12.1全等三角形課件人教版數(shù)學(xué)八年級上冊

12.1全等三角形人教版數(shù)學(xué)八年級上冊教學(xué)目標(biāo)：1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性質(zhì).

2.能找準(zhǔn)全等三角形的對應(yīng)邊，理解全等三角形的對應(yīng)角相等.

3.能進行簡單的推理和計算，并解決一些實際問題.

教學(xué)重點:

理解并掌握全等三角形的概念及其基本性質(zhì).

教學(xué)難點：能找準(zhǔn)全等三角形的對應(yīng)邊，理解全等三角形的對應(yīng)角相等.教學(xué)目標(biāo)

情境引入

觀察這些圖片，你能看出形狀、大小完全一樣的幾何圖形嗎？你能再舉出生活中的一些類似例子嗎？新知導(dǎo)入

合作學(xué)習(xí)知識點一：全等形的定義及性質(zhì)問題1：觀察思考：每組中的兩個圖形有什么特點？①②③問題2：觀察思考：每組中的兩個圖形有什么特點？

④⑤

新知講解全等圖形定義：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.全等形性質(zhì)：如果兩個圖形全等，它們的形狀和大小一定都相等.下面哪些圖形是全等圖形？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）練一練思考：把一個三角形平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，變換前后的兩個三角形全等嗎？AACBDEABCDCFNMBABDCEF

一個圖形經(jīng)過平移,翻折，旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但＿＿＿和＿＿＿都沒有改變，即平移，翻折，旋轉(zhuǎn)前后的圖形___________.完全重合形狀大小全等變化知識點二：全等三角形的定義及其他概念EDFBACABC像上圖一樣，把△ABC疊到△DEF上，能夠完全重合的兩個三角形,叫作全等三角形.把兩個全等的三角形重疊到一起時，重合的頂點叫作對應(yīng)頂點，重合的邊叫作對應(yīng)邊，重合的角叫作對應(yīng)角.你能指出上面兩個全等三角形的對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角嗎？點A與點D、點B與點E、點C與點F重合，稱為對應(yīng)頂點；邊AB與DE、邊BC與EF、邊AC與DF重合，稱為對應(yīng)邊；∠A與∠D、∠B與∠E、∠C與∠F重合，稱為對應(yīng)角.ABCEDF要點：對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上提煉概念

△ABC≌△FDEA

BCEDF注意：記兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.全等的表示方法“全等”用符號“≌”表示，讀作“全等于”.典例精講

例1你能指出下圖中兩個全等三角形的對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角嗎？ABCDABCDABCD對應(yīng)頂點：對應(yīng)邊：對應(yīng)角：A與A,B與D,C與CAB與AD,BC與DC,AC與AC∠ABC與∠ADC,∠BCA與∠DCA,∠BAC與∠DACA與C,B與D,C與AAB與CD,BC與AD,AC與CA∠ABC與∠CDA,∠BCA與∠DAC,∠BAC與∠DCAA與D,B與C,C與BAB與DC,BC與CB,AC與DB∠ABC與∠DCB,∠BCA與∠CBD,∠A與∠D

請利用自制的一對全等三角形拼出有公共頂點或公共邊或公共角的圖形.試用全等符號表示它們，分析每個圖形，找準(zhǔn)對應(yīng)邊、對應(yīng)角.探究歸納:尋找對應(yīng)邊、對應(yīng)角有什么規(guī)律?ABCDOABCDOABCDEABDCE2.有公共點ABCDABCDABCD1.有公共邊歸納概念

（1)根據(jù)書寫規(guī)范，記兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上，故可按照對應(yīng)頂點的位置確定對應(yīng)元素．如：△ABC≌△DEF，則AB和DE，AC和DF，BC和EF是對應(yīng)邊，∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對應(yīng)角．確定全等三角形對應(yīng)元素的“三種方法”(2)圖形位置法：①公共邊一定是對應(yīng)邊；②公共角一定是對應(yīng)角；③對頂角一定是對應(yīng)角．(3)圖形大小法：最大邊與最大邊（最小邊與最小邊）為對應(yīng)邊；最大角與最大角（最小角與最小角）為對應(yīng)角；

