半2-覆蓋離散性刻畫可解群

半2-覆蓋離散性刻畫可解群

這里討論的組是有限組。對于組g，（g）表示素因子集，mg表示m是g的最大子組。如果沒有特殊描述，其他符號是標準的。有限群G冪零當且僅當它的每個極大子群正規(guī);有限群G冪零當且僅當G的每個Sylow子群正規(guī).對于可解群,人們一直在尋求類似的刻畫,并取得了豐富成果.文獻分別從c-正規(guī)性和覆蓋遠離性兩方面對群的可解性進行了深入研究,目前將刻畫可解性所需的具有某種性質(zhì)的子群個數(shù)降到最少,已成為許多學者的研究重點.最近,樊惲等引入了子群半覆蓋遠離性的概念,將c-正規(guī)和覆蓋遠離性進行了統(tǒng)一的推廣,同時利用該性質(zhì)對可解群進行了很好地刻畫.進一步研究工作可見文獻.本文利用子群的另一個較半覆蓋遠離性更弱的性質(zhì),即半2-覆蓋遠離性刻畫可解群.設(shè)L是群G的子群.若G存在一個主群列,使得對該列的每個偶階主因子H/K,恒有LH=LK或L∩H=L∩K,則稱L是G的半2-覆蓋遠離子群,或稱L在G中具有半2-覆蓋遠離性質(zhì).由于奇數(shù)階群可解,因此,半2-覆蓋遠離性質(zhì)具有重要意義.1h為覆蓋離子群設(shè)G是群.G的任一正規(guī)子群列的因子群稱為G的正規(guī)因子.設(shè)H≤G,M/N是G的一個正規(guī)因子.若HM=HN或等價地HN≥M,則稱H覆蓋M/N;若H∩M=H∩N,即H∩M≤N,則稱H遠離M/N.顯然,H覆蓋M/N當且僅當HN/N≥M/N,而H遠離M/N當且僅當HN/N∩M/N=1.此外,容易驗證:若H覆蓋(或遠離)G的正規(guī)因子M/N,則H也覆蓋(或遠離)G的任一滿足N≤N1≤M1≤M的正規(guī)因子M1/N1.定義1.1設(shè)H是群G的子群.(1)若H覆蓋或遠離G的每個主因子,則稱H在G中具有覆蓋遠離性質(zhì),也稱H是G的覆蓋遠離子群;(2)若G存在一個主群列,使得H覆蓋或遠離該列的每個主因子,則稱H在G中具有半覆蓋遠離性質(zhì),也稱H是G的半覆蓋遠離子群;(3)若G存在一個主群列,使得H覆蓋或遠離該列的每個偶階主因子,則稱H在G中具有半2-覆蓋遠離性質(zhì),或稱H是G的半2-覆蓋遠離子群.顯然,半覆蓋遠離性質(zhì)是半2-覆蓋遠離性質(zhì),但其逆不真.因此,半2-覆蓋遠離性質(zhì)是半覆蓋遠離性質(zhì)的推廣.例1.1設(shè)H=P〈α〉是27階初等交換群P與其13階自同構(gòu)群〈α〉的半直積.顯然H是奇數(shù)階非超可解群.令G=H×T是H與2階群T的直積,將G的正規(guī)列1<T<G加細為G的一個主群列1<T<…<G.因T/1是該主列唯一的一個偶階主因子,故G的每個子群是G的半2-覆蓋遠離子群.文獻定理3.1斷言一個有限群超可解的充要條件是它的每個Sylow子群的極大子群是半覆蓋遠離子群,注意到G非超可解,故P存在一個極大子群M,使得M不是G的半覆蓋遠離子群.因此,半2-覆蓋遠離子群未必是半覆蓋遠離子群.但若G是可解群,則G的每個極大子群和每個Hall子群均為G的覆蓋遠離子群,當然這些子群也是G的半2-覆蓋遠離子群.引理1.1設(shè)H是群G的半2-覆蓋遠離子群,N是G的正規(guī)子群.若N≤H,則H/N是G/N的半2-覆蓋遠離子群.類似于文獻中引理2.5的證明,有:引理1.2設(shè)H和K均為群G的子群,且H≤K.若H是G的半2-覆蓋遠離子群,則H也是K的半-2覆蓋遠離子群.引理1.3令p是群G的階的最大素因子,P∈Sylp(G),則或者Ρ?