《試驗(yàn)設(shè)計(jì)》課件

八章試驗(yàn)設(shè)計(jì)一、試驗(yàn)設(shè)計(jì)二、單因素實(shí)驗(yàn)法三、多因素實(shí)驗(yàn)法四、方差分析五、正交試驗(yàn)六、信噪比1八章試驗(yàn)設(shè)計(jì)1

第一節(jié)試驗(yàn)設(shè)計(jì)(優(yōu)選法)

優(yōu)選法，是一種根據(jù)生產(chǎn)和科研中的不同問題，利用數(shù)學(xué)原理，合理的安排試驗(yàn)點(diǎn)，以求迅速找到各種因素的最佳點(diǎn)的科學(xué)的實(shí)驗(yàn)方法。

最優(yōu)化方法間接最優(yōu)化方法（或稱解析最優(yōu)化方法）直接最優(yōu)化方法（或稱試驗(yàn)最優(yōu)化方法）

是把所研究問題用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述出來，即建立數(shù)學(xué)模型，然后，用解析方法求解，以達(dá)到最優(yōu)化目的。這種情況只有在對所研究問題的基本規(guī)律或?qū)ζ錂C(jī)理比較清楚的情況下才有可能

一種是通過大量實(shí)驗(yàn)，構(gòu)成一類函數(shù)關(guān)系（如正態(tài)分布、泊松分布、二項(xiàng)分布等）來逼近這些試驗(yàn)數(shù)據(jù)，再從該函數(shù)關(guān)系中求出最優(yōu)解。

另一種辦法是直接通過少量試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果的比較來求得最優(yōu)解，以達(dá)到解決問題的目的。（這就是試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的優(yōu)選法。）

優(yōu)選法的目的，就是通過合理的安排試驗(yàn)點(diǎn)，以較少的試驗(yàn)次數(shù)、較低的試驗(yàn)成本，迅速得到滿意的結(jié)果。這也就是“試驗(yàn)設(shè)計(jì)”要解決的問題。優(yōu)選法的一個特點(diǎn)就是不必事先知道所求目標(biāo)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

所有選擇最佳點(diǎn)的問題，都稱之為優(yōu)選問題，也就是最優(yōu)化問題。解決最優(yōu)化問題的方法稱為優(yōu)化方法或優(yōu)選方法。2第一節(jié)試驗(yàn)設(shè)計(jì)一、概述實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法是英國學(xué)者費(fèi)舍爾(R．A．Fisher)在20世紀(jì)20年代為使農(nóng)業(yè)試驗(yàn)合理化而提出的一種用于安排實(shí)驗(yàn)和分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。

最初，歐美各國主要將此方法應(yīng)用于生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的科學(xué)研究。第二次世界大戰(zhàn)之后，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法在工業(yè)中得到推廣和應(yīng)用。日本學(xué)者田口玄一首先將實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法成功地應(yīng)用于新產(chǎn)品的開發(fā)設(shè)計(jì).

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法主要解決的是多因素條件實(shí)驗(yàn)的問題。二、田口方法簡介（三次設(shè)計(jì)）

三次設(shè)計(jì)是日本學(xué)者田口玄一獨(dú)創(chuàng)的質(zhì)量工程學(xué)(國際上通常稱為“田口方法”)中的主要內(nèi)容，是建立在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)技術(shù)基礎(chǔ)之上的一種在新產(chǎn)品開發(fā)設(shè)計(jì)過程中進(jìn)行三段設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)方式。三次設(shè)計(jì)以實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法為基本工具，在產(chǎn)品設(shè)計(jì)上采取措施，系統(tǒng)地考慮問題，通過對零部件或元器件的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)選，以求減少各種內(nèi)、外因素對產(chǎn)品功能穩(wěn)定性的影響，從而達(dá)到提高產(chǎn)品質(zhì)量的目的。

3一、概述3（一）質(zhì)量波動的原因

引起產(chǎn)品質(zhì)量波動或引起產(chǎn)品功能偏離目標(biāo)值的原因(又稱噪聲、干擾)來自以下三個方面：

1．外噪聲。

由于環(huán)境因素與使用條件變化，會使產(chǎn)品不能正常發(fā)揮其功能。例如一臺電動機(jī)的轉(zhuǎn)速隨外部環(huán)境條件，諸如溫度、濕度、電源電壓等的波動而有較大變化時，則此電動機(jī)是抗外噪聲影響性能低下的電動機(jī)。

產(chǎn)品在貯存或使用中，由于材料老化或零部件磨損，將逐漸使產(chǎn)品功能發(fā)生變化。例如由于絕緣材料老化，潤滑油干燥，軸承磨損等原因，使電動機(jī)不能正常運(yùn)轉(zhuǎn)。這種使產(chǎn)品功能波動的原因存在于產(chǎn)品內(nèi)部，故稱為內(nèi)噪聲。

按同一規(guī)格和條件生產(chǎn)出來的一批產(chǎn)品，在同樣的環(huán)境條件下使用，各產(chǎn)品的質(zhì)量也會有差別。這種差別雖無法預(yù)測，但它們服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，因此引起這種質(zhì)量波動的原因稱為隨機(jī)噪聲。例如，同類型鐘表均能走時準(zhǔn)確，則這些鐘表的功能沒有差別，是制造質(zhì)量優(yōu)良的產(chǎn)品。一般說來，抑制隨機(jī)噪聲是制造過程質(zhì)管應(yīng)解決的問題，而減少內(nèi)、外噪聲的影響，則主要是在設(shè)計(jì)階段。三次設(shè)計(jì)正是解決后一問題的有效方法。2．內(nèi)噪聲。3．隨機(jī)噪聲。4（一）質(zhì)量波動的原因引起產(chǎn)品質(zhì)量波動或引起產(chǎn)品功能偏離目

三、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本原則

(一)重復(fù)實(shí)驗(yàn)原則重復(fù)實(shí)驗(yàn)主要是指，在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，通常應(yīng)重復(fù)實(shí)驗(yàn)兩次以上。

主要是為了對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析時能定量地評價誤差的大小，消除偶然誤差和試驗(yàn)誤差。除此之外，重復(fù)正好使一個因子的某個水平與其他因子的各水平都組合到，因而更能真實(shí)地反映該因子的水平效果，為選優(yōu)提供可靠的依據(jù)。

1、系統(tǒng)設(shè)計(jì)是指產(chǎn)品的功能設(shè)計(jì)。系統(tǒng)設(shè)計(jì)階段是應(yīng)用專業(yè)技術(shù)進(jìn)行產(chǎn)品的功能設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的階段。在一定的意義上，系統(tǒng)設(shè)計(jì)可以認(rèn)為就是傳統(tǒng)的產(chǎn)品設(shè)計(jì)。但是，它是三次設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。通過系統(tǒng)設(shè)計(jì)可以幫助我們選擇需要考察的因子及其水平。2、參數(shù)設(shè)計(jì)階段是確定系統(tǒng)中各參數(shù)的最佳組合的階段。參數(shù)設(shè)計(jì)是三次設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容。3、容差設(shè)計(jì)是參數(shù)設(shè)計(jì)的補(bǔ)充。容差也就是容許偏差或公差。確定這些參數(shù)波動的容許范圍，參數(shù)設(shè)計(jì)、容差設(shè)計(jì)要用到實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法。（二）三次設(shè)計(jì)

5三、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本原則1、系統(tǒng)設(shè)計(jì)是指產(chǎn)品的功能設(shè)計(jì)。系實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)實(shí)施實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析首先要明確實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，即追求的指?biāo)是什么，要考察的因素有哪些，以及它們的變動范圍，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮侠淼刂贫▽?shí)驗(yàn)方案。在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時，往往會存在有可能給實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來具有某種傾向性影響的因素(引起系統(tǒng)性誤差的因素)。為減少此影響，一般應(yīng)隨機(jī)地安排各實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)順序，即應(yīng)遵循實(shí)驗(yàn)順序隨機(jī)化的原則。完整的實(shí)驗(yàn)確定所考察的因素哪些是主要的，哪些是次要的，進(jìn)而確定最佳的條件組合。(二)實(shí)驗(yàn)順序隨機(jī)化原則

通過實(shí)驗(yàn)順序隨機(jī)化，將系統(tǒng)性誤差轉(zhuǎn)變?yōu)榕既恍哉`差。

(三)分塊實(shí)驗(yàn)原則

遵循分塊實(shí)驗(yàn)原則進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，就是要消除系統(tǒng)誤差對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。6實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)實(shí)施實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析首先要明確實(shí)驗(yàn)?zāi)康模醋非蟮闹笜?biāo)

第二節(jié)單因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)

單因素優(yōu)選法，已有一套比較成熟的方法，諸如對分法、0.618法、分?jǐn)?shù)法、均分法、分批試驗(yàn)法、爬山法、拋物線法等等。一、目標(biāo)函數(shù)的討論