對應(yīng)角的對邊為對應(yīng)邊；對應(yīng)邊的對角為對應(yīng)角．知識點三：全等三角形的性質(zhì)如圖，△ABC≌△DEF，對應(yīng)邊有什么關(guān)系？對應(yīng)角有什么關(guān)系？A

BCDFE

全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等.全等三角形的性質(zhì)∵△ABC≌△FDE∴AB=FD，AC=FE，BC=DE（全等三角形對應(yīng)邊相等）∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E（全等三角形對應(yīng)角相等）幾何語言:例2：如圖，△ABC與△ADC全等，請用數(shù)學(xué)符號表示出這兩個三角形全等，并寫出相等的邊和角.解：△ABC≌△ADC;相等的邊為：AB=AD，AC=AC，BC=DC；相等的角為：∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，∠ACB=∠ACD.常見全等三角形展示1.下列說法正確的是()A.兩個面積相等的圖形一定是全等形B.兩個長方形是全等形C.兩個全等圖形的形狀一定相同D.兩個正方形一定是全等形C課堂練習(xí)2．如圖所示，△ABC≌△CDA，且AB與CD是對應(yīng)邊，那么下列說法中錯誤的是(

)A．∠1與∠2是對應(yīng)角B．∠B與∠D是對應(yīng)角C．BC與AC是對應(yīng)邊D．AC與CA是對應(yīng)邊C3.如圖，△ABC≌△ADE,若∠D=∠B，∠C=∠AED，∠DAE=

；∠DAB=

.ABCDE∠BAC∠EAC4.如圖，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出這兩個全等三角形的對應(yīng)邊；若△ADO≌△AEO，指出這兩個三角形的對應(yīng)角.解：△BOD與△COE的對應(yīng)邊為：BO與CO，OD與OE，BD與CE；△ADO與△AEO的對應(yīng)角為：∠DAO與∠EAO，∠ADO與∠AEO，∠AOD與∠AOE.解：（1）對應(yīng)邊：AB和AC，AD和AE，BD和CE.

對應(yīng)角：∠A和∠A，∠ABD和∠ACE，∠ADB和∠AEC．5.（教材第6題）如圖,△AEC≌△ADB,點E和點D是對應(yīng)頂點.(1)寫出它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)角；(2)若∠A=50°,∠ABD=39°,且∠1=∠2,求∠1的度數(shù).解：（2）∵△AEC≌△ADB，∴∠ACE=∠ABD=39°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A

+∠ABD+∠1

+∠2+∠ACE=180°．又∵∠1=∠2，∴50°+

39°+2∠1+39°=180°，解得∠1=26°．5.如圖,△AEC≌△ADB,點E和點D是對應(yīng)頂點.(1)寫出它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)角；(2)若∠A=50°,∠ABD=39°,且∠1=∠2,求∠1的度數(shù).課堂總結(jié)全等三角形定義能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形基本性質(zhì)對應(yīng)邊相等對應(yīng)角相等對應(yīng)元素確定方法對應(yīng)邊對應(yīng)角長對長，短對短，中對中公共邊一定是對應(yīng)邊大角對大角，小角對小角公共角一定是對應(yīng)角對頂角一定是對應(yīng)角第一課時“邊邊邊”定理

為了慶祝國慶節(jié)，老師要求同學(xué)們回家制作三角形彩旗（如圖），那么，老師應(yīng)提供多少個數(shù)據(jù)，能保證同學(xué)們制作出來的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的邊長和所有的角度嗎？導(dǎo)入新知3.掌握用尺規(guī)作一個角等于已知角的作圖法．1.探索三角形全等條件，明確探索方向和過程.2.掌握“邊邊邊”判定方法和應(yīng)用.素養(yǎng)目標(biāo)1.什么叫全等三角形？能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.2.全等三角形有什么性質(zhì)？全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.探究新知知識點1三角形全等的判定——“邊邊邊”定理溫故知新ABCDEF3.已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的邊與角.①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠F探究新知溫故知新即：三條邊分別相等，三個角分別相等的兩個三角形全等．

