級數(shù)求和的常用方法和幾個(gè)特殊級數(shù)和

PAGEPAGE1目錄第一章緒論 11.1綜述 21.2研究現(xiàn)狀 31.4本論文所作的工作 31.5研究目標(biāo) 31.6本論文解決的關(guān)鍵問題 31.7本論文的創(chuàng)新之處 31.8本論文的研究方法 31.9本論文的內(nèi)容安排 3第二章數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和的常用方法 32.1引言 42.2預(yù)備知識 42.3數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的幾個(gè)重要判別法 52.4幾種無窮級數(shù)求和的常用方法介紹 7第三章p-級數(shù)的拉格朗日插值法求和 133.1拉格朗日插值法 133.2拉格朗日插值法的MATLAB源代碼 153.3在MATLAB中輸入的命令及結(jié)果 163.4誤差分析 173.5結(jié)束語 18第四章函數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和 184.1方程式法 184.2積分型級數(shù)求和 184.3逐項(xiàng)求導(dǎo)求級數(shù)和 194.4逐項(xiàng)積分求級數(shù)和 204.5將原級數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級數(shù) 204.6利用傅立葉級數(shù)求級數(shù)和 204.7三角級數(shù)對應(yīng)復(fù)數(shù)求級數(shù)和 214.8利用三角公式化簡級數(shù) 224.9針對2.7的延伸 224.10添加項(xiàng)處理系數(shù) 234.11應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算級數(shù)和 234.12利用函數(shù)求級數(shù)和 24致謝 25參考文獻(xiàn) 25 摘要關(guān)于數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和的問題,很多學(xué)者對一些特定題目給出了一些有針對性的解決方法.數(shù)項(xiàng)級數(shù)是數(shù)學(xué)分析課程中的重要內(nèi)容之一,如果給定一個(gè)數(shù)項(xiàng)級數(shù),我們所關(guān)心的兩個(gè)基本問題是:此級數(shù)是否收斂?如果收斂,怎么求出此級數(shù)的和?本文主要針對p級數(shù)的求和進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究,眾所周知,當(dāng)p為偶數(shù)時(shí),p級數(shù)的和是精確值;當(dāng)p為大于1的非偶數(shù)時(shí),p級數(shù)的和是無窮小數(shù).鑒于以上p級數(shù)的性質(zhì),本文將運(yùn)用數(shù)學(xué)計(jì)算方法中的拉格朗日插值法,并借助于MATLAB,在一定的區(qū)間上求出p級數(shù)和的拉格朗日插值公式,從而求出p為非偶數(shù)時(shí),p級數(shù)的近似值并做出相應(yīng)的相對誤差分析.與此同時(shí)本文將介紹多種數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和方法,應(yīng)用了較多的高等數(shù)學(xué)知識,在一定程度上開闊了級數(shù)求和的解題思路.[關(guān)鍵詞]p級數(shù);求和;余項(xiàng);誤差估計(jì);級數(shù).AbstractmanyscholarsonspecifictopicshavegivensomespecificsolutionsaboutSumofanumberofproblems.Mathematicalanalysisofseveralseriesisanimportantpartofthecourse,ifgivenacertainseries,weareconcernedwithtwofundamentalquestionswhicharewhethertheconvergenceofthisseries?Ifconvergence,whatisthesummationofthisseries?Inthispaper,thesumofthepseriesforamoresystematicstudy,itiswellknownthatwhenpiseven,thesumofpseriesisanexactvalue;whenpisgreaterthan1andnon-even,thesumofpseriesisinfinitedecimal.Inviewofthenatureofthepseries,thisarticlewillusetheLagrangeinterpolationmethodinthemathematicalcalculation,andthehelpofMATLAB,itwillobtainedtheLagrangeinterpolationformulaaboutthesumofpseriesinacertaininterval,Thusitobtainedpseriesapproximationandmakethecorrespondingrelativeerroranalysiswhenpisnon-even.whatismore,Hereareanumberofvariousnumberofseriessummationmethodandusingmoreadvancedmathematicalknowledge,toacertainextent,broadenthesolvingproblemideasforourreferenceinthestudy.[Keywords]p-series;summation;remainder;errorestimates;series.第一章緒論1.1綜述近代微積分的發(fā)展,主要是在17世紀(jì)上半葉.這個(gè)時(shí)期標(biāo)志著文藝復(fù)興以來在資本主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學(xué)開始邁入綜合與突破階段,這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難,使微積分的基本問題空前的成為人們關(guān)注的焦點(diǎn).在這個(gè)時(shí)期,幾乎所有的數(shù)學(xué)大師都致力于相關(guān)問題的研究,特別是描述運(yùn)動(dòng)與變化的無限小算法,并在相當(dāng)短時(shí)期內(nèi),取得了迅速的發(fā)展.開普勒、卡瓦列里、笛卡爾、費(fèi)馬、巴羅、沃利斯等人作出了具有代表性的工作.牛頓和萊布尼茲以足夠的敏銳和能力認(rèn)識到微分和積分的互逆關(guān)系,在微積分的真正創(chuàng)立上作出了偉大貢獻(xiàn).在18世紀(jì),微積分進(jìn)一步深入發(fā)展并和廣泛的應(yīng)用緊密交織在一起.其中它的發(fā)展與無窮級數(shù)的研究密不可分.牛頓在他的流數(shù)理論中自由運(yùn)用無窮級數(shù),他憑借二項(xiàng)式定理得到了許多函數(shù)的級數(shù).泰勒級數(shù)則提供了將函數(shù)展成無窮級數(shù)的一般方法.在18世紀(jì),各種初等函數(shù)的級數(shù)展開陸續(xù)得到,并在解析運(yùn)算中初等函數(shù)成為微積分的有力工具.其中,雅各布,伯努利撰寫了一系列無窮級數(shù)的論文,使他們成為當(dāng)時(shí)這一領(lǐng)域的權(quán)威.這一時(shí)期,一方面,微積分不斷取得各種顯著的成就,得到各種更強(qiáng)有力的應(yīng)用;另一方面,在某些領(lǐng)域,數(shù)學(xué)家們由于濫用微積分而得到很多荒謬的結(jié)論.這種荒謬性突出的表現(xiàn)在無窮級數(shù)的使用上.以二項(xiàng)式的負(fù)指數(shù)冪的無窮展開為例.牛頓在研究積分問題時(shí)得到了一般的二項(xiàng)式展開定理.根據(jù)這一定理,我們有.用代替上式中的即得.在上式中,令,得.為簡便起見,我們把這式子稱為F.如果我們對F右邊使用結(jié)合律,顯然會(huì)有.對比這兩個(gè)式子我們將得到,這顯然是荒謬的,但是問題并沒有到此結(jié)束.我們對F右邊換一種結(jié)合方式,比如,我們又得到.如此可以一直進(jìn)行下去.事實(shí)上如果我們對F右邊是用所有類型的交換律和結(jié)合律,我們將得到所有的整數(shù);也就是說和所有的整數(shù)都相同!上面的結(jié)果已經(jīng)夠讓人驚訝了,但是還有更加令人不可思議的現(xiàn)象存在,如果我們在的表達(dá)式中令,將有.這就是說,無窮多個(gè)正數(shù)的和竟然是一個(gè)負(fù)數(shù).這些悖論刺激了人們對無窮級數(shù)收斂的思考.18世紀(jì)先后出現(xiàn)了一些級數(shù)收斂判別法則.萊布尼茲判定法;達(dá)朗貝爾級數(shù)絕對收斂判別法等等.這些說明18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家已開始注意到無窮級數(shù)的收斂問題,盡管對這一問題真正嚴(yán)格的處理要等到19世紀(jì).