將試驗(yàn)結(jié)果（y）和因素取值（x）寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式，就叫做目標(biāo)函數(shù)。即：目標(biāo)函數(shù)為：y=f（x）根據(jù)具體的要求，在因素的最優(yōu)點(diǎn)，就是目標(biāo)函數(shù)取最大值、最小值，或滿足某種規(guī)定的要求。

對于不能寫出目標(biāo)函數(shù)，甚至試驗(yàn)結(jié)果不能定量表示的情況，如產(chǎn)品外觀的顏色、化工產(chǎn)品的氣味等，就用結(jié)果好壞來評定試驗(yàn)結(jié)果。為了方便起見，都用目標(biāo)函數(shù)y=f（x）的形式進(jìn)行討論。優(yōu)選法可以分為單因素優(yōu)選法和多因素優(yōu)選法兩類。

當(dāng)優(yōu)選的目標(biāo)主要只考慮一個因素時，就是單因素的優(yōu)選問題；當(dāng)優(yōu)選的目標(biāo)是要考慮兩個或兩個以上因素時，就是多因素的優(yōu)選問題。7第二節(jié)單因素試驗(yàn)在討論目標(biāo)函數(shù)時，應(yīng)注意確定其影響因素的取值范圍，即包含最優(yōu)點(diǎn)的試驗(yàn)范圍。以a、b表示試驗(yàn)范圍的上、下限，則試驗(yàn)范圍為從a到b，用[a，b]表示。這時，試驗(yàn)點(diǎn)在[a，b]內(nèi)，即a≤x≤b。在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，對單因素試驗(yàn)問題的目標(biāo)函數(shù)常有以下兩種：

1、單調(diào)函數(shù)

所研究的目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)增加或減少。即試驗(yàn)的結(jié)果與因素改變方向相同時，稱為單調(diào)函數(shù)。

2、單峰函數(shù)

所研究的目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上為單峰。

即試驗(yàn)的結(jié)果只有一個最優(yōu)點(diǎn)x*，而在最優(yōu)點(diǎn)x*的左側(cè)，函數(shù)嚴(yán)格增加，在最優(yōu)點(diǎn)的右側(cè)函數(shù)嚴(yán)格減少時，稱為單峰函數(shù)。

二、對分法

對分法也叫平分法、取中法，適用于試驗(yàn)范圍[a，b]內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)為單調(diào)(連續(xù)或間斷)的情況下，求最優(yōu)點(diǎn)的方法。

即如果每作一次試驗(yàn)，根據(jù)結(jié)果可以決定下次試驗(yàn)的方向時，就可以應(yīng)用對分法。

對分法的作法是：每次取優(yōu)選因素所在試驗(yàn)范圍〔a，b〕的中點(diǎn)處c做試驗(yàn)。其計(jì)算公式是：

c＝(a+b)/28在討論目標(biāo)函數(shù)時，應(yīng)注意確定其影響因素的取值范每做一次試驗(yàn)后，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果確定下次試驗(yàn)的方向。如下次試驗(yàn)在高處，就把此次試驗(yàn)點(diǎn)c以下的一半范圍[a，c]劃占；反之，就把另一半范圍〔c，b〕劃去。這樣，每試驗(yàn)一次，試驗(yàn)范圍就縮小一半，重復(fù)地做下去，直到找出滿意的試驗(yàn)點(diǎn)為止。

例：某毛紡廠為解決色染不勻問題，優(yōu)選起染溫度、采用對分法。具體如下。原工藝中的起染溫度為40℃，升溫后的最高溫度達(dá)100℃，故試驗(yàn)范圍先確定在40℃～100℃。第一次試驗(yàn)點(diǎn)c＝(40+100)/2＝70℃，選在70℃，試驗(yàn)結(jié)果過去常有的外紅里淺現(xiàn)象大有好轉(zhuǎn)，起溫還可以增高。即將40～70℃這一段劃掉。第二次試驗(yàn)點(diǎn)選在70℃～100℃的中點(diǎn)[c＝(70+100)/2＝85℃]85℃，試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)紅里透黑，染色太深，起溫過高，應(yīng)降低，將85℃～100℃劃掉。第三次試驗(yàn)點(diǎn)選在70℃～85℃的中點(diǎn)77．5℃[(70+85)/2=77．5℃]，試驗(yàn)結(jié)果色染深淺適度，里外勻一，反復(fù)驗(yàn)證后均感滿意。為操作方便，最后選為80℃為起染溫度。對分法的優(yōu)點(diǎn)是簡單易行，但其應(yīng)用要具備兩個條件：

①要有一個現(xiàn)成的標(biāo)準(zhǔn)(或指標(biāo))來衡量試驗(yàn)的結(jié)果。②能預(yù)知該因素對指標(biāo)的影響規(guī)律，即能從一個試驗(yàn)結(jié)果直接分析該因素取值偏大還是偏小。9每做一次試驗(yàn)后，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果確定下次試驗(yàn)的方向。三、0.618法

0.618法又叫黃金分割法。這種方法是在試驗(yàn)范圍內(nèi)[a，b]首先安排兩個試驗(yàn)點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)試驗(yàn)結(jié)果，留下好點(diǎn)，去掉不好點(diǎn)所在的一段范圍，再在余下的范圍內(nèi)繼續(xù)尋找好點(diǎn)，去掉不好的點(diǎn)。如此繼續(xù)地作下去，直到找到最優(yōu)點(diǎn)為止。

0.618的作法是：第一個試驗(yàn)點(diǎn)x1安排在試驗(yàn)范圍[a，b]的0.618處，第二個試驗(yàn)點(diǎn)x2安排在試驗(yàn)范圍(a，b)的0.382處，即0.618處的對稱點(diǎn)，這時x1與x2在試驗(yàn)范圍[a，b]內(nèi)互為對稱點(diǎn)，這兩點(diǎn)的位置可用對稱公式表示如下:

x1＝a+0.618(b-a)x2＝a+b-x1

式中a為試驗(yàn)范圍的小頭，b試驗(yàn)范圍的大頭，上面對稱公式也可以寫成第一點(diǎn)＝小+0.618(大-小)第二點(diǎn)=小+大-第一點(diǎn)(前一點(diǎn))（前一點(diǎn)是經(jīng)過試驗(yàn)后留下的好點(diǎn)。）使用這種方法，一是要記住一個常數(shù)即0.618，二是記住二個公式即前面的兩個公式,用對稱原理找新試驗(yàn)點(diǎn)直到滿意為止。abx1x2小大大小x3

x1x410三、0.618法abx1x2小大大小x3x1x410例：鋁鑄件最佳澆鑄溫度的優(yōu)選試驗(yàn)。某廠鋁鑄件殼體廢品率高達(dá)55％，經(jīng)分析認(rèn)為鋁水溫度對此影響很大，現(xiàn)用0．618法優(yōu)選。優(yōu)選范圍在690℃～740℃之間。優(yōu)選過程如下:第一點(diǎn)＝690+(740-690)×0．618＝720．9≈721℃第二點(diǎn)＝690+740-721＝709℃兩點(diǎn)相比，第一點(diǎn)合格率低，故去掉721～740℃，下一段在690～721℃中優(yōu)選。第三點(diǎn)＝690+721-709＝702℃比較第二、三點(diǎn)，第三點(diǎn)合格率較高，故去掉709～721℃一段，在690～709℃中優(yōu)選。第四點(diǎn)=690+709-702＝697℃比較第三、四點(diǎn)，第四點(diǎn)較好，合格率達(dá)到95％。第五點(diǎn)＝690+702-697＝695℃比較第四、五點(diǎn)，結(jié)果四、五點(diǎn)差別不大故停止優(yōu)選。最后確定鋁水溫度在690～700℃之間，合格率由45％提高到95％。

0.618法要求試驗(yàn)結(jié)果目標(biāo)函數(shù)f(x)是單峰函數(shù)，即在試驗(yàn)范圍[a，b]內(nèi)只有一個最優(yōu)點(diǎn)d，其效果f(d)最好，比d大或小的點(diǎn)都差，且距最優(yōu)點(diǎn)d越遠(yuǎn)的試驗(yàn)效果越差。這個要求在大多數(shù)實(shí)際問題中都能滿足。但也有不能滿足的情況，此時不能用0.618法。

11例：鋁鑄件最佳澆鑄溫度的優(yōu)選試驗(yàn)。某廠鋁鑄件殼體

四、分?jǐn)?shù)法分?jǐn)?shù)法的基本原理與0.618相同，適用于試驗(yàn)范圍[a，b]內(nèi)目標(biāo)函數(shù)為單峰的情況。但與0.618法不同之處在于要求預(yù)先給出試驗(yàn)總數(shù)，或者可由已確定的試驗(yàn)范圍和精確度計(jì)算出試驗(yàn)總數(shù)的情況。

