2022年黑龍江省高考第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題含答案

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4={小=3〃+1,〃€用，3={x|2<x<10},則集合4nB中元素的個數(shù)為

()

A.2B.3C.4D.5

,4

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（l+i）2z=L^（/為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z—l在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點所

|1+1|

在的象限為（）

A第二象限B.第三象限C.第四象限D(zhuǎn).第一象

限

3.甲、乙去同一家藥店購買一種醫(yī)用外科口罩，已知這家藥店出售B,C三種醫(yī)用外科

口罩，甲、乙購買力,B,。三種醫(yī)用口罩的概率分別如下：

購買2種醫(yī)用口罩購買8種醫(yī)用口罩購買C種醫(yī)用口罩

甲■0.20.4

乙03■0.3

則甲、乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為（）

A.0.44B.0.40C.0.36D.0.32

4.已知且3cos2a+sina=l,則（）.

./\2/、2

A.sm（兀一a）=—B.cos（兀一。）=——

.（兀）石c（兀）百

C.sm—+a=-------D.cos—+a=-------

U）312）3

5.清華大學(xué)通過專業(yè)化、精細(xì)化、信息化和國際化的就業(yè)指導(dǎo)工作，引導(dǎo)學(xué)生把個人職業(yè)

生涯發(fā)展同國家社會需要緊密結(jié)合，鼓勵學(xué)生到祖國最需要的地方建功立業(yè).2019年該校

畢業(yè)生中，有本科生2971人，碩士生2527人，博士生1467人，畢業(yè)生總體充分實現(xiàn)就業(yè),

就業(yè)地域分布更趨均勻合理，實現(xiàn)畢業(yè)生就業(yè)率保持高位和就業(yè)質(zhì)量穩(wěn)步提升.根據(jù)如圖,

下列說法不正確的是（）

5

2

,

60.0%-一3

一

50.0%-

，本科生

40.0%-2

d■碩士生

2

1

.

一

30.0%一827一r

米

」.一

75□博士生

次.1

■%2二2

%..

「3

20.0%-一

0次

%

?

〔

10.0%-

0.0%」一

上海浙江四川江蘇福建其他地區(qū)

畢業(yè)生簽三方就業(yè)單位所在省（區(qū)、市）公布

A.博士生有超過一半的畢業(yè)生選擇在北京就業(yè)

B.畢業(yè)生總?cè)藬?shù)超半數(shù)選擇在北京以外的單位就業(yè)

C.到四川省就業(yè)的碩士畢業(yè)生人數(shù)比到該省就業(yè)的博士畢業(yè)生人數(shù)多

D.到浙江省就業(yè)的畢業(yè)生人數(shù)占畢業(yè)生總?cè)藬?shù)的12.8%

6.已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S“，§6=-5S3NO,則卜（）

A.18B.13C.-13D.-18

7.已知函數(shù)/（x）=2cos（2x+°）在區(qū)間（0,力上單調(diào)遞減，且其圖象過點（0,1）,則9的

值可能為（）

7171兀兀

A.B.C.

67

8.“一血<8<0”是“圓C：/+y2=9上有四個不同的點到直線/:y=x-匕的距離等

于1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.如圖，某幾何體平面展開圖由一個等邊三角形和三個等腰直角三角形組合而成，￡為8C

的中點，則在原幾何體中，異面直線AE與C。所成角的余弦值為（）

ACRV6c6n76

63312

22

、xy_

10.設(shè)石，E是橢圓C：—+=l（a>6>0）的左、右焦點，。為坐標(biāo)原點，點?在橢圓。

ab"

上，延長所交橢圓C于點。，且仍用=|「。，若△用月的面積為立〃，則=（）

3W鳥I

A.立B.氈C.73D.迪

233

l,x>0

11.已知符號函數(shù)sgnx=<0,x=0，偶函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=/(x),當(dāng)xe[0,l]時,

-1,x<0

/(x)=x,則()

A.sgn[/(x)]>0

/2021>,

C.sgn[/(2A:+l)]=l(A:eZ)

D.sgn[/(Zc)]=|sgnZ:|(Z：GZ)

12.函數(shù)/(力=%2*-1在定義域內(nèi)的零點個數(shù)不可能是()

A.3B.2C.1D.0

二.填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.設(shè)向量4=(/,2),b—(―?,1)?且卜—q=卜|+|/?|>則U.