柯西對無窮級數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格化的處理,明確定義了級數(shù)的收斂性,并研究了級數(shù)收斂的判別條件.1.2研究現(xiàn)狀關(guān)于數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和,已有許多專家和學(xué)者對此產(chǎn)生了濃厚的興趣,他們對某些具體的題目做出了具體的解法,像定義法,解微分方程法,特殊函數(shù)的展開式,逐項(xiàng)微分積分法等等.雖然方法很多,但是都是對一些特殊的數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和,而對一般普通的數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和方法問題很少學(xué)者提及,因此在這方面我們有研究的必要,并且有很大的研究空間.數(shù)項(xiàng)級數(shù)不僅在自然科學(xué)和工程技術(shù)中能解決許多問題,同時(shí)也是研究分析數(shù)學(xué)的重要工具.其原因是很多函數(shù)能用數(shù)項(xiàng)級數(shù)表示,同時(shí)又能借助于數(shù)項(xiàng)級數(shù)來研究函數(shù)逼近和近似計(jì)算的問題.因此數(shù)項(xiàng)級數(shù)理論在分析數(shù)學(xué)或者實(shí)際應(yīng)用中是研究函數(shù)的一種必要的數(shù)學(xué)工具,因而數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和問題非常重要,我們必須掌握它,因此數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和問題就成為實(shí)際應(yīng)用中亟待解決的課題了.1.4本論文所作的工作數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和方法和收斂問題一直以來都屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域里重要的研究內(nèi)容.本文將簡略介紹一些基本的數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和的方法,然后把MATLAB編程及其拉格朗日插值法的思路應(yīng)用于p級數(shù)求和中去,著重推導(dǎo)p級數(shù)（p為大于1的非偶數(shù)）的求和的一般方法,進(jìn)而推出此類級數(shù)和的近似值.1.5研究目標(biāo)探索數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和的新方法,借助數(shù)學(xué)計(jì)算工具（MATLAB）,將計(jì)算方法的知識應(yīng)用到p級數(shù)（p為大于1的非偶數(shù)）的求和上,導(dǎo)出p級數(shù)比較普遍的計(jì)算公式1.6本論文解決的關(guān)鍵問題本論文主要解決了在工程技術(shù)中應(yīng)用到p級數(shù)和時(shí)的近似計(jì)算問題,在一定程度上簡化了計(jì)算強(qiáng)度,提高了工作效率.1.7本論文的創(chuàng)新之處本文的創(chuàng)新之處在于將拉格朗日插值法應(yīng)用到p級數(shù)（p為大于1的非偶數(shù)）求和,給出近似值的一般公式并給出相對誤差.1.8本論文的研究方法將計(jì)算方法中拉格朗日插值法應(yīng)用到p級數(shù)（p為大于1的非偶數(shù)）求和上,導(dǎo)出計(jì)算近似值的一般函數(shù).1.9本論文的內(nèi)容安排根據(jù)本論文的主要內(nèi)容,將論文分為三章:第一章緒論第二章簡要給出數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和的預(yù)備知識和求和的一些常用方法第三章詳細(xì)介紹拉格朗日插值法在級數(shù)中的應(yīng)用,并對所研究的問題做了一個(gè)簡略的,不盡成熟的說明.第二章數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和的常用方法2.1引言數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和作為一個(gè)微積分中的基本和重要的問題,從開始研究到現(xiàn)在已經(jīng)積累了很多豐富有效的方法以及許多重要的應(yīng)用.一方面很多函數(shù)可以用數(shù)項(xiàng)級數(shù)來表示;另一方面,又能借助于數(shù)項(xiàng)級數(shù)來研究函數(shù)逼近和近似計(jì)算等問題.在自然科學(xué)和工程技術(shù)中有許多問題也可以由數(shù)項(xiàng)級數(shù)來解決.