談函數(shù)極限的求法

談函數(shù)極限的求法摘要：極限是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要組成部分，它以各種形式出現(xiàn)且貫穿在全部內(nèi)容之中,因此，掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵，而函數(shù)極限的求法可謂是多種多樣.首先本文先給出了函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)；其次歸納和總結(jié)了函數(shù)極限的若干求法，并舉例分析；人們對求一元函數(shù)極限的研究比較多，找到一些十分有效的方法，但對二元函數(shù)極限則重視不夠。本文以二元函數(shù)為例，介紹幾種求極限的方法。函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，二者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。比如，極限的四則運(yùn)算法則相同的，但是隨著變量個(gè)數(shù)的增加，二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)極限變得要復(fù)雜得多。但現(xiàn)教材、參考書關(guān)于二元函數(shù)極限求法不夠詳細(xì)，不便于初學(xué)者的學(xué)習(xí)與掌握，就此問題進(jìn)行討論。這篇論文主要對二元函數(shù)極限的求法與技巧進(jìn)行了探討。并通過具體實(shí)例子給出了求二元函數(shù)極限的幾種方法和二重極限不存在的判斷方法本文對函數(shù)極限的幾種方法進(jìn)行了歸納。本文在計(jì)算一元函數(shù)極限方法的基礎(chǔ)上,包括夾逼準(zhǔn)則、極坐標(biāo)、對數(shù)法、兩個(gè)重要極限、洛必達(dá)法則討論了二元函數(shù)極限進(jìn)行對比歸類，提出了一些求二元函數(shù)極限的技巧。關(guān)鍵詞：極限；導(dǎo)數(shù)；洛必達(dá)法則；泰勒公式。

OnthemethodofsolvingthelimitoffunctionZHANGAihuaAbstract：Thelimitisanimportantpartofmathematicalanalysis,itappearsinvariousformsandthroughouttheentirecontents,therefore,solvingmethodisthekeytograspthelimitsoflearningofmathematicalanalysis,andthemethodisthelimitoffunctionisvarious.Thispaperfirstgivesthedefinitionandpropertiesoffunctionlimit;forsomethesecondmethodsummarizesthefunctionlimit,andtheexampleanalysis;moreresearchonthelimitofafunction,findsomeeffectivemethod,butthelimitoftwoyuanisnotenoughattentionfunction.Inthispaper,thetwoelementfunctionistakenasanexampletointroduceseveralmethodsforfindingthelimit.Thelimitoffunctionisaveryimportantcontentinhighermathematics.Thelimitofthetwoelementfunctionisdevelopedonthebasisofthelimitoftheonefunction,andtherearebothconnectionsanddifferencesbetweenthetwo.Forexample,thefouroperationrulesofthelimitarethesame,butwiththeincreaseofthenumberofvariables,thelimitoftwoelementfunctionismuchmorecomplicatedthanthelimitofonevariablefunction.However,theteachingmaterialandthereferencebookaboutthelimitoftwofunctionsarenotdetailedenough,whichisnotconvenientforthebeginnerstolearnandmaster,andtheproblemisdiscussed.Thispapermainlydiscussesthemethodsandtechniquesofthelimitofthetwoelementfunction.Andthroughspecificexamples,wegiveseveralmethodstofindthelimitoftwoelementfunctionandthemethodofjudgingtheexistenceofdoublelimits.Inthispaper,severalmethodsoffunctionlimitaresummarized.Basedonthecalculationofthelimitofaunivariatefunctionmethod,includingclampingforcecriterion,polarcoordinates,logarithmicmethod,twoimportantlimits,l'Hopital'srulediscussthelimitoffunctionoftwovariableswerecomparedandclassified,andputsforwardsomesolvingthelimitoftwoyuanfunctiontechnique.Keywords：Limit;derivative;L'HospitalRule;Taylorformula.1前言極限研究的是變量在變化過程中的趨勢問題.數(shù)學(xué)分析中所討論的極限大體上分為兩類：一類是數(shù)列的極限，一類是函數(shù)的極限.兩類極限的本質(zhì)上是相同的，在形式上數(shù)列界限是函數(shù)極限的特例.因此，本文只就函數(shù)極限進(jìn)行討論.函數(shù)極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本運(yùn)算，一部分函數(shù)的極限可以通過直接或間接的運(yùn)用“極限四則運(yùn)算法則”來求解，而另一部分函數(shù)極限需要通過特殊方法解決.求函數(shù)極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的.對某個(gè)具體的求極限的問題，我們應(yīng)該追求最簡便的方法.在求極限的過程中，必然以相關(guān)的概念、定理以及公式為依據(jù)，并借助一些重要的方法和技巧。極限是數(shù)學(xué)分析中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài).早在中國古代，極限的樸素思想和應(yīng)用就已在文獻(xiàn)中有記載,例如，魏晉時(shí)期中國數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”的數(shù)學(xué)思想，即用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想.在數(shù)學(xué)分析中的許多基本概念，都可以用極限來描述.如函數(shù)連續(xù)的定義，導(dǎo)數(shù)的定義，定積分、二重積分、三重積分的定義，級數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的.極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本工具，極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線.本文是在極限存在的條件下，對極限的常用求法進(jìn)行綜述，歸納出計(jì)算極限的一般流程.計(jì)算極限所用的方法，是致力于把所求極限簡化為已知極限。求極限的方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止本文所歸納的，故本文并不夠完善，求極限的方法未能拓展,只限于數(shù)學(xué)分析.希望通過本文，大家在思想上能對求解極限的方法有一個(gè)高度的總括，計(jì)算極限時(shí)游刃有余。2函數(shù)極限的概念及性質(zhì)2.1函數(shù)極限的概念定義1設(shè)為定義在上的函數(shù)，A為定數(shù).若對任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以A為極限，記作或定義2（函數(shù)極限的定義）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，A為定數(shù).若對任給的，存在正數(shù)，使得時(shí)有則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以A為極限，記作或定義3設(shè)函數(shù)在（或）內(nèi)有定義，A為定數(shù).若對任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)（或）時(shí)有則稱數(shù)A為函數(shù)當(dāng)趨于（或）時(shí)的右（左）極限，記作（）或（）右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.在點(diǎn)的右極限與左極限又分別記為與.2.2函數(shù)極限的性質(zhì)定理1（唯一性）若極限存在，則在的某空心鄰域內(nèi)有界.