14.某公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，則不同

的裁員方案的種數(shù)為.

22

15.已知雙曲線/>0)的左、右焦點分別為,F,,過片的直線交

a-b-

雙曲線C的左支于2Q兩點，若雨，而且APQK的周長為12a,則雙曲線C的離心

率為.

16.如圖，直四棱柱A5CO—A4aA的底面是邊長為2的正方形，AA=3,E,尸分別

是AS8c的中點，過點2,E,尸的平面記為則下列說法中正確的序號是.

①平面a截直四棱柱所得截面的形狀為四邊形

②平面a截直四棱柱ABCO—AgGA所得截面的面積為拽

2

③二面角。一EF—A的正切值為72

④點8到平面a的距離與點。到平面a的距離之比為1:3

三、解答題：本大題共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運動培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后

對學(xué)生進(jìn)行了考核.記X表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定X>85為考核優(yōu)秀.為了了解本次培

訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機抽取了30名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：.

5

60116

70I43358

823768717

9114529

02130

⑴從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計這名學(xué)生考核為優(yōu)秀的概

率；

⑵從圖中考核成績滿足Xe[70,79]的學(xué)生中任取3人，設(shè)丫表示這3人中成績滿足

X-85W10的人數(shù)，求y的分布列和數(shù)學(xué)期望；

、

X-85

（3）根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)P<120.5時培訓(xùn)有效.請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判

107

斷此次冰雪培訓(xùn)活動是否有效，并說明理由.

18.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，｛d｝是各項為正的等比數(shù)列，｛〃,｝的前〃項和為S“，

，且2%=a=2.4+%=10.在①4S”=bn-1(2GR),②4=53-2S2+St,

③勿=2甌(XwR).

這三個條件中任選其中一個，補充在上面的橫線上，并解答下面的問題.

（1）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛《,+2｝的前"項和7”.

19.已知拋物線。：、2=2幺工（0>（））的焦點為尸，48是該拋物線上不重合的兩個動點,

3

。為坐標(biāo)原點，當(dāng)力點的橫坐標(biāo)為4時，cos/OE4=——

（1）求拋物線C的方程；

（2）以28為直徑圓經(jīng)過點P（l,2）,點48都不與點。重合，求|AF|+|B日的最小值.

20.等腰梯形ABC。，2AB=2BC=CD,N/LBC=120°，點E為CD中點，沿AE將

△DAE折起，使得點。到達(dá)尸位置.

(1)當(dāng)EB=8C時，求證：BE1平面AFC;

(2)當(dāng)8尸=逅8C時，過點尸作戶G,使而=之而(九〉0),當(dāng)直線BG與平面巫尸

2

所成角的正弦值為巫時，求4的值.

10

21.已知=+cos%.

(1)求“X)在卜卦]上的極值；

(2)Vae(O,ll,當(dāng)x>0時，證明：(x—+x+L_2sinxN0.

ax

X=-1+2COS69

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是c.(9為參數(shù))，以坐標(biāo)原

y-2sm夕

點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)已知曲線C上兩點A,8的極坐標(biāo)分別為A(q,a),B^p2,a+^\,求證：

2299?

P\+P2+~+

P\Pi

23.已知函數(shù)/(x)=|x+[+|2x-3|,例為不等式/(x)W4的解集.

(1)求用;

⑵若a,R,且/+〃wM,證明：0<"_ab+H<3.

參考答案

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4=卜k=3〃+1,〃6?4},3={x[2<x<10},則集合408中元素的個數(shù)為

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】利用交集的概念得出從而得到集合ACS元素個數(shù).

【詳解】??,集合A={Hx=3〃+l,〃eN},B={X|2<X<10},

二Ac5={4,7}

即集合中共有2個元素.

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（l+iAzn;F（/為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z—l在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所

H+1I

在的象限為（）

A.第二象限B.第三象限C.第四象限D(zhuǎn).第一象

限

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算公式求得z,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得.

