目標抬頭望星光1.能通過倍角的變形公式推導出半角的正弦、余弦、正切公式.(邏輯推理)2.了解三角恒等變換的特點、變換技巧,掌握三角恒等變換的基本思想方法.(邏輯推理)3.能利用三角恒等變換對三角函數式化簡、求值以及證明三角恒等式,并能進行一些簡單的應用.(邏輯推理、數學運算)【情境導學】已知sinθ的值,能否求出θ2的正弦、余弦及正切值?已知兩個三角函數的積能不能轉化為三角函數和的形式?已知兩個三角函數的和能不能轉化為三角函數積的形式一、半角公式倍角公式的變形sin2α2=1-cos2α2=1+cosαtan2α2=1-一般地,①②③式可以變形為半角公式:sinα2=±1-cosα2=±1+cosαtanα2=±1-思考如何確定半角的正弦、余弦和正切公式的符號?提示:(1)如果沒有給出決定符號的條件,則在根號前保留正、負兩個符號.(2)若給出角α的具體范圍(即某一區(qū)間)時,則先求角α2所在范圍,再根據角α2二、積化和差與和差化積公式(1)積化和差公式sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-βcosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-βcosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-βsinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)](2)和差化積公式sinx+siny=2sinx+y2sinx-siny=2cosx+y2cosx+cosy=2cosx+y2cosx-cosy=-2sinx+y2點睛積化和差、和差化積公式的理解(1)公式中的“和差”與“積”都是指三角函數間的關系,而不是指角的關系,只有系數絕對值相同的同名函數的和與差,才能直接運用公式化成積的形式,如果是一個正弦與一個余弦的和或差,則要先用誘導公式化成同名函數后再運用公式;(2)積化和差公式左邊是同名或異名函數的“積”形式,右邊是同名函數的“和差”形式,和差化積公式記憶口訣:“正和正在前,正差正后遷;余和一色余,余差翻了天.”(正代表sinα,余代表cosα).【教材深化】常用的三角恒等變換思想方法(1)常值代換用某些三角函數值或三角函數式來代替三角函數式中的某些常數,使之代換后能運用相關公式,化簡得以順利進行.我們把這種代換稱為常值代換.(2)切化弦當待化簡式中既含有正弦、余弦,又含有正切時,利用同角的基本三角函數關系式tanα=sinαcosα,將正切化為正弦和余弦,這就是“切化弦”的思想方法(3)降冪與升冪由C2α變形后得到公式:sin2α=12(1-cos2α),cos2α=12(1+cos2α),運用它就是降冪.反過來,直接運用倍角公式或變形公式1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,(4)角的變換角的變換溝通了已知角與未知角之間的聯系,使公式順利運用,解題過程被簡化.常見的角的變換有α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=12[(α+β)+(α-β)],α=12[(α+β)-(β-α+β=(2α+β)-α等.【自我小測】1.辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)cosα2=1+cosα提示:只有當-π2+2kπ≤α2≤π2+2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)時,cosα(2)存在α∈R,使得cosα2=12cos提示:當cosα=-3+1時,上式成立,但一般情況下不成立.(3)對于任意α∈R,sinα2=12sinα都不成立提示:當α=2kπ(k∈Z)時,上式成立,但一般情況下不成立.(4)若α是第一象限角,則tanα2=1-提示:若α是第一象限角,則α2是第一、三象限角,此時tanα2=12.(教材改編·例1)已知點P(4,3)是角α的終邊上一點,則tanα2= (A.13 C.-3或13 D.3或-【解析】選A.由三角函數的定義可得sinα=342+32=35,cosα=442+32=45,所以tan3.cos15°sin105°= ()A.34+12 B.3C.32+1 D.3【解析】選A.cos15°sin105°=12=12[sin120°-sin(-90°)]=12×32+12×1=類型一利用半角公式求值問題(數學運算)[例1](1)(2023·菏澤高一檢測)已知sinα=55,cosα=255,則tanα2A.2-5 B.2+5C.5-2 D.±(5-2)【解析】選C.方法一:因為sinα=55,cosα=2所以tanα2=sinα1+cosα方法二:因為sinα=55>0,cosα=2所以α的終邊落在第一象限,α2的終邊落在第一或第三象限,即tanα所以tanα2=1-cosα1+cosα(2)若sin(π-α)=-53且α∈π,3π2,則sinπA.-63 B.-66 C.66 【解析】選B.由題意知sinα=-53,α∈π所以cosα=-23.