第05講 一次函數(shù)的應用(6類熱點題型講練)（解析版）

第05講一次函數(shù)的應用(6類熱點題型講練)1、掌握一次函數(shù)與一元一次方程之間的關系；2、掌握單個一次函數(shù)圖象的應用；3、掌握兩個一次函數(shù)圖象的應用；4、能利用函數(shù)圖象解決數(shù)學問題.知識點01一元一次方程與一次函數(shù)的關系1）一元一次方程可轉化為一般式：ax+b=02）一次函數(shù)為：y=kx+b的形式；當y=0時，一次函數(shù)x的值就是一元一次方程的解。y=0時x的值，即一次函數(shù)與x軸的交點橫坐標，就是對應一元一次方程的解3）每個二元一次方程組都對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.知識點02一次函數(shù)的實際應用1）數(shù)學建模的一般思路數(shù)學建模的關鍵是將實際問題數(shù)學化，從而得到解決問題的最佳方案、最佳策略.在建模的過程中，為了既合乎實際問題又能求解，這就要求在諸多因素中抓住主要因素進行抽象化簡，而這一過程恰是我們的分析、抽象、綜合、表達能力的體現(xiàn).函數(shù)建模最困難的環(huán)節(jié)是將實際情景通過數(shù)學轉化為什么樣的函數(shù)模型.2）正確認識實際問題的應用在實際生活問題中，如何應用函數(shù)知識解題，關鍵是建立函數(shù)模型，即列出符合題意的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質綜合方程（組）、不等式（組）及圖象求解.注：要注意結合實際，確定自變量的取值范圍，這是應用中的難點，也是中考的熱門考點.3）選擇最簡方案問題分析問題的實際背景中包含的變量及對應關系，結合一次函數(shù)的解析式及圖象，通過比較函數(shù)值的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會函數(shù)作為一種數(shù)學模型在分析解決實際問題中的重要作用.題型01已知直線與坐標軸交點求一元一次方程的解【典例1】（2023春·八年級課時練習）直線過點，，則關于x的方程的解為．【答案】【分析】所求方程的解，即函數(shù)圖像與軸的交點橫坐標，確定出解即可．【詳解】解：關于x的方程的解，即為函數(shù)圖像與軸的交點橫坐標，直線過點，方程的解為，故答案為：．【點睛】此題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，掌握任何一元一次方程都可以轉化為(，為常數(shù)，)的形式，所以解一元一次方程可以轉化為，當某個一次函數(shù)的值為時，求相應的自變量的值.從圖像上看，相當于已知直線確定它與軸的交點的橫坐標的值，是解答本題的關鍵．【變式1】（2023春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與x軸交于點，則關于x的方程的解為．

【答案】【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的圖象交x軸交于點可知，當x＝1時函數(shù)圖象在x軸上，故可得出結論．【詳解】解：∵直線與x軸交于點，由函數(shù)圖象可知，當時函數(shù)圖象在x軸上，即，∴的解是．故答案為：．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與一元一次方程，能利用數(shù)形結合求出方程的解是解答此題的關鍵．【變式2】（2023秋·廣東惠州·九年級?？奸_學考試）一次函數(shù)中，與的部分對應值，如下表：那么，一元一次方程的解是．01202【答案】1【分析】此題實際上是求當時，所對應的的值，根據(jù)表格求解即可．【詳解】解：根據(jù)表格可得：當時，，即一元一次方程的解是，故答案為：1．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，熟練掌握一次函數(shù)與坐標軸的交點與一元一次方程的解的關系是解題的關鍵．題型02利用圖象法解一元一次方程【典例2】（2023春·河北石家莊·八年級校考期中）數(shù)形結合是解決數(shù)學問題常用的思想方法．如圖，直線與直線相交于點．根據(jù)圖像可知，關于的方程的解是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線與直線相交于點即可得出方程的解．【詳解】解：直線與直線相交于點，關于的方程的解是，故選：B．【點睛】本題主要考查了利用圖象法解一元一次方程，采用數(shù)形結合的思想解題，是解此題的關鍵．【變式1】（2023春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線和直線相交于點，則方程的解是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】兩直線的交點的橫坐標即為兩直線解析式所組成的方程的解．【詳解】解：和直線相交于點，方程的解是．故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關鍵是掌握一元一次方程與一次函數(shù)的關系，從圖象上看，一元一次方程的解，相當于已知兩條直線交點的橫坐標的值．【變式2】（2023春·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線和直線相交于點，根據(jù)圖像可知，關于的方程的解是（

）

A．或 B． C． D．【答案】C【分析】兩直線的交點坐標為兩直線解析式所組成的方程組的解．【詳解】∵直線和直線相交于點，∴的解是：，故選：．【點睛】此題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，解題的關鍵是掌握一元一次方程與一次函數(shù)的關系，從圖象上看，一元一次方程的解就是已知兩條直線交點的橫坐標的值．題型03一次函數(shù)的應用——分配方案問題【典例3】（2023春·云南臨滄·八年級統(tǒng)考期末）為全面推進鄉(xiāng)村振興，某省實行城市援助鄉(xiāng)鎮(zhèn)的政策該省的A市有噸物資，市有噸物資經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)該省的甲鄉(xiāng)需要噸物資，乙鄉(xiāng)需要噸物資于是決定由A、兩市負責援助甲、乙兩鄉(xiāng)、已知從A市往甲、乙兩鄉(xiāng)運送物資的運費分別為元噸、元噸，從市往甲、乙兩鄉(xiāng)運送物資的運費分別為元噸、元噸．(1)設從A市往甲鄉(xiāng)運送噸物資，從A、兩市向甲、乙兩鄉(xiāng)運送物資的總運費為元，求與的函數(shù)解析式．(2)請設計運費最低的運送方案，并求出最低運費．【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)市的噸物資運往甲鄉(xiāng)噸，運往乙鄉(xiāng)噸，市的噸物資運往甲鄉(xiāng)噸，運往乙鄉(xiāng)噸的費用求和，即可確定與的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質即可確定運費最低的運送方案和最低運費．【詳解】（1）解：由題意可得，，，，，，的取值范圍是，與的函數(shù)解析式為；（2），隨著增大而增大，當時，取得最小值，最小值為元，此時從市往甲鄉(xiāng)運送噸物資，從市往乙鄉(xiāng)運送噸物資，從市往甲鄉(xiāng)運送噸物資物資，從市往乙鄉(xiāng)運送噸物資，答：運費最低的運送方案是：從市往甲鄉(xiāng)運送噸物資，從市往乙鄉(xiāng)運送噸物資，從市往甲鄉(xiāng)運送噸物資物資，從市往乙鄉(xiāng)運送噸物資，最低運費為元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，根據(jù)題意建立一次函數(shù)關系式是解題的關鍵．【變式1】（2023春·河南鄭州·八年級河南省實驗中學?？计谥校?月23日是“世界讀書日”，某書店在這一天舉行了購書優(yōu)惠活動，有兩種優(yōu)惠方案可以選擇：方案一：享受當天購書按標價總額8折的普通優(yōu)惠；方案二：50元購買一張“書香城市紀念卡”，當天憑卡購書，享受標價總額在普通優(yōu)惠的基礎上再打折的優(yōu)惠．設小明當天購書標價總額為x元，方案一應付元，方案二應付元．(1)當時，請通過計算說明選擇哪種購書方案更劃算；(2)直接寫出與x的函數(shù)關系式；(3)小明如何選擇購書方案才更劃算？【答案】(1)小明用方案一購書更劃算；計算見解析；(2)；(3)見解析．【分析】（1）當時，根據(jù)方案一和方案二計算出實際花費，然后比較即可；（2）根據(jù)題意給出的等量關系即可求出答案；（3）根據(jù)y關于x的函數(shù)解析式，求出兩種方案所需費用相同時的書本數(shù)量，從而可判斷哪家書店省錢．【詳解】（1）解：當時，方案一：（元），方案二：（元），∵，∴小明用方案一購書更劃算；（2）解：由題意得：方案一：；方案二：；∴與x的函數(shù)關系式為；與x的函數(shù)關系式為；（3）解：當時，即，解得；當時，即，解得；當時，即，解得．∴當時，方案一更劃算，當時，方案二更劃算，當時，方案一和方案二一樣劃算．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是正確找出題中的等量關系，本題屬于基礎題型．【變式2】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考階段練習）暑期將至，某健身俱樂部面向學生推出暑期優(yōu)惠活動，活動方案如下．方案一：購買一張學生暑期專享卡，每次健身費用按六折優(yōu)惠；方案二：不購買學生暑期專享卡，每次健身費用按八折優(yōu)惠．設某學生暑期健身x（次），按照方案一所需費用為（元），且；按照方案二所需費用為（元），且．其函數(shù)圖象如圖所示．