【思考】如果只滿足這些條件中的一部分,那么能保證△ABC≌△DEF嗎?探究新知只給一個條件①只給一條邊時；②只給一個角時；3cm3cm45?45?結(jié)論:只有一條邊或一個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.①兩邊；③兩角.②一邊一角；如果滿足兩個條件，你能說出有哪幾種可能的情況？探究新知4cm4cm3cm3cm結(jié)論:兩條邊對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.探究新知①如果三角形的兩邊分別為3cm，4cm時4cm4cm30?30?結(jié)論:一條邊一個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.探究新知②三角形的一條邊為4cm,一個內(nèi)角為30°時:45?30?45?30?結(jié)論:兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.探究新知根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，則第三角一定確定，所以當(dāng)三個內(nèi)角對應(yīng)相等時，兩個三角形不一定全等.③如果三角形的兩個內(nèi)角分別是30°，45°時兩個條件①兩角；②兩邊；③一邊一角.結(jié)論：只給出一個或兩個條件時，都不能保證所畫的三角形一定全等.一個條件①一角；②一邊；探究新知歸納總結(jié)①三角；②三邊；③兩邊一角；④兩角一邊.如果滿足三個條件，你能說出有哪幾種可能的情況？探究新知已知兩個三角形的三個內(nèi)角分別為30°，60°，90°它們一定全等嗎？這說明有三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.①三個角探究新知已知兩個三角形的三條邊都分別為3cm、4cm、6cm.它們一定全等嗎？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm②三條邊探究新知

先任意畫出一個△ABC，再畫出一個△A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′=AC.把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？ABCA′B′C′作圖的結(jié)果反映了什么規(guī)律？你能用文字語言和符號語言概括嗎？作法：（1）畫B′C′=BC；（2）分別以B',C'為圓心，線段AB,AC長為半徑畫圓，兩弧相交于點A'；（3）連接線段A'B',A'C'.探究新知做一做想一想文字語言：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）ABCDEF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）.

AB=DE，BC=EF，CA=FD，幾何語言：探究新知“邊邊邊”判定方法例1

如圖，有一個三角形鋼架，AB=AC，AD是連接點A與BC中點D的支架．求證：（1）△ABD≌△ACD．CBDA解題思路：先找隱含條件公共邊AD再找現(xiàn)有條件AB=AC最后找準(zhǔn)備條件BD=CDD是BC的中點利用“邊邊邊”定理判定三角形全等探究新知素養(yǎng)考點1證明：∵D是BC中點，∴BD=DC．在△ABD與△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．CBDAAB=AC(已知）BD=CD

（已證）AD=AD

（公共邊）準(zhǔn)備條件指明范圍擺齊根據(jù)寫出結(jié)論(2)∠BAD=∠CAD.由（1）得△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD.

（全等三角形對應(yīng)角相等）探究新知①準(zhǔn)備條件：證全等時要用的條件要先證好；②指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；③擺齊根據(jù)：擺出三個條件用大括號括起來；④寫出結(jié)論：寫出全等結(jié)論.證明的書寫步驟：探究新知歸納總結(jié)1.如圖,C是BF的中點，AB=DC,AC=DF.求證:△ABC≌△DCF.在△ABC

和△DCF中，AB=DC，∴△ABC≌△DCF(已知)(已證)AC=DF，BC=CF，證明：∵C是BF中點，∴BC=CF.(已知)(SSS).鞏固練習(xí)例2已知：如圖，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.

求證：∠BAC＝∠DAE.

利用三角形全等證明線段或角相等探究新知分析：要證∠BAC＝∠DAE，而這兩個角所在三角形顯然不全等，我們可以利用等式的性質(zhì)將它轉(zhuǎn)化為證∠BAD＝∠CAE；由已知的三組相等線段可證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAE.素養(yǎng)考點2證明：在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE(SSS)，

∴∠BAD＝∠CAE.∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，

即∠BAC＝∠DAE.探究新知2.已知：如圖，AB=AD，BC=DC，

求證：△ABC≌△ADC，ABCDAC=AC(

公共邊)≌AB=AD()BC=DC()∴△ABC△ADC（SSS）證明：在△ABC和△ADC中已知已知∴∠BAC=∠DAC∴AC是∠BAD的角平分線.AC是∠BAD的角平分線鞏固練習(xí)已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．例3用尺規(guī)作一個角等于已知角．ODBCAO′C′A′B′D′用尺規(guī)作一個角等于已知角知識點2探究新知作法：