如當(dāng)試驗(yàn)點(diǎn)只能安排在一些離散點(diǎn)(非連續(xù)點(diǎn))上時，如機(jī)床的轉(zhuǎn)速有若干檔次，采用分?jǐn)?shù)法比0.618法更為方便。

分?jǐn)?shù)法中的分子是費(fèi)波那(Fibonacci)奇數(shù)序列,如用F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2，……Fn代表這個數(shù)列，則費(fèi)波那奇數(shù)滿足下列遞推關(guān)系

Fn=Fn-1+Fn-2(N≥2)當(dāng)F0＝F1＝1確定之后，費(fèi)波那奇數(shù)序列就完全確定了，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……序列(Fn)就稱為費(fèi)波那奇數(shù)序列，我們再令Gn為1/2，2/3，3/5，5/8，8/13，13/21，21/34，34/55，55/89……對應(yīng)序號ni為1,2,3,4,5,6,7,8,9……當(dāng)n無限增大時，可以證明Gn趨向0.618，因此序列(Gn)中任一個分?jǐn)?shù)都可以作為0.618的近似值。

分?jǐn)?shù)法的作法是：首先確定試驗(yàn)次數(shù)n，它等于分?jǐn)?shù)列(Gn)中某個分?jǐn)?shù)Gn的序號ni，第一個試驗(yàn)點(diǎn)用分?jǐn)?shù)Gn代替0.618，其余計(jì)算公式和步驟與0.618法完全一樣。例：機(jī)加中對轉(zhuǎn)速分成若干檔的機(jī)床進(jìn)行優(yōu)選，如車床C6140共分12檔，見表8-112四、分?jǐn)?shù)法12

表8—1

使用分?jǐn)?shù)法尋找最佳轉(zhuǎn)速作法如下：

第一步找序列(Gn)中分母大于12的最小分母相應(yīng)的Gn，本例為G5＝8/13，因此8/13是第一個試驗(yàn)點(diǎn)，即先在第八檔轉(zhuǎn)速240轉(zhuǎn)／分上做試驗(yàn)。而整個試驗(yàn)次數(shù)為G5的序號，即n＝5，第二個試驗(yàn)點(diǎn)可利用0．618法公式算出：第二點(diǎn)=1+12-8＝5即在第五檔95轉(zhuǎn)／分做試驗(yàn)，然后比較這兩轉(zhuǎn)速的好壞，若第八檔好，再使用對稱原理，第三次做試驗(yàn)第三次試驗(yàn)為第三點(diǎn)＝5+12-8＝9下一步就在第九檔350轉(zhuǎn)／分做試驗(yàn)，如此等等，最多做5次就能找到最好的轉(zhuǎn)速。從上例可得出分?jǐn)?shù)法的一般步驟：

①根據(jù)試驗(yàn)范圍確定試驗(yàn)次數(shù)。如果試驗(yàn)范圍有K個等級，則從序列(Gn)中找出不小于K的最小分母相應(yīng)的Gn，則試驗(yàn)次數(shù)等于n.②第一個試驗(yàn)點(diǎn)取在Gn的分子上。③以下的點(diǎn)按照0．618法找對稱點(diǎn)繼續(xù)做試驗(yàn)。

檔位123456789101112轉(zhuǎn)速(分/轉(zhuǎn))2332486795135190240350485690100013

五、均分法均分法是在試驗(yàn)范圍[a，b]內(nèi)，根據(jù)精度要求和實(shí)際情況、均勻地排開試驗(yàn)點(diǎn)，在每一個試驗(yàn)點(diǎn)上進(jìn)行試驗(yàn)，并相互比較，以求得最優(yōu)點(diǎn)的方法。

均分法的作法是：如試驗(yàn)范圍L＝b-a，試驗(yàn)點(diǎn)間隔為l，則試驗(yàn)點(diǎn)n為：n

例如對采用新鋼種的某零件進(jìn)行磨削加工，砂輪轉(zhuǎn)速范圍為420轉(zhuǎn)／分～720轉(zhuǎn)／分，擬經(jīng)過試驗(yàn)找出能使光潔度最佳的砂輪轉(zhuǎn)速值。為此，根據(jù)規(guī)定的轉(zhuǎn)速范圍和以往實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，可取試驗(yàn)間隔N＝30轉(zhuǎn)／分，則這時

n

即分為11個試驗(yàn)點(diǎn)，每個試驗(yàn)點(diǎn)相隔30轉(zhuǎn)／分，這樣轉(zhuǎn)速分別為420，450，480，510，540，570，600，630，660，690，720轉(zhuǎn)／分時進(jìn)行試驗(yàn)，并測得光潔度結(jié)果以進(jìn)行比較，比較結(jié)果，最后確定砂輪轉(zhuǎn)速為600轉(zhuǎn)／分時，該零件光結(jié)度最好，選用之。

這種方法的特點(diǎn)是對所試驗(yàn)的范圍進(jìn)行“普查”，

均分法的各點(diǎn)試驗(yàn)可以同時進(jìn)行，以節(jié)約時間；并且對目標(biāo)函數(shù)沒要求?？杉僭O(shè)目標(biāo)函數(shù)是任意的情況，其試驗(yàn)精度取決于試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)目的多少。14五、均分法14是將所有可能的試驗(yàn)同時安排，并根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果找出最好點(diǎn)的方法。如均分法是在前面試驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上確定下面的試驗(yàn)點(diǎn)，即不能同時進(jìn)行。如平分法、0.618法、分?jǐn)?shù)法六、分批試驗(yàn)法

為了取二者之長，可采用分批試驗(yàn)法。

分批試驗(yàn)法是將全部試驗(yàn)分幾批作，一批同時安排幾個試驗(yàn)，這樣可以兼顧試驗(yàn)設(shè)備，代價和時間上的要求。分批試驗(yàn)法適用于：

1、預(yù)先能夠確定總的可能試驗(yàn)個數(shù)，即已知試驗(yàn)的范圍和要求的精確度。2、事先限定試驗(yàn)的批數(shù)和每批的個數(shù)。如果各批試驗(yàn)數(shù)目相同，則可根據(jù)預(yù)給的要求進(jìn)行試驗(yàn)。同時試驗(yàn)法序貫試驗(yàn)法特點(diǎn)是試驗(yàn)總時間短，但試驗(yàn)次數(shù)比較多，如果每個試驗(yàn)代價不大，又有足夠的設(shè)備，是可以采用的。特點(diǎn)是總的試驗(yàn)次數(shù)少，而試驗(yàn)周期為每次試驗(yàn)時間的疊加，因此要用較多的時間。分批試驗(yàn)法15六、分批試驗(yàn)法同時試驗(yàn)法序貫試驗(yàn)法特點(diǎn)是試驗(yàn)總時間短，但試驗(yàn)以每批作兩個試驗(yàn)為例，來說明其方法如下。

若只作一批試驗(yàn)，可把試驗(yàn)平分為三等分，在兩個分點(diǎn)上作試驗(yàn)，如下圖8-2（a）所示。若作兩批試驗(yàn)，可把試驗(yàn)范圍平分為7等分，在第3、4兩點(diǎn)上作第一批試驗(yàn)，如4點(diǎn)好，則作5、6兩點(diǎn)，如3點(diǎn)好，則作1、2兩點(diǎn)，如圖8-2（b）所示。如作三批試驗(yàn)，可把試驗(yàn)范圍平分為15等分，第一次在7、8兩點(diǎn)作試驗(yàn)，如7點(diǎn)好，則把8點(diǎn)以上范圍劃去；如果8點(diǎn)好，則把7點(diǎn)以下范圍劃去，在余下的部分作第二次試驗(yàn)，見圖8-2（c）所示。仿此，可以推出更多的批試驗(yàn)來。a0124b01234567123456789101112131415c圖8-216以每批作兩個試驗(yàn)為例，來說明其方法如下。a0根據(jù)每批試驗(yàn)數(shù)，其試驗(yàn)范圍等分份數(shù)見等分份數(shù)表。17根據(jù)每批試驗(yàn)數(shù)，其試驗(yàn)范圍等分份數(shù)見等分份數(shù)表。17

例如，為了對某坦克零件在保持沖擊韌性的情況下，考慮回火溫度對強(qiáng)度的影響，并進(jìn)行優(yōu)選，試驗(yàn)范圍是200℃∽340℃，每批作兩個試驗(yàn)，分三批進(jìn)行。則由等分份數(shù)表可得試驗(yàn)范圍等分份數(shù)為

如下圖8-3所示。

圖8-3回火溫度等分份數(shù)圖

試驗(yàn)時先作7、8兩點(diǎn)，得出8點(diǎn)好，舍去7點(diǎn)以下范圍，作11、12點(diǎn)，得出11點(diǎn)好，舍去12點(diǎn)以上范圍，作10點(diǎn)與11點(diǎn)比較，得出10點(diǎn)好。這時就找到了最佳回火溫度為290℃。

20021022023024025026027028029030031032033034012345678910111213141518例如，為了對某坦克零件在保持沖擊韌性的情況下，考七、單因素試驗(yàn)方法的精確度比較