《數(shù)值分析》教材中詳述講解了拉格朗日插值法,而對于p級數(shù)的求和,從華東師范大學(xué)出版的《數(shù)學(xué)分析》中可得到:對于p為偶數(shù)的p級數(shù)都有精確值,而對于p為奇數(shù)或p大于1的非整數(shù)p級數(shù)沒有精確值,因此,可以將拉格朗日插值法用于p級數(shù)的求和,給出近似值的一般公式并給出相對誤差.2.2預(yù)備知識2.2.1數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定義定義若數(shù)列,即(1)將（1）的項(xiàng)依次用加號連接起來,即(2)簡寫為稱為數(shù)項(xiàng)級數(shù),簡稱級數(shù).稱為級數(shù)（2）的項(xiàng),稱為（2）的第項(xiàng)與通項(xiàng).考察前項(xiàng)部分和或于是,級數(shù)（2）對應(yīng)數(shù)列:2.2.2數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的定義定義如果級數(shù)（2）的部分和數(shù)列收斂,即稱級數(shù)（2）收斂,并稱是級數(shù)（2）的和.記為如果部分和數(shù)列發(fā)散,稱級數(shù)（2）發(fā)散,此時(shí)級數(shù)（2）沒有和.2.2.3常見的幾種重要的級數(shù)1.等比級數(shù)（幾何級數(shù)）,則級數(shù)收斂,其和為;,,則級數(shù)發(fā)散;,,則級數(shù)發(fā)散;,則級數(shù)發(fā)散.2.調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的3.—級數(shù)收斂,發(fā)散.2.3數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的幾個(gè)重要判別法2.3.1比式判別法設(shè)是正項(xiàng)級數(shù),若eq\o\ac(○,1),則級數(shù)收斂;eq\o\ac(○,2)或,則級數(shù)發(fā)散.2.3.2根式判別法設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),且.eq\o\ac(○,1)當(dāng)時(shí),級數(shù)收斂;eq\o\ac(○,2)當(dāng)時(shí),級數(shù)發(fā)散.2.3.3積分判別法設(shè)為上非負(fù)減函數(shù),那么正項(xiàng)級數(shù)與反常積分同時(shí)收斂或發(fā)散.2.3.4比較判別法設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù),如果存在某正整數(shù),對一切有eq\o\ac(○,1)若級數(shù)收斂,則級數(shù)也收斂;eq\o\ac(○,2)若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)也發(fā)散.推論1若任意的正整數(shù),使當(dāng)時(shí)有,則有eq\o\ac(○,1)由收斂,則收斂;eq\o\ac(○,2)由發(fā)散,則發(fā)散.推論2設(shè)和兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù),若,則eq\o\ac(○,1)當(dāng)時(shí),級數(shù),同時(shí)收斂或發(fā)散;eq\o\ac(○,2)當(dāng)時(shí)且級數(shù)收斂,級數(shù)也收斂;eq\o\ac(○,3)當(dāng)時(shí)且級數(shù)發(fā)散,級數(shù)也發(fā)散.2.3.5萊布尼茨判別法交錯(cuò)級數(shù):若級數(shù)的各項(xiàng)符號正負(fù)相間,即則稱為交錯(cuò)級數(shù).若交錯(cuò)級數(shù)滿足下述兩個(gè)條件:eq\o\ac(○,1)數(shù)列單調(diào)遞減;eq\o\ac(○,2),則級數(shù)收斂.2.4幾種無窮級數(shù)求和的常用方法介紹2.4.1利用級數(shù)部分和的定義求級數(shù)的和定義:如果正項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列有極限,即則稱正項(xiàng)級數(shù)收斂,這時(shí)極限記作級數(shù)的和,并寫成:如果沒有極限,則稱正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散.例1:求正項(xiàng)級數(shù)的和解:由于,則所以故該級數(shù)收斂其和為2.4.2利用拆項(xiàng)法求級數(shù)的和拆項(xiàng)法就是將常數(shù)項(xiàng)收斂級數(shù)的一般項(xiàng)拆成多個(gè)常見的級數(shù)一般項(xiàng)和的思想即其中,是常用級數(shù).