兩角差的余弦定理

教材內(nèi)容分析本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)人教A版必修4第三章《三角恒等變換》第一節(jié)內(nèi)容，兩角差的余弦公式是用兩個單角的三角函數(shù)值來表示兩角差的余弦值，揭示了單角與復(fù)角三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，開辟了三角函數(shù)研究的新領(lǐng)域。本節(jié)課的內(nèi)容是三角函數(shù)的延伸，是后繼內(nèi)容兩角差和的正弦、正切公式，以及二倍角公式的知識基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用。教材沒有直接給出兩角差的余弦公式，而是分探求結(jié)果，證明結(jié)果兩步，即先用數(shù)形結(jié)合的思想，借助單位圓中的三角函數(shù)線，推導(dǎo)出α、β、α-β為銳角時的公式，對于α、β為任意角時，用向量的方法進行了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，這樣的安排使探究更加真實，利于學(xué)生學(xué)會探究、發(fā)展思維。因此，本節(jié)課的教學(xué)重點是：通過猜想發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式，并用三角函數(shù)線和向量方法證明公式,最后以兩個例題的求解過程展現(xiàn)兩角差的余弦公式的實際應(yīng)用價值。教學(xué)目標(biāo)分析通過情景創(chuàng)設(shè)、運算發(fā)現(xiàn)，猜想獲得兩角差的余弦公式，掌握用數(shù)形結(jié)合和向量法的方法完善證明，熟記公式的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)以致用。由實際情景出發(fā)引出問題，用向量數(shù)量積推導(dǎo)公式，進一步體會向量方法的應(yīng)用。用三角函數(shù)線推導(dǎo)公式，加強新舊知識的聯(lián)系，鍛煉應(yīng)用已學(xué)過的知識解決問題的能力，使學(xué)生從直觀角度加強對差角公式結(jié)構(gòu)形式的認識，從而體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。體驗科學(xué)探索過程，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑、猜想，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，使學(xué)生感受科學(xué)探索的樂趣和勇氣，通過對猜想的驗證，對公式證明的完善，培養(yǎng)學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)精神，感受運用新知解決實際問題的成就感。學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生在前兩章的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，學(xué)習(xí)了單角三角函數(shù)以及向量的相關(guān)知識，初步掌握了一些同角三角函數(shù)關(guān)系式，對三角函數(shù)的定義也由銳角三角函數(shù)擴展到任意角的三角函數(shù)，會借助單位圓分析有關(guān)三角函數(shù)的問題，但還遠未達到綜合運用這些方法自主探究和證明的水平，比如用幾何方法研究兩角差的余弦公式，學(xué)生不容易想到用“割補法”求正弦線、余弦線；用向量的數(shù)量積公式證明兩角差的余弦公式，學(xué)生容易犯思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)腻e誤。所以需要讓他們做好比較充分的預(yù)習(xí)，在所有學(xué)生獨立探究這個內(nèi)容時，教師要做恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。教學(xué)策略分析力求把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生分小組，合作交流，讓學(xué)生上臺展示討論成果，在得到新知的同時又培養(yǎng)他們合作、分析和探索的能力。本節(jié)主要采用引導(dǎo)探索的教學(xué)方法，循序漸進，再配合幾何畫板，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，合作交流去發(fā)現(xiàn)和證明兩角差的余弦公式。