(1)求k1和b的值，并說明它們的實際意義；(2)求打折前的每次健身費用和的值；(3)八年級學生小華計劃暑期前往該俱樂部健身7次，應選擇哪種方案所需費用更少？請說明理由．【答案】(1)k1的實際意義是：打六折后的每次健身費用為15元．b的實際意義是：每張學生暑期專享卡的價格為30元(2)打折前的每次健身費用為25（元），(3)選擇方案一所需費用更少．理由見解析【分析】(1)直接根據(jù)函數(shù)的圖象結合實際意義進行解答；(2)根據(jù)方案一打折后每次健身費用是15元，因為是打六折，故可求打折前的費用；然后根據(jù)方案二再打八折即可求得k2；(3)根據(jù)（1）（2）即可得到，當時，解得：．即可得到答案．【詳解】（1）解：的圖象過點和點，∴∴．k1的實際意義是：打六折后的每次健身費用為15元．b的實際意義是：每張學生暑期專享卡的價格為30元．（2）打折前的每次健身費用為（元）．（3）選擇方案一所需費用更少．理由如下：由（1）知，∴．由（2）知，∴．當時，，解得：．結合函數(shù)圖象可知，小華暑期前往該俱樂部健身7次，選擇方案一所需費用更少．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，看懂圖象，理解題意，理解兩種優(yōu)惠方案之間的關鍵是解題的關鍵．題型04一次函數(shù)的應用——最大利潤問題【典例4】（2023春·貴州黔南·八年級統(tǒng)考期末）某地允許市場經(jīng)營主體在規(guī)范有序的條件下，采取“店鋪外擺”“露天市場”方式進行銷售．個體業(yè)主小王響應號召，采取“店鋪外擺”方式銷售甲、乙兩種特價商品，兩種商品的進價與售價如表所示：甲商品乙商品進價（元/件）4010售價（元/件）5015小王計劃購進甲、乙兩種商品共100件進行銷售，設小王購進甲商品x件，甲、乙兩種商品全部銷售完后獲得的利潤為y元．(1)求出y與x之間的函數(shù)關系式；(2)若購進乙商品的件數(shù)不少于甲商品件數(shù)的4倍，當購進甲、乙兩種商品各多少件時，可使得甲、乙兩種商品全部銷售完后獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)當購進甲種商品20件，乙種商品70件時，可使得甲、乙商品全部銷售完后獲得的利潤最大為600元【分析】(1)設購進甲商品x件，則購進乙商品件，根據(jù)題意即可列出y與x之間的函數(shù)關系式；(2)根據(jù)購進乙商品的件數(shù)不少于甲商品件數(shù)的4倍，可得當時，y取得最大值，即可求解．【詳解】（1）解：由題意可得：，∴y與x之間的函數(shù)關系式為；（2）解：由題意，得，解得．∵，∴，∴y隨x增大而增大，∴當時，y的值最大，，此時，答：當購進甲種商品20件，乙種商品70件時，可使得甲、乙商品全部銷售完后獲得的利潤最大為600元．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應用，明確題意，準確列出函數(shù)關系式是解題的關鍵．【變式1】（2023春·廣西南寧·八年級?？计谀┬《谀尘W(wǎng)店選中，兩款玩偶，決定從該網(wǎng)店進貨并銷售．兩款玩偶的進貨價和銷售價如表：款玩偶款玩偶進貨價（元/個）2015銷售價（元/個）2820(1)第一次小冬用550元購進了，兩款玩偶共30個，求兩款玩偶各購進多少個；(2)第二次小冬進貨時，網(wǎng)店規(guī)定款玩偶進貨數(shù)量不得超過款玩偶進貨數(shù)量的一半．小冬計劃購進兩款玩偶共45個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】(1)款玩偶購進20個，款玩偶購進10個(2)按照款玩偶購進15個、款玩偶購進30個的方案進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是270元【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以列出相應的方程，然后求解即可；（2）根據(jù)題意，可以寫出利潤與購進款玩偶數(shù)量的函數(shù)關系式，再根據(jù)網(wǎng)店規(guī)定款玩偶進貨數(shù)量不得超過款玩偶進貨數(shù)量的一半，可以得到款玩偶數(shù)量的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性分析，即可得到答案．【詳解】（1）解：設款玩偶購進個，款玩偶購進個，由題意得：，解得：，（個），答：款玩偶購進20個，款玩偶購進10個；（2）解：設款玩偶購進個，款玩偶購進個，獲利元，由題意得：，款玩偶進貨數(shù)量不得超過款玩偶進貨數(shù)量的一半．，解得，，由，可知隨的增大而增大，當時，（元），款玩偶為：（個），答：按照款玩偶購進15個、款玩偶購進30個的方案進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是270元．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用、一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，寫出相應的函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)的性質求最值．【變式2】（2023·河南洛陽·統(tǒng)考二模）俄烏戰(zhàn)爭仍在繼續(xù)，人們對各種軍用裝備倍感興趣，某商家購進坦克模型（記作A）和導彈（記作B）兩種模型，若購進A種模型10件，B種模型5件，需要1000元；若購進A種模型4件，B種模型3件，需要550元．(1)求購進A，B兩種模型每件分別需多少元？(2)若銷售每件A種模型可獲利潤20元．每件B種模型可獲利潤30元．商店用1萬元購進模型，且購進A種模型的數(shù)量不超過B種模型數(shù)量的8倍，設總盈利為W元，購買B種模型b件，請求出W關于b的函數(shù)關系式，并求出當b為何值時，銷售利潤最大，并求出最大值．【答案】(1)A、B兩種模型每件分別需要25元，150元(2)，購進A模型226件，B模型29件利潤最大為5390元【分析】（1）設購進A，B兩種模型每件分別需要x元，y元，列方程組求解即可．（2）設購買A種模型a件，購買B種模型b件，由題意列出方程組，求出b的范圍，再列出W與b的函數(shù)關系式，求最值即可．【詳解】（1）設購進A、B兩種模型每件分別需要x元，y元，由題意得：解得答：A、B兩種模型每件分別需要25元，150元．（2）設購買A種模型a件，B種模型b件，，解得則購買A種模型為件，即件，則，即∵，∴當b取最小值時總利潤最大，由（2）得，b為整數(shù)，∴當時，，∴購進A模型226件，B模型29件利潤最大為5390元【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一次函數(shù)的應用，一元一次不等式組的應用，找準數(shù)量關系，正確列出方程組，函數(shù)關系式，不等式組是解題的關鍵．題型05一次函數(shù)的應用——行程問題【典例5】（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）甲、乙兩地相距千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)開往乙地．如圖，線段表示貨車離甲地距離千米與時間小時之間的函數(shù)關系；折線表示轎車離甲地距離千米與小時之間的函數(shù)關系．請根據(jù)圖象解答下列問題：