試驗(yàn)精確度是指上述各種試驗(yàn)方法得到的最優(yōu)點(diǎn)與真正最優(yōu)點(diǎn)的差異，即最大可能距離。如試驗(yàn)范圍[a，b]，長為l=b-a。如果相鄰兩試驗(yàn)點(diǎn)間距離相等，則n次試驗(yàn)后各種實(shí)驗(yàn)方法的精確度如下：

平分法：c=l/2n均分法：c=l/（n+1）0.618：c=l/（1.618）n分?jǐn)?shù)法：c=l/Fn+1

如果使精確度c=1時，作n次試驗(yàn)對應(yīng)的試驗(yàn)范圍長度可用Ln表示，稱為n次試驗(yàn)的“搜索范圍”。各種試驗(yàn)方法的搜索范圍如下：

平分法：Ln=2n均分法：Ln=n+10.618：Ln=（1.618）n分?jǐn)?shù)法：Ln=Fn+1

當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增加時，搜索范圍增加的速度稱為這些方法的“搜索效率”。均分法的搜索效率最低，搜索范圍每增加一單位，都要以增加一個試驗(yàn)為代價。平分法的搜索效率最高，由23=8，24=16，210=1024?？梢姡s增加3.33個試驗(yàn)就可以把試驗(yàn)范圍擴(kuò)大一個數(shù)量級。0.618法由（1.618）5=11.089可見，每增加5個試驗(yàn)，搜索范圍可擴(kuò)大一個數(shù)量級。分?jǐn)?shù)法也是每增加5個試驗(yàn)，搜索范圍可擴(kuò)大一個數(shù)量級。由公式知，當(dāng)已知試驗(yàn)次數(shù)n后，可以得出搜索范圍Ln。這時，如果試驗(yàn)范圍l確定，則試驗(yàn)精確度c=l/Ln隨之確定。19七、單因素試驗(yàn)方法的精確度比較由公式知，當(dāng)已知試驗(yàn)次數(shù)n后，第三節(jié)多因素試驗(yàn)法一、因素輪換法

因素輪換法又稱為“坐標(biāo)輪換法”或“從好點(diǎn)出發(fā)法”，是處理多因素問題的一種方法。

因素輪換法的原理是利用單因素方法來解決多因素的問題。簡言之，如有n個因素，就先將后n-1個因素分別固定在一個水平上，只對第一個因素x1進(jìn)行單因素優(yōu)選，得最優(yōu)值x1（1），然后將x1固定在試驗(yàn)最優(yōu)值x1（1）水平上，并保持后n-2個因素的水平不變，再用單因素方法對x2進(jìn)行優(yōu)選?？傊績?yōu)選一個因素時，將其它因素固定之。當(dāng)n個因素x1，x2……，xn依次優(yōu)選一輪后，再從x1開始進(jìn)行第二輪優(yōu)選。一般，對進(jìn)行優(yōu)選的因素常采用0.618法進(jìn)行。

例如對某產(chǎn)品液壓裝置中的單向閥的直徑、長度、復(fù)位彈簧力進(jìn)行優(yōu)選，要求在達(dá)到保證正確開閉的要求下有較大的開啟距離。根據(jù)結(jié)構(gòu)要求和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)分別確定：單向閥直徑：25∽40mm；單向閥長度：30∽60mm；復(fù)位彈簧力：0.5∽5kg。利用因素輪換法進(jìn)行優(yōu)選，按下列步驟進(jìn)行：x(2)x(1)xyy(1)y(2)020第三節(jié)多因素1、固定彈簧力為1kg，單向閥長度為40mm，優(yōu)選單向閥直徑，得最優(yōu)尺寸為36mm；2、固定單向閥直徑為36mm，復(fù)位彈簧力為1kg，優(yōu)選單向閥長度，得最優(yōu)尺寸為45mm；3、固定單向閥直徑為36mm，單向閥長度為45mm，優(yōu)選復(fù)位彈簧力，得最優(yōu)值為1.5kg。這時，已滿足設(shè)計(jì)要求，不需要在進(jìn)行試驗(yàn)。

二、隨機(jī)試驗(yàn)法（又稱統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法）

這種方法是利用概率統(tǒng)計(jì)中隨機(jī)選點(diǎn)的概念來進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，由于是從隨機(jī)選點(diǎn)的概念出發(fā)，它有以下特點(diǎn)：

1、對目標(biāo)函數(shù)沒有更多要求，可以是單調(diào)的，單峰的或者多峰的，因此，適用范圍不必受到限制。2、不論單因素問題或多因素問題均可使用，特別是因素較多時更能顯示其優(yōu)越性。3、此方法如果試驗(yàn)設(shè)備允許，可以一次同時進(jìn)行。因此，具有同時試驗(yàn)法的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)然，如果條件不允許，也可以分批或逐個安排試驗(yàn)。下面我們以雙因素優(yōu)選為例來說明隨機(jī)試驗(yàn)法。

設(shè)有兩個因素x和y，試驗(yàn)范圍是：0≤x≤100≤y≤5211、固定彈簧力為1kg，單向閥長度為40mm，優(yōu)選單向閥直徑

我們可以用一個長方形表示其范圍，在長方形中，按等分劃為50個小長方形，以每一個小長方形的中心點(diǎn)為代表，則成為50個點(diǎn)，劃分長方形多少取決于要求精度和試驗(yàn)可能性。如下圖8-4。

假設(shè)長方形范圍內(nèi)50個點(diǎn)中有10個好點(diǎn)，40個壞點(diǎn)，從10個好點(diǎn)中取其一。而10個好點(diǎn)占總點(diǎn)數(shù)的10/50=20%，那么，隨機(jī)抽取出這個點(diǎn)正好是10個好點(diǎn)之一的概率為0.2，而是壞點(diǎn)的概率為：1-0.2=0.8。如連續(xù)隨機(jī)抽取兩點(diǎn)作試驗(yàn)都是壞點(diǎn)的概率為：（0.8）2=0.64如連續(xù)隨機(jī)抽取五點(diǎn)作試驗(yàn),都是壞點(diǎn)的概率為:

（0.8）5=0.328如連續(xù)隨機(jī)抽取十點(diǎn)作試驗(yàn)都是壞點(diǎn)的概率為:

（0.8）10=0.107

y54321012345678910x圖8-422我們可以用一個長方形表示其范圍，在長方形中，按等分

這時,十次試驗(yàn)中至少有一次遇到好點(diǎn)的概率為:1-0.107=0.893

一般地,我們已知從總試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)N中選出好點(diǎn)的概率為q,則1-q為從總試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)N中選出壞點(diǎn)的概率,那么,在連續(xù)作n此試驗(yàn)中，至少有一次遇到好點(diǎn)的概率設(shè)為P，則

P=1-（1-q）n

由上式可見，當(dāng)q一定時，要求P越高，試驗(yàn)次數(shù)就越多。同樣，當(dāng)P一定時，要求q越小，試驗(yàn)次數(shù)也越多。

例如規(guī)定q=0.3，而n=10時，則有：

P=1-（1-q）n=1-（1-0.3）10=0.972

對于選取試驗(yàn)點(diǎn)，必須避免主觀因素，真正做到隨機(jī)選取，可用查隨機(jī)數(shù)表法，擲骰子法等，這樣才能得到統(tǒng)計(jì)上保證的概率，才能找到好點(diǎn)。

第四節(jié)方差分析

在生產(chǎn)、科研試驗(yàn)中，當(dāng)所控制的條件不同時，結(jié)果往往有變化。我們想弄清楚這不同的結(jié)果是由于條件不同造成的，還是有一些隨機(jī)因素干擾所致。同時，影響結(jié)果的條件常常不止一個。如對金屬零件進(jìn)行熱處理，采用不同的加熱溫度、保溫時間、冷卻方式……、所得到的硬度、強(qiáng)度等性能不同。那么加熱溫度、保溫時間、冷卻方式等數(shù)條件中，哪個對其硬度、強(qiáng)度影響顯著，哪個影響不顯著呢？方差分析正是分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)，找出影響顯著的因素的一種有效工具。23這時,十次試驗(yàn)中至少有一次遇到好點(diǎn)的概率為:23

一般將衡量生產(chǎn)或科研結(jié)果好壞的標(biāo)準(zhǔn)稱為“指標(biāo)”，用符號x、y、……表示；把影響指標(biāo)的所控制的具體條件稱為“因素”，用A、B、C、……等表示；把各因素在其變化范圍內(nèi)所處具體狀態(tài)稱為“水平”，用下標(biāo)1、2……等表示。如因素A在試驗(yàn)時取了三個具體狀態(tài)，則分別用A1、A2、A3表示。