（1）以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，

OB于點C、D；（2）畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；（3）以點C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧交于點D′；（4）過點D′畫射線O′B′，則∠A′O′B′=∠AOB．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規(guī)作一個角等于已知角依據(jù)是什么？探究新知連接中考鞏固練習(xí)1.如圖，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求證∠F=∠C．證明：∵DA=BE，∴DE=AB，在△ABC和△DEF中，

AC=DF

BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠C=∠F．AB=DE連接中考鞏固練習(xí)2.已知：如圖，點A、D、C、B在同一條直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求證：AE∥BF．證明：∵AD=BC，∴AC=BD，

在△ACE和△BDF中，

，

∴△ACE≌△BDF（SSS）

∴∠A=∠B，∴AE∥BF.

1.如圖，D、F是線段BC上的兩點，AB=CE，AF=DE，

要使△ABF≌△ECD，還需要條件

___

(填一個條件即可）.

BF=CDAEBDFC課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題2.如圖，AB＝CD，AD＝BC,

則下列結(jié)論：①△ABC≌△CDB；

②△ABC≌△CDA；③△ABD≌△CDB；

④BA∥DC.正確的個數(shù)是()

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個OABCDC課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題1.已知：如圖，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求證：△ABC≌△AED.證明：∵BD=CE,∴BD－CD=CE－CD.∴BC=ED.××==在△ABC和△ADE中，AC=AD（已知），AB=AE（已知），BC=ED（已證），∴△ABC≌△AED（SSS）.能力提升題課堂檢測2.已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB（1）如圖1，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C、D；（2）如圖2，畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑作弧，交O′A′于點C′；（3）以點C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點D′；（4）過點D′畫射線O′B'，則∠A'O'B'=∠AOB．根據(jù)以上作圖步驟，請你證明∠A'O'B′=∠AOB．課堂檢測圖1圖2能力提升題證明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，在△OCD和△O′C′D′中

，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB．課堂檢測

能力提升題3.如圖,AD＝BC,AC＝BD.求證:∠C＝∠D.(提示:連結(jié)AB)證明：連結(jié)AB兩點,∴△ABD≌△BAC(SSS)AD=BC，BD=AC，AB=BA，在△ABD和△BAC中，∴∠D=∠C.課堂檢測能力提升題如圖，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，圖中有幾組全等的三角形？它們?nèi)鹊臈l件是什么？HDCBA△ABD≌△ACD(SSS)AB=AC，BD=CD，AD=AD，△ABH≌△ACH(SSS)AB=AC，BH=CH，AH=AH，△BDH≌△CDH(SSS)BH=CH，BD=CD，DH=DH，拓廣探索題課堂檢測

邊邊邊內(nèi)容有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“SSS”)應(yīng)用思路分析書寫步驟結(jié)合圖形找隱含條件和現(xiàn)有條件，找準(zhǔn)備條件注意四步驟1.說明兩三角形全等所需的條件應(yīng)按對應(yīng)邊的順序書寫.2.結(jié)論中所出現(xiàn)的邊必須在所證明的兩個三角形中.課堂小結(jié)第二課時“邊角邊”定理問題:如圖有一池塘。要測池塘兩端A、B的距離，可無法直接到達，因此這兩點的距離無法直接量出。你能想出辦法來嗎？AB導(dǎo)入新知ABCED在平地上取一個可直接到達A和B的點C，連接AC并延長至D使CD=CA連接BC并延長至E使CE=CB連結(jié)ED，那么量出DE的長，就是A、B的距離.為什么？導(dǎo)入新知3.了解“SSA”不能作為兩個三角形全等的條件．1.探索并正確理解三角形全等的判定定理“SAS”.2.會用“SAS”判定定理證明兩個三角形全等并能應(yīng)用其解決實際問題．素養(yǎng)目標(biāo)