(1)求線段對應的函數(shù)解析式．(2)貨車從甲地出發(fā)后多長時間被轎車追上？此時離甲地的距離是多少千米？(3)轎車到達乙地后，貨車距乙地多少千米．【答案】(1)線段對應的函數(shù)解析式為(2)貨車從甲地出發(fā)后小時被轎車追上，此時離甲地的距離是千米(3)轎車到達乙地后，貨車距乙地千米【分析】（1）設線段對應的函數(shù)解析式為，由待定系數(shù)法求出其解即可；（2）設的解析式為，由待定系數(shù)法求出解析式，由一次函數(shù)與一元一次方程的關系建立方程求出其解即可．（3）先由函數(shù)圖象求出貨車在轎車到達乙地是時需要的時間，由路程速度時間就可以求出結論．【詳解】（1）解：設線段對應的函數(shù)解析式為，由題意，得，解得：．則．答：線段對應的函數(shù)解析式為；（2）設的解析式為，由題意，得，解得：，．當時，，解得：．離甲地的距離是：千米．答：貨車從甲地出發(fā)后小時被轎車追上，此時離甲地的距離是千米；（3）由題意，得千米．答：轎車到達乙地后，貨車距乙地千米．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象的性質的運用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，一次函數(shù)與一元一次方程的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關鍵．【變式1】（2023·河北滄州·?？寄M預測）航模興趣小組在操場上進行航模試驗，甲型航模從距離地面20米處出發(fā)，以a米/分的速度勻速上升，乙型航模從距離地面50米處同時出發(fā)，以15米/分的速度勻速上升，經(jīng)過6分鐘，兩架航模距離地面高度都是b米，兩架航模距離地面的高度y米與時間x分鐘的關系如圖．兩架航模都飛行了20分鐘．

