初中數(shù)學(xué)例題習(xí)題變式拓展輔導(dǎo)

初中數(shù)學(xué)例題習(xí)題變式拓展輔導(dǎo)本課件僅供大家學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)完畢請(qǐng)自覺(jué)刪除謝謝本課件僅供大家學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)完畢請(qǐng)自覺(jué)刪除謝謝開(kāi)頭的話2016年《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》內(nèi)容的發(fā)布，標(biāo)志著我國(guó)進(jìn)入了素質(zhì)教育2.0版。隨之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)容也新鮮出爐，分為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面。史寧中先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，是要讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言就是模型，因此，抽象、推理、模型應(yīng)該是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。來(lái)源于八年級(jí)下冊(cè)第29頁(yè)第14題案例1基本模型基本結(jié)構(gòu)1．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段AC上．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BD與線段CE的關(guān)系：

．2．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，請(qǐng)判斷線段BD與線段CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．變式1基本模型3．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)D在線段AC上，請(qǐng)判斷線段BD與線段CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．變式2基本模型4．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，請(qǐng)判斷線段BD與線段CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．變式3基本模型5．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)D在線段BC上，請(qǐng)判斷線段BD與線段CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．變式4基本模型6．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)D在線段BC上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．變式5基本模型7．（2014武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的長(zhǎng)．變式6基本模型1．（2007南平）如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)P在AC上，將△ABP繞頂點(diǎn)B沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度數(shù)；（2）當(dāng)AB=4，AP：PC=1：3時(shí)，求PQ的大?。唬?）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（P不與A重合），請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)反映PA2，PC2，PB2之間關(guān)系的等式，并加以證明．拓展1綜合拓展2．（2015鐵嶺）已知：點(diǎn)D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．求證：BD=CE，BD⊥CE．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，探究AD、BD、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論并說(shuō)明理由；（3）若BD=CD，直接寫(xiě)出∠BAD的度數(shù)．拓展2綜合拓展3．（2015黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點(diǎn)，將△OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△OC′D′．（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點(diǎn)E，猜想∠AEB=θ是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展3綜合拓展4．（2015貴港）已知：△ABC是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問(wèn)題：（1）如圖①，若點(diǎn)P在線段AB上，猜想：PA2，PB2，PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為

；（2）如圖②，若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你利用圖②給出證明過(guò)程；（3）若動(dòng)點(diǎn)P滿足PA︰PB=1︰3，求

的值．（提示：請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求）

拓展4綜合拓展5．(2016黃石)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如圖1，若點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F，求證：△ADF∽△ABC；（2）如圖2，在（1）的條件下，若α=45°，求證：DE2=BD2+CE2；（3）如圖3，若α=45°，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

拓展5綜合拓展6．（2015威海）（1）如圖1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的長(zhǎng)．（2）如圖2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的長(zhǎng)．

拓展6綜合拓展7．（2015梅州）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0<α≤180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P．（1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，線段BD1的長(zhǎng)等于

，線段CE1的長(zhǎng)等于

；（直接填寫(xiě)結(jié)果）（2）如圖2，當(dāng)α=135°時(shí)，求證：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；（3）①設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則線段PM的長(zhǎng)為

；②點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為

．（直接填寫(xiě)結(jié)果）

拓展7綜合拓展8．（2016達(dá)州）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．（1）觀察猜想：如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①BC與CF的位置關(guān)系為：

；②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：

；（將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考：如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸：如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G，連接GE．若已知AB=2，CD=BC，請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)．拓展8綜合拓展9．（2013營(yíng)口）如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，F(xiàn)是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF，連接BF、

AD．（1）①猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論；②將圖1中的正方形CDEF，繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2、圖3的情形．圖2中BF交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，請(qǐng)你判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷；（2）將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改為矩形CDEF，如圖4，且AC=4，BC=3，CD=4/3，CF=1，BF交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，連接BD，AF，求BD2+AF2的值．拓展9綜合拓展10．（2016丹東）如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD．（1）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；（2）現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H．請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫(xiě)出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展10綜合拓展11．（2016三明）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn).（1）求證：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，