【詳解】由（1+022=7^=2&得z=2^=—&i,z_l=—l_0i，???復(fù)數(shù)Z-1

|1+1|（1+i）2

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（-1,-夜），.??復(fù)數(shù)z-l在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為第三象

限.

故選：B.

3.甲、乙去同一家藥店購買一種醫(yī)用外科口罩，已知這家藥店出售4,B,C三種醫(yī)用外科

口罩，甲、乙購買4,B,C三種醫(yī)用口罩的概率分別如下：

購買2種醫(yī)用口罩購買8種醫(yī)用口罩購買C種醫(yī)用口罩

甲■0.20.4

乙0.30.3

則甲、乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為()

A.0.44B.0.40C.0.36D.0.32

【答案】D

【解析】

【分析】先求出甲購買力種醫(yī)用口罩和乙購買8種醫(yī)用口罩的概率，然后利用獨立事件的

乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.

【詳解】由表可知，甲購買2種醫(yī)用口罩的概率為0.4,乙購買8種醫(yī)用口罩的概率為0.4,

所以甲，乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為

P=0.4x0.3+0.2x0.4+0.4x03=0.32.

故選：D.

4.已知且3cos2cr+sina=l,貝！I().

./、2/、2

A.sin(兀一a)=—B.cos(n-a]=——

v'3v'3

C.sinf—+=--

D.cos—+。=----

12J3(2)3

【答案】A

【解析】

2R

【分析】利用二倍角公式化簡方程,解方程可得sina進(jìn)而可得cosa=上，然后利

33

用誘導(dǎo)公式即可判斷.

【詳解】?13cos2a+sina=l,

???3（1—2sin2crj+sindz=1,即Gsin?a-sina-2=0,

???sina=—或sina=-一（舍去）,

32

???cosa=*，sin（兀一。）=sina=：cos（兀-a）=-cosa=一當(dāng)，

、加71.2

sin-+a=cosa-——.cos—+a=-sina=——

12

7323

故選：A

5.清華大學(xué)通過專業(yè)化、精細(xì)化、信息化和國際化的就業(yè)指導(dǎo)工作，引導(dǎo)學(xué)生把個人職業(yè)

生涯發(fā)展同國家社會需要緊密結(jié)合，鼓勵學(xué)生到祖國最需要的地方建功立業(yè).2019年該校

畢業(yè)生中，有本科生2971人，碩士生2527人，博士生1467人，畢業(yè)生總體充分實現(xiàn)就業(yè),

就業(yè)地域分布更趨均勻合理，實現(xiàn)畢業(yè)生就業(yè)率保持高位和就業(yè)質(zhì)量穩(wěn)步提升.根據(jù)如圖,

下列說法不正確的是（）

5

2

?

60.0%親

「

B本科生

畢業(yè)生簽三方就業(yè)單位所在?。▍^(qū)、市）公布

A.博士生有超過一半的畢業(yè)生選擇在北京就業(yè)

B.畢業(yè)生總?cè)藬?shù)超半數(shù)選擇在北京以外的單位就業(yè)

C.到四川省就業(yè)的碩士畢業(yè)生人數(shù)比到該省就業(yè)的博士畢業(yè)生人數(shù)多

D.到浙江省就業(yè)的畢業(yè)生人數(shù)占畢業(yè)生總?cè)藬?shù)的12.8%

【答案】D

【解析】

【分析】理解題意，根據(jù)圖中所給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行逐一排除即可.

【詳解】A:博士生畢業(yè)生選擇在北京就業(yè)的比例達(dá)到52.1%,超過一半，A正確；

B:留在北京就業(yè)的人數(shù)博士生接近一半，而本科生與碩士生則明顯低于一半，所有顯然總

人數(shù)超半數(shù)選擇在北京以外的單位就業(yè)，B正確；

C：到四川省就業(yè)的碩士畢業(yè)生人數(shù)為2527x3.2%M80,而到四川省就業(yè)的博士畢業(yè)生人

數(shù)為1467x3.7%a54,故碩士生更多，C正確；

D：圖表中顯示4.2%+5.6%+3.0%=12.8%,然而本科生、碩士生、博士生人數(shù)并不是

一樣多，所以D必不正確.