1.回顧三角形全等的判定方法1

三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）.在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD2.符號語言表達：ABCDEF探究新知知識點1三角形全等的判定——“邊角邊”定理當(dāng)兩個三角形滿足六個條件中的3個時，有四種情況:三角×三邊√兩邊一角？兩角一邊

【思考】除了SSS外,還有其他情況嗎？探究新知能判定全等嗎？已知一個三角形的兩條邊和一個角，那么這兩條邊與這一個角的位置上有幾種可能性呢？ABCABC“兩邊及夾角”“兩邊和其中一邊的對角”它們能判定兩個三角形全等嗎？探究新知尺規(guī)作圖畫出一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A（即使兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等）.把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？ABC兩邊及其夾角能否判定兩個三角形全等?探究新知做一做ABCA′DEB′C′作法：（1）畫∠DA'E=∠A；（2）在射線A'D上截取A'B'=AB,在射線A'E上截取A'C'=AC；（3）連接B'C'.思考

①

△A′B′C′與△ABC全等嗎？如何驗證？②這兩個三角形全等是滿足哪三個條件？探究新知在△ABC和△DEF中，∴

△ABC≌△

DEF（SAS）．

文字語言：

兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.

（簡寫成“邊角邊”或“SAS”）．

“邊角邊”判定方法幾何語言：AB=DE，∠A=∠D，AC=AF，ABCDEF必須是兩邊“夾角”探究新知例1

如果AB=CB，∠ABD=∠CBD，那么

△

ABD和△

CBD全等嗎？分析:△ABD≌△CBD.邊:角:邊:AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，ABCD(SAS)BD=BD(公共邊)，證明：在△ABD和△CBD中，AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，∴

△ABD≌△CBD(SAS).BD=BD(公共邊)，利用“邊角邊”定理證明三角形全等探究新知素養(yǎng)考點11.已知:如圖,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求證:∠A=∠D.證明:∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1+∠DBC＝∠2+∠DBC(等式的性質(zhì))，

即∠ABC＝∠DBE.

在△ABC和△DBE中,

AB＝DB(已知)，∠ABC＝∠DBE(已證)，

CB＝EB(已知)，

∴△ABC≌△DBE（SAS）.∴∠A=∠D(全等三角形的對應(yīng)角相等).1A2CBDE鞏固練習(xí)例2如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個可以直接到達A和B的點C，連接AC并延長到點D，使CD＝CA，連接BC并延長到點E，使CE＝CB．連接DE，那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么?AC·EDB證明：在△ABC和△DEC

中，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE，（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.AC=DC（已知），∠ACB=∠DCE

（對頂角相等），CB=EC（已知），利用全等三角形測距離探究新知素養(yǎng)考點22.如圖，兩車從南北方向的路段AB的A端出發(fā)，分別向東、向西行進相同的距離，到達C，D兩地.此時C，D到B的距離相等嗎？為什么？提示：相等.根據(jù)邊角邊定理，

△BAD≌△BAC，∴BD=BC.鞏固練習(xí)

如圖，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC.固定住長木棍，轉(zhuǎn)動短木棍，得到△ABD.這個實驗說明了什么？B

A

CD△ABC和△ABD滿足AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC與△ABD不全等.SSA能否判定兩個三角形全等？探究新知想一想

畫△ABC和△ABD，使∠A=∠A=30°，AB=AB=5

cm

，BC=BD=3cm．觀察所得的兩個三角形是否全等？ABMCDABCABD

有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.結(jié)論探究新知畫一畫例3下列條件中，不能證明△ABC≌△DEF的是(

)A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判斷能不能使△ABC≌△DEF，應(yīng)看所給出的條件是不是兩邊和這兩邊的夾角，只有選項C的條件不符合，故選C.C易錯點撥：判斷三角形全等時，注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等．只有兩邊及夾角對應(yīng)相等時，才能判定三角形全等．素養(yǎng)考點3三角形全等條件的識別探究新知3．如圖，AB＝CD，AB∥CD，E，F(xiàn)是BD上兩點且BE＝DF，則圖中全等的三角形有(

)A．1對B．2對C．3對D．4對CC鞏固練習(xí)連接中考1.如圖，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．

