2022年黑龍江省高考第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題含答案

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4={小=3〃+1,〃€用，3={x|2<x<10},則集合4nB中元素的個(gè)數(shù)為

()

A.2B.3C.4D.5

,4

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（l+i）2z=L^（/為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z—l在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所

|1+1|

在的象限為（）

A第二象限B.第三象限C.第四象限D(zhuǎn).第一象

限

3.甲、乙去同一家藥店購(gòu)買一種醫(yī)用外科口罩，已知這家藥店出售B,C三種醫(yī)用外科

口罩，甲、乙購(gòu)買力,B,。三種醫(yī)用口罩的概率分別如下：

購(gòu)買2種醫(yī)用口罩購(gòu)買8種醫(yī)用口罩購(gòu)買C種醫(yī)用口罩

甲■0.20.4

乙03■0.3

則甲、乙購(gòu)買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為（）

A.0.44B.0.40C.0.36D.0.32

4.已知且3cos2a+sina=l,則（）.

./\2/、2

A.sm（兀一a）=—B.cos（兀一。）=——

.（兀）石c（兀）百

C.sm—+a=-------D.cos—+a=-------

U）312）3

5.清華大學(xué)通過專業(yè)化、精細(xì)化、信息化和國(guó)際化的就業(yè)指導(dǎo)工作，引導(dǎo)學(xué)生把個(gè)人職業(yè)

生涯發(fā)展同國(guó)家社會(huì)需要緊密結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生到祖國(guó)最需要的地方建功立業(yè).2019年該校

畢業(yè)生中，有本科生2971人，碩士生2527人，博士生1467人，畢業(yè)生總體充分實(shí)現(xiàn)就業(yè),

就業(yè)地域分布更趨均勻合理，實(shí)現(xiàn)畢業(yè)生就業(yè)率保持高位和就業(yè)質(zhì)量穩(wěn)步提升.根據(jù)如圖,

下列說(shuō)法不正確的是（）

5

2

,

60.0%-一3

一

50.0%-

，本科生

40.0%-2

d■碩士生

2

1

.

一

30.0%一827一r

米

」.一

75□博士生

次.1

■%2二2

%..

「3

20.0%-一

0次

%

?

〔

10.0%-

0.0%」一

上海浙江四川江蘇福建其他地區(qū)

畢業(yè)生簽三方就業(yè)單位所在省（區(qū)、市）公布

A.博士生有超過一半的畢業(yè)生選擇在北京就業(yè)

B.畢業(yè)生總?cè)藬?shù)超半數(shù)選擇在北京以外的單位就業(yè)

C.到四川省就業(yè)的碩士畢業(yè)生人數(shù)比到該省就業(yè)的博士畢業(yè)生人數(shù)多

D.到浙江省就業(yè)的畢業(yè)生人數(shù)占畢業(yè)生總?cè)藬?shù)的12.8%

6.已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，§6=-5S3NO,則卜（）

A.18B.13C.-13D.-18

7.已知函數(shù)/（x）=2cos（2x+°）在區(qū)間（0,力上單調(diào)遞減，且其圖象過點(diǎn)（0,1）,則9的

值可能為（）

7171兀兀

A.B.C.

67

8.“一血<8<0”是“圓C：/+y2=9上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線/:y=x-匕的距離等

于1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.如圖，某幾何體平面展開圖由一個(gè)等邊三角形和三個(gè)等腰直角三角形組合而成，￡為8C

的中點(diǎn)，則在原幾何體中，異面直線AE與C。所成角的余弦值為（）

ACRV6c6n76

63312

22

、xy_

10.設(shè)石，E是橢圓C：—+=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)?在橢圓。

ab"

上，延長(zhǎng)所交橢圓C于點(diǎn)。，且仍用=|「。，若△用月的面積為立〃，則=（）

3W鳥I

A.立B.氈C.73D.迪

233

l,x>0

11.已知符號(hào)函數(shù)sgnx=<0,x=0，偶函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=/(x),當(dāng)xe[0,l]時(shí),

-1,x<0

/(x)=x,則()

A.sgn[/(x)]>0

/2021>,

C.sgn[/(2A:+l)]=l(A:eZ)

D.sgn[/(Zc)]=|sgnZ:|(Z：GZ)

12.函數(shù)/(力=%2*-1在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能是()

A.3B.2C.1D.0

二.填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.設(shè)向量4=(/,2),b—(―?,1)?且卜—q=卜|+|/?|>則U.

