信號與系統(tǒng)第八章考研及期末考試

第8章離散傅里葉變換8.1離散傅里葉變換(DFT)定義8.2離散傅里葉變換的性質(zhì)8.3用DFT計算線性卷積8.4頻域采樣8.5快速傅里葉變換(FFT)8.6FFT的應(yīng)用1精選ppt從理論研究到工程實際LTI系統(tǒng)計算機可以處理的數(shù)據(jù)形式離散有限：存儲、運算離散：存儲空間、運算速度有限時域?qū)﹄x散化后的序列截斷或加窗頻域?qū)﹄x散信號的頻譜〔周期〕加窗即只取用一個周期2精選ppt從理論研究到工程實際已有的理論根底時頻域均離散3精選ppt8.1離散傅里葉變換的定義8.1.1離散傅里葉變換的定義從離散傅里葉級數(shù)DFS到離散傅里葉變換DFS變換對為：

由于對k和n都是以N為周期的，所以當也是以N為周期時。其本身時，可以利用DFS的周期性，只需要在時域和頻域各取一個周期，計算一個周期，將所得結(jié)果進行周期延拓，即可以得到它們。是以N為周期時，那么和是無限長的，但在計算序列的頻譜和

雖然4精選ppt

由于在DFS中，只用到一個周期的N個值，取它們的主值序列：x(n)(0≤

n≤N-1)和X(k)(0≤

k≤N-1)，等式依然成立，這就是離散傅里葉變換，即k=0,1,…,N-1

n=0,1,…,N-1

5精選pptk=0,1,…,N-1

DFT并不是一個新的傅里葉變換形式，只不過是將DFS變換對中的序列取主值，就得到了DFT，將DFT進行周期延拓就得到DFS，因此DFT隱含周期性。

DFT與DFS的關(guān)系：

有限長序列x(n)是非周期的，其頻譜應(yīng)該是連續(xù)的，但用DFT得到的x(n)的頻譜是離散頻譜，這是由于將有限長序列x(n)延拓成周期序列而造成的。n=0,1,…,N-1

8.1.2離散傅里葉變換〔DFT〕與離散傅里葉級數(shù)〔DFS〕的關(guān)系6精選ppt8.1.3DFT與DTFT和ZT變換的關(guān)系設(shè)x(n)是一個長度為N的有限長序列，那么x(n)的離散時間傅里葉變換為將Ω離散化，在0~2π上從0開始等間隔地取N個點，即即可得到離散傅里葉變換DFT。對X(Ω)進行均勻采樣，1.DTFT和DFT的關(guān)系

X(k)是序列的傅立葉變換X(Ω)

的在區(qū)間[0,2π]上的N點等間隔采樣，采樣間隔為：ΩN=2π/N。7精選ppt為求DFT的反變換，將DFT兩邊乘以下面證明IDFT的唯一性并對k從0到N-1求和，得上式右邊=Nx(n)n=0,1,…,N-18精選ppt2.DFT和Z變換的關(guān)系比較z變換與DFT變換，可見當設(shè)序列x(n)的長度為N，其z變換和DFT分別為：時，那么有

X(k)也是z變換在單位圓上的N點等間隔采樣值，采樣間隔為：9精選ppt10精選ppt例求x(n)=R4(n)的DTFT及16點和32點的DFT。解根據(jù)DTFT的定義得其頻譜為連續(xù)的，如圖(b)所示11精選ppt設(shè)變換區(qū)間N=16，那么，n=0,1,…,15根據(jù)DFT的定義得

12精選ppt圖6-1DFT與DTFT的關(guān)系圖6-1(c)為16點DFT的頻譜〔實線〕，是離散的，實際上是對DTFT連續(xù)頻譜離散化的結(jié)果，虛線是DTFT的頻譜。圖6-1(d)為32點DFT的頻譜〔其DFT變換省略〕。13精選ppt解：例14精選pptk＝1時，k≠1時，k＝7時，k≠7時，15精選pptX(0)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=X(6)=0當k=7時，當k=1時，16精選ppt解：17精選ppt18精選pptX(0)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=X(6)=0當k=7時，DFT一般為復數(shù)當k=1時，19精選ppt解：例20精選ppt和分別為和的N點DFT.假設(shè)和是兩個有限長度序列，長度分別為和，那么其線性組合的N點DFT為1.線性性質(zhì)8.2離散傅里葉變換的性質(zhì)21精選ppt當k的取值不受限制時，X(k)以N為周期。2.DFT的隱含周期性22精選ppt設(shè)x*(n)是x(n)的復共軛序列，長度為NX(k)=DFT[x(n)]那么DFT[x*(n)]=X*(N-k),0≤k≤N-1且X(N)=X(0)3.復共軛序列的DFT證明：又由X(k)的隱含周期性有X(N)=X(0),它的末點就是它的起始點。用同樣的方法可以證明