(1)直接寫出a、b的值；(2)求出兩架航模距離地面高度y甲、y乙（米）與飛行時間x（分鐘）的函數(shù)關系式；(3)直接寫出飛行多長時間，兩架航模飛行高度相差25米？【答案】(1)，；(2)，；(3)飛行1分鐘或者11分鐘時，兩架航模飛行高度相差25米【分析】（1）利用速度、路程、時間的關系直接計算即可．（2）根據(jù)一次函數(shù)中一次項系數(shù)和常數(shù)項的實際意義直接列函數(shù)關系式即可．（3）令，解方程得到的值，即可得到答案．【詳解】（1）6分鐘時，乙型航模距離地面高度為：（米，．．，．（2）由題意可得：，設，把代入得，，解得，．（3），令，則，或，解得，或．答：飛行1分鐘或者11分鐘時，兩架航模飛行高度相差25米．【點睛】本題考查一次函數(shù)的實際應用，理解函數(shù)圖象表示的意義是解題的關鍵．【變式2】（2023春·江蘇淮安·九年級?？计谥校┤鐖D1，甲、乙兩車分別從相距的、兩地相向而行，乙車比甲車先出發(fā)小時，并以各自的速度勻速行駛，甲車到達地后因有事立刻按原路原速返回地．乙車從地直達地，兩車同時到達地．甲、乙兩車距各自出發(fā)地的路程（千米）與甲車出發(fā)所用的時間（小時）的關系如圖，結合圖像信息解答下列問題：

(1)乙車的速度是千米/時，乙車行駛小時到達地；(2)求甲車從地按原路原速返回地的過程中，甲車距它出發(fā)地的路程與它出發(fā)的時間的函數(shù)關系式；(3)求甲車出發(fā)多長時間兩車相距千米？【答案】(1)，(2)(3)甲車出發(fā)經(jīng)過，，，兩車相距千米．【分析】（1）結合題意，利用速度=路程÷時間，可得乙的速度、行駛時間；（2）找到甲車到達地和返回地時與的對應值，利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式；（3）分三種情況，甲和乙相距前，甲和乙相距后，甲返回A地時，根據(jù)甲、乙兩車相距千米分情況討論即可求解．【詳解】（1）∵乙車比甲車先出發(fā)小時，由圖象可知乙行駛了千米，∴乙車速度為：千米/時，乙車行駛全程的時間（小時）；故答案為：，；（2）根據(jù)題意可知甲從出發(fā)到返回地需小時，∵甲車到達地后因立即按原路原速返回地，∴結合函數(shù)圖象可知，當時，；當時，；設甲車從地按原路原速返回地時，即，甲車距它出發(fā)地的路程與它出發(fā)的時間的函數(shù)關系式為：，將函數(shù)關系式得：，解得：，故甲車從地按原路原速返回地時，甲車距它出發(fā)地的路程與它出發(fā)的時間的函數(shù)關系式為：；（3）由題意可知甲車的速度為：（千米/時），設甲出發(fā)經(jīng)過小時兩車相距60千米，有以下三種情況：①，解得②，解得③，解得綜上，甲車出發(fā)經(jīng)過，，，兩車相距千米，【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應用問題，解答此題的關鍵是要理解分段函數(shù)圖象所表示的實際意義，準確找到等量關系．題型06一次函數(shù)的應用——幾何問題【典例6】（2023春·河南南陽·八年級校考階段練習）如圖，正方形的邊長為4，P為正方形邊上一動點，運動路線是，設P點經(jīng)過的路程為x，以點A、P、D為頂點的三角形的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關系的是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)動點從點出發(fā)，首先向點運動，此時隨的增加而增大，當點在上運動時，不變，當點在上運動時，隨著的增大而減小，據(jù)此作出選擇即可．【詳解】解：當點由點向點運動，即時，；當點在上運動，即時，，是一個定值；當點在上運動，即時，隨的增大而減?。蔬x：B．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決動點問題的函數(shù)圖象問題關鍵是發(fā)現(xiàn)隨的變化而變化的趨勢．【變式1】（2021春·福建漳州·七年級福建省漳州第一中學?？计谥校┤鐖D，已知動點P從B點出發(fā)，以每秒的速度在圖①的邊（相鄰兩邊互相垂直）上按的路線移動，相應的的面積與點P的運動時間的圖象如圖②所示，且．當時，．

