大題考法精研(一)-導(dǎo)數(shù)與不等式的證明

大題考法精研(一)——導(dǎo)數(shù)與不等式的證明[標(biāo)桿題]設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(a－x)－x＋e.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；[內(nèi)化基本解題思維]1．證明函數(shù)不等式f(x)>g(x)的常用的方法構(gòu)造差函數(shù)法構(gòu)造差函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，求導(dǎo)函數(shù)F′(x)，判斷函數(shù)單調(diào)性，從而得函數(shù)最值，讓最值與0比較大小即可得答案分離函數(shù)法確定中間函數(shù)h(x)，利用導(dǎo)數(shù)分別證明f(x)>h(x)，h(x)>g(x)，即可證明結(jié)論放縮法利用不等式對所證不等式進行放縮，證明放縮后的不等式成立，即可得結(jié)論2．求最值的幾種情形(1)直接求得f(x)的最值，且最值是一個具體的實數(shù)；(2)求得f(x)的最值，且最值是一個含有參數(shù)的代數(shù)式，再說明該代數(shù)式的最值大于0(小于0)；(3)通過隱零點求得f(x)的最值，再說明含有隱零點的最值表達式大于0(小于0)．[演進題1](2023·濰坊一模)已知函數(shù)f(x)＝ex－1lnx，g(x)＝x2－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)≤g(x)．逐級演進·練清悟通[規(guī)范解答]

(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，[演進題2]已知函數(shù)f(x)＝4(x－1)－2xlnx.(1)若函數(shù)g(x)＝f(x)－m存在零點，求實數(shù)m的取值范圍．[規(guī)范解答]

(1)函數(shù)g(x)＝f(x)－m存在零點，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝m有交點．由題意得函數(shù)f(x)＝4(x－1)－2xlnx的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝4－2(1＋lnx)＝－2lnx＋2.令－2lnx＋2＝0，解得x＝e.當(dāng)x∈(0，e)時，f′(x)>0，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(e，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞減．所以f(x)的最大值為f(e)＝4(e－1)－2elne＝2e－4，且f(e2)＝－4<0.即當(dāng)x→＋∞時，f(x)→－∞，故m≤2e－4.所以實數(shù)m的取值范圍是(－∞，2e－4]．(2)證明：由于f(1)＝0，由(1)知f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，故當(dāng)0<x≤1時，f(x)≤f(1)＝0，即f(x)＝4x－4－2xlnx≤0，得2x－xlnx≤2.

當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時等號成立．在證明不等式時，若直接證明比較困難，可將不等式中的部分項進行放大或縮小，然后證明放縮后的不等式成立，再根據(jù)不等式的傳遞性證明原不等式成立．常用的放縮技巧有：(1)ex≥x＋1；(2)ex－1≥x；(3)lnx≤x－1；(4)ln(x＋1)≤x；(5)x≥sinx(x≥0)等．[演進題3]已知函數(shù)f(x)＝x－lnx，g(x)＝aex.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)．于是，當(dāng)x∈(0,1)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減．思維變通升華如果作表，研究函數(shù)y＝xf(x)－g(x)的單調(diào)性比較復(fù)雜，對于參數(shù)已知或參數(shù)范圍已知的不等式，可分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)來研究所構(gòu)造函數(shù)的數(shù)值，進而證明不等式成立．本題也可以先[規(guī)范解答]

(1)存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，即存在x1，x2∈[0,2]，使得[g(x1)－g(x2)]max≥M，即g(x)max－g(x)min≥M(x∈[0,2])．又g(0)＝－3，g(2)＝1，所以當(dāng)x∈[0,2]時，g(x)max＝g(2)＝1，思維變通升華雙變量不等式恒(能)成立問題的轉(zhuǎn)化方法問題描述等價轉(zhuǎn)化語言描述

x1∈M，

x2∈N，f(x1)<g(x2)f(x1)max<g(x2)min函數(shù)f(x)在區(qū)間M上的任意函數(shù)值都小于函數(shù)g(x)在區(qū)間N上的任意函數(shù)值

x1∈M，

x2∈N，f(x1)<g(x2)f(x1)max<g(x2)max函數(shù)g(x)在區(qū)間N上的某個函數(shù)值大于函數(shù)f(x)在區(qū)間M上的所有函數(shù)值

x1∈M，

x2∈N，f(x1)<g(x2)f(x1)min<g(x2)min函數(shù)f(x)在區(qū)間M上的某個函數(shù)值小于函數(shù)g(x)在區(qū)間N上的所有函數(shù)值

x1∈M，

x2