求證：∠C=∠E．解：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE–∠CAE=∠DAC–∠CAE，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∵

，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C=∠E．鞏固練習(xí)

鞏固練習(xí)連接中考2.如圖，已知線段AC，BD相交于點E，AE=DE，BE=CE．（1）求證：△ABE≌△DCE；（2）當(dāng)AB=5時，求CD的長．

1.在下列圖中找出全等三角形進行連線.Ⅰ?30o8cm9cmⅥ?30o8cm8cmⅣⅣ8cm5cmⅡ30o?8cm5cmⅤ30o8cm?5cmⅧ8cm5cm?30o8cm9cmⅦⅢ?30o8cm8cmⅢ課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題D基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測2.如圖，AB=DB，BC=BE，欲證△ABE≌△DBC，則需要增加的條件是()A.∠A＝∠D

B.∠E＝∠CC.∠A=∠C

D.∠ABD＝∠EBC

證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SAS）．AD=AB∠BAC=∠DACAC=AC(已知），(公共邊），(已證），3.如圖，已知AC平分∠BAD,AB=AD．

求證：△ABC≌△ADC．

課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題已知：如圖，AB=AC,BD=CD，E為AD上一點.求證：

BE=CE.證明：∴

∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=ACBD=CDAD=AD

(已知），(公共邊），(已知），∴BE=CE.在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CADAE=AE

(已知），(公共邊），(已證），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴△ABE≌△ACE（SAS）.課堂檢測能力提升題ABCDE如圖，已知CA=CB,AD=BD,M，N分別是CA，CB的中點，求證：DM=DN.在△ABD與△CBD中證明:CA=CB(已知）AD=BD

（已知）CD=CD（公共邊）∴△ACD≌△BCD（SSS）連接CD，如圖所示；∴∠A=∠B又∵M，N分別是CA，CB的中點，∴AM=BN拓廣探索題課堂檢測在△AMD與△BND中AM=BN

(已證）∠A=∠B（已證）AD=BD

（已知）∴△AMD≌△BND（SAS）∴DM=DN.

邊角邊內(nèi)容有兩邊及夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“SAS”)應(yīng)用為證明線段和角相等提供了新的證法注意1.已知兩邊，必須找“夾角”2.已知一角和這角的一夾邊，必須找這角的另一夾邊

課堂小結(jié)第三課時“角邊角”“角角邊”定理一張教學(xué)用的三角形硬紙板不小心被撕壞了，如圖，你能制作一張與原來同樣大小的新教具？能恢復(fù)三角形的原貌嗎？怎么辦？可以幫幫我嗎？導(dǎo)入新知1.探索并正確理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．素養(yǎng)目標(biāo)2.會用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”證明兩個三角形全等．三角形全等的判定（“角邊角”定理）

如果已知一個三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢？ABCABC圖一圖二“兩角及夾邊”“兩角和其中一角的對邊”它們能判定兩個三角形全等嗎？探究新知知識點1

先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，

使A′B′=AB，

∠A′=∠A，

∠B′=∠B(即使兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等).把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？ACB探究新知ACBA′B′C′ED作法：（1）畫A'B'=AB;（2）在A'B'的同旁畫∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E相交于點C'.從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？探究新知想一想

“角邊角”判定方法文字語言：

有兩角和它們夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡寫成“角邊角”或“ASA”）.幾何語言：∠A=∠A′（已知），AB=A′B′（已知），∠B=∠B′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.ABCA′B′C′探究新知例1已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），BC＝CB（公共邊），∠ACB＝∠DBC（已知），證明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.BCAD

判定方法：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等兩個三角形全等．利用“角邊角”定理證明三角形全等探究新知素養(yǎng)考點11.如圖，已知點E，C在線段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BC＝EF.∵∠ACB＝∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）鞏固練習(xí)例2如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,求證：AD=AE.ABCDE分析：證明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE.證明：在△ACD和△ABE中，∠A=∠A（公共角），AC=AB（已知），∠C=∠B（已知），∴

△ACD≌△ABE（ASA），∴AD=AE.探究新知2.如圖，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？為什么？證明:在△ABE與△ACD中