方差分析就是分別將各因素水平不同所引起的試驗(yàn)指標(biāo)波動和誤差引起的試驗(yàn)指標(biāo)波動區(qū)別開來，并比較兩類影響，從而判斷各因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著及顯著到何種程度。在此基礎(chǔ)上可得出最優(yōu)工藝條件。也就是在數(shù)據(jù)總波動中，分清各因素變動及誤差（原因不明的變動）對數(shù)據(jù)的影響（圖8-5）因素A的變動因素B的變動因素C的變動誤差圖8-5數(shù)據(jù)總波動各因素波動——必然因素（條件變差）誤差的波動——偶然因素（隨機(jī)變差）比較并找出影響大的因素指導(dǎo)行動24一般將衡量生產(chǎn)或科研結(jié)果好壞的標(biāo)準(zhǔn)稱為“指標(biāo)”，用

方差分析廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域中，不僅對一般因素試驗(yàn)、正交試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析十分有用，而且其思想也適用于數(shù)理統(tǒng)計(jì)的許多方法。

例：為了探求合適的回火溫度以提高某種鋼材的硬度，在其它因素都加以控制的情況下，對不同的回火時間做幾次試驗(yàn)，結(jié)果為下表8-2：表8-2

由于隨機(jī)變差的存在，我們難以確定不同的回火時間是否確實(shí)對鋼材硬度有影響，最佳回火時間究竟取50分鐘好還是60分鐘好？甚至可以懷疑不同回火時間造成的條件變差是否存在，有可能這12個數(shù)據(jù)之間的差異都僅是試驗(yàn)誤差的反映。

方差分析的目的就是通過對試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的差異的分析來確定某種因素產(chǎn)生的條件變差是否存在。

如果通過方差分析，確定該試驗(yàn)的結(jié)果中，回火溫度的條件變差是存在的，那么，我們就可以找到最佳的回火溫度，提高鋼材的硬度。上例解為：回火時間(分）鋼材硬度40181187191#185（偶然變差）50200##19019818860192198#204##202#（條件變差）25方差分析廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域中，不僅對一般因素試驗(yàn)、組間平方和=4×[（186-193）2+（194-193）2+（199-193）2]=344組內(nèi)平方和=52+104+84=240總偏差平方和=240+344=584

查F分布：F0.95[(3-1),(12-3)]=F0.95(2,9)=4.26F=6.45>4.26,

組間差異顯著

方差分析是確定條件變差是否存在的一種有用的統(tǒng)計(jì)分析方法。根據(jù)分析因素的多少，一般又可分為單因素方差分析、雙因素方差分析和多因素方差分析。一、方差分析的數(shù)學(xué)原理

單因素方差分析又可稱一元配置法。如果僅考察一個因素A對特性值的影響，在試驗(yàn)時讓其它因素保持不變，而只改變因素A的狀態(tài)，這樣的試驗(yàn)叫做單因素試驗(yàn)，因素A所處的狀態(tài)叫做水平。對每個水平進(jìn)行若干次的重復(fù)試驗(yàn)，通常是當(dāng)作一個樣本來看待，也有叫做一個“處理”的。如果我們把試驗(yàn)的因素A分為n個水平，每個水平都進(jìn)行相等的r次重復(fù)試驗(yàn)，以Yij(i＝1，2，…，n)(j＝1，2，…，r)表示第i個水平進(jìn)行第j次試驗(yàn)結(jié)果的觀測值，可以得到單因素試驗(yàn)的數(shù)據(jù)表8-3。26組間平方和=4×[（186-193）2+（194-表8-3單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)表試驗(yàn)次數(shù)因素水平總和A1A2

…Ai…An1Y11Y21…Yi1…Yn12Y12Y22…Yi2…Yn2：：：：：：：

jY1jY2j…Yij…Ynj：：：：：：：

rY1rY2r…Yir…Ynr合計(jì)T1T2…Ti…TnT平均數(shù)27表8-3單因素2828組間平方和SA反映了各組樣本之間的差異程度，即由于A的不同水平所引起的系統(tǒng)誤差；組內(nèi)平方和Se則反映了試驗(yàn)過程中各種隨機(jī)因素所引起的試驗(yàn)誤差。因此，比較SA與Se的大小，就可以看出因素A不同水平對特性值的影響是否顯著。29組間平方和SA反映了各組樣本之間的差異程度，即由于A的不同水但是，SA與Se是若干項(xiàng)的平方和，其大小與參與求和的項(xiàng)數(shù)和數(shù)據(jù)本身有關(guān)，特別是項(xiàng)數(shù)。為了消除這些影響，采用平均偏差平方和來分析。平均偏差平方和稱為方差，即用各自相應(yīng)的自由度去除偏差平方和。自由度就是在偏差平方和中能夠獨(dú)立的變化的項(xiàng)數(shù)。如果平方和是由n項(xiàng)組成，它的自由度就是n-1；如果一個平方和是由幾部分的平方和組成，則總的自由度等于各部分自由度之和。SA的自由度用fA表示（n-1），Se的自由度用fe表示[n（r-1）]。

SA和Se分別除以各自的自由度fA和fe，記作SA2和Se2，分別稱為組間的方差和組內(nèi)的方差。

VA=SA2=SA/fAVe=Se2=Se/fe因?yàn)镾A和Se是相互獨(dú)立的，兩者方差之比：30但是，SA與Se是若干項(xiàng)的平方和，其大小與參與求3131二、一元配置法(略）

（一）重復(fù)數(shù)相同情況下的分析(略）（二）重復(fù)數(shù)不同的試驗(yàn)分析計(jì)算(略）三、二元配置法(略）

（一）無因素變化趨勢的二元配方法(略）（二）利用正交多項(xiàng)式的二元配置法(略）32二、一元配置法(略）32如單因素和雙因素試驗(yàn)，因素輪換法等。是少量的試驗(yàn)，即在因素的變化內(nèi)鋪開，又保持全面試驗(yàn)的某些特點(diǎn)。

第五節(jié)正交試驗(yàn)一、正交試驗(yàn)的原理解釋及基本方法全面試驗(yàn)正交試驗(yàn)三因素二水平的全面試驗(yàn)次數(shù)為2×2×2=8次三因素二水平的正交試驗(yàn)次數(shù)為4次原因：正交試驗(yàn)法的均衡分散性和整齊可比性如沈陽風(fēng)陵機(jī)械廠高溫點(diǎn)焊膠配方實(shí)驗(yàn)組，一年內(nèi)作了近900次試驗(yàn)，各項(xiàng)指標(biāo)都沒有過關(guān)，后來用正交法，一星期僅作了16次試驗(yàn)，就找到較好的配方。使這些指標(biāo)超過或達(dá)到部頒標(biāo)準(zhǔn)。33第五節(jié)正交試驗(yàn)一、正交試驗(yàn)的原理解釋及基本方法全面試驗(yàn)正正交試驗(yàn)原理解釋圖

在立方體的每個面上，都恰好有兩個標(biāo)有“○”的節(jié)點(diǎn)，而立方體的每條棱線上也恰有一個標(biāo)有“○”的節(jié)點(diǎn)。四個點(diǎn)均衡地分散在整個立方體內(nèi)。由于試驗(yàn)點(diǎn)的均衡分散性，它們代表性很強(qiáng)，能夠比較全面地反映整個立方體的大致情況。所以這四個試驗(yàn)點(diǎn)中的好點(diǎn)即使不是全面試驗(yàn)的最好點(diǎn)，也往往是相當(dāng)好的點(diǎn)。其中壞點(diǎn)也往往是全面試驗(yàn)中相當(dāng)壞的。用正交試驗(yàn)法能保證主要因素的各種可能搭配都不會漏掉。

整齊可比性是對于每列因素，在各個水平的組合中，其它因素各個位級的出現(xiàn)次數(shù)都是相同的，這保證了在各個水平的效果中，最大限度地排除了其它因素的干擾，因而能最有效地進(jìn)行比較，作出展望。34正交試驗(yàn)原理解釋圖在立方體的每個面上，都恰好有兩(一)正交試驗(yàn)的概念

正交試驗(yàn)就是一個科學(xué)的安排和分析試驗(yàn)的方法。它是利用“均衡分散性”和“整齊可比性”正交性原理，從大量的試驗(yàn)點(diǎn)中挑出適量的、具有代表性、典型的試驗(yàn)點(diǎn)以解決多因素問題的試驗(yàn)方法。它在各個專業(yè)的設(shè)計(jì)和試驗(yàn)中都得到廣泛應(yīng)用。

正交試驗(yàn)的主要優(yōu)點(diǎn)是合理安排試驗(yàn)，減少試驗(yàn)次數(shù)；找出較好的試驗(yàn)方案；找出質(zhì)量指標(biāo)與影響因素的關(guān)系；找到進(jìn)一步改進(jìn)產(chǎn)品質(zhì)量的試驗(yàn)方向等。(二)正交試驗(yàn)法的有關(guān)名詞