目前,我們常見的級數(shù)為:例2:求級數(shù)的和解:由于所以2.4.3逐項(xiàng)求導(dǎo)法求正項(xiàng)級數(shù)的和冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì):設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,則和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的,且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式:其中,逐項(xiàng)求導(dǎo)后得到的冪函數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.例3:求級數(shù)的和解:顯然冪級數(shù)的收斂區(qū)間為,設(shè)由于所以由于冪級數(shù)在收斂區(qū)間上是連續(xù)的,所以上式對也成立,即令,則2.4.4用傅里葉級數(shù)求級數(shù)的和傅里葉級數(shù)求和就是將函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù),然后再求和.例4:求級數(shù)的和解:設(shè)是周期為的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為:(1)將展開成傅里葉級數(shù).由傅里葉級數(shù)展開式知:,按公式有將求的系數(shù)代入:得:（2）其中又由（1）式知:在處連續(xù),且,將代入（2）式,則所以即2.4.5逐項(xiàng)積分求級數(shù)的和冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì):設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,則和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是可積的,且有逐項(xiàng)積分公式:其中,逐項(xiàng)積分后得到的冪函數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.例3:求級數(shù)的和解:設(shè)在其收斂域內(nèi)逐項(xiàng)積分得其中于是其中所以2.4.6利用泰勒級數(shù)求級數(shù)的和例6:求級數(shù)的和.解:設(shè),將展開為泰勒級數(shù)得:則2.4.7歐拉常數(shù)法求級數(shù)的和極限的值為歐拉常數(shù),設(shè)為,則有其中,利用此式,可求某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和.例7:求級數(shù)的和解:由于即2.4.8用matlab求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和用matlab進(jìn)行級數(shù)求和運(yùn)算,必須在命令窗口輸入計(jì)算命令,格式如下:>>symsn;s=symsum(,n,1,inf)例8:求級數(shù)的和例:（1）（2）（3）輸入:>>symsn;s=symsum(1/n*(n+1),n,1,inf)>>symsn;s=symsum(1/n^2,n,1,inf)>>symsn;s=symsum((-1)^(n+1)/n,n,1,inf)輸出:1Pi2/6log(2)從上例可見:如果級數(shù)收斂,我們用MATLAB計(jì)算級數(shù)和結(jié)果都是有限實(shí)數(shù),級數(shù)收斂于它.第三章p-級數(shù)的拉格朗日插值法求和3.1拉格朗日插值法3.1.1線性插值與拋物插值下面討論的簡單情形,假定給定區(qū)間及端點(diǎn)函數(shù)值,,要求線性插值多項(xiàng)式,使它滿足,.的幾何意義就是通過兩點(diǎn)與的直線,的表達(dá)式可由幾何意義直接給出（點(diǎn)斜式）（兩點(diǎn)式）由兩點(diǎn)式看出,是由兩個(gè)線性函數(shù),的線性組合得到,其系數(shù)分別為及,即顯然,及是線性插值多項(xiàng)式,在節(jié)點(diǎn)及上滿足條件:我們稱函數(shù)及為線性插值基函數(shù).同理對于的情形,此時(shí)插值函數(shù)表式:基函數(shù),及是二次函數(shù),且在節(jié)點(diǎn)上滿足條件:并且3.1.2拉格朗日插值多項(xiàng)式定義若次多項(xiàng)式在個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿足條件就稱這個(gè)次多項(xiàng)式為節(jié)點(diǎn)上的次插值基函數(shù).