【答案】或【分析】從圖象上分析可知，由于速度是，圖中的過程為點在線段上，故，為，為，為，10到為，，，根據(jù)的面積為，底邊可知高為，也就是點距離的距離是，從數(shù)據(jù)上可知，在線段上有一個符合條件的點，在線段上有一個符合條件的點，求出對應的值．【詳解】解：由圖可知，點的運動速度為，，，，，，，，點到的距離為，故可知在線段上和線段上各有一個點滿足條件，

當在線段上時：，，，當在線段上時：，，，故答案為：或．【點睛】本題考查了動點問題的圖象，一次函數(shù)和動點問題的應用，三角形的面積公式．【變式2】（2023春·安徽宿州·七年級?？计谥校┤鐖D，在長方形中，，，點E為邊上一動點，連接，隨著點E的運動，的面積也發(fā)生變化．

(1)寫出的面積y與的長之間的關系式；(2)當時，求y的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）可求，由即可求解；（2）將代入解析式即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：，．答：的面積y與的長之間的關系式為．（2）解：當時，，答：當時，．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)在動點問題中的應用，掌握“化動為靜”的方法解決動點問題的方法是解題的關鍵．一、單選題1．（2023春·河北廊坊·八年級?？茧A段練習）一次函數(shù)和的圖象相交于點，則關于的方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象的交點坐標進行判斷即可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)和的圖象相交于點，∴關于的方程的解為，故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程．理解方程的解就是兩個相應的一次函數(shù)圖象的交點的橫坐標是解決問題的關鍵．2．（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考階段練習）一次函數(shù)的圖象如圖所示，則關于x的方程的解為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖象得出一次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，即可得出方程的解．【詳解】解：∵直線與x軸交點坐標為，∴的解為，故選：B．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關系，關鍵是正確利用解答．3．（2023春·八年級課時練習）如圖，直線與相交于點，則關于的方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用函數(shù)解析式求出的值，然后再根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點橫坐標就是關于的方程的解可得答案．【詳解】解：∵直線與相交于點，∴，∴，∴，∴關于的方程的解是，故選：C．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關鍵是求得兩函數(shù)圖象的交點坐標．4．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖1是某湖最深處的一個截面圖，湖水面下任意一點A的壓強P（單位：cmHg）與其離水面的深度h（單位：m）的函數(shù)解析式為，其圖象如圖2所示，其中為湖水面大氣壓強，k為常數(shù)且，點M的坐標為．根據(jù)圖中信息分析，下列結論正確的是（

）

A．湖水面大氣壓強為76.0cmHg B．湖水深23m處的壓強為230cmHgC．函數(shù)解析式中自變量h的取值范圍是 D．P與h的函數(shù)解析式為【答案】B【分析】將，代入求得解析式即可進行判斷．【詳解】解：A：由圖可知：當時，cmHg，故A錯誤；將，代入得：解得：∴故D錯誤；B：當時，，故B正確；C：由圖1可知：，故C錯誤故選：B【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與實際問題的聯(lián)系．求出解析式是解題關鍵．二、填空題5．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點和點，則關于x的一元一次方程的解為．

【答案】【分析】求得函數(shù)值時的自變量值即為對應方程的解即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點，∴當時，，∴關于x的一元一次方程的解為，故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次方程的關系，利用一次函數(shù)的圖象解一元一次方程時，關鍵是找準方程的解是相應的一次函數(shù)y為何值時對應的x的值．6．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，直線與直線交于點，則關于的方程的解為；

【答案】【分析】根據(jù)直線與直線交于點得到，再根據(jù)一次函數(shù)與一元一次方程的關系即可解答．【詳解】解：∵直線與直線交于點，∴，∴，∴關于的方程的解，故答案為．【點睛】本題考查了求一次函數(shù)的自變量或函數(shù)值，一次函數(shù)與一元一次方程的關系，掌握一次函數(shù)與一元一次方程的關系是解題的關鍵．7．（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）某菜農(nóng)想圍成一個如圖所示的長方形菜園，菜園的一邊利用足夠長的墻，已知長方形菜園的另外三邊總長度恰好為48米，設邊的長為x米，邊的長為y米，則y與x之間關系表達式是．