教學(xué)過程設(shè)計創(chuàng)設(shè)情景，引入新課實際問題：如圖，我國某海域內(nèi)有三個島，B島在A島的正北方向，C島在A島的正西方向?，F(xiàn)有一艘海輪從B島出發(fā)，以20海里每小時的速度勻速直線航行，經(jīng)過2小時后到達C島，測得∠ACB=15°，求A、C兩島間的距離.解：AC=20×2×cos15o=40cos15o=?提問：cos15o=cos(45o-30o)?設(shè)計意圖：展示課件，與實際問題相結(jié)合，加強學(xué)科間的滲透，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引出探究課題。探究新知，共同學(xué)習(xí)問題一：猜想兩角差的余弦公式根據(jù)剛才的設(shè)想，我們把問題一般化，首先來做一個猜想。猜想1：設(shè)α、β為任意角，則cos(α-β)=cosα-cosβ成立嗎？反例驗證，α=60o，β=30o,此式不成立。猜想2：是否與兩個角的兩個三角函數(shù)有關(guān)？提示學(xué)生，其實我們之前已經(jīng)接觸過兩角差的余弦公式，大家想想在哪兒呢？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式，從公式cos(π-α)和cos(π/2-α)入手，發(fā)現(xiàn)cos(α-β)公式于單項式cosαcosβ、sinαsinβ都有關(guān)系，猜想cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，進而用兩組特殊角進行驗證。設(shè)計意圖：①從新舊知之間的聯(lián)系入手，讓學(xué)生對新知不陌生。②通過兩組誘導(dǎo)公式，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)cos(α-β)的值與cosα、cosβ、sinα、sinβ的值都有關(guān)系，為最終公式的得到做了小小的鋪墊。問題二：如何證明兩角差的余弦公式？由于這里涉及的是三角函數(shù)的問題，是α-β這個角的余弦問題，所以可以考慮聯(lián)系單位圓上的三角函數(shù)或向量的知識。提問：我們知道在我們數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想有時可以幫助解決問題，那么這個三角函數(shù)問題能不能用“形”來解決問題，三角函數(shù)的形又是什么呢？生：是三角函數(shù)線？師：下面我們就用三角函數(shù)來研究cos(α-β)與cosα、cosβ、sinα、sinβ之間的關(guān)系。因為角的終邊所處的象限不同，畫出的幾何圖形會有很大差別，所以先研究簡單的情況，即α、β、α-β都為銳角的時候。課件：做單位圓O，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P1，做∠POP1=β，則∠xOP=α-β.過點P作PM垂直于x軸，垂足為M，則OM=cos(α-β)過點P作PA垂直于OP1，垂足為A，則OA=cosβ，AP=sinβ過點A作AB垂直于x軸，垂足為B，則OB=OAcosα=cosαcosβ過點P作PC垂直于AB，垂足為C，則∠PAC=α，所以CP=BM=APsinα=sinαsinβ于是：OM=OB+BM=cosαcosβ+sinαsinβ設(shè)計意圖：這個推導(dǎo)過程對于學(xué)生來說有些繁瑣，所以我制作成動畫課件把探索過程逐步展示出來。但要說明結(jié)果是在任意角α，β時也成立，還要做不少的推廣工作，所以用幾何畫板展示其他情況。y提問：“形”上可以簡單證明公式，那能從“數(shù)”上嚴(yán)謹(jǐn)證明公式嗎？下面我們用向量的知識進行探究。請同學(xué)們回憶，向量中的什么知識與余弦值有關(guān)呢？y生：數(shù)量積。BAyxo如圖，在單位圓中作出角α，βBAyxo問題1：兩個向量的夾角為什么？xx問題2：向量OA、OB的坐標(biāo)分別是什么，數(shù)量積等于什么？問題3：兩個向量夾角θ與α-β有什么關(guān)系？設(shè)計意圖：在學(xué)生已有的向量基礎(chǔ)上，通過代數(shù)運算證明公式，讓學(xué)生體會運用向量工具進行探索的簡潔方便。要注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，因此要討論角θ和角α-β的關(guān)系。（三）、應(yīng)用新知，鞏固提高1、解決引例中問題，cos15o=？設(shè)計意圖：學(xué)生動筆自由嘗試，主動探索，感受獲得公式后的第一份喜悅。例題展示設(shè)計意圖：例1讓學(xué)生正用公式，注意角的范圍，加深對公式的理解。例2讓學(xué)生逆用公式，用發(fā)現(xiàn)的眼光看待問題，恰當(dāng)轉(zhuǎn)化。（四）、復(fù)習(xí)回顧，總結(jié)提升小結(jié)：（