14.某公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，則不同

的裁員方案的種數(shù)為.

22

15.已知雙曲線/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為,F,,過片的直線交

a-b-

雙曲線C的左支于2Q兩點(diǎn)，若雨，而且APQK的周長(zhǎng)為12a,則雙曲線C的離心

率為.

16.如圖，直四棱柱A5CO—A4aA的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA=3,E,尸分別

是AS8c的中點(diǎn)，過點(diǎn)2,E,尸的平面記為則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是.

①平面a截直四棱柱所得截面的形狀為四邊形

②平面a截直四棱柱ABCO—AgGA所得截面的面積為拽

2

③二面角。一EF—A的正切值為72

④點(diǎn)8到平面a的距離與點(diǎn)。到平面a的距離之比為1:3

三、解答題：本大題共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

17.為迎接2022年冬奧會(huì)，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后

對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核.記X表示學(xué)生的考核成績(jī)，并規(guī)定X>85為考核優(yōu)秀.為了了解本次培

訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績(jī)，并作成如下莖葉圖：.

5

60116

70I43358

823768717

9114529

02130

⑴從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核為優(yōu)秀的概

率；

⑵從圖中考核成績(jī)滿足Xe[70,79]的學(xué)生中任取3人，設(shè)丫表示這3人中成績(jī)滿足

X-85W10的人數(shù)，求y的分布列和數(shù)學(xué)期望；

、

X-85

（3）根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)P<120.5時(shí)培訓(xùn)有效.請(qǐng)你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判

107

斷此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說(shuō)明理由.

18.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，｛d｝是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，｛〃,｝的前〃項(xiàng)和為S“，

，且2%=a=2.4+%=10.在①4S”=bn-1(2GR),②4=53-2S2+St,

③勿=2甌(XwR).

這三個(gè)條件中任選其中一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并解答下面的問題.

（1）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛《,+2｝的前"項(xiàng)和7”.

19.已知拋物線。：、2=2幺工（0>（））的焦點(diǎn)為尸，48是該拋物線上不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

3

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)力點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4時(shí)，cos/OE4=——

（1）求拋物線C的方程；

（2）以28為直徑圓經(jīng)過點(diǎn)P（l,2）,點(diǎn)48都不與點(diǎn)。重合，求|AF|+|B日的最小值.

20.等腰梯形ABC。，2AB=2BC=CD,N/LBC=120°，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，沿AE將

△DAE折起，使得點(diǎn)。到達(dá)尸位置.

(1)當(dāng)EB=8C時(shí)，求證：BE1平面AFC;

(2)當(dāng)8尸=逅8C時(shí)，過點(diǎn)尸作戶G,使而=之而(九〉0),當(dāng)直線BG與平面巫尸

2

所成角的正弦值為巫時(shí)，求4的值.

10

21.已知=+cos%.

(1)求“X)在卜卦]上的極值；

(2)Vae(O,ll,當(dāng)x>0時(shí)，證明：(x—+x+L_2sinxN0.

ax

X=-1+2COS69

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是c.(9為參數(shù))，以坐標(biāo)原

y-2sm夕

點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)已知曲線C上兩點(diǎn)A,8的極坐標(biāo)分別為A(q,a),B^p2,a+^\,求證：

2299?

P\+P2+~+

P\Pi

23.已知函數(shù)/(x)=|x+[+|2x-3|,例為不等式/(x)W4的解集.

(1)求用;

⑵若a,R,且/+〃wM,證明：0<"_ab+H<3.

參考答案

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4=卜k=3〃+1,〃6?4},3={x[2<x<10},則集合408中元素的個(gè)數(shù)為

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】利用交集的概念得出從而得到集合ACS元素個(gè)數(shù).

【詳解】??,集合A={Hx=3〃+l,〃eN},B={X|2<X<10},

二Ac5={4,7}

即集合中共有2個(gè)元素.

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（l+iAzn;F（/為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z—l在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所

H+1I

在的象限為（）

A.第二象限B.第三象限C.第四象限D(zhuǎn).第一象

限

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算公式求得z,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得.

【詳解】由（1+022=7^=2&得z=2^=—&i,z_l=—l_0i，???復(fù)數(shù)Z-1

|1+1|（1+i）2

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-1,-夜），.??復(fù)數(shù)z-l在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第三象

限.