∠B=∠C

（已知）

∠A=∠A（公共角）

AE=AD

（已知）∴△ABE≌△ACD（AAS）∴BE=CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）AEDCBBE=CD鞏固練習(xí)若三角形的兩個內(nèi)角分別是60°和45°，且45°所對的邊為3cm，你能畫出這個三角形嗎?60°45°用“角角邊”判定三角形全等知識點2探究新知60°45°思考：

這里的條件與探究1中的條件有什么相同點與不同點？你能將它轉(zhuǎn)化為探究1中的條件嗎？75°探究新知∠A=∠A′（已知），∠B=∠B′（已知），AC=A′C′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.ABCA′B′C′探究新知歸納總結(jié)兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.簡寫成“角角邊”或“AAS”.例3

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求證：△ABC≌△DEF．證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.∴△ABC≌△DEF（ASA）.∠B＝∠E，BC＝EF，

∠C＝∠F.∴∠C＝180°－∠A－∠B.同理

∠F＝180°－∠D－∠E.又

∠A＝∠D，∠B＝∠E,∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，利用“角角邊”定理證明三角形全等探究新知素養(yǎng)考點2例4如圖，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E.求證：(1)△BDA≌△AEC；證明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∠ADB=∠CEA=90°，

∠ABD＝∠CAE,AB＝AC,∴△BDA≌△AEC(AAS).探究新知例4如圖，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E.

求證：(2)DE＝BD＋CE.∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.證明：∵△BDA≌△AEC,方法總結(jié)：利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問題的關(guān)鍵是運用全等三角形的判定與性質(zhì)進行線段之間的轉(zhuǎn)化．探究新知3.如圖，已知：AD為△ABC的中線，且CF⊥AD于點F，BE⊥AD交AD的延長線于點E.求證：BE＝CF.證明：∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED與△CFD中∠BED=∠CFD∠1=∠2BD=CD∴△BED≌△CFD(AAS)．∴BE＝CF.鞏固練習(xí)連接中考解析：∵AB=AC，∠A為公共角，如添加∠B=∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD；如添AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；如添BD=CE，等量關(guān)系可得AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；如添BE=CD，因為SSA，不能證明△ABE≌△ACD，1.如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB=AC，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C

B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CDD鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)2.如圖，已知∠1=∠2，∠B=∠D，

求證：CB=CD．

連接中考

1.下列各圖中a、b、c為三角形的邊長，則甲、乙、丙三個三角形和左側(cè)△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙

C．甲和丙 D．只有丙B課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題2.在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么這兩個三角形（）A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等

D．以上都不對B課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題

3.如圖，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判別下面的兩個三角形是否全等，并說明理由.不全等，因為BC雖然是公共邊，但不是對應(yīng)邊.ABCD課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題4.如圖，△ABC的兩條高AD，BE相交于點F，請?zhí)砑右粋€條件，使得ADC≌△BEC（不添加其他字母及輔助線），你添加的條件是___________

AC=BC課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題1.已知：如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,

求證：AB=AD.ACDB12證明：∵

AB⊥BC，AD⊥DC，

∴∠B=∠D=90°.

在△ABC和△ADC中，∠1=∠2（已知），∠B=∠D（已證），AC=AC（公共邊），∴△ABC≌△ADC(AAS)，∴AB=AD.能力提升題課堂檢測2.如圖,小明不慎將一塊三角形模具打碎為三塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具嗎?如果可以,帶哪塊去合適?你能說明其中理由嗎?321答：帶1去，因為有兩角且夾邊相等的兩個三角形全等.課堂檢測能力提升題已知：如圖，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高.試說明AD＝A′D′

，并用一句話說出你的發(fā)現(xiàn).ABCDA′B′C′D′拓廣探索題課堂檢測解：因為△ABC≌△A′B′C′，所以AB=A'B'（全等三角形對應(yīng)邊相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形對應(yīng)角相等）.因為AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.在△ABD和△A'B'D'中，∠ADB=∠A'D'B'（已證），∠ABD=∠A'B'D'（已證），AB=AB（已證），所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.ABCDA′B′C′D′全等三角形對應(yīng)邊上的高也相等.課堂檢測拓廣探索題