1．試驗(yàn)指標(biāo)。試驗(yàn)需要考察的效果稱為試驗(yàn)指標(biāo)，簡稱指標(biāo)。能夠用數(shù)量表示的稱為數(shù)量指標(biāo)，如硬度、重量、拉力等，不能用數(shù)量表示的指標(biāo)稱為非數(shù)量指標(biāo)如顏色、外觀等。

2．因素。對試驗(yàn)指標(biāo)有影響的參數(shù)稱為因素。如熱處理的淬火溫度、淬火時間、回火溫度、冷卻介質(zhì)成分等。

3.水平。因素在試驗(yàn)中所處的狀態(tài)和條件的變化可能引起指標(biāo)的波動，把因素變化的各種狀態(tài)和條件稱為因素的水平。一個因素往往要考察幾個水平，如采用不同的淬火溫度、不同的冷卻速度等。在正交試驗(yàn)中常用大寫拉丁字母A，B，C……表示因素，用阿拉伯?dāng)?shù)字1、2、3……表示水平，例如A1表示A因素1水平。35(一)正交試驗(yàn)的概念35（三）正交表的格式與特點(diǎn)

所謂正交表是有規(guī)律的，按順序排成現(xiàn)成的表格是正交試驗(yàn)的工具。

（正交表是將因素和水平搭配關(guān)系按照某種數(shù)學(xué)原理編制成的標(biāo)準(zhǔn)化的表格。)

正交試驗(yàn)是通過正交表進(jìn)行的，最簡單的正交表是L4(23)，如下表所示L4(23)的含義如下(見圖8-3)：L為正交表符號，其下角標(biāo)4為表的行數(shù)，即試驗(yàn)次數(shù)，括號中3為表的列數(shù)，即最多可安排3個因素，3下角的2為每個因素有2個水平，36（三）正交表的格式與特點(diǎn)L4(23)的含義如下(見1.什么是傳統(tǒng)機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)？傳統(tǒng)的機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)是需要手動按壓按鍵觸動PCBA上的開關(guān)按鍵來實(shí)現(xiàn)功能的一種設(shè)計(jì)方式。傳統(tǒng)機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)要點(diǎn)：1.合理的選擇按鍵的類型，盡量選擇平頭類的按鍵，以防按鍵下陷。2.開關(guān)按鍵和塑膠按鍵設(shè)計(jì)間隙建議留0.05~0.1mm，以防按鍵死鍵。3.要考慮成型工藝，合理計(jì)算累積公差，以防按鍵手感不良。傳統(tǒng)機(jī)械按鍵結(jié)構(gòu)層圖：按鍵開關(guān)鍵PCBA1.什么是傳統(tǒng)機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)？傳統(tǒng)的機(jī)械按鍵設(shè)計(jì)是需要手動按壓正交表的種類很多可以根據(jù)不同的試驗(yàn)條件和要求選擇合適的正交表合理安排試驗(yàn)，并利用正交表對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析常見的正交表有L4(23)，L9(34)，L8(27)，L18(215)，L27(315)，L8(41x24)，L18(61x36)，等等。其中L8(41x24)形式的正交表是安排不同水平試驗(yàn)的正交表，該表可安排5個因素，其中一個因素有4個水平，4個因素有2個水平，試驗(yàn)次數(shù)為8次。

正交表有如下特點(diǎn)：

(1)每一列中，每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)都相等。如L4(23)表中，第1列“1”出現(xiàn)2次，“2”也出現(xiàn)2次，第2列中“1"和“2”也是各出現(xiàn)2次：

(2)任意二列中，將同一橫行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對(即左邊的數(shù)在前，右邊的數(shù)在后)，按這一次序排出的數(shù)對，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相等，L4(23)表里的有序數(shù)對共有四種，即(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)，它們各出現(xiàn)一次。（四）正交表安排試驗(yàn)的步驟

下面通過一個實(shí)例來說明應(yīng)用正交表來安排試驗(yàn)的一般步驟和基本原理。

例：某工廠生產(chǎn)一種檢查某種疾病用的碘化鈉晶體，要求應(yīng)力越小越好，希望不超過1度，退火工藝是影響質(zhì)量的一個重要環(huán)節(jié)。現(xiàn)通過正交試驗(yàn)希望能找到降低應(yīng)力的工藝條件。正交表有均衡搭配的性質(zhì)，表現(xiàn)在：第一就是正交表中任兩行交換，或任兩列交換，仍然還是正交表;第二，將任一列中的各數(shù)碼互相對換，結(jié)果仍然是正交表。38正交表的種類很多可以根據(jù)不同的試驗(yàn)條件和要求選擇合1．明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定指標(biāo)試驗(yàn)?zāi)康模航档偷饣c晶體的應(yīng)力，應(yīng)力越小越好。試驗(yàn)指標(biāo)：應(yīng)力(度)。2．制定因素水平表挑因素、選水平、制定因素水平表，經(jīng)過考察、分析，本試驗(yàn)中有升溫速度、恒溫溫度、恒溫時間和降溫速度共4個因素，每個因素取3個水平(位級)，因素水平表如表所示。表

試驗(yàn)因素水平表因素水平升溫速度A恒溫溫度B恒溫時間C降溫速度D

130℃／小時

600

6小時1．5安培(自然冷卻)

250℃／小時

450

2小時1．7安培(自然冷卻)

3100℃／小時

500

4小時15~C／小時(降)3．選正交表、排表頭因素水平確定之后就可選用合適的正交表，然后排表頭。本例有4個因素，每個因素有3個水平，可選用L9(34)正交表，因素安排如下表；391．明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定指標(biāo)因素水平升溫速度A恒溫溫度B恒表L9(34)表頭安排L9(34)列號1234因素ABCD選用正交表的原則是正交表的列數(shù)要等于或大于因素的個數(shù)，試驗(yàn)次數(shù)應(yīng)取最少的。在排表頭時各因素可任意排在各列中，但是一經(jīng)排定，在試驗(yàn)過程中就不能再變動。4．排列試驗(yàn)條件表頭排好之后，將表中每一列的數(shù)字1，2，3看成該列中每個因素應(yīng)取的水平，每一行就是每次試驗(yàn)的條件。例如L9(34)表的第一列是升溫速度A，在1的位置上寫上A1=30℃／小時，在2的位置上寫上A2=50℃／小時，在3的位置上寫上A3=100℃／小時，其他因素也是同樣寫法(叫對號入座)，如表所示。40表L9(34)表頭安排L9(34)列號1234因表

試驗(yàn)方案上表就是具體的實(shí)施方案，表中試驗(yàn)9次，每次試驗(yàn)都是不同因素不同水平的隨機(jī)搭配，例如，第一個試驗(yàn)就是A1B1C3D2，即升溫速為30℃/小時，恒溫溫度為600℃，恒溫時間為4小時，降溫速度為1．7安培，自然冷卻。

41表試驗(yàn)方案上表就是具體的實(shí)施方

5．按試驗(yàn)方案進(jìn)行試驗(yàn)試驗(yàn)排定之后就必須嚴(yán)格按照排定的試驗(yàn)方案進(jìn)行試驗(yàn)，不能再變動，但試驗(yàn)的次序可以任意進(jìn)行．不一定按照正交表的試驗(yàn)號的順序依次試驗(yàn)，每做一次試驗(yàn)都要記下所得的結(jié)果(即達(dá)到的指標(biāo))，填入表8—5的最右一列(上例“應(yīng)力”一列中)。

6.試驗(yàn)結(jié)果分析通過不同試驗(yàn)方案的試驗(yàn)得到數(shù)個試驗(yàn)指標(biāo)，如上例得到9種(應(yīng)力)，見下表。

對實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析包括：（1）直觀分析（2）計(jì)算分析（3）極差分析（極差分析沒有考慮試驗(yàn)誤差干擾問題，它只單純反映實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的變動，沒有區(qū)分這種變動確是由因素效應(yīng)引起的還是試驗(yàn)過程中各種隨機(jī)誤差引起的，并且只進(jìn)行了主次排列，沒有較為精確的數(shù)值估計(jì)，以判斷各因素影響程度是否顯著，故極差分析較為粗略，若要提高結(jié)論精確度，應(yīng)采用方差分析法來分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。）（4）趨勢分析

425．按試驗(yàn)方案進(jìn)行試驗(yàn)42表試驗(yàn)方案(1)直觀分析法就是直觀比較試驗(yàn)方案的試驗(yàn)結(jié)果。從表中看出第5號試驗(yàn)應(yīng)力最低(0．5度)，試驗(yàn)組合是A2B2C3D3，(2)計(jì)算分析法就是通過計(jì)算看是否有更好的試驗(yàn)組合，本例是為A2B2C1D315+0.5+1=16.5極差：35-13.5=21.5(3)排出主次因素A2C1B2D3

43表試驗(yàn)方案(1)直觀分析法就是直觀比較試驗(yàn)方案的試驗(yàn)結(jié)果(4)畫趨勢圖展望下批試驗(yàn)的好條件。

44(4)畫趨勢圖展望下批試驗(yàn)的好條件。44二、有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