故選：B.

3.甲、乙去同一家藥店購(gòu)買一種醫(yī)用外科口罩，已知這家藥店出售4,B,C三種醫(yī)用外科

口罩，甲、乙購(gòu)買4,B,C三種醫(yī)用口罩的概率分別如下：

購(gòu)買2種醫(yī)用口罩購(gòu)買8種醫(yī)用口罩購(gòu)買C種醫(yī)用口罩

甲■0.20.4

乙0.30.3

則甲、乙購(gòu)買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為()

A.0.44B.0.40C.0.36D.0.32

【答案】D

【解析】

【分析】先求出甲購(gòu)買力種醫(yī)用口罩和乙購(gòu)買8種醫(yī)用口罩的概率，然后利用獨(dú)立事件的

乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.

【詳解】由表可知，甲購(gòu)買2種醫(yī)用口罩的概率為0.4,乙購(gòu)買8種醫(yī)用口罩的概率為0.4,

所以甲，乙購(gòu)買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為

P=0.4x0.3+0.2x0.4+0.4x03=0.32.

故選：D.

4.已知且3cos2cr+sina=l,貝！I().

./、2/、2

A.sin(兀一a)=—B.cos(n-a]=——

v'3v'3

C.sinf—+=--

D.cos—+。=----

12J3(2)3

【答案】A

【解析】

2R

【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)方程,解方程可得sina進(jìn)而可得cosa=上，然后利

33

用誘導(dǎo)公式即可判斷.

【詳解】?13cos2a+sina=l,

???3（1—2sin2crj+sindz=1,即Gsin?a-sina-2=0,

???sina=—或sina=-一（舍去）,

32

???cosa=*，sin（兀一。）=sina=：cos（兀-a）=-cosa=一當(dāng)，

、加71.2

sin-+a=cosa-——.cos—+a=-sina=——

12

7323

故選：A

5.清華大學(xué)通過專業(yè)化、精細(xì)化、信息化和國(guó)際化的就業(yè)指導(dǎo)工作，引導(dǎo)學(xué)生把個(gè)人職業(yè)

生涯發(fā)展同國(guó)家社會(huì)需要緊密結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生到祖國(guó)最需要的地方建功立業(yè).2019年該校

畢業(yè)生中，有本科生2971人，碩士生2527人，博士生1467人，畢業(yè)生總體充分實(shí)現(xiàn)就業(yè),

就業(yè)地域分布更趨均勻合理，實(shí)現(xiàn)畢業(yè)生就業(yè)率保持高位和就業(yè)質(zhì)量穩(wěn)步提升.根據(jù)如圖,

下列說(shuō)法不正確的是（）

5

2

?

60.0%親

「

B本科生

畢業(yè)生簽三方就業(yè)單位所在?。▍^(qū)、市）公布

A.博士生有超過一半的畢業(yè)生選擇在北京就業(yè)

B.畢業(yè)生總?cè)藬?shù)超半數(shù)選擇在北京以外的單位就業(yè)

C.到四川省就業(yè)的碩士畢業(yè)生人數(shù)比到該省就業(yè)的博士畢業(yè)生人數(shù)多

D.到浙江省就業(yè)的畢業(yè)生人數(shù)占畢業(yè)生總?cè)藬?shù)的12.8%

【答案】D

【解析】

【分析】理解題意，根據(jù)圖中所給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行逐一排除即可.

【詳解】A:博士生畢業(yè)生選擇在北京就業(yè)的比例達(dá)到52.1%,超過一半，A正確；

B:留在北京就業(yè)的人數(shù)博士生接近一半，而本科生與碩士生則明顯低于一半，所有顯然總

人數(shù)超半數(shù)選擇在北京以外的單位就業(yè)，B正確；

C：到四川省就業(yè)的碩士畢業(yè)生人數(shù)為2527x3.2%M80,而到四川省就業(yè)的博士畢業(yè)生人

數(shù)為1467x3.7%a54,故碩士生更多，C正確；

D：圖表中顯示4.2%+5.6%+3.0%=12.8%,然而本科生、碩士生、博士生人數(shù)并不是

一樣多，所以D必不正確.