由及的情況,可推出次插值基函數(shù)為:其中記則所以3.2拉格朗日插值法的MATLAB源代碼functionf=Language(x,y,x0)symsp;if(length(x)==length(y))n=length(x);elsedisp('x和y的維數(shù)不相等！');return;endf=0.0;for(i=1:n)l=y(i);for(j=1:i-1)l=l*(p-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j=i+1:n)l=l*(p-x(j))/(x(i)-x(j));end;f=f+l;simplify(f);if(i==n)if(nargin==3)f=subs(f,'p',x0);elsef=collect(f);f=vpa(f,6);endendend3.3在MATLAB中輸入的命令及結(jié)果3.3.1輸入命令及顯示結(jié)果（輸入的命令主要是要計(jì)算P=2,3,4,5,6,7,8,9,10,2.5,5.5,7.5級數(shù)的精確和）>>symsn;s=symsum(1/n^2,n,1,inf)s=1/6*pi^2>>symsn;s=symsum(1/n^3,n,1,inf)s=zeta(3)>>symsn;s=symsum(1/n^4,n,1,inf)s=1/90*pi^4>>symsn;s=symsum(1/n^5,n,1,inf)s=zeta(5)>>symsn;s=symsum(1/n^6,n,1,inf)s=1/945*pi^6>>symsn;s=symsum(1/n^7,n,1,inf)s=zeta(7)>>symsn;s=symsum(1/n^8,n,1,inf)s=1/9450*pi^8>>symsn;s=symsum(1/n^9,n,1,inf)s=zeta(9)>>symsn;s=symsum(1/n^10,n,1,inf)s=1/93555*pi^10>>vpa(zeta(3.5))ans=1.1267338673170566032410988555057>>vpa(zeta(4.5))ans=1.0547075107614543032497067542863>>vpa(zeta(5))ans=1.0369277551433699890992556902347>>vpa(zeta(5.5))ans=1.0252045799546856130746164126322>>vpa(zeta(6.5))ans=1.0120058998885248513488477328792>>vpa(zeta(7))ans=1.0083492773819229260112706469954>>vpa(zeta(7.5))ans=1.005826727536522913197813977603>>vpa(zeta(9))ans=1.00200839282608211711078638472833.3.2計(jì)算拉格朗日插值函數(shù)及目標(biāo)函數(shù)值（該命令是用于計(jì)算拉格朗日插值函數(shù)及將p=3.5,4.5,5,5.5,6.5,7,7.5,9代入插值函數(shù)的近似值）>>x=[246810];>>y=[1/6*pi^21/90*pi^41/945*pi^61/9450*pi^81/93555*pi^10];>>f=Language(x,y)f=-1.48452*p+.321115*p^2-.303516e-1*p^3+.105309e-2*p^4+3.55548>>f=Language(x,y,3.5)f=1.1500>>f=Language(x,y,4.5)f=1.0438>>f=Language(x,y,5)f=1.0250>>f=Language(x,y,5.5)f=1.0182>>f=Language(x,y,6.5)f=1.0177>>f=Language(x,y,7)f=1.0163>>f=Language(x,y,7.5)f=1.0117>>f=Language(x,y,9)f=0.98813.4誤差分析由3.3.1與3.3.2知:當(dāng)P=3.5時(shí),相對誤差0.0206當(dāng)P=4.5時(shí),相對誤差0.0103當(dāng)P=5.0時(shí),相對誤差0.0115當(dāng)P=5.5時(shí),相對誤差0.0068當(dāng)P=6.5時(shí),相對誤差0.0056當(dāng)P=7.0時(shí),相對誤差0.0078當(dāng)P=7.5時(shí),相對誤差0.0058當(dāng)P=9.0時(shí),相對誤差0.01393.5結(jié)束語由以上數(shù)據(jù)的相對誤差可看出:誤差范圍大致在0.0%-2.0%之間,精度相當(dāng)高,此時(shí)拉格朗日插值函數(shù):f=-1.48452*p+.321115*p^2-.303516e-1*p^3+.105309e-2*p^4+3.55548在區(qū)間上可以滿足一般工程用途.