在多因素試驗(yàn)中，不僅各因素對試驗(yàn)結(jié)果有影響，而且因素之間聯(lián)合搭配起來還會對試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生作用。這種聯(lián)合搭配對試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)失的作用稱為交互作用。A、B兩因素的交互作用可用A×B表示。例如在橡膠生產(chǎn)過程中，選擇兩種不同的配料方案及兩不同的硫化時間，測得產(chǎn)品的抗斷強(qiáng)度見下表。表

試驗(yàn)數(shù)據(jù)表單位：Pa硫化時間配料方案

B1

B2

A1

1．500×107

1．570×107

A2

1．440×107

1．620×107

產(chǎn)生了交互作用，所以A2B2的配對必須考慮45二、有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)硫化時間

例：從礦物中提取稀土元素的試驗(yàn)設(shè)計(jì)。試驗(yàn)?zāi)康氖菍で髲哪车V提取稀土元素的最佳工藝方案，考察的指標(biāo)是稀土元素的提取量。解：1．作因素水平表，見下表。表

因素水平表因素水平酸用量(ml)A水用量(ml)B反應(yīng)時間

C添加劑

D

1

25

20

1小時有

2

20

40

2小的無2．選用正交表．根據(jù)專業(yè)知識分析，除A、B、C、D因素的獨(dú)立影響外，尚須考察交互作用A×B、A×C、B×C三種情況，而每種情況又需要占據(jù)正交表的一列，共需占3列，因此，選用L8(27)表3．作表頭設(shè)計(jì)。

需根據(jù)交互作用的正交表來排。46例：從礦物中提取稀土元素的試驗(yàn)設(shè)計(jì)。試驗(yàn)?zāi)康氖菍で蟊鞮8(27)二列間的交互作用表本表列號本表行號

1234567

注

1234567

(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)表中加括號的數(shù)字為L8(27)正交表中的列號

排出的表頭見下表列號

1

2

3

4

5

6

7因素

A

B

A×B

C

A×C

B×C

D47表L8(27)二列間的交互4．列出試驗(yàn)方案并進(jìn)行結(jié)果分析。試驗(yàn)方案和結(jié)果分析見下表。需要指出的是，交互作用不是具體因素，而是因素之間的聯(lián)合搭配作用，因此交互作用所在列的試驗(yàn)方案中是不起作用的，而是在分析試驗(yàn)結(jié)果時用的。表

試驗(yàn)方案及結(jié)果分析因素試驗(yàn)號酸用量水用量

反應(yīng)時間

添加劑

A

BA×B

CA×CB×C

D提取量

1

2

3

4

5

6

7

123456781(25)1112(20)2221(20)12(40)21122

112222111(1小時)2(2小時)121212

12122121

122112211(有)2(無)2121121．701．331．131．061．030．800．760．56

ⅠⅡ

4．623．154．263．513．754．024．023．723．594．183.754．023．724．05總和＝7．7

R

1．470．750．270．270．590．270．33各因素對結(jié)果影響程度的順序是：A、B、A×C，D、C，A×B、B×C。可見A、B、A×C是影響顯著的因素，應(yīng)作為選取適宜水平組合的依據(jù)。

484．列出試驗(yàn)方案并進(jìn)行結(jié)果分析。因素試驗(yàn)號A×B，B×C對結(jié)果的影響不顯著，故僅對A×C采用二元分析表分析，見下表。

AC

A1

A2

C1

(1．10+1．13)/2=1.12

(1．03+0．76)/2＝0.89

C2

(1．33+1．06)/2=1.20

(0．80+0．56)/2=0.68應(yīng)取A1C25．選擇較好的工藝條件通過上述試驗(yàn)，計(jì)算、分析知，某礦提取稀土元素的方案應(yīng)取A1B1C2D2，即：酸用量為25ml，水用量20ml，反應(yīng)時應(yīng)取2小時并用添加劑。三、多指標(biāo)的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)用于考察多個指標(biāo)的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)就稱為多指標(biāo)正交試驗(yàn)。兼顧各項(xiàng)指標(biāo)，找出每項(xiàng)指標(biāo)都盡可能好的主產(chǎn)條件的多指標(biāo)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)常采用綜合平衡法和綜合平分法。（一）綜合平衡法綜合平衡法是分別對各個指標(biāo)單獨(dú)進(jìn)行分析，然后再把各個指標(biāo)計(jì)算分析的結(jié)果進(jìn)行綜合平衡，進(jìn)而得出結(jié)論。現(xiàn)以下例來說明其方法步驟。49A×B，B×C對結(jié)果的影響不顯著，故僅對A×C采用

例：某橡膠廠為提高某一種橡膠配方的質(zhì)量，選定考察指標(biāo)為伸長率(％)、變形(％)、屈曲(萬次)。試確定為滿足3項(xiàng)指標(biāo)的配方條件。整個試驗(yàn)設(shè)計(jì)過程與單指標(biāo)試驗(yàn)設(shè)計(jì)相同，現(xiàn)歸納如下：

1．明確試驗(yàn)?zāi)康模_定試驗(yàn)指標(biāo)試驗(yàn)?zāi)康模禾岣吣骋环N橡膠配方的質(zhì)量。試驗(yàn)指標(biāo)：伸長率(％)越大越好，變形(％)越小越好，屈曲次數(shù)(萬次)越多越好。

2．制定因素水平(位級)表經(jīng)專業(yè)知識分析可制定因素位級表，見下表．有4個因素：促進(jìn)劑用量、氧化鋅總量、促進(jìn)劑D所占比例和促進(jìn)劑M所占比例；每個因素取4個水平(位級)。表

因素水平表50例：某橡膠廠為提高某一種橡膠配方的質(zhì)量，選定考察3．選正交表、排表頭本例有4個因素，每個因素有4個水平，可選用L16(45)正交表，因素安排如下表，該表的列數(shù)比試驗(yàn)因素多一列，因素只有4個，選用5列的正交表，最后一列可不用。表8—8L16(45)表頭排列

4．選擇好正交表后，確定試驗(yàn)計(jì)劃方案本例由于是4位級(水平)4因素的多指標(biāo)試驗(yàn)設(shè)計(jì)，且無重點(diǎn)考察因素，可以選擇L16(45)正交表來安排試驗(yàn)，整個計(jì)劃和分析見下表。513．選正交表、排表頭4．選擇好正交表后，確定試驗(yàn)計(jì)劃方案5表8—9橡膠配方試驗(yàn)計(jì)劃和結(jié)果分析5．試驗(yàn)結(jié)果分析直接比較和通過計(jì)算尋找好的條件為：(1)直接比較的好條件為：伸長率為試驗(yàn)號9，即A3B1C3D4。變形為試驗(yàn)號1，即A1B1C1D1。屈曲為試驗(yàn)號1，即A1B1C1D1.(2)計(jì)算找到的好條件為：伸長率為A3B1C4D4。變形為A1B4C1D2。屈曲為A1B1C1D3。(3)從極差R得知諸因素對各指標(biāo)的顯著性順序?yàn)椋荷扉L率為ABCD。變形為CABD。屈曲為ABDC。

52表8—9橡膠配方試驗(yàn)計(jì)劃和結(jié)果分析5．試驗(yàn)結(jié)果分析526．確定因素的適宜位級組合經(jīng)以上綜合平衡后，某橡膠的適宜配方可定為A1B1C1D3或A1B1C1D4。參考方法如下表：質(zhì)量指標(biāo)ABCDA1A2A3A4B1B2B3B4C1C2C3C4D1D2D3D4直接比較伸長率√√√√變形√√√√屈曲√√√√計(jì)算比較伸長率√√√√變形√√√√屈曲√√√√綜合42514112112因素A對伸長率、屈曲起顯著作用，對變形處第二位。根據(jù)上面兩個條件，再綜合3個指標(biāo)情況，因素A應(yīng)取位級1。因素B在伸長率、屈曲中處第二位。因素B應(yīng)取位級1;從變形指標(biāo)應(yīng)取位級4，從專業(yè)分析，因素B在變形指標(biāo)中作用小。綜合后因素B應(yīng)取位級1。因素C在變形指標(biāo)中占首位，在其余指標(biāo)中均處于次要地位。故位級由變形指標(biāo)決定，取為C1

因素D在伸長率、變形指標(biāo)中為次要因素。故可由屈曲指標(biāo)決定位級用量，可取為D3或D4。伸長率為ABCD。變形為CABD。屈曲為ABDC。本例只是對計(jì)算結(jié)果綜合平衡536．確定因素的適宜位級組合質(zhì)量ABCDA1A2A3A4B1B7．畫趨勢圖，展望進(jìn)一步的好條件趨勢圖見下圖。由趨勢圖可展望下批試驗(yàn)：因素A應(yīng)在A1位級附近取位級；因素B應(yīng)在B1位級附近取位級；因素C應(yīng)在C1位級附近取位級；因素D應(yīng)在D1或D4位級附近取位級。547．畫趨勢圖，展望進(jìn)一步的好條件由趨勢圖可展望下批試驗(yàn)（二）綜合評分法