故選：D

6.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，56=-553^0,則（）

二3

A.18B.13C.-13D.-18

【答案】D

【解析】

【分析】

通過等差數(shù)列的性質(zhì)，可得S,S-S,S-S為等差數(shù)列，設(shè)S6=-5a,S3=a,即可得出

結(jié)果.

【詳解】由S6=-5S.3,可設(shè)S6=-5g=〃

???｛4｝為等差數(shù)列，?.?$,為等差數(shù)列，

即d-6a,S9-§6成等差數(shù)列，S9—、6=-13a,即Sg=-18a

.?.差=T8

S3

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目.

7.已知函數(shù)/（x）=2cos（2x+°）在區(qū)間［of）上單調(diào)遞減，且其圖象過點(diǎn)（0』）,則。的

值可能為（）

7171Tl71

A.一一B.一一C.-D.—

3663

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式，求得。的范圍，結(jié)合選項(xiàng),

即可求解.

JIJI

【詳解】由0cx<],可得夕<2x+0<5+9,

因?yàn)楹瘮?shù)"X）=2cos（2x+°）在區(qū)間（0,（]上單調(diào)遞減，

JI

可得0之2k7r且5+0W萬(wàn)+2火肛keZ9解得2k兀<（p<--\-2左肛keZ,

又由函數(shù)/（x）的圖象過點(diǎn)（0,1）,可得2cose=l,即cos0=；,

解得9=0+2攵4或夕=g+2&肛ZwZ,

當(dāng)％=0時(shí)，可得8=工，所以。的值可能為三.

33

故選：D.

8.“-6〈b〈卮'是“圓。：/+丁=9上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線/：丁=*一〃的距離等

于1”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求出匕，然后利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.

【詳解】???圓C:f+y2=9的半徑「=3,

若圓C上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)到直線/的距離等于1,則

必須滿足圓心（0,0）到直線/：y=x-匕的距離

d=y<2,解得一2&<。<2近?

又（―0,夜）c（—2后,2夜），

???u-y[2<b<y[2''是"圓C：f+y2=9上有四個(gè)不同的點(diǎn)到

直線/:y=x-h的距離等于1”的充分不必要條件.

故選：A.

9.如圖，某幾何體平面展開圖由一個(gè)等邊三角形和三個(gè)等腰直角三角形組合而成，￡為BC

的中點(diǎn)，則在原幾何體中，異面直線AE與CO所成角的余弦值為（）

C6

VZi----D,邁

312

【答案】A

【解析】

【分析】將給定展開圖還原成三棱錐。-ABC,取即中點(diǎn)尸，借助幾何法求出異面直線

所成角的余弦值.

【詳解】因幾何體平面展開圖由一個(gè)等邊三角形和三個(gè)等腰直角三角形組合而成，于是得原

幾何體是正三棱錐D-ABC,

其中。A0在兩兩垂直，且D4=￡）3=DC,取8。中點(diǎn)尸，連接￡尸，AF,如圖,

因￡為的中點(diǎn)，則有成//CD,因此，NAM是異面直線AE與CO所成角或其補(bǔ)角,

令。外2,則EfugoCul,中，AF=-JAD2+DF2=\[5?

正AABC中，AE=—AB=y/6,于是有：AF2+EF2=6=AE2,即NA/E=90,

2

EFV6

cosZAEF=—=—.

AE6

所以異面直線AE與8所成角的余弦值為逅.

6

故選：A

x2y2

io.設(shè)3月是橢圓c：=+―=i(a>6>o)的左、右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)/在橢圓c

ab

上，延長(zhǎng)續(xù)交橢圓C于點(diǎn)。，且|用|:|夕Q,若△用K的面積為3/，則￥1^=()

3WBI

A.3B.亞C.73D.迪

233

【答案】B

【解析】

7T

【分析】利用焦點(diǎn)三角形的面積公式及橢圓的定義可得/耳尸6=§,進(jìn)一步得AAQQ為

等邊三角形，且PQJ-X軸，從而可得解.

【詳解】由橢圓定義，\PFt\+\PF21=2a,

由余弦定理有：CM"「嗎凜(I產(chǎn)甲+1「用了一2|尸耳||「馬一4/

2|叫附|

_4a2-4c?-2|叼然|_4以-2|PF；」P%|

-2\PFl\\PF2\2\PF}\\PF2\

2

化簡(jiǎn)整理得：2b=|PR||PF21(cos“PF]+1),

又SAW=g|PH||Pg|sin^F,PF2,

由以上兩式可得：

切sin干cos幺片“pF

q2々PF"t一空

△叼52122

cosZFlPF2+12cos

2

&0_2NRPFzV322NF[PF,./rDr_

由SAPRF、-b*tan-~,傳—b~-tan-------,,,PF?——?