第四章函數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和依據(jù)未知數(shù)的而定，因此在收斂域內(nèi)尋找一個(gè)新函數(shù)去刻畫級數(shù)和.4.1方程式法類似于數(shù)項(xiàng)級數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)建立方程，通過方程求解求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和.例15：計(jì)算函數(shù)項(xiàng)級數(shù)解：由函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性知識可知題中函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂半徑為，逐項(xiàng)求導(dǎo)得即：解此微分方程得：.4.2積分型級數(shù)求和積分型級數(shù)求和顯然直接求和會(huì)帶來困難，通常積分也積不出來，所以要轉(zhuǎn)化，將積分式子化簡是個(gè)想法，通過變量替換等積分技術(shù)化簡積分式子，再求級數(shù)和，所以關(guān)鍵在于處理積分式子，下面我們看個(gè)例題.例16：計(jì)算級數(shù).解：因?yàn)?，作變量替換得：再根據(jù)：得：==.所以原級數(shù)=.4.3逐項(xiàng)求導(dǎo)求級數(shù)和根據(jù)冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)收斂半徑不變原理，對原級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后化為一些易求和的冪級數(shù)，再往回求積分，從而求原級數(shù)和.易知的級數(shù)往往是通過泰勒展式或者麥克勞林展式獲得的。泰勒定理[1]：若函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)存在階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=，這里是拉格朗日余項(xiàng)即.設(shè)在區(qū)間內(nèi)等于它的泰勒級數(shù)的和的充要條件：對一切滿足不等式的，有，上式右邊稱為在處的泰勒展開式.由泰勒展開式可知右邊是個(gè)級數(shù)，而在求解級數(shù)時(shí)我們可以逆向來看，已知以級數(shù)和像求的方向行進(jìn)，找準(zhǔn)各階對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)形式，并按泰勒級數(shù)的樣子提煉出.但在實(shí)際應(yīng)用中在處的級數(shù)應(yīng)用較多，稱為麥克勞林級數(shù).而由泰勒級數(shù)的定義可以將一些基本初等函數(shù)推導(dǎo)出來，再有基本初等函數(shù)推導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的級數(shù)和形式，反過來即是求級數(shù)和.這也不失為一種求級數(shù)和的選擇.這中方式在前面函數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和的過程中已經(jīng)有所運(yùn)用，在此總結(jié)是為了形成一種較為普遍的方法.即使是級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)積分法也是基于此理論基礎(chǔ)之上的.例17：求解.解：由萊布尼茨定理可以判斷此交錯(cuò)級數(shù)收斂，且收斂區(qū)間為[-1,1],將級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)可得：(利用易知麥克勞林展式)再積分回去便得到級數(shù)和.4.4逐項(xiàng)積分求級數(shù)和通過級數(shù)逐項(xiàng)積分收斂半徑不變原理，對原級數(shù)逐項(xiàng)積分后化為一些易求的冪級數(shù)，再往回求導(dǎo)，可求出原級數(shù)和.例18：計(jì)算.解：記，對其逐項(xiàng)積分得：==，其中，所以=.4.5將原級數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級數(shù)分解為已知在數(shù)學(xué)中是一種基本的技巧，通過轉(zhuǎn)化為我們所知道的知識解決原復(fù)雜問題在很多地方都是個(gè)不錯(cuò)的想法，因此在解決級數(shù)和的問題時(shí)我們也引入這思想.我們已知在冪級數(shù)中已知的麥克勞林展式有好幾個(gè)，我們要將這幾個(gè)基本初等函數(shù)的展式牢記于心，還要學(xué)會(huì)利用拉格朗日展式的角度逆向思考級數(shù)求和的問題.我們簡單的引入一個(gè)問題來說明這種方式，主要是引入這種思想.例19：計(jì)算.