定理2（局部保號性）若（或），則對任何正數(shù)（或），存在，使得對一切有（或）.定理3（保不等式性）設(shè)與都存在，且在某鄰域內(nèi)有，則定理4（迫斂性）設(shè)，且在某鄰域內(nèi)有，則定理5（四則運(yùn)算法則）若極限與都存在，則函數(shù)，當(dāng)時(shí)極限也存在.3函數(shù)極限的求解方法3.1利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限(1)極限的迫斂性（夾逼原理），對數(shù)列和函數(shù)同樣適用：設(shè)，且在某內(nèi)有則利用夾逼原理求極限，通常通過放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列或函數(shù)，.例3.1求解：因?yàn)椋援?dāng)＜0時(shí)而由迫斂性定理得，=1例3.2求解：因?yàn)楫?dāng)＞2時(shí)，而，由迫斂性定理知=0（2）單調(diào)有界定理設(shè)為定義在[或]上的單調(diào)有界函數(shù)，則存在[或存在]3.2利用極限的四則運(yùn)算求極限極限的四則運(yùn)算法則：若，（1）（2）（3）若則：（4）（c為常數(shù)）上述性質(zhì)對于時(shí)也同樣成立通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算，首先對函數(shù)實(shí)行各種恒等變形.例3.3求極限解：==例3.4求極限解：===0例3.5求極限解：==例3.6求極限解：==3.3利用兩個(gè)重要極限公式求極限兩個(gè)重要極限公式：（A）(B)但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：例3.7求極限解：=例3.8求極限解：=3.4利用洛必達(dá)法則求極限型不定式極限定理：若函數(shù)和滿足：（1）；（2）在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；（3）（可為實(shí)數(shù)，也可為或），則型不定式極限定理：若函數(shù)和滿足：（1）；（2）在點(diǎn)的某右空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；（3）（可為實(shí)數(shù)，也可為或），則不定式極限還有等類型，經(jīng)過簡單變換，它們一般均可化為型或型的極限.例3.9求極限解：由對數(shù)恒等式可得=例3.10求極限解：==-43.5利用函數(shù)連續(xù)性求極限（1）若在處連續(xù)，則（2）若是復(fù)合函數(shù)，又且在處連續(xù)，則這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限.如果在點(diǎn)連續(xù)，而在點(diǎn)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).即.例3.10求極限解：令，因?yàn)樵邳c(diǎn)處連續(xù)所以==3.6通過等式變形化為已知極限要點(diǎn)：當(dāng)極限不宜直接求出時(shí)，可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)牡仁阶冃危玫揭阎獦O限的新變量.例3.11求極限解：==03.7利用換元法求極限當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求.例3.12求極限解：令，則=3.8利用自然對數(shù)法求極限自然對數(shù)法：把形如通過恒等變形寫成的形式,改為求或不定式的極限.例3.13求極限解：用自然對數(shù)法，令y=取自然對數(shù)得===3.9利用因式分解法求極限要點(diǎn)：如果可以通過因式分解將變量化簡或轉(zhuǎn)化為已知的極限，即可利用此方法求變量極限.例3.14就極限解：=3.10利用等價(jià)無窮小量求極限當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)都是無窮?。O限為0）且相互等價(jià)，，，，，，，，設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且有.若，則若，則注：在用等價(jià)無窮小求極限過程，不是乘除的情況，不一定能這樣做.例3.15求極限解：=例3.16試確定的值，使時(shí)為同階無窮小量解：因?yàn)?=～所以，，故當(dāng)=1時(shí)與當(dāng)時(shí)為同階無窮小量3.11利用積分中值定理求極限一般根據(jù)積分第一中值定理：若在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得將某些含有積分的變量化為一般形式再求極限.