2323

又|P4|=|PQ|,所以△AOQ為等邊三角形，由橢圓對(duì)稱性可知PQ，x軸,

|PQ|=2_2有

所以麗=耳=亍

故選：B.

l,x>0

11.已知符號(hào)函數(shù)sgnx=<0,x=0，偶函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=/(x),當(dāng)xe[0,l]時(shí),

-l,x<0

/(x)=x,貝！I()

A.sgn[/(x)]>0

C.sgn[/（2A+l）]=l（AeZ）

D.sgn[/（A:）]=|sgn^|（^GZ）

【答案】C

【解析】

【分析】利用特殊值法可判斷AD選項(xiàng)；利用函數(shù)的周期性以及題中定義可判斷BC選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，sgn[/（0）]=sgn0=0,A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，=+==B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)任意的ZeZ,/(2A+1)=/(1)=1,則sgn"(2Z+l)]=sgnl=l,C

對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，sgn[/(2)]=sgn]f(0)]=sgnO=O,而|sgn2|=l,D錯(cuò).

故選：C.

12.函數(shù)/(力=/6心-1在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).注意只要判

斷可能性.

【詳解】f'(x)=2xeM+ax2eM=x(2+ax)eM,

若a=0,則/(尤)=/一1,有兩個(gè)零點(diǎn)，

2

若由/'(%)=0得1=0或%=一4,

a

22

若a>0,在—或q>0時(shí)，/'(九)>。，—<x<0時(shí)，/'(x)v0,

aa

22

所以/(x)在(-00,--)和(0,+8)上遞增，在(―*,0)上遞減，

aa

24

tt

極小值/(0)=-1<0,極大值/(一一)=-7-19/(l)=e-l>0,/(力在Q+oo)上

ao~e

有一個(gè)零點(diǎn)，

224

。二4時(shí)，/(--)=-TT-1=0,Ax)在(—8,0)上只有一個(gè)零點(diǎn)，這樣共有2個(gè)零點(diǎn)；

eaae

224

士時(shí)，/(一一)=『-1<0,/(%)在(―8,0)上無(wú)零點(diǎn)，這樣共有1個(gè)零點(diǎn)；

eaa~e

o24

0<。<士時(shí)，/(——)=^v-l>0,xf—8時(shí)，y=x2eax->0,因此〃x)vO,

eaae~

22

所以/（X）在（―00,——）和（一一,0）上各有一個(gè)零點(diǎn)，共有3個(gè)零點(diǎn).

aa

由此不需要再研究“<0的情形即可知只有D不可能出現(xiàn)，

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.設(shè)向量a=Q,2）,B=（—//），且卜/—q=pz|+|/?|>則U.

【答案】±72

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由歸一,2=同2+忖2=/+-27B=問2+問2,

可得a?/?=0'—t~+2=0>得f=+-^2?

故答案為：土立

14.某公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人，要求甲.乙二人不能全部裁去，則不同

的裁員方案的種數(shù)為.

【答案】182

【解析】

【分析】按甲、乙二人裁去1人或兩人都不裁去分類討論可得.

【詳解】由題意方法數(shù)為C；+C；C；=182.

故答案為：182.

22

已知雙曲線。：?一方（。>）的左、右焦點(diǎn)分別為過片的直線交

15.=10/>0F1,F2,

雙曲線C的左支于P,。兩點(diǎn)，若至，而且APQB的周長(zhǎng)為12a,則雙曲線C的離心

率為.

【答案】叵并讓屈

22

【解析】

【分析】由所給的條件，利用雙曲線的定義即可.

由雙曲線定義知|P閭-歸用=|。圖一|Q娟=2a,

則|產(chǎn)制=儼閭一2。，|Q制=|Q￡|—2a,

所以|PQ|=|P周+|Q周=歸閭+依閭一4a,

.??△PQ居周長(zhǎng)為|PE|+|QR|+|PQ|=2（|%|+|QE|）—4a=12a,

：.\PF2\+\QF2\=8a……①，|P0=4a,

由電工而，得歸居『+16a2=|QK「

：.\QF2\-\PF2\^2a……②，

由①②：

.??|尸鳥］=3。，向月|=5a,，歸耳|=Q,

在放△尸耳工中，/+（3〃）2=（2C）2,

cx/10

e=—=----.

a2

故答案為：工叵.

