2023年新高一數(shù)學暑假課程（人教A版2019）第二十講不等關系與不等式

第二十講：不等關系與不等式【教學目標】1.能用不等式(組)表示實際問題中的不等關系.、作商法比較兩實數(shù)的大小．【基礎知識】兩個實數(shù)a，b，其大小關系有三種可能，即a>b，a＝b，a<b.比較大小作差法作商法（）依據(jù)結(jié)論要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的商與1的大小作差法比較大小的步驟：（1）作差；（2）化簡為乘除的形式；（3）判斷正負；（4）下結(jié)論.【題型目錄】考點一：不等式組表示不等關系考點二：作差法比較大?。ㄒ唬┛键c三：作差法比較大小（二）考點四：作商法比較大小【考點剖析】考點一：不等式組表示不等關系例1．鐵路總公司關于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm，且體積不超過，設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為a，b，c（單位：cm），這個規(guī)定用數(shù)學關系式可表示為（） A．且 B．且 C．且 D．且【答案】C【詳解】由長、寬、高之和不超過130cm得，由體積不超過得.故選：C.變式訓練1．糖水溶液（不飽和）的濃度計算公式為，向糖水（不飽和）中再加入克糖，那么糖水（不飽和）將變得更甜，則反應這一事實的不等關系為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，向糖水（不飽和）中再加入克糖，此時糖水的濃度為，根據(jù)糖水更甜，可得故選：變式訓練2．將一根長為的繩子截成兩段，已知其中一段的長度為m，若兩段繩子長度之差不小于，則所滿足的不等關系為（） A． B．或 C． D．【答案】D【詳解】由題意,可知另一段繩子的長度為.因為兩段繩子長度之差不小于，所以，化簡得：.故選：D變式訓練3．如圖，在一個面積為200m2的矩形地基上建造一個倉庫，四周是綠地，倉庫的長a大于寬b的4倍，則表示上述的不等關系正確的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意知，根據(jù)面積公式可以得到.故選:C．考點二：作差法比較大?。ㄒ唬├?．已知，，為不全相等的實數(shù)，，，那么與的大小關系是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，當且僅當時取等號,，，為不全相等的實數(shù)，因此等號不成立，即，．故選：A變式訓練1．設，，則有（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】，∴.故選：A.變式訓練2．已知p∈R，，，則M，N的大小關系為（） A．M<N B．M>N C．M≤N D．M≥N【答案】B【詳解】，所以.故選：B.變式訓練3．已知，，設，則（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，當且僅當時，等號成立；即.故選：A考點三：作差法比較大?。ǘ├?．比較大?。?1)和；(2)和，其中．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因為，所以；（2）因為，所以，所以.變式訓練1．設，，，則有（）. A． B． C． D．m，n的大小不定【答案】A【詳解】由已知，所以，所以又因為，且，所以.故選：A變式訓練2．用作差法比較與的大小.【答案】【詳解】∵所以.變式訓練3．(1)比較與的大??；(2)已知，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析【詳解】（1）由，可得；（2），∵，∴，，，∴，∴．考點四：作商法比較大小例4．設，，則（）． A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，則.故，當且僅當時，取等號，故選：D變式訓練1．，則的大小關系為_______．【答案】≥【詳解】因為，則由所以故答案為：變式訓練2．已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關系是（） A．x＞y B．x＝y(tǒng) C．x＜y D．x，y的關系隨c而定【答案】C【詳解】由題設，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故選：C.變式訓練3．試比較下列組式子的大?。?1)與，其中；(2)與，其中，；(3)與，．【答案】(1);(2);(3).【詳解】（1），，因為，所以，即；（2）．因為，，所以，，所以，即；（3）方法一（作差法）．因為，所以，，，．所以，所以．方法二（作商法）因為，所以，，，所以，所以．【課堂小結(jié)】1．知識清單：(1)用不等式(組)表示不等關系．(2)作差法比較大小．(3)重要不等式．2．方法歸納：作差法．