ˉG,或者G的包含NG(P)的極大子群具有合數(shù)指數(shù).引理1.4若有限群G=MN是一個可解的極大子群M與一個正規(guī)子群N的半直積,則G可解.引理1.5令p是群G的階的最小素因子,P∈Sylp(G).若G與A4無關(guān),且|Ρ|≤p2,則G是p-冪零.2g非p設(shè)G是群,p是一個素數(shù).為方便,令Fp(G)={Μ|Μ<?G且Μ包含G的一個Sylowp-子群}；Focnp(G)=Focn(G)∩Fp(G),其中Focn(G)是G的滿足如下條件極大子群M的集:(1)M非冪零;(2)|G∶Μ|是合數(shù);(3)M≥NG(P),P是G的某個奇數(shù)階的Sylow子群.定理2.1設(shè)G是群,則下列條件等價:(1)G可解;(2)對任意的M∈Focnp(G),M是G的半2-覆蓋遠離子群,其中p是|G|的最大素因子;(3)G的每個Sylow子群是G的半2-覆蓋遠離子群;(4)G存在一個可解的極大子群M,使得M是G的半2-覆蓋遠離子群;(5)G存在一個可解的2-極大子群L,使得L是G的半2-覆蓋遠離子群.證明:顯然當G可解時,條件(2)、(3)和(4)成立,因此,只需證明由(1)可得到(5),反之由條件(2)、(3)、(4)和(5)中的每個均可推出(1)即可.(1)?(5).設(shè)G是可解群.若G=1或G是素數(shù)階群,則G沒有2-極大子群,此時(5)自然成立.現(xiàn)設(shè)G不是上述情形,證明G存在一個2-極大子群是G的正規(guī)子群.令M是G的一個極大正規(guī)子群,易見|G∶Μ|=p,其中p是素數(shù),且M≠1.取M/L是G的一個主因子,則存在素數(shù)q,使得M/L是初等交換q-群.可斷言L是G的2-極大子群.事實上,若q=p,則G/L是p-群.由M/L的極小性可得M/L是p階群,故L是G的2-極大子群.若q≠p,令T/L∈Sylp(G/L),則|Τ/L|=p.注意到G/L=(T/L)(M/L),再次由M/L的極小性得T/L是G/L的極大子群,進而L是G的2-極大子群,(5)獲證.(2)?(1).設(shè)G滿足條件(2),但G非可解.選G的正規(guī)子群N,使得ˉG=G/Ν非可解且N具有極大可能的階.令ˉU=U/Ν是ˉG的一個極小正規(guī)子群.因ˉG/ˉU?G/U,故ˉG/ˉU可解.注意到全體可解群構(gòu)成一個群系,易見ˉU是ˉG的唯一極小正規(guī)子群,且ˉU非可解,進而ˉU是偶數(shù)階群.令q是|ˉU|的最大素因子,則2<q≤p.設(shè)ˉQ∈Sylq(ˉU).取ˉR=RΝ/Ν∈Sylq(ˉG),使得ˉQ=ˉU∩ˉR,其中R∈Sylq(G).由ˉU的極小性知,ˉG有極大子群ˉΜ=Μ/Ν,使得ΝG(R)Ν/Ν≤ΝˉG(ˉR)≤ΝˉG(ˉQ)≤ΝˉG(Ζ(J(ˉQ)))≤ˉΜ,其中J(ˉQ)是ˉQ的Thompson子群.再由Frattini推理可得ˉG=ˉU?ˉΜ.若ˉΜ冪零,則由Glauberman-Thompson定理知ˉU是q-冪零,從而ˉU=ˉQ,矛盾.因此,ˉΜ非冪零,從而M非冪零.又因|G∶Μ|=|ˉG∶ˉΜ|=|ˉU∶ˉU∩ˉΜ|且ΝˉU(ˉQ)≤ˉU∩ˉΜ,據(jù)引理1.3知|G∶Μ|是合數(shù).若素數(shù)r||G∶Μ|,則必r||ˉU∶ˉU∩ˉΜ|.但q?|ˉU∶ˉU∩ˉΜ|,因此r<q,故p?|G∶Μ|,從而M∈Focnp(G).由條件(2)及引理1.1知,ˉΜ是ˉG的半2-覆蓋遠離子群,特別地,Μˉ覆蓋或遠離Uˉ/1.