所謂綜合評分法，是首先對各個指標(biāo)分別挑選較優(yōu)試驗(yàn)方案，然后在指標(biāo)的矛盾中比較主次，對因素、水平(位級)進(jìn)行平衡，尋找統(tǒng)籌兼顧的試驗(yàn)方案。實(shí)質(zhì)上綜合評分法也是一種綜合平衡的方法，但這個方法不是把平衡放在最后，而是對每次試驗(yàn)進(jìn)行指標(biāo)間的綜合比較．然后根據(jù)綜合的指標(biāo)效果給予評分。

具體做法是把多指標(biāo)綜合成用得分表示的單一指標(biāo)，按得分進(jìn)行排隊(duì)，分?jǐn)?shù)較高的方案就是較優(yōu)方案。綜合評分的關(guān)鍵是評分，這個評分是指標(biāo)間矛盾比較的綜合過程，所以既要反映各指標(biāo)的要求，也要反映指標(biāo)的重要程度。下面通過一個例子來加以說明。

例：某廠對銅基合金進(jìn)行鍍銀，基體材料是：鉛青銅QAl，鉛黃銅HPb，錫青銅QSn，為提高鍍銀光亮度，決定進(jìn)行正交試驗(yàn)。

1．明確試驗(yàn)?zāi)康?，定指?biāo)試驗(yàn)?zāi)康模禾岣咤冦y光亮度。試驗(yàn)指標(biāo)：觀察3種材料浸銀層光亮度。這是個品質(zhì)指標(biāo)，均用百分制進(jìn)行質(zhì)量評定。55（二）綜合評分法552．定因素水平表通過對QAl、HPb、QSn所含主要化學(xué)成分的理論分析，認(rèn)為H2S04、HNO3、HCl組成的混酸溶液能夠與其發(fā)生作用，特別是HNO3對QAl可能有明顯效果。從生產(chǎn)、勞?？紤]，溫度盡可能接近室溫，因而確定考察H2S04、HNO3、HCl濃度和溫度4個因素。根據(jù)預(yù)備試驗(yàn)和以往經(jīng)驗(yàn)決定各選三個水平，具體選法如下表所示。表

試驗(yàn)因素水平表HCl的0水平是為了考察不加HCl的情況

562．定因素水平表HCl的0水平是為了考察不加HCl的情況53.選定正交表安排試驗(yàn)根據(jù)因素和水平的數(shù)量，決定選用正交表L9（34）；試驗(yàn)安排見下表。表

試驗(yàn)安排及試驗(yàn)結(jié)果分析表直觀分析第4號試驗(yàn)評分最高(98．3分)，表明A1B2C2D1是個較好的工藝條件，只是光亮度還不夠理想。極差分析得到的較好工藝條件為A1B2C2D3.

從極差分析結(jié)果看，主次因素的排列順序是DCAB。573.選定正交表安排試驗(yàn)直觀分析第4號試驗(yàn)評分最高(98．5．畫趨勢圖展望較優(yōu)的工藝條件從趨勢圖以及實(shí)際情況分析，D因素所以極差大，并不是因?yàn)镠Cl水平的變化對試驗(yàn)結(jié)果影響較大而引起的，而是由于溶液中有沒有HCl的問題。如果試驗(yàn)中都有HCl，不管用4mol／L，還是用2mol／L，極差都是很小(Ⅲ-Ⅰ=248．3-246．7=1．6)，所以確認(rèn)主次因素的排列應(yīng)為CABD，同時也得出結(jié)論不加HCl不行，由趨勢圖可展望較優(yōu)的工藝條件為：

(1)HCl固定在用量4mol／L上：

(2)溫度在40℃和30'C。

(3)H2S04試用比340mol／L更低的濃度。

(4)HNO3試用比80mol／L更低的濃度。585．畫趨勢圖展望較優(yōu)的工藝條件從趨勢圖以及實(shí)際情況四、水平不等的正交試驗(yàn)在生產(chǎn)實(shí)踐中，會遇到由于設(shè)備、原料或生產(chǎn)條件的限制，使得在考慮試驗(yàn)方案時，某些因素水平個數(shù)的選擇受到制約，因而要比其他因素的水平數(shù)少。另外，有的試驗(yàn)，某些因素水平又要多考慮一些，等等，這就需要解決水平數(shù)不等的試驗(yàn)問題。

處理這類問題有兩種辦法：一是直接使用水平數(shù)不等的正交表，另一是擬水平法，即在等水平的正交表內(nèi)，安排不等的試驗(yàn)：（一）直接使用水平數(shù)不等的正交表例：電泳涂漆工藝試驗(yàn)。

1.試驗(yàn)指標(biāo)電泳涂漆膜均勻、平整光滑色勻。這是多指標(biāo)試驗(yàn)，通過綜合評分化為單指標(biāo)得分，采取10分制，得分越高越好。

2．確定因素水平根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，固體份含量A是影響電泳涂漆的主要因素，是考慮的重點(diǎn)，取4個水平；其他4個因素如電壓、漆液溫度、pH值、陰陽極間距離均為2水平。59四、水平不等的正交試驗(yàn)59表

因素水平表3．選定正交試驗(yàn)表安排試驗(yàn)考察因素5個，但水平不等，一個因素4水平，4個因素2水平，可以直接選用L8(41×24)正交表來安排試驗(yàn)。試驗(yàn)安排見下表。4.試驗(yàn)結(jié)果分析60表因素水平表3．選定正交試驗(yàn)表安排試驗(yàn)60表

試驗(yàn)安排及試驗(yàn)結(jié)果分析表(1)直觀分析。從8次試驗(yàn)的綜合得分看，第2號和第8號得分最高，都為10分，相應(yīng)的較優(yōu)水平組合為：

A1B2C2D2E2，即固體份含量為8％，電壓為80V，漆液溫度為30℃，pH值為8．5，陰陽極間距為100mm。

A4B2C1D1E2，即固體份含量為17％，電壓為80V，漆液溫度為20℃．pH值為7．5，陰陽極間距為100mm，(2)計(jì)算，需計(jì)算出各因素、各水平的相應(yīng)的平均指標(biāo)值Ki(Ki由水平重復(fù)數(shù)除各水平的得分之和，i為水平的編號)。水平重復(fù)數(shù)是指在整個試驗(yàn)中，該因素的該水平參加試驗(yàn)的次數(shù)。計(jì)算選優(yōu)的水平組合為：

A4B2C2D2E2（3）因素主次（見表）（10+9）/2=9.5（10+6+8+10）/4=8.561表試驗(yàn)安排及試驗(yàn)結(jié)果分析表(1)直觀分析。從8次試驗(yàn)的（二）擬水平法在試驗(yàn)中，由于不同水平的因素而找不到合適的正交表，或者即使有合適的正交表，但需要做次數(shù)很多的試驗(yàn)，這時就采用擬水平法。

所謂擬水平法，是在因素水平數(shù)不等而選用等水平的正交表安排試驗(yàn)，對水平較少的因素虛擬一個或幾個水平，使之與正交表相應(yīng)列的水平數(shù)相等的方法，這種虛擬的水平稱為擬水平。例：某廠某車間對影響產(chǎn)品的質(zhì)量原因進(jìn)行研究。

1．試驗(yàn)指標(biāo)產(chǎn)品不合格率Y，越小越好。

2.確定因素水平影響產(chǎn)品質(zhì)量的因素，當(dāng)時主要有3個：①操作方式，該車間采用兩種操作方式(水平2)。②班組成員的技術(shù)水平，當(dāng)時有3個等級(水平3)。③產(chǎn)品的種類，該車間產(chǎn)品分大、中、小3類(水平3)。因素水平表見下表。62（二）擬水平法62表8—15因素水平表3．選正交試驗(yàn)表安排試驗(yàn)因?yàn)?個因素中有2個因素水平為3，另1個因素水平為2，若選用不等水平正交表L18(2×37)，試驗(yàn)次數(shù)為18次，試驗(yàn)次數(shù)太多，空列也有5列，不合適；若選用正交表L9(34)，試驗(yàn)次數(shù)減少一半，且只有一空列，較為合適，但因素A只有2個水平，少1個水平，怎么辦呢?根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為操作方式I比較好，把它重復(fù)一次充當(dāng)操作方式的Ⅲ水平。這樣，因素A在形式上就變成了3水平的因素了。A3為虛擬的水平，于是這3個因素均為3水平。故選用正交表L9(34)設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案。試驗(yàn)安排及試驗(yàn)結(jié)果見下表。63表8—15因素水平表3．選正交試驗(yàn)表安排試驗(yàn)63表8—164．試驗(yàn)結(jié)果分析

(1)直觀分析。產(chǎn)品不合格率最小的是第8號試驗(yàn)