故選：D

6.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，56=-553^0,則（）

二3

A.18B.13C.-13D.-18

【答案】D

【解析】

【分析】

通過等差數(shù)列的性質(zhì)，可得S,S-S,S-S為等差數(shù)列，設(shè)S6=-5a,S3=a,即可得出

結(jié)果.

【詳解】由S6=-5S.3,可設(shè)S6=-5g=〃

???｛4｝為等差數(shù)列，?.?$,為等差數(shù)列，

即d-6a,S9-§6成等差數(shù)列，S9—、6=-13a,即Sg=-18a

.?.差=T8

S3

故選:D.

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目.

7.已知函數(shù)/（x）=2cos（2x+°）在區(qū)間［of）上單調(diào)遞減，且其圖象過點（0』）,則。的

值可能為（）

7171Tl71

A.一一B.一一C.-D.—

3663

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式，求得。的范圍，結(jié)合選項,

即可求解.

JIJI

【詳解】由0cx<],可得夕<2x+0<5+9,

因為函數(shù)"X）=2cos（2x+°）在區(qū)間（0,（]上單調(diào)遞減，

JI

可得0之2k7r且5+0W萬+2火肛keZ9解得2k兀<（p<--\-2左肛keZ,

又由函數(shù)/（x）的圖象過點（0,1）,可得2cose=l,即cos0=；,

解得9=0+2攵4或夕=g+2&肛ZwZ,

當(dāng)％=0時，可得8=工，所以。的值可能為三.

33

故選：D.

8.“-6〈b〈卮'是“圓。：/+丁=9上有四個不同的點到直線/：丁=*一〃的距離等

于1”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求出匕，然后利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.

【詳解】???圓C:f+y2=9的半徑「=3,

若圓C上恰有4個不同的點到直線/的距離等于1,則

必須滿足圓心（0,0）到直線/：y=x-匕的距離

d=y<2,解得一2&<。<2近?

又（―0,夜）c（—2后,2夜），

???u-y[2<b<y[2''是"圓C：f+y2=9上有四個不同的點到

直線/:y=x-h的距離等于1”的充分不必要條件.

故選：A.

9.如圖，某幾何體平面展開圖由一個等邊三角形和三個等腰直角三角形組合而成，￡為BC

的中點，則在原幾何體中，異面直線AE與CO所成角的余弦值為（）

C6

VZi----D,邁

312

【答案】A

【解析】

【分析】將給定展開圖還原成三棱錐。-ABC,取即中點尸，借助幾何法求出異面直線

所成角的余弦值.

【詳解】因幾何體平面展開圖由一個等邊三角形和三個等腰直角三角形組合而成，于是得原

幾何體是正三棱錐D-ABC,

其中。A0在兩兩垂直，且D4=￡）3=DC,取8。中點尸，連接￡尸，AF,如圖,

因￡為的中點，則有成//CD,因此，NAM是異面直線AE與CO所成角或其補角,

令。外2,則EfugoCul,中，AF=-JAD2+DF2=\[5?

正AABC中，AE=—AB=y/6,于是有：AF2+EF2=6=AE2,即NA/E=90,

2

EFV6

cosZAEF=—=—.

AE6

所以異面直線AE與8所成角的余弦值為逅.

6

故選：A

x2y2

io.設(shè)3月是橢圓c：=+―=i(a>6>o)的左、右焦點，。為坐標(biāo)原點，點/在橢圓c

ab

上，延長續(xù)交橢圓C于點。，且|用|:|夕Q,若△用K的面積為3/，則￥1^=()

3WBI

A.3B.亞C.73D.迪

233

【答案】B

【解析】

7T

【分析】利用焦點三角形的面積公式及橢圓的定義可得/耳尸6=§,進(jìn)一步得AAQQ為

等邊三角形，且PQJ-X軸，從而可得解.