2

16.如圖，直四棱柱ABC?！狝5G。的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA=3,E,尸分別

是28,8c的中點(diǎn)，過點(diǎn)R,E,尸的平面記為a,則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是

DiG

①平面1截直四棱柱ABCO-AgG。所得截面的形狀為四邊形

②平面a截直四棱柱ABCD-A⑸G9所得截面的面積為亞

2

③二面角D-EF-D］的正切值為V2

④點(diǎn)8到平面a的距離與點(diǎn)。到平面a的距離之比為1：3

［答案］（2X3X3）

【解析】

【分析】作出截面即可判斷①；計(jì)算出截面各邊長(zhǎng)度，即可求出面積判斷②；圖中易作出

房的垂面得到二面角的正切值，即可判斷③；連。8與￡尸交于G,易得D、5到G的距離

比，即可判斷④.

【詳解】如下圖，延長(zhǎng)勿、AC交直線用于點(diǎn)久Q,連接。入D0,交棱44GC與

點(diǎn)用、N,連接2例、ME、D\N、NF,可得五邊形，故①錯(cuò)誤；計(jì)算可得截面五邊形各邊

長(zhǎng)度分別為a〃=2/V=2后，ME=EF=FN=O,因此五邊形可分成等邊三角形

a/VZ/V和等腰梯形MEFN,可求得面積分別為2出和*3,則五邊形a/V7￡7W的面積為

2

拽，故②對(duì)；連。5與房交于G,可得二面角D-EF-D,的平面角為/"GO,可求

2

出OG=手，而0A=3,所以tanN0G0=V5,故③對(duì)；易得8G：AG=1:3,所

以點(diǎn)B、。到平面a的距離之比為1：3,故④對(duì).

故答案為：②③④.

【點(diǎn)睛】(1)作幾何體的截面時(shí)，關(guān)鍵是要找到兩個(gè)公共點(diǎn)，連接即可得交線；

(2)多邊形的面積沒法直接求時(shí)，可分割成常見圖形求；

(3)由二面角定義可知，和公共棱垂直的平面與兩面的交線所成的角就是二面角的平面角；

(4)線段與平面相交時(shí)，線段兩端點(diǎn)到平面的距離比等于它們到交點(diǎn)的距離比.

三.解答題：本大題共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明.證明過程或演算步驟.

17.為迎接2022年冬奧會(huì)，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后

對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核.記X表示學(xué)生的考核成績(jī)，并規(guī)定X>85為考核優(yōu)秀.為了了解本次培

訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績(jī)，并作成如下莖葉圖：.

50Hn6

60133

158

723?768

81152717

9

902u30

(1)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核為優(yōu)秀的概

率；

(2)從圖中考核成績(jī)滿足Xe[70,79]的學(xué)生中任取3人，設(shè)丫表示這3人中成績(jī)滿足

以-85區(qū)10的人數(shù)，求y的分布列和數(shù)學(xué)期望；

1X—85、

(3)根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)P——-<120.5時(shí)培訓(xùn)有效.請(qǐng)你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判

斷此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴g

(2)分布列見解析，￡(7)=—

(3)有效，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可；

(2)分析可知變量y的可能取值有。、1、2、3,計(jì)算出隨機(jī)變量y在不同取值下的概率,

可得出隨機(jī)變量y的分布列，進(jìn)一步可求得E(y)的值；

X-85AV_QCA

(3)求出滿足一^二41的成績(jī)有16人，求出P—^―W1,即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：設(shè)該名學(xué)生的考核成績(jī)優(yōu)秀為事件A,

由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，3()名同學(xué)中，有6名同學(xué)的考核成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，故P(A)=(.