①當(dāng)∠EAC=90°時(shí)，求PB的長(zhǎng)；

②直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PB長(zhǎng)的最小值與最大值.拓展11綜合拓展拓展12綜合拓展拓展13綜合拓展案例2基本模型基本結(jié)構(gòu)1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，DC邊上的點(diǎn)，∠EAF﹦45°，當(dāng)BE﹦DF時(shí)，連結(jié)EF．求證：BE＋DF﹦EF．基本模型基本結(jié)構(gòu)2．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，DC邊上的點(diǎn)，∠EAF﹦45°，當(dāng)BE≠DF時(shí)，連結(jié)EF．求證：BE＋DF﹦EF．基本模型基本結(jié)構(gòu)3．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，DC邊上的點(diǎn)，∠EAF﹦45°，連結(jié)BD,分別交AE，AF于點(diǎn)M，N．探究線段BM，MN，DN滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．1．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，分別連接AE，AF，EF，若∠EAF=45°，求△CEF的周長(zhǎng)．變式1基本模型1．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，BE=4，分別連接AE，AF，EF，若∠EAF=45°，求△AEF的面積．變式2基本模型3．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，分別連接AE，AF，EF，若△CEF的周長(zhǎng)是8，求∠EAF的度數(shù)．變式3基本模型4．（2013岳陽(yáng)）某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次課外活動(dòng)，過(guò)程如下：如圖，正方形ABCD中，AB＝6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合．三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．（1）求證：DP＝DQ；（2）如圖，小明在圖①的基礎(chǔ)上做∠PDQ的平分線DE交BC于點(diǎn)E，連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)猜測(cè)他的結(jié)論并予以證明；（3）如圖，固定三角板直角頂點(diǎn)在D點(diǎn)不動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，使三角板的一邊交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，仍作∠PDQ的平分線DE交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接PE，若AB:AP＝3:4，請(qǐng)幫小明算出△DEP的面積．變式4基本模型5．已知∠MAN135°，正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到∠MAN的外部（頂點(diǎn)A除外）時(shí)，AM，AN分別與正方形ABCD的邊CB，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N，連結(jié)MN．①如圖1，若BM

DN，則線段MN與BM＋DN之間的數(shù)量關(guān)系是

；②如圖2，若BM≠DN，請(qǐng)判斷①中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式5基本模型6．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是邊AB上的兩點(diǎn)，AD=3，BE=4，∠DCE=45°，則△ABC的面積是多少？變式6基本模型拓展1綜合拓展1．（2014日照）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE．求證：CE＝CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE＝45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GE＝BE＋GD；（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD的面積．拓展2綜合拓展2．（2013達(dá)州）如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說(shuō)明理由．（1）思路梳理：

∵AB=CD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．

∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F，D，G共線．

根據(jù)____________，易證△AFG≌_______，得EF=BE+DF．（2）類比引申：如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系

時(shí)，仍有EF=BE+DF．（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD，DE，EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程．拓展3綜合拓展3．如圖，在正方形ABCD中，∠EBC=∠EAF=∠CDF=45°，探究BE，EF，DF之間滿足的等量關(guān)系．拓展4綜合拓展4．如圖，E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上，∠EAF=135°．探究ED，EF，BF之間滿足的等量關(guān)系．拓展5綜合拓展5．（2016貴港）如圖1，在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF，垂足為H．（1）如圖2，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．①求證：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的長(zhǎng)．（2）如圖3，連接BD交AE于點(diǎn)M，交AF于點(diǎn)N．請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段BM，MN，ND之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．拓展6綜合拓展6．（2016淄博）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠MAN始終保持45°不變．（1）求證：AF⊥FM；（2）請(qǐng)?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠BAM等于多少度時(shí)，∠FMN=∠BAM？寫(xiě)出你的探索結(jié)論，并加以證明．拓展7綜合拓展7．（2011重慶）如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG，CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1B．2C．3D．4拓展8綜合拓展拓展9綜合拓展9．（2015三明）在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG（如圖①），求證：△AEG≌△AEF；（2）若直線EF與AB，AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M，N（如圖②），求證：EF2=ME2+NF2；（3）將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．拓展10綜合拓展10．（2016揚(yáng)州）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．設(shè)CE=a，CF=b．（1）如圖1，當(dāng)∠EAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，求a，b的值；（2）當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，求a，b的值；（3）如圖3，探索∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中a，b滿足的關(guān)系式，并說(shuō)明理由．拓展11綜合拓展11．（2018北京）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接DG，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．拓展12綜合拓展12．（2014達(dá)州）如圖（1），點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，說(shuō)明理由．解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE′，點(diǎn)F，D，E′在一條直線上．∴∠E′AF=90°﹣45°=45°=∠EAF，又∵AE′=AE，AF=AF，∴△AE′F≌△AEF（SAS），∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．觀察分析：觀察圖（1），由解答可知，該題有用的條件是①ABCD是四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上；②AB=