【詳解】由橢圓定義，\PFt\+\PF21=2a,

由余弦定理有：CM"「嗎凜(I產(chǎn)甲+1「用了一2|尸耳||「馬一4/

2|叫附|

_4a2-4c?-2|叼然|_4以-2|PF；」P%|

-2\PFl\\PF2\2\PF}\\PF2\

2

化簡整理得：2b=|PR||PF21(cos“PF]+1),

又SAW=g|PH||Pg|sin^F,PF2,

由以上兩式可得：

切sin干cos幺片“pF

q2々PF"t一空

△叼52122

cosZFlPF2+12cos

2

&0_2NRPFzV322NF[PF,./rDr_

由SAPRF、-b*tan-~,傳—b~-tan-------,,,PF?——?

2323

又|P4|=|PQ|,所以△AOQ為等邊三角形，由橢圓對稱性可知PQ，x軸,

|PQ|=2_2有

所以麗=耳=亍

故選：B.

l,x>0

11.已知符號函數(shù)sgnx=<0,x=0，偶函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=/(x),當(dāng)xe[0,l]時,

-l,x<0

/(x)=x,貝！I()

A.sgn[/(x)]>0

C.sgn[/（2A+l）]=l（AeZ）

D.sgn[/（A:）]=|sgn^|（^GZ）

【答案】C

【解析】

【分析】利用特殊值法可判斷AD選項；利用函數(shù)的周期性以及題中定義可判斷BC選項.

【詳解】對于A選項，sgn[/（0）]=sgn0=0,A錯；

對于B選項，=+==B錯；

對于C選項，對任意的ZeZ,/(2A+1)=/(1)=1,則sgn"(2Z+l)]=sgnl=l,C

對；

對于D選項，sgn[/(2)]=sgn]f(0)]=sgnO=O,而|sgn2|=l,D錯.

故選：C.

12.函數(shù)/(力=/6心-1在定義域內(nèi)的零點個數(shù)不可能是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，極值，結(jié)合零點存在定理判斷零點個數(shù).注意只要判

斷可能性.

【詳解】f'(x)=2xeM+ax2eM=x(2+ax)eM,

若a=0,則/(尤)=/一1,有兩個零點，

2

若由/'(%)=0得1=0或%=一4,

a

22

若a>0,在—或q>0時，/'(九)>。，—<x<0時，/'(x)v0,

aa

22

所以/(x)在(-00,--)和(0,+8)上遞增，在(―*,0)上遞減，

aa

24

tt

極小值/(0)=-1<0,極大值/(一一)=-7-19/(l)=e-l>0,/(力在Q+oo)上

ao~e

有一個零點，

224

。二4時，/(--)=-TT-1=0,Ax)在(—8,0)上只有一個零點，這樣共有2個零點；

eaae

224

士時，/(一一)=『-1<0,/(%)在(―8,0)上無零點，這樣共有1個零點；

eaa~e

o24

0<。<士時，/(——)=^v-l>0,xf—8時，y=x2eax->0,因此〃x)vO,

eaae~

22

所以/（X）在（―00,——）和（一一,0）上各有一個零點，共有3個零點.

aa

由此不需要再研究“<0的情形即可知只有D不可能出現(xiàn)，

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.設(shè)向量a=Q,2）,B=（—//），且卜/—q=pz|+|/?|>則U.

【答案】±72

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由歸一,2=同2+忖2=/+-27B=問2+問2,

可得a?/?=0'—t~+2=0>得f=+-^2?

故答案為：土立

14.某公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人，要求甲.乙二人不能全部裁去，則不同

的裁員方案的種數(shù)為.

【答案】182

【解析】

【分析】按甲、乙二人裁去1人或兩人都不裁去分類討論可得.

【詳解】由題意方法數(shù)為C；+C；C；=182.

故答案為：182.

22

已知雙曲線。：?一方（。>）的左、右焦點分別為過片的直線交

15.=10/>0F1,F2,

雙曲線C的左支于P,。兩點，若至，而且APQB的周長為12a,則雙曲線C的離心

率為.

【答案】叵并讓屈

22

【解析】

【分析】由所給的條件，利用雙曲線的定義即可.