3．常見誤區(qū)：實際問題中變量的實際意義．【課后作業(yè)】1、在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點150米以外（含150米）為安全區(qū)．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安全區(qū)，導火索的長度（單位：厘米）應滿足的不等式為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知導火索的長度（單位：厘米），故導火索燃燒的時間為秒，人在此時間內(nèi)跑的路程為米，由題意可得.故選：B.2、某學生月考數(shù)學成績x不低于100分，英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且低于240分，用不等式組表示為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】數(shù)學成績不低于100分表示為，英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且低于240分表示為，即.故選：D.3、如圖，在一塊長為22m，寬為17m的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪的面積不小于300m2.設道路寬為xm，根據(jù)題意可列出的不等式為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個長方形，設道路的寬應為x米，草坪面積為（22﹣x）（17﹣x），因為草坪的面積不小于300m2，所以(22－x)(17－x)300，故選：B．4、某同學拿50元錢買紀念郵票，票面8角的每套5張，票面2元的每套4張，如果每種郵票至少買兩套，那么買票面8角的x套與票面2元的y套用不等式表示為（） A． B． C． D．0.8×5x＋2×4y≤50【答案】A【詳解】買票面8角的x套，而票面8角的每套5張，知：每套價格為元買票面2元的y套，而票面2元的每套4張，知：每套價格為元∵某同學拿50元錢買紀念郵票∴+≤50又知，每種郵票至少買兩套：故且綜上，有不等式組故選：A5、設，，則與的大小關系是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以.故選：A.6、若，設，則（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】故選：A7、已知a>0，b>0，M＝，N＝，則M與N的大小關系為（） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小關系不確定【答案】B【詳解】，∴M<N.故選：B.8、設，則的大小順序是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，，，.又，故.則.故選：C.9、若，，則與的大小關系是__________.【答案】【詳解】，因此，.故答案為：.10、已知，比較與的大小.【答案】.【詳解】∵，∴∴.11、若，試比較和的大??；【答案】答案見解析；【詳解】作差得：；所以當時，；當時，；當時，；12、設、為實數(shù)，比較與的值的大小.【答案】【詳解】由于、為實數(shù)，則，當且僅當時，等號成立.因此，.13、比較與的大?。弧敬鸢浮?；

【詳解】因為，又，所以，所以；14、，比較與的大?。敬鸢浮俊驹斀狻坑伤?5、設，為實數(shù)，比較與的大?。敬鸢浮恳娊馕鲈斀猓航猓?，當且僅當時同時取等號，當且僅當時取等16、已知，，試比較與的大小．【答案】當時，；當時，.【詳解】.因為，，所以，，得當時，；當時，.17、已知，試比較與的大?。敬鸢浮俊驹斀狻恳驗?，顯然成立，，當且僅當時取等號.18、若，，，試比較與的大小.【答案】【詳解】，，，，，，，.，又，，即.19、，第二次購物時該物品單價為（）.甲兩次購物的平均價格記為，乙兩次購物的平均價格記為.（1）求，的表達式（用表示）；（2）通過比較，的大小，說明哪種購物方式比較劃算.【答案】（1）；（2）第二種購物方式比較劃算.【詳解】（1）設甲兩次購物時購物量均為m，則兩次購物總花費為m+m，購物總量為2m，平均價格為.設乙兩次購物時用去錢數(shù)均為n，則兩次購物總花費2n，購物總量為，平均價格為=綜上，（2）∵，∴由此可知，第二種購物方式比較劃算.20、甲、乙兩位消費者同時兩次購買同一種物品，分別采用兩種不同的策略，甲的策略是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；乙的策略是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定.（1）若兩次購買這種物品的價格分別為元，元，求甲兩次購買這種物品平均價格和乙兩次購買這種物品平均價格分別為多少；（2）設兩次購買這種物品的價格分別為元，元，問甲、