例3.17求極限解：由積分中值定理=，，3.12利用定積分求和式的極限利用定積分和式求極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)，把所求極限的和式表示成在某區(qū)間上的等分的積分和式的極限.例3.18求極限解：==eq\o\ac(○,1)令=，則由定積分定義知eq\o\ac(○,2)又eq\o\ac(○,3)由eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)，eq\o\ac(○,3)得=3.13利用級數(shù)收斂的必要條件求極限利用級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)收斂，則，運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級數(shù)收斂，然后得出它的通項(xiàng)極限.例3.19求極限解：設(shè)則==0<1由比值判別法知收斂由必要條件知=03.14利用泰勒公式求極限泰勒公式是一大難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)時(shí)首先要清楚泰勒定理成立的條件，清楚泰勒公式、麥克勞林公式的表達(dá)形式以及常見的麥克勞林展開式.實(shí)際上，泰勒公式在證明、極限計(jì)算等方面有著廣泛而獨(dú)到的應(yīng)用.泰勒定理：若在點(diǎn)有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么（其中在0與1之間）例3.20求極限解：泰勒展開式于是所以=3.15利用壓縮定理定理3.15（壓縮定理）：1對于任意數(shù)列而言，若存在常數(shù)，使得，恒有，，則數(shù)列收斂2特別，若數(shù)列利用遞推公式給出：，其中為某一可微函數(shù)，且，使得，則收斂。證明1應(yīng)用柯西準(zhǔn)則，知收斂?；蚶玫依死着袆e法，可知級數(shù)絕對收斂，從而序列收斂2若成立，利用微分中值定理：，即此時(shí)，也成立，故由1可知收斂注此定理可以與單調(diào)有界定理和起來證明遞推數(shù)列的收斂。如例3.2也可以這么來證明。例3.2證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限解：對于1已有，對，有，則它滿足壓縮定理的條件，故收斂。例3.15設(shè)，由下列遞推公式定義，求解：因?yàn)橛忠驗(yàn)?，，，，所以收斂。因?yàn)椋O(shè)，對兩邊取極限得所以，不合題意（由極限的保號性可知）所以4二元函數(shù)極限的求解方法4.1二元函數(shù)極限概念分析定義1設(shè)函數(shù)在上有定義，是的聚點(diǎn)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).如果對于任意給定的正數(shù)，總存在某正數(shù),使得時(shí)，都有,則稱在上當(dāng)時(shí)，以為極限，記.上述極限又稱為二重極限.4.2二元函數(shù)極限的求法4.2.1利用二元函數(shù)的連續(xù)性命題若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則.例1求在點(diǎn)的極限.解：因?yàn)樵邳c(diǎn)處連續(xù)，所以例2求極限．解：因函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)連續(xù)，故可直接代入求極限，即=．4.2.2利用恒等變形法將二元函數(shù)進(jìn)行恒等變形，例如分母或分子有理化等.例3求解：例4．解：原式．4.2.3利用等價(jià)無窮小代換一元函數(shù)中的等價(jià)無窮小概念可以推廣到二元函數(shù).在二元函數(shù)中常見的等價(jià)無窮小，有；；；；；；；；同一元函數(shù)一樣，等價(jià)無窮小代換只能在乘法和除法中應(yīng)用.例5求解：當(dāng)，時(shí)，有.，所以這個(gè)例子也可以用恒等變形法計(jì)算，如：4.2.4利用兩個(gè)重要極限，它們分別是一元函數(shù)中兩個(gè)重要極限的推廣.例6求極限.解：先把已知極限化為，而當(dāng)時(shí)，所以故原式=例7求極限.解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，再利用極限四則運(yùn)算可得：·1=.這個(gè)例子也可以用等價(jià)無窮小代換計(jì)算，如：當(dāng)，時(shí)，，.所以，4.2.5利用無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量的結(jié)論例8求解:因?yàn)槭菬o窮小量，是有界量，故可知，例9求解原式=因?yàn)槭怯薪缌?，又是無窮小量，所以，.雖然這個(gè)方法計(jì)算實(shí)際問題上不那么多用，但計(jì)算對無窮小量與有界量的乘積形式的極限的最簡單方法之一.4.2.6利用變量替換法通過變量替換可以將某些二元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來計(jì)算，從而使二元函數(shù)的極限變得簡單.