由雙曲線定義知|P閭-歸用=|。圖一|Q娟=2a,

則|產(chǎn)制=儼閭一2。，|Q制=|Q￡|—2a,

所以|PQ|=|P周+|Q周=歸閭+依閭一4a,

.??△PQ居周長為|PE|+|QR|+|PQ|=2（|%|+|QE|）—4a=12a,

：.\PF2\+\QF2\=8a……①，|P0=4a,

由電工而，得歸居『+16a2=|QK「

：.\QF2\-\PF2\^2a……②，

由①②：

.??|尸鳥］=3。，向月|=5a,，歸耳|=Q,

在放△尸耳工中，/+（3〃）2=（2C）2,

cx/10

e=—=----.

a2

故答案為：工叵.

2

16.如圖，直四棱柱ABC?！狝5G。的底面是邊長為2的正方形，AA=3,E,尸分別

是28,8c的中點，過點R,E,尸的平面記為a,則下列說法中正確的序號是

DiG

①平面1截直四棱柱ABCO-AgG。所得截面的形狀為四邊形

②平面a截直四棱柱ABCD-A⑸G9所得截面的面積為亞

2

③二面角D-EF-D］的正切值為V2

④點8到平面a的距離與點。到平面a的距離之比為1：3

［答案］（2X3X3）

【解析】

【分析】作出截面即可判斷①；計算出截面各邊長度，即可求出面積判斷②；圖中易作出

房的垂面得到二面角的正切值，即可判斷③；連。8與￡尸交于G,易得D、5到G的距離

比，即可判斷④.

【詳解】如下圖，延長勿、AC交直線用于點久Q,連接。入D0,交棱44GC與

點用、N,連接2例、ME、D\N、NF,可得五邊形，故①錯誤；計算可得截面五邊形各邊

長度分別為a〃=2/V=2后，ME=EF=FN=O,因此五邊形可分成等邊三角形

a/VZ/V和等腰梯形MEFN,可求得面積分別為2出和*3,則五邊形a/V7￡7W的面積為

2

拽，故②對；連。5與房交于G,可得二面角D-EF-D,的平面角為/"GO,可求

2

出OG=手，而0A=3,所以tanN0G0=V5,故③對；易得8G：AG=1:3,所

以點B、。到平面a的距離之比為1：3,故④對.

故答案為：②③④.

【點睛】(1)作幾何體的截面時，關(guān)鍵是要找到兩個公共點，連接即可得交線；

(2)多邊形的面積沒法直接求時，可分割成常見圖形求；

(3)由二面角定義可知，和公共棱垂直的平面與兩面的交線所成的角就是二面角的平面角；

(4)線段與平面相交時，線段兩端點到平面的距離比等于它們到交點的距離比.

三.解答題：本大題共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明.證明過程或演算步驟.

17.為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運動的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后

對學(xué)生進(jìn)行了考核.記X表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定X>85為考核優(yōu)秀.為了了解本次培

訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機抽取了30名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：.

50Hn6

60133

158

723?768

81152717

9

902u30

(1)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計這名學(xué)生考核為優(yōu)秀的概

率；

(2)從圖中考核成績滿足Xe[70,79]的學(xué)生中任取3人，設(shè)丫表示這3人中成績滿足

以-85區(qū)10的人數(shù)，求y的分布列和數(shù)學(xué)期望；

1X—85、

(3)根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)P——-<120.5時培訓(xùn)有效.請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判

斷此次冰雪培訓(xùn)活動是否有效，并說明理由.

【答案】⑴g

(2)分布列見解析，￡(7)=—

(3)有效，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可；

(2)分析可知變量y的可能取值有。、1、2、3,計算出隨機變量y在不同取值下的概率,

可得出隨機變量y的分布列，進(jìn)一步可求得E(y)的值；

X-85AV_QCA

(3)求出滿足一^二41的成績有16人，求出P—^―W1,即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：設(shè)該名學(xué)生的考核成績優(yōu)秀為事件A,

由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，3()名同學(xué)中，有6名同學(xué)的考核成績?yōu)閮?yōu)秀，故P(A)=(.

【小問2詳解】

解:由|X-85|410可得75WXW95,

所以，考核成績滿足Xe[70,79]的學(xué)生中滿足|X-85|VK)的人數(shù)為5,

故隨機變量丫的可能取值有0、1、2、3,

叩=。吟C3=?1呼叫=C罟2C]備IS叩=3罟c,C2〉15

pg幸亮

jZo

所以，隨機變量y的分布列如下表所示：

Y0123

115155

p

56562828

15

因此，E（y）=0x—+lx—+2x—+3x—

'）56562828T

【小問3詳解】

X—85

解：由一41可得75WXW95,由莖葉圖可知，滿足75WX495的成績有16個，

所以上⑹W1]=320.5,因此，可認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動有效.

