四川省瀘州市合江縣馬街中學(xué)校高三一診模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題

馬街中學(xué)高2021級(jí)高三一診模擬考試數(shù)學(xué)（文史類）第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知（，，i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)化簡(jiǎn)，可求出復(fù)數(shù)，從而可求出【詳解】由，得．所以因?yàn)?，所以，，所以．故選：A2.設(shè)集合，，是實(shí)數(shù)集，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再求解并集和補(bǔ)集.【詳解】因?yàn)?，所以，即，，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的補(bǔ)集并集運(yùn)算，化簡(jiǎn)集合為最簡(jiǎn)是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.溶液酸堿度是通過計(jì)算的，的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，若人體胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則胃酸的是（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算以及的定義求得此時(shí)胃酸的值.【詳解】依題意.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4.若，，，則下列結(jié)論正確的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別確定，，的范圍，從而可得結(jié)果.詳解：因?yàn)椋?，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.5.函數(shù)的圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性和函數(shù)值符號(hào)使用排除法可得.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且所以為偶函?shù)，可排除AB；又當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤.故選：D6.已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由任意角的三角函數(shù)的定義求出，再利用二倍角余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，故，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)及二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.在長(zhǎng)方體中，直線與平面的交點(diǎn)為為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.三點(diǎn)共線 B.四點(diǎn)異不共面C.四點(diǎn)共面 D.四點(diǎn)共面【答案】C【解析】【分析】由長(zhǎng)方體性質(zhì)易知四點(diǎn)共面且是異面直線,再根據(jù)與、面、面的位置關(guān)系知在面與面的交線上,同理判斷,即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)?則四點(diǎn)共面.因?yàn)?則平面,又平面,則點(diǎn)在平面與平面的交線上,同理,也在平面與平面的交線上,所以三點(diǎn)共線;從而四點(diǎn)共面,都在平面內(nèi)，而點(diǎn)B不在平面內(nèi)，所以四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)B正確；三點(diǎn)均在平面內(nèi)，而點(diǎn)A不在平面內(nèi)，所以直線AO與平面相交且點(diǎn)O是交點(diǎn)，所以點(diǎn)M不在平面內(nèi)，即四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，且，所以為平行四邊形，所以共面，所以四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)D正確.故選:C.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則下列各式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由是上的偶函數(shù)，得，，再根據(jù)在上是增函數(shù)可逐項(xiàng)判斷得出答案.【詳解】因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以，，且在上是增函數(shù)，因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性比較函數(shù)值大小的思路：（1）先根據(jù)奇偶性將自變量轉(zhuǎn)變至同一單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)單調(diào)性比較同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值的大小關(guān)系；（3）再結(jié)合奇偶性即可判斷非同一單調(diào)區(qū)間的函數(shù)值大小，由此得到結(jié)果.9.已知函數(shù)的圖象如圖所示，圖象與x軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為N，最高點(diǎn)，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意的周期可得，由圖象與x軸的交點(diǎn)為可得，從而，所以與軸的交點(diǎn)，由解得.【詳解】若的周期為，由題意有，所以，所以，圖象與x軸的交點(diǎn)為，則，因?yàn)椋?，即，所以與軸的交點(diǎn)，由，則，解得或(舍)．故選：B.10.若函數(shù)在處取得極值，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由在時(shí)取得極值，求出得，解出的值．【詳解】解：，；又在時(shí)取得極值，；．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值問題，是基礎(chǔ)題．11.在三棱錐中，平面，，，，若三棱錐的體積為6，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】平面，則有，，然后由得線面垂直后得，從而可得就是外接球直徑，再由體積計(jì)算出長(zhǎng)后可得球表面積．【詳解】∵平面，∴，，又，，∴平面，∴，中點(diǎn)到四個(gè)點(diǎn)的距離相等，即為三棱錐外接球的直徑．，，又，∴，，∴，，∴所求外接球表面積為．故選：.【點(diǎn)睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定外接球的球心，本題是利用直角三角形的性質(zhì)“直角三角形斜邊中點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等”確定的．12.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題意可得,，，，．故A正確．考點(diǎn)：三角函數(shù)單調(diào)性．第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______.【答案】2；【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值即可.【詳解】，故答案為：214.曲線在點(diǎn)（2，6）處的切線方程為_______．【答案】【解析】【分析】求出，即可.【詳解】因?yàn)椋裕郧芯€方程為，即故答案為：15.已知奇函數(shù)為上的減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【詳解】分析：由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性得到關(guān)于a的不等式求解二次不等式即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：不等式即：，函數(shù)為奇函數(shù)，則不等式等價(jià)于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，脫去符號(hào)有：，即：，，故答案為：.點(diǎn)睛：對(duì)于求值或范圍的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．16.在中，已知角，角的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，AD=2.則AB+2AC的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積公式列方程，結(jié)合基本不等式來求得正確答案.