【答案】【分析】根據(jù)周長與邊長的關系列關系式即可．【詳解】解：設邊的長為x米，邊的長為y米，∵三邊總長度恰好為48米，即，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了函數(shù)關系式，理解周長的意義是解題的關鍵．8．（2023春·浙江杭州·九年級校聯(lián)考階段練習）為運輸一批醫(yī)用物質，一輛貨車先從甲地出發(fā)運送物資到乙地，稍后一輛轎車從甲地急送專家到乙地．已知甲、乙兩地的路程是，貨車行駛時的速度是，兩車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數(shù)圖象如圖，則；轎車比貨車早小時到達乙地．

【答案】【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出a的值，然后再根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出轎車和貨車用的時間，然后即可計算出轎車比貨車早幾小時到達乙地．【詳解】由題意可得，，貨車到達乙地的所用的時間為：，轎車所用時間為：，轎車比貨車早：，故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．三、解答題9．（2023春·山東聊城·八年級校考階段練習）某健身體驗中心為答謝新老會員舉行春日大回饋活動，特推出兩種“春季喚醒計劃活動方案．方案1：顧客不購買會員卡，每次健身收費20元．方案2：顧客購買會員卡，每張會員卡100元，每張會員卡僅限本人使用一年，每次健身收費10元．設小宇一年來此健身體驗中心健身的次數(shù)為x（次），使用方案1的費用為y1（元），使用方案的費用為y2（元）．(1)請直接寫出y1，y2與x之間的函數(shù)表達式；(2)請根據(jù)小宇一年內(nèi)前往該健身房訓練的次數(shù)確定哪種方案比較合算．【答案】(1),(2)次數(shù)大于次,選擇方案比較合算；次數(shù)為次,選擇方案和方案一樣；次數(shù)少于次,選擇方案比較合算【分析】（1）根據(jù)兩種方案分別列出函數(shù)關系式，即可求解；,選擇方案比較合算；（2）分三種情況：，，,分別求得的取值范圍，然后選擇合算的方案解題.【詳解】（1）解:根據(jù)題意得:,,即,與之間的函數(shù)表達式分別為,；（2）解:當時，,解得,選擇方案比較合算；當時，,解得,選擇方案和方案一樣；當時，,解得,選擇方案比較合算；∴次數(shù)大于次,選擇方案比較合算；次數(shù)為次,選擇方案和方案一樣；次數(shù)少于次,選擇方案比較合算．【點睛】本題主要考查了列函數(shù)關系式，解不等式，明確題意，準確列出函數(shù)關系式是解題的關鍵．10．（2023春·陜西榆林·九年級?？计谥校╆兾髦苤?，被譽為“獼猴桃之鄉(xiāng)”，世界上最大的獼猴桃種植基地．某水果經(jīng)銷商計劃從種植專業(yè)戶李大爺處購進甲，乙兩種新品獼猴桃進行銷售．已知李大爺處乙種獼猴桃的進價為8元/千克：李大爺對甲種獼猴桃的價格根據(jù)進貨量給予優(yōu)惠，設該經(jīng)銷商購進甲種獼猴桃x千克，購進甲種獼猴桃所需費用為y元，y與x之間的函數(shù)關系如圖所示．

(1)求y與x之間的函數(shù)關系式；(2)若該經(jīng)銷商計劃從李大爺處一次性購進甲，乙兩種獼猴桃共200千克，且甲種獼猴桃不少于45千克，但又不超過80千克．如何分配甲，乙兩種獼猴桃的購進量，才能使該經(jīng)銷商購進這兩種獼猴桃付款總金額w（元）最少？【答案】(1)(2)購進甲種獼猴桃為80千克，乙種獼猴桃120千克，才能使該經(jīng)銷商付款總金額w（元）最少，最少是1320元．【分析】（1）由圖可知函數(shù)關系式是分段函數(shù)，用待定系數(shù)法求解即可；（2）購進甲種獼猴桃千克，則購進乙種獼猴桃千克，根據(jù)實際意義可以確定函數(shù)解析式，再利用函數(shù)性質即可求出答案．【詳解】（1）解：當時，設，根據(jù)題意得，解得．∴．當時，設，根據(jù)題意得，解得：∴．∴y與x之間的函數(shù)關系式為（2）該經(jīng)銷商購進甲種獼猴桃x千克，則購進乙種獼猴桃千克，經(jīng)銷商購進這兩種獼猴桃付款總金額w元，由題意，，∵在中，，∴w隨x的增大而減小，∴當時，，此時乙種獼猴桃購進量為（千克）．答：購進甲種獼猴桃為80千克，乙種獼猴桃120千克，才能使該經(jīng)銷商付款總金額w（元）最少，最少是1320元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的實際應用，借助函數(shù)圖象表達題目中的信息，讀懂圖象是關鍵．11．（2023春·河南漯河·八年級?？计谀轫憫暯娇倳浀奶栒?，鼓勵學生多讀書，某圖書館針對學生推出兩種新的借閱優(yōu)惠方案．甲方案：憑學生證辦理借閱卡，充值超過20元時，超過多少送多少；乙方案：憑學生證辦理會員卡，充值每滿40元再送20元．設借閱時間為x天，甲、乙兩種方案每本書的借閱租金分別表示（元），（元）關于x的所數(shù)圖象如圖所示．