I10）30

18.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)到，抄,｝是各項為正的等比數(shù)列，｛d｝的前〃項和為S,,

，且2q=4=2,4+4=10?在①XS"=2一1（丸eR），②%=S3-2s2+5,,

③d=2%（2eR）.

這三個條件中任選其中一個，補充在上面的橫線上，并解答下面的問題.

（1）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛%+"｝的前〃項和乙.

【答案】（1）4=n,bn=T

【解析】

【分析】（1）選條件①，由基本量法求得d,由等差數(shù)列通項公式得，由E=2求得人,

利用“=s”-s,i（〃>2）得也）的遞推關(guān)系，從而得等比數(shù)列的公比，得通項公式；

選條件②.由基本量法求得公差d,得明,根據(jù)s“與力的關(guān)系，把已知等式變形，然后由

基本量法求得公比夕，得通項公式；

選條件③.由基本量法求得“，由等差數(shù)列通項公式得狐，由々嗎求得九，從而可得；

（2）用分組求和法計算7；.

【小問1詳解】

方案一：選條件①.

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

2〃[=2

,所以q=1+(〃-1)x1=〃.

%+4=2q+8d=10

因為4=2,=d一1,所以當(dāng)〃=1時,

由九5=獨=優(yōu)一1,得22=2—1,即人;，所以5“=2色,一1).

當(dāng)〃之2時，2=S“—Si=2(2—1)—231一1),整理得勿=2目1，

所以數(shù)列｛"｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以“=2X2"T=2".

方案二：選條件②.

,、[2a,=2fa=1

設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,由'.。，，八，解得】，，

i"&+“8=2%+84=10[d=l

所以4=1+(〃-1)*1=〃，所以%=4.

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為"(4>0),因為%=53-25,+5,,

所以q=(53—52)—(52—5])=〃3—4=4/一49，

又為=4,4=2,所以/一夕一2=0,解得g=2或4=-1(舍去)，

所以"=2x2"T=2".

方案三：選條件③.

z、2a〔=24=1

設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,由c。，S，解得4,，

1n>

[a2+?8=2al+8J=10[d=l

所以a”=l+(〃-l)xl=〃.

因為b“=2",a,=l,4=2,

所以當(dāng)〃=1時，乙=2胸，即2=2"解得2=1，

所以d=2""=2".

【小問2詳解】

由(1)知4,=〃，。"=2”,則。“+d=〃+2”,

所以<=1+21+2+22+...+“+2"=(1+2+.-+“)+(21+22+...+2")

=〃（〃+1）+2X02"）=2“+i+-+〃-4

—21-22

19.已知拋物線。：丁=2〃;\:（〃>0）的焦點為尸，48是該拋物線上不重合的兩個動點，

3

。為坐標(biāo)原點，當(dāng)4點的橫坐標(biāo)為4時，cosZOE4=-j.

（1）求拋物線C的方程；

（2）以Z8為直徑的圓經(jīng)過點尸（1,2）,點48都不與點。重合，求|AF|+忸用的最小值.

【答案】（1）y2=4x;

（2）11.

【解析】

【分析】（1）作出輔助線，利用焦半徑與余弦值求出P的值，進(jìn)而求出拋物線方程；（2）

設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)得到等量關(guān)系，求出〃=2〃?+5,從而

（1\2

表達(dá)出+忸3=%+%2+2=4m+—+11,求出最小值.

\2）

【小問1詳解】

設(shè)A（4,%）,因為cosNOE4=—：<0,所以4>g,AF=4+-|,過點4作軸

4-￡

pDF03-

于點。，則。尸=4—匕，cosZDE4=——=一三，解得：p=2,所以拋物線方

2AF4+￡5

2

程為y2=4x.

設(shè)直線45為尤=陽+〃，A（xi,y^,B（x2,y2）,由方程》=陽+〃與丁=4x聯(lián)