因為α2∈所以sinπ2+α2=cosα2【總結升華】利用半角公式求值的思路(1)看角:若已知三角函數式中的角是待求三角函數式中角的兩倍,則求解時常常借助半角公式求解.(2)明范圍:由于半角公式求值常涉及符號問題,因此求解時務必依據角的范圍,求出相應半角的范圍.(3)選公式:涉及半角公式的正切值時,常用tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα,其優(yōu)點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題;涉及半角公式的正、余弦值時,常先利用sin2α(4)下結論:結合(2)求值.【即學即練】1.(2023·濰坊高一檢測)若cos(π-α)=23,α∈π,2π,則cosα2A.-66 B.C.-306 D.【解析】選A.由cos(π-α)=-cosα=23,得cosα=-2又α∈π,2π,則α2∈π則cosα2=-1+cosα2=-12.求值:1sinπ12=2tanπ8=.【解析】(1)sinπ12=1-cosπ6(2)tanπ8=1-cosπ41+cos答案:(1)2-323.已知cosα=13,α為第四象限角,求sinα2,cosα2【解析】因為α為第四象限角,所以α2為第二、四象限角當α2為第二象限角時,sinα2=1-cosα2=-1+cosα2tanα2=-1-cos當α2為第四象限角時,sinα2=-1-cosα2=-33tanα2=-1-cos類型二利用半角公式進行三角函數式的化簡(邏輯推理、數學運算)[例2](2023·沈陽高一檢測)化簡:cos(32π-α【解析】因為0<α<π,所以0<α2<π所以tanα2=1-cosα1+cos所以(1+cosα)tanα2=sin又因為cos(3π2-α)=-sinα且1-cosα=2sin2α2所以cos(32π-α)-因為0<α2<π2,所以sinα所以cos(32π-α答案:-22cosα【備選例題】已知π<α<3π2,化簡:1+sinα1+cos【解題思維】解答本題可先用二倍角公式“升冪”,再根據α2的范圍開方化簡【解析】原式=sinα2+cos因為π<α<3π2,所以π2<α2所以cosα2<0,sinα所以原式=sinα2=-sinα2=-2cosα2【總結升華】化簡問題中的“三變”(1)變角:三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯系,通過拆、湊等手段消除角之間的差異,合理選擇聯系它們的公式.(2)變名:觀察三角函數種類的差異,盡量統一函數的名稱,如統一為弦或統一為切.(3)變式:觀察式子的結構形式的差異,選擇適當的變形途徑,如升冪、降冪、配方、開方等.【即學即練】已知3π2<θ<2π,試化簡:1+sinθ-【解析】因為3π2<θ<2π,所以3π4<所以0<sinθ2<22,-1<cosθ2從而sinθ2+cosθ2<0,sinθ2-cos所以原式=(sinθ2=sinθ2=-(sinθ2+cosθ2)-(sinθ2=-2sinθ2【補償訓練】(2023·大連高一檢測)已知π3是函數f(x)=2asinxcosx-2cos2x-1的一個零點(1)求實數a的值;(2)求f(x)的單調遞減區(qū)間.【解析】(1)f(x)=2asinxcosx-2cos2x-1=asin2x-2·1+cos2x2-1=asin2x-cos2由題意可得f(π3)=0,即32a+解得a=3;(2)由(1)得f(x)=3sin2x-cos2x-2=2sin(2x-π6)令π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ,得π3+kπ≤x≤5π6+k所以f(x)的單調遞減區(qū)間為[π3+kπ,5π6+kπ],k∈類型三三角恒等式的證明(邏輯推理)[例3]求證:(1)1+sin2θ-cos2θ1+sin2θ+cos2θ+1+sin2θ+cos2θ1+sin2【證明】因為cos2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ,sin2θ=2sinθcosθ,則1+sin2θ-cos2θ=2sinθcosθ+2sin2θ=2sinθ(sinθ+cosθ),1+sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+2cos2θ=2cosθ(sinθ+cosθ).故左邊=2sinθ(sinθ+cosθ=sin2θ+cos2θ(2)2sinxcosx【證明】左邊=2sin=2sinxcos=cosx2=1+cosxsinx所以原等式成立.【總結升華】三角恒等式證明的常用方法(1)執(zhí)因索果法:證明的形式一般化繁為簡;(2)左右歸一法:證明左右兩邊都等于同一個式子;(3)拼湊法:針對題設和結論之間的差異,有針對性地變形,以消除它們之間的差異,簡言之,即化異求同;(4)比較法:設法證明“左邊-右邊=0”或“左邊/右邊=1”;(5)分析法:從被證明的等式出發(fā),逐步地探求使等式成立的條件,直到已知條件或明顯的事實為止,就可以斷定原等式成立.【即學即練】已知0<α<π4,0<β<π4,且3sinβ=sin(2α+β),4tanα2=1-tan2α2,求證:α+【證明】因為3