DFT[x*(N-n)]=X*(k)23精選ppt4.DFT的共軛對稱性有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列有限長共軛對稱序列：xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1有限長共軛反對稱序列：xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1DFT的對稱性是關(guān)于N/2點的對稱性。注意：X(k)也是序列，對X(k)也成立。有限長共軛對稱序列有限長共軛反對稱序列24精選ppt4.DFT的共軛對稱性有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列有限長共軛對稱序列：xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1有限長共軛反對稱序列：xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1DFT的對稱性是關(guān)于N/2點的對稱性。注意：X(k)也是序列，對X(k)也成立。N/2左邊N/2右邊當N為偶數(shù)時，將上式中的n換成

可得到25精選ppt

任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和，即

x(n)=xep(n)+xop(n),0≤n≤N-1

將上式中的n換成N-n，并取復共軛，可得

x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n)

xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-126精選ppt1)如果x(n)=xep(n)+xop(n)，0≤n≤N-1其中4.DFT的共軛對稱性27精選ppt2)如果x(n)=xr(n)+jxi(n)28精選ppt其中Xep(k)=DFT[xr(n)],是X(k)的共軛對稱分量;

Xop(k)=DFT[jxi(n)],是X(k)的共軛反對稱分量。29精選ppt用同樣的方法可以證明具有共軛反對稱性證明了Xep(k)=DFT[xr(n)]是X(k)的共軛對稱分量。實際上30精選ppt設(shè)x(n)是長度為N的實序列，且X(k)=DFT[x(n)]，對于純實數(shù)序列，x(n)=xr(n)，X(k)只有共軛偶對稱局部，即X(k)=Xep(k)，說明實數(shù)序列的DFT滿足共軛對稱性，故X(k)=X*(N-k)，0≤k≤N-1DFT[x(n)]=DFT[xr(n)]=X(k)=Xep(k)=X*ep

(N-k)=X*(N-k)3)實信號DFT的共軛對稱性31精選ppt

X(k)=X*(N-k)，0≤k≤N-1，利用這一特性，只要知道一半數(shù)目的X(k)，就可得到另一半的X(k)，這一特點在DFT運算中可以加以利用，以提高運算效率。4)DFT的共軛對稱性的意義

一次DFT變換兩個實序列。將兩個實序列，構(gòu)成新序列x(n)如下：

x(n)=x1(n)+jx2(n)對x(n)進行DFT，得到

X(k)=DFT[x(n)]=Xep(k)+Xop(k)

由

Xep(k)=DFT[x1(n)]=1/2[X(k)+X*(N-k)]

Xop(k)=DFT[jx2(n)]=1/2[X(k)-X*(N-k)]

得

X1(k)=DFT[x1(n)]=1/2[X(k)+X*(N-k)]

X2(k)=DFT[x2(n)]=-j1/2[X(k)-X*(N-k)]

32精選ppt5．DFT的對偶性設(shè)長度為N的序列的DFT為，那么33精選ppt對應(yīng)于DTFT的平移對應(yīng)于DFT的移位m＝1m＝3m＝2圓周移位序列6.DFT的圓周〔循環(huán)〕移位性質(zhì)34精選ppt循環(huán)移位示意圖右移出去的m個數(shù)據(jù)從左邊補進來，數(shù)據(jù)不少，只是重新排隊。35精選ppt36精選ppt時域循環(huán)移位特性假設(shè)時域序列的圓周位移的DFT為原來的DFT乘以一個因子那么N為偶數(shù)時

假設(shè)那么37精選ppt頻域循環(huán)移位特性假設(shè)那么在頻域的頻移l，那么IDFT在時域x(n)乘以一個假設(shè)那么38精選ppt假設(shè)x(n)和h(n)均為N點有限長序列，且那么N點的圓周卷積x(n)和h(n)都需是N點定義為圓周卷積兩序列循環(huán)卷積的長度為N。7．DFT的時域離散圓周卷積定理39精選ppt用DFT計算循環(huán)卷積那么由時域循環(huán)卷積定理有Y(k)=DFT[y(n)]=X1(k)X2(k),0≤k≤N-1y(n)=IDFT[Y(k)]當L很大時,在頻域計算提高了運算速度。40精選ppt圓周卷積的計算特點圓卷積只在區(qū)間內(nèi)進行，圓卷積結(jié)果也為

N點有限長序列。x(m)是把x(n)變量代換后的N點序列，是把h(n

)變量代換、圓反轉(zhuǎn)、圓移位后，取其前N個點后的N點序列。對每一個n點圓移位，先計算對應(yīng)各個m點的乘積，再對范圍內(nèi)的全部乘積求和。每一個n點圓周卷積的計算包括：變量代換、圓反轉(zhuǎn)、圓移位、相乘、求和共5個步驟。以4點圓周卷積為例，全部過程可以用矩陣表示為：41精選ppt時域圓周卷積定理圓周卷積5個步驟的圖解舉例：

變量代換—圓反轉(zhuǎn)—圓移位—相乘—求和

例用圖解法求有限長序列的4點圓卷積。解〔1〕變量代換x[n]、h[n]的變量置換為m，有〔2〕圓反轉(zhuǎn)把h[m]圓反轉(zhuǎn)為

〔3〕圓移位—相乘—求和42精選ppt時域圓周卷積定理解〔3〕圓移位—相乘—求和1234412342612相乘求和

圓周卷積線性卷積43精選ppt時域圓周卷積定理求和

44精選ppt圓周卷積5個步驟的圖解舉例：變量代換—圓反轉(zhuǎn)—圓移位—相乘—求和

例求有限長序列的4點圓卷積。解：45精選ppt46精選ppt例用時域卷積定理求有限長序列的4點圓卷積。解47精選ppt假設(shè)那么8．DFT的頻域離散圓周卷積定理48精選ppt實際問題多數(shù)是求解線性卷積，如信號x(n)通過系統(tǒng)h(n)，其輸出就是線性卷積y(n)=x(n)*h(n)。而循環(huán)卷積比起線性卷積，在運算速度上有很大的優(yōu)越性，它可以采用快速傅里葉變換〔FFT〕技術(shù)，假設(shè)能利用循環(huán)卷積求線性卷積，會帶來很大的方便?，F(xiàn)在我們來討論上述x(n)與h(n)的線性卷積，如果x(n)、h(n)為有限長序列，那么在什么條件下能用循環(huán)卷積代替而不產(chǎn)生失真。8.3用DFT計算線性卷積49精選ppt(1)

有限長序列線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系線性卷積：循環(huán)卷積為：8.3用DFT計算線性卷積50精選ppt有限長序列x(n)為循環(huán)卷積為：51精選ppt即52精選ppt如果兩個序列的長度分別為N和M，線性卷積后的長度為N+M-1，因此，如果循環(huán)卷積的長度L<N+M-1，那么，yl(n)周期延拓后，必然有一局部非零序列值要重疊，出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。只有L≥N+M-1時，才不會產(chǎn)生混疊，此即循環(huán)卷積等于線性卷積的條件。(2)

循環(huán)卷積等于線性卷積的條件(3)

用DFT計算線性卷積的方法如果兩個序列h(n)和x(n)的長度分別為N和M，取L=N+M-1作為循環(huán)卷積的長度；在h(n)后補上L-N個零值點；在x(n)后補上L-M個零值點。53精選ppt－3－2－1012N1-1序號計算結(jié)果1234000x[m]1234000123h[0-m]y[0]=1×4＝4123400012h[1-m]y[1]=1×3+2×4＝1112340001h[2-m]y[2]=1×2+2×3+3×4＝201234000h[3-m]y[3]=1×1+2×2+3×3+4×4＝300123400h[4-m]y[4]=2×1+3×2+4×3＝200012340h[5-m]y[5]=3×1+4×2＝110001234h[6-m]y[6]=4×1＝4N1N2-1線性卷積上例線性卷積過