解：記，利用的麥克勞林展式得：=.4.6利用傅立葉級數(shù)求級數(shù)和通過構(gòu)造函數(shù)，并通過延拓的方式求此函數(shù)的傅立葉展式，再由收斂定理求解函數(shù)值即可求出原級數(shù)和，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出傅立葉函數(shù).例20：計(jì)算.解：構(gòu)造傅立葉函數(shù)=,其中作偶延拓得:=,由此可知傅立葉系數(shù)為：，其中，，（其中）.由狄利克雷收斂條件可知：，其中現(xiàn)在令得：，進(jìn)而可得：.說明：有了以上結(jié)果數(shù)項(xiàng)級數(shù)的關(guān)于就可以套用公式了，如：利用2.6結(jié)果求解級數(shù)和，2.6的結(jié)果是一個(gè)很常用的級數(shù)和公式，因此我們可以直接拿來用.例21：計(jì)算，，其中滿足.解：任意（0，1），記=，由魏爾斯特拉斯定理，因?yàn)榧墧?shù)收斂，所以題目中級數(shù)在（0，1）上一致收斂.，，因?yàn)?，所以帶入上面式子可得級?shù)和為.4.7三角級數(shù)對應(yīng)復(fù)數(shù)求級數(shù)和三角函數(shù)與復(fù)數(shù)有天然的對應(yīng)關(guān)系，因此將其化歸到復(fù)數(shù)域上再利用復(fù)數(shù)域知識求解，從而獲得原級數(shù)的和.例22[7]：計(jì)算.解：由復(fù)數(shù)域上冪級數(shù)的麥克勞林展式可知：，及，由，對應(yīng)實(shí)部得，其中，.4.8利用三角公式化簡級數(shù)三角級數(shù)還可以利用三角公式化簡三角級數(shù)，化簡后的級數(shù)可能比原級數(shù)容易求解些，通常復(fù)雜級數(shù)求和都是要轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為能求和的方向.例23：計(jì)算.解：由三角函數(shù)的積化和差公式可知：原級數(shù)=，其中未知數(shù)滿足：.4.9針對2.7的延伸在此對2.8的延伸，并不是意味著2.8是個(gè)通用的級數(shù)和式子，只是看見了另外的一個(gè)題可以運(yùn)用2.8，在此列出是為了表明在求級數(shù)和的過程中一些復(fù)雜級數(shù)可以由另外一些級數(shù)求和的，因此遇見復(fù)雜級數(shù)求和的時(shí)候要多注意平常積累的例子，想想平時(shí)有沒有遇見類似的級數(shù)求和問題.例24：計(jì)算.解：令，由2.8可知=其中未知數(shù)滿足，令，.有，由，當(dāng)時(shí)，有，于是.4.10添加項(xiàng)處理系數(shù)例25：計(jì)算，其中.解：令，當(dāng)時(shí)，=，其中，當(dāng):時(shí)，，于是：.4.11應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算級數(shù)和定理[8]：若函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：（1）在復(fù)平面具有孤立奇點(diǎn)，，…，且這些孤立奇點(diǎn)不為整數(shù)及，除去上述奇點(diǎn)外在其它各處都解析；（2）.證明：研究圍道積分又由函數(shù)滿足留數(shù)定理的條件，則根據(jù)定理我們可以得到如下的等式：（1）由引理，csc()在上有界，即存在，使得|.于是，兩邊取極限得即：，所以，對（1）式取極限得到0=.所以.證明完畢.結(jié)論的應(yīng)用：例26[8]：求級數(shù)（不為0）的和.解：令，當(dāng)不為零時(shí)，滿足定理的兩個(gè)條件，那么.即：，當(dāng)趨近于零時(shí)，將上式變形可得：容易證得等式左邊的兩個(gè)級數(shù)是收斂的.故上式兩端取極限可得上述級數(shù)和,4.12利用函數(shù)求級數(shù)和定理1[6]設(shè)為自然數(shù)，為實(shí)數(shù)，且，則.定理2[6]設(shè)為自然數(shù)，為非負(fù)整數(shù)，是實(shí)數(shù)，大于，，有.定理3[6]設(shè)為自然數(shù)，級數(shù)在[0,1]上一致收斂于函數(shù),則.這三個(gè)定理的證明涉及函數(shù)，此處證明從略.只說明這三個(gè)定理應(yīng)用于求解級數(shù)和的問題.分析這三個(gè)定理可以看它們用于解決一些自然數(shù)連續(xù)性相乘且置于分母的級數(shù)和.將級數(shù)和中某些數(shù)賦予給定理中的相應(yīng)的、、，再將按定理套用，可以將定理左邊的級數(shù)化為右邊的積分求解.運(yùn)用定理的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出、、，只要這項(xiàng)工作完成，