【詳解】，依題意是角的角平分線，由三角形的面積公式得，化簡(jiǎn)得，，.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知函數(shù)，圖像的相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合對(duì)稱性求出周期和即可．（2）利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．【詳解】（1），圖象的相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為，，即，得．（2），，，，得，設(shè)，則，且，18.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.且.（1）求A的大小；（2）過點(diǎn)C作，在梯形ABCD中，，，，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)可得，利用余弦定理計(jì)算即可得出結(jié)果.（2）中，由正弦定理求得，在中，由余弦定理計(jì)算即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由正弦定理可得：，即，所以，又,所以.【小問2詳解】在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所?在中，由余弦定理可得，所以.19.已知函數(shù)．(1)若時(shí)，求在區(qū)間上的最大值與最小值；(2)若函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)最大值為0，最小值為；(2)．【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，并判斷在上的單調(diào)性，再求出其最大值與最小值；(2)利用分類討論判斷在定義域內(nèi)的單調(diào)性，求出極值，再判斷極值與0的大小關(guān)系，進(jìn)一步求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)由題意得．當(dāng)時(shí)，，．由，解得；由，解得或．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間，單調(diào)遞減．又，∴函數(shù)在區(qū)間上的最大值為0，最小值為．(2)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．∵，i)當(dāng)a<0時(shí)，由，解得，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；由，解得或，∴函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減．又，∴只需要，解得．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．ii)當(dāng)a=0時(shí)，顯然f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)成立．iii)當(dāng)a>0時(shí)，由，解得，即在區(qū)間上單調(diào)遞增；由，解得或，即函數(shù)f(x)在區(qū)間，上單調(diào)遞減；又，∴只需要f(3a)<0，解得．綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求最值問題，既要求函數(shù)極值，也需要求出其端點(diǎn)值，再比較大小；零點(diǎn)相關(guān)問題求參數(shù)取值范圍，通常有兩種思路，一種是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求參數(shù)與另外一個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，另一種是直接含參討論單調(diào)性求極值解不等式.20.如圖所示，等邊三角形，，，面面，．（1）求證：；（2）求四面體的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）1．【解析】【分析】(1)由余弦定理可得，根據(jù)勾股定理的逆定理得，結(jié)合即可得出結(jié)果.(2)由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，且，根據(jù)線線平行得出平面平面，進(jìn)而得到與到底面的距離相等，結(jié)合棱錐體積公式即可.【詳解】（1）證明：，，又是等邊三角形，，又，在中，由余弦定理可得，，，故，又，；（2）解：取的中點(diǎn)，連接，由，得，又平面平面，且平面平面，平面，且求得．由，平面平面，可得平面，則與到底面的距離相等，則四面體的體積．【點(diǎn)睛】(1)證明線線垂直的方法主要有：線面垂直的性質(zhì)定理、勾股定理的逆定理或者采用空間向量法；(2)求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積．21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的圖像在點(diǎn)處的切線方程；（2）若不等式恒成立，求的取值集合.【答案】（1）y=2x（2）{1}【解析】【分析】（1）先求出切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，即可求出結(jié)果；（2）通過構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求的最小值，通過對(duì)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，故的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，即.【小問2詳解】解法一：因?yàn)楹愠闪?，恒成立，令函?shù)，則①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間恒成立，此時(shí)g(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，又，易知，所以，故不合題意，②當(dāng)時(shí)，由可得即令，則在區(qū)間上恒成立所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以存在，使得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，，故要使恒成立，只需，令，則，由，得到，由，得到，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即，所以只有唯一解，即.綜上，a的取值集合為.解法二：由題意可得恒成立，令，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所以恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，又因?yàn)?，要使恒成立，則是的極小值點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，解?當(dāng)時(shí)，令，，所以時(shí)，，時(shí)，，所以，滿足題意.綜上，a的取值集合為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式恒成立問題，解題方法是把不等式變形為，然后由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，解不等式即可得參數(shù)范圍．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.（選修44極坐標(biāo)與參數(shù)方程）22.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的極坐標(biāo)方程為，傾斜角為的直線l過點(diǎn)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.（1）求曲線的普通方程和直線l的參數(shù)方程.（2）若l與交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)B為的中點(diǎn)，求【答案】（1），（t為參數(shù)）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式求解即得的普通方程，求出點(diǎn)的直角坐標(biāo)，按條件寫出l的參數(shù)方程作答.（2）將l的參數(shù)方程代入的普通方程，再利用參數(shù)的幾何意義計(jì)算作答.【小問1詳解】曲線：，把代入得的普通方程：，因點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，而直線l的傾斜角為所以直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）.【小問2詳解】把直線l的參數(shù)方程代入曲線的普通方程得：，整理得：，，即，令點(diǎn)A，B所對(duì)參數(shù)分別為，則有，因點(diǎn)B為的中點(diǎn)，即有，于是得，所以.（選修45不等式選講