【小問2詳解】

解:由|X-85|410可得75WXW95,

所以，考核成績(jī)滿足Xe[70,79]的學(xué)生中滿足|X-85|VK)的人數(shù)為5,

故隨機(jī)變量丫的可能取值有0、1、2、3,

叩=。吟C3=?1呼叫=C罟2C]備IS叩=3罟c,C2〉15

pg幸亮

jZo

所以，隨機(jī)變量y的分布列如下表所示：

Y0123

115155

p

56562828

15

因此，E（y）=0x—+lx—+2x—+3x—

'）56562828T

【小問3詳解】

X—85

解：由一41可得75WXW95,由莖葉圖可知，滿足75WX495的成績(jī)有16個(gè)，

所以上⑹W1]=320.5,因此，可認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效.

I10）30

18.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)到，抄,｝是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，｛d｝的前〃項(xiàng)和為S,,

，且2q=4=2,4+4=10?在①XS"=2一1（丸eR），②%=S3-2s2+5,,

③d=2%（2eR）.

這三個(gè)條件中任選其中一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并解答下面的問題.

（1）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛%+"｝的前〃項(xiàng)和乙.

【答案】（1）4=n,bn=T

【解析】

【分析】（1）選條件①，由基本量法求得d,由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，由E=2求得人,

利用“=s”-s,i（〃>2）得也）的遞推關(guān)系，從而得等比數(shù)列的公比，得通項(xiàng)公式；

選條件②.由基本量法求得公差d,得明,根據(jù)s“與力的關(guān)系，把已知等式變形，然后由

基本量法求得公比夕，得通項(xiàng)公式；

選條件③.由基本量法求得“，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得狐，由々嗎求得九，從而可得；

（2）用分組求和法計(jì)算7；.

【小問1詳解】

方案一：選條件①.

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

2〃[=2

,所以q=1+(〃-1)x1=〃.

%+4=2q+8d=10

因?yàn)?=2,=d一1,所以當(dāng)〃=1時(shí),

由九5=獨(dú)=優(yōu)一1,得22=2—1,即人;，所以5“=2色,一1).

當(dāng)〃之2時(shí)，2=S“—Si=2(2—1)—231一1),整理得勿=2目1，

所以數(shù)列｛"｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以“=2X2"T=2".

方案二：選條件②.

,、[2a,=2fa=1

設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,由'.。，，八，解得】，，

i"&+“8=2%+84=10[d=l

所以4=1+(〃-1)*1=〃，所以%=4.

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為"(4>0),因?yàn)?=53-25,+5,,

所以q=(53—52)—(52—5])=〃3—4=4/一49，

又為=4,4=2,所以/一夕一2=0,解得g=2或4=-1(舍去)，

所以"=2x2"T=2".

方案三：選條件③.

z、2a〔=24=1

設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,由c。，S，解得4,，

1n>

[a2+?8=2al+8J=10[d=l

所以a”=l+(〃-l)xl=〃.

因?yàn)閎“=2",a,=l,4=2,

所以當(dāng)〃=1時(shí)，乙=2胸，即2=2"解得2=1，

所以d=2""=2".

【小問2詳解】

由(1)知4,=〃，。"=2”,則。“+d=〃+2”,

所以<=1+21+2+22+...+“+2"=(1+2+.-+“)+(21+22+...+2")

=〃（〃+1）+2X02"）=2“+i+-+〃-4

—21-22

19.已知拋物線。：丁=2〃;\:（〃>0）的焦點(diǎn)為尸，48是該拋物線上不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

3

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)4點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4時(shí)，cosZOE4=-j.

（1）求拋物線C的方程；

（2）以Z8為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)尸（1,2）,點(diǎn)48都不與點(diǎn)。重合，求|AF|+忸用的最小值.

【答案】（1）y2=4x;

（2）11.

【解析】

【分析】（1）作出輔助線，利用焦半徑與余弦值求出P的值，進(jìn)而求出拋物線方程；（2）

設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)得到等量關(guān)系，求出〃=2〃?+5,從而

（1\2

表達(dá)出+忸3=%+%2+2=4m+—+11,求出最小值.

\2）

【小問1詳解】

設(shè)A（4,%）,因?yàn)閏osNOE4=—：<0,所以4>g,AF=4+-|,過點(diǎn)4作軸

4-￡

pDF03-

于點(diǎn)。，則。尸=4—匕，cosZDE4=——=一三，解得：p=2,所以拋物線方

2AF4+￡5

2

程為y2=4x.

設(shè)直線45為尤=陽(yáng)+〃，A（xi,y^,B（x2,y2）,由方程》=陽(yáng)+〃與丁=4x聯(lián)