(1)分別直接寫出與x之間的函數(shù)關系式；(2)請求出圖中線段的長并說明它的實際意義；(3)八年級小蘭準備用40元錢在該圖書館借閱一本書，選擇哪種方案辦卡更劃算？說明理由．【答案】(1)，；(2)的實際意義是當借閱50天時，兩種方案相差10元；(3)選擇方案乙更劃算，理由見解析【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解；（2）分別求出當時，所對應的函數(shù)值，再求差；（3）先求出當時的x的值，再比較求解．【詳解】（1）解：設，則：，解得：，∴，；（2）解：當時，（元），（元），∴（元），∴的實際意義是當借閱50天時，兩種方案相差10元；（3）解：選擇方案乙更劃算；理由：若選擇甲方案時：，解得：，若選擇乙方案時：，解得：，∵，∴選擇方案乙更劃算．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．12．（2021春·福建漳州·七年級福建省漳州第一中學?？计谥校┠程欤∶鱽淼襟w育館看球賽，進場時，發(fā)現(xiàn)門票還在家里，此時離比賽開始還有25分鐘，于是立即步行回家取票．同時，他父親從家里出發(fā)騎自行車以小明3倍的速度給他送票，兩人在途中相遇，相遇后小明立即坐父親的自行車趕回體育館．如圖中線段，分別表示父子倆送票、取票過程中，離體育館的路程s（米）與所用時間t（分鐘）之間的圖象，結合圖象解答下列問題（假設騎自行車和步行的速度始終保持不變）．

(1)圖中可知小明家離體育館_____________米，父子倆在出發(fā)后_____________分鐘相遇．(2)你能求出父親與小明相遇時，距離體育館還有多遠？(3)小明能否在比賽開始之前趕回體育館？【答案】(1)，(2)父親與小明相遇時，距離體育館有米；(3)小明可以在比賽開始之前趕回體育館．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求解即可；（2）設小明的速度為米/分鐘，則父親的速度為米/分鐘，根據(jù)題意，列式求解即可；（3）根據(jù)距離體育館的距離以及實際速度求出花費時間，進行比較即可．【詳解】（1）解：由圖象可得，分鐘時，米，即小明家離體育館米；分鐘時，兩人距離體育館的距離相等，此時相遇；故答案為：，（2）設小明的速度為米/分鐘，則父親的速度為米/分鐘，由題意可得：解得，（米），答：父親與小明相遇時，距離體育館有米；（3）小明可以在比賽開始之前趕回體育館，由（2）可得，父親的速度為：米/分鐘到體育館所用的時間為：（分鐘）則小明可以在比賽開始之前趕回體育館．【點睛】此題考查了函數(shù)圖象的應用，解題的關鍵是理解函數(shù)圖象，能夠從函數(shù)圖象中獲取信息．13．（2023春·河南商丘·八年級校聯(lián)考期末）2022年河南省全民健身（線上）運動會最終各獎項于12月20日公布，此次盛會充分展示疫情防控常態(tài)化下我省全民健身開展情況，某健身房于此推出“云健身”服務，針對特殊人群開展活動．活動方案如下：方案一：不購買“云”，每次收費10元；方案二：購買“云”，每次另行額外收費．設王先生“云健身”次數(shù)為（次，按照方案一所需費用為（元，且；按照方案二所需費用為（元，且．其函數(shù)圖象如圖所示．

(1)；購買“云”需元；(2