由于1≠Q(mào)ˉ≤Uˉ∩Μˉ,則Μˉ≥Uˉ,進一步有Gˉ=Μˉ?Uˉ=Μˉ,矛盾.(3)?(1).不失一般性,設(shè)G是偶數(shù)階群.令P∈Syl2(G),由條件知P覆蓋或遠離G的某個主群列的任一個偶階主因子.若H/K是該列的一個偶階主因子,注意到PK/K∈Syl2(G/K),有PK/K∩H/K≠1,故PK/K≥H/K,則H/K是2-群.于是,G存在一個主群列,其中的每個主因子或是2-群或是2′-群,所以G可解.(4)?(1).設(shè)M是G的一個可解的極大子群,且M在G中具有半2-覆蓋遠離性質(zhì),則G存在一個主群列,使得M覆蓋或遠離該列的每個偶階主因子.令H/K是該列的任一個偶階主因子.若MK/K≥H/K,則H/K可解.若MK/K∩H/K=1,則必有K≤M,從而M/K是G/K的一個可解的極大子群.由引理1.4知G/K可解,當然H/K可解.于是,G有一個主群列,其中的每個偶階主因子可解,故G可解.(5)?(1).設(shè)L是G的可解的2-極大子群,且L在G中具有半2-覆蓋遠離性質(zhì),則G存在極大子群M,使得L<·M.由引理1.2知,L是M的半2-覆蓋遠離子群.由于已證(1)與(4)等價,故M是可解群.此外,G有主群列1=G0<G1<?<Gn=G,(2.1)使得L覆蓋或遠離該列的每個偶階主因子.不失一般性,設(shè)G是偶數(shù)階群.令k是滿足如下條件的非負整數(shù):Gk是奇數(shù)階群,而Gk+1/Gk是偶階群.記Gˉi=Gi/Gk,i=k,k+1,?,n.易見,列1=Gˉk<Gˉk+1<?<Gˉn=Gˉ(2.2)是Gˉ的一個主列,且LGk/Gk覆蓋或遠離該列的每個偶階主因子.因此,只需證明Gˉ是可解群.若Gk?M,則G=GkM是可解的,故可設(shè)Gk≤M.若Gk?L,則M=LGk,從而M/Gk是Gˉ的可解的且具有半2-覆蓋遠離性質(zhì)的極大子群.又由(1)與(4)的等價性得Gˉ可解.因此,進一步可設(shè)Gk≤L.令Μˉ=Μ/Gk,Lˉ=L/Gk.顯然Lˉ≥Gˉk+1或Lˉ∩Gˉk+1=1.若Lˉ≥Gˉk+1,亦即L≥Gk+1,則Gk+1可解,并由引理1.1知,L/Gk+1是G/Gk+1的可解的且具有半2-覆蓋遠離性質(zhì)的2-極大子群.由歸納法知G/Gk+1可解,于是,G可解.設(shè)Lˉ∩Gˉk+1=1.若Μˉ∩Gˉk+1=1,則由引理1.4得Gˉ是可解的.下設(shè)Μˉ∩Gˉk+1≠1.令Qˉ=Μˉ∩Gˉk+1.因Qˉ?ˉΜˉ,且Lˉ∩Qˉ=1,有Μˉ=Lˉ?Qˉ,且Qˉ是Μˉ的一個極小正規(guī)子群.于是,存在素數(shù)p,使得Qˉ是初等交換p-群.若ΝGˉk+1(Qˉ)?Μˉ,則ΝGˉ(Qˉ)≥?Μˉ,ΝGˉk+1(Qˉ)?=Gˉ,即Qˉ?ˉGˉ,從而由Gˉk+1的極小性得Gˉk+1=Qˉ≤Μˉ,矛盾,所以ΝGˉk+1(Qˉ)≤Μˉ.進一步,有ΝGˉk+1(Qˉ)≤Μˉ∩Gˉk+1=Qˉ.由此知Qˉ∈Sylp(Gˉk+1),并有ΝGˉk+1(Qˉ)=CGˉk+1(Qˉ).由Burnside定理,Gˉk+1是p-冪零群,從而Gˉk+1=Qˉ≤Μˉ,且Μˉ=Lˉ?Gˉk+1,特別地,Μˉ覆蓋Gˉk+1/1.令Gˉi/Gˉi-1是列(2.2)的任一偶階因子,其中i≥k+2.若Lˉ覆蓋Gˉi/Gˉi-1,則顯然Μˉ也覆蓋Gˉi/Gˉi-1.若Lˉ遠離Gˉi/Gˉi-1,則Lˉ∩Gˉi≤Gˉi-1,于是,Μˉ∩Gˉi=(Lˉ?Gˉk+1)∩Gˉi=(Lˉ∩Gˉi)Gˉk+1≤Gˉi-1,即Μˉ遠離Gˉi/Gˉi-1.