角邊角角角邊內(nèi)容有兩角及夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“ASA”)應(yīng)用為證明線段和角相等提供了新的證法注意注意“角角邊”、“角邊角”中兩角與邊的區(qū)別課堂小結(jié)第四課時“斜邊、直角邊”定理

舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住,無法測量.(1)你能幫他想個辦法嗎？根據(jù)SAS可測量其余兩邊與這兩邊的夾角.根據(jù)ASA,AAS可測量對應(yīng)一邊和一銳角.導(dǎo)入新知

工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊,發(fā)現(xiàn)它們分別對應(yīng)相等。于是，他就肯定“兩個直角三角形是全等的”.你相信這個結(jié)論嗎？（2）如果他只帶一個卷尺，能完成這個任務(wù)嗎?

讓我們來探究一下吧！斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等→兩個直角三角形全等.導(dǎo)入新知2.能運用三角形全等的判定方法判斷兩個直角三角形全等.1.探究直角三角形全等的判定方法.素養(yǎng)目標(biāo)SSSSASASAAAS舊知回顧

我們學(xué)過的判定三角形全等的方法.探究新知知識點1三角形全等的判定——“HL”定理如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，直角邊是_____、_____，斜邊是______.CBAACBCAB思考前面學(xué)過的四種判定三角形全等的方法,對直角三角形是否適用？探究新知想一想ABCB′C′1.兩個直角三角形中，斜邊和一個銳角對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？2.兩個直角三角形中，有一條直角邊和一銳角對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？3.兩個直角三角形中，兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？探究新知問題A′ABCDEF探究新知想一想如圖，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF嗎？

我們知道，證明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF探究新知想一想如果這兩個三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，現(xiàn)在能判定△ABC≌△DEF嗎？任意畫出一個Rt△ABC，使∠C=90°.再畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把畫好的Rt△A′B′C′剪下來，放到Rt△ABC上，它們能重合嗎？ABC探究新知（1）先畫∠MC′

N=90°.ABCM

C′N探究新知畫圖思路（2）在射線C′M上截取B′C′=BC.MC′ABCNB′MC′探究新知畫圖思路（3）以點B′為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C′N于A′.MC′ABCNB′A′探究新知畫圖思路（4）連接A′B′.MC′ABCNB′A′思考：通過上面的探究，你能得出什么結(jié)論？探究新知畫圖思路“斜邊、直角邊”判定方法文字語言：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.幾何語言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定兩個直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,探究新知判斷滿足下列條件的兩個直角三角形是否全等，不全等的畫“×”，全等的注明理由：（1）一個銳角和這個角的對邊對應(yīng)相等；（）（2）一個銳角和這個角的鄰邊對應(yīng)相等；（）（3）一個銳角和斜邊對應(yīng)相等；（）（4）兩直角邊對應(yīng)相等；（）（5）一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等（）HLAAS或ASASASAASAAS判一判探究新知例1如圖，AC⊥BC，

BD⊥AD，

AC﹦BD.求證：BC﹦AD.證明：∵AC⊥BC，

BD⊥AD，

∴∠C與∠D都是直角.

AB=BA,AC=BD.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC應(yīng)用“HL”的前提條件是在直角三角形中.這是應(yīng)用“HL”判定方法的書寫格式.利用全等證明兩條線段相等，這是常見的思路.利用“HL”定理判定直角三角形全等探究新知素養(yǎng)考點1

如圖，∠ACB=∠ADB=90°，要證明△ABC≌△BAD，還需一個什么條件？把這些條件都寫出來，并在相應(yīng)的括號內(nèi)填寫出判定它們?nèi)鹊睦碛?（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS探究新知變式題1HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC探究新知變式題2如圖，AC、BD相交于點P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C、D，AD=BC.

求證：AC=BD.HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC探究新知變式題3如圖：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判斷AD和BC的位置關(guān)系.1.如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF.求證：Rt△ABE≌Rt△CBF.證明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∠ABE＝∠CBF＝90°，∵AB＝CB，AE＝CF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．鞏固練習(xí)例2

如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.

求證：BC＝BE.證明：∵AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.