說明Μˉ是Gˉ的可解的且具有半2-覆蓋遠離性質(zhì)的極大子群.再次應(yīng)用(1)與(4)的等價性得Gˉ是可解的.推論2.1群G可解當且僅當對任意的M∈Focn(G),M是G的半覆蓋遠離子群.推論2.2偶數(shù)階群G可解當且僅當G的Sylow2-子群是G的半2-覆蓋遠離子群.推論2.3若群G存在一個可解的2-極大子群L,使得L是G的半覆蓋遠離子群,則G是可解群.推論2.4若群G的每個2-極大子群是G的半覆蓋遠離子群,則G可解.證明:若G不存在2-極大子群,則G可解.現(xiàn)設(shè)G存在2-極大子群.令M是G的一個極大子群.由引理1.2知M的每個極大子群在M中具有半2-覆蓋遠離性質(zhì).由定理2.1知M可解,進而M的每個極大子群可解.又由定理2.1知G可解.推論2.5設(shè)M是群G的極大子群.若M的每個極大子群是G的半2-覆蓋遠離子群,則G可解.下面推廣推論2.4.設(shè)G是群.以下用L(G)表示G的指數(shù)至少可被2個不同素數(shù)整除的2-極大子群的集.引理2.1若M是非可解群G的一個極大子群,則存在L<·M,使得L∈L(G).證明:因G非可解,有M≠1,因此M存在極大子群.若|G∶Μ|可被2個不同的素數(shù)整除,則M的任一極大子群L滿足要求.現(xiàn)設(shè)|G∶Μ|=pk,其中p是某個素數(shù),則|π(Μ)|≥2.若p∈π(M),則取L是M的一個極大子群,使得L包含M的一個Sylowp-子群;若p?π(M),則取L是M的任一個極大子群.易見,無論何種情形,總有L∈L(G).推論2.6若群G的每個2-極大子群具有素數(shù)冪指數(shù),則G可解.定理2.2設(shè)G是群.若對于每個L∈L(G),L是G的半2-覆蓋遠離子群,則G可解.證明:假設(shè)定理不成立,取G是極小階反例.令N是G的一個極小正規(guī)子群.由引理1.1知G/N滿足定理條件,故G/N可解.易見,N還是G的唯一的極小正規(guī)子群,且N不可解,特別地N是偶階群.令P是N的一個Sylow子群.由Frattini推理可得G=NM,其中M是G的包含NG(P)的極大子群.又由引理2.1知M存在極大子群L,使得L∈L(G).由定理條件知L是G的半2-覆蓋遠離子群,因L?N,故L∩N=1.注意到1≠Ρ≤Μ∩Ν?ˉΜ,有M=L(M∩N).此外,由定理2.1知L是非可解群,因此,|π(L)|≥3.設(shè)q是|G∶Μ|的一個素因子.若q∈π(L),則取L*是M的一個極大子群,使得L*≥Q(M∩N),其中Q∈Sylq(L);若q?π(L),則令L*是M的任一個包含M∩N的極大子群.因此,無論何種情形,總有L*∈L(G),且L*∩N≥P.但L*是G的半2-覆蓋遠離子群,故L*≥N,進而M≥N,矛盾.定理2.3設(shè)A是偶階群G的滿足條件|G∶A|為2′-數(shù)的子群.若A的所有極大子群都是G的半2-覆蓋遠離子群,則G可解.證明:由引理1.2及定理2.1知,A是可解群.若A?Syl2(G),令M是A的極大子群,使得M包含G的一個Sylow2-子群P.顯然M可解,且由條件知M覆蓋或遠離G的某個主群列的任一個偶階主因子.若H/K是該列的一個偶階主因子,注意到PK/K∩H/K≠1,則MK/K≥H/K,故H/K是可解群,由此得G可解.現(xiàn)設(shè)A∈Syl2(G).令P1是A的一個極大子群,則G有一個主群列,使得P1覆蓋或遠離該列的每個偶階主因子.設(shè)H/K是該列的一個偶階因子.若P1覆蓋H/K,則H/K是2-群.若P1K/K∩H