但利用時(shí)一定要滿足下面的定理。定理：函數(shù)點(diǎn)的取心領(lǐng)域內(nèi)有定義的且、沿向量的方向余弦，若二元函數(shù)的極限,則若的值與、無關(guān)，則；若的值與、有關(guān)，則不存在；例10求解因時(shí)，，令，顯然滿足定理的條件，則，所以，.例11求極限解：令又顯然滿足定理的條件，則4.2.7利用夾逼準(zhǔn)則二元函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則：設(shè)在點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)有，且（常數(shù)），則.但要注意求二元函數(shù)極限時(shí)是對兩個(gè)變量同時(shí)放縮．例12求解:因?yàn)椋蓨A逼準(zhǔn)則，得.例13求極限．解:，又，故=0．4.2.8先估計(jì)后證明法此方法的運(yùn)用往往是先通過觀察推斷出函數(shù)的極限，然后用定義證明.例14求函數(shù)在點(diǎn)處的極限.解:此例分2部考慮：先令，考慮沿時(shí)的極限，.因?yàn)槁窂綖樘厥夥较?，因此我們還不能判斷出極限為.所以下面用定義檢驗(yàn)極限是否為：因?yàn)橛谑牵∏?，所以.例15.求在的極限.解：若函數(shù)中動點(diǎn)沿直線趨于原點(diǎn)，則即函數(shù)中動點(diǎn)沿著無窮多個(gè)方向趨于原點(diǎn)時(shí)，它的極限為；但根據(jù)這個(gè)我們不能說它的極限為；由于動點(diǎn)沿著其它的路徑，比如沿拋物線趨于原點(diǎn)時(shí)，其極限為從而判斷出不存在；通過例子我們得出任意方向不能代表任意路徑，也就是說，我們沿動點(diǎn)不僅任何路徑而且還必須任意方向；4.2.9利用極坐標(biāo)法當(dāng)二元函數(shù)中含有項(xiàng)時(shí)，考慮用極坐標(biāo)變換：通過綜合運(yùn)用恒等變換，不等式放縮等方法將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為只含有參量的函數(shù)，進(jìn)而求二元函數(shù)的極限.例16計(jì)算解:極限中的二元函數(shù)含有，令，使得，，由夾逼準(zhǔn)則得，所以，.例17求極限.解：若令t為變量，使且，則，當(dāng)時(shí)，t0.對任意固定的上式均趨于0，但不能下結(jié)論說=0.事實(shí)上不存在，這只讓沿著任意方向趨于定點(diǎn)(0,0)，此時(shí).=在運(yùn)用此方法時(shí)注意，經(jīng)過初等變換后的函數(shù)滿足用迫斂性得函數(shù)的極限為；若化簡后的函數(shù)為，但對于某個(gè)固定的，仍不能判斷函數(shù)的極限為.4.2.10利用累次極限法一般情況下，累次極限存在并不能保證二重極限存在，但二元函數(shù)滿足定理2的條件，就可以利用累次極限來計(jì)算極限.定理2若在點(diǎn)存在重極限與兩個(gè)累次極限，則它們必相等.例18求極限解:，對任意一致的成立；而對存在，根據(jù)定理1，得.這道題也可以用上述所說的先估計(jì)后證明法和極坐標(biāo)法來計(jì)算，如：用先估計(jì)后證明法：解:通過觀察可知極限中的二元函數(shù)分子是分母的高階無窮小量，故極限應(yīng)為，定義證明：因?yàn)?，故要使，則，故.（2）用極坐標(biāo)法解令，因?yàn)?，，由夾逼準(zhǔn)則得，，所以，.例19求函數(shù)=的極限.解：當(dāng)，以為常數(shù)時(shí)，不存在，從而得原函數(shù)極限不存在;很顯然，這種計(jì)算法是錯(cuò)的；因?yàn)橹?，?dāng)時(shí)，為無窮小量；時(shí)，為有界量，從而得，同樣；所以；此例題我們推出：如果不熟重極限與累次極限的定義反而混亂它們的存在性，所以應(yīng)該要注意下列三點(diǎn)：一）若累次極限存在且相等，而重極限不一定存在；例：中：但不存在。二）雖然重極限存在，但不一定兩累次極限存在；例：中，，兩都不存在；三）兩累次極限和重極限中有一個(gè)或兩個(gè)存在不能保證其它的極限的存在性；4.2.11利用取對數(shù)法這一方法適合于指數(shù)函數(shù)求極限.對于二元指數(shù)函數(shù)，也可以像一元函數(shù)那樣，先取對數(shù)，然后再求極限.例20求解:設(shè)，則，而，令，知，故原式=；4.2.12運(yùn)用洛必達(dá)法則求二元函數(shù)的極限例21求．解:由定理7洛必達(dá)法則可知4.2.13利用定義求二元函數(shù)極限例22用定義驗(yàn)證：．解:==，限定，則從而，．故．設(shè)為任意正數(shù)，取，則當(dāng)時(shí)，就有．和一元函數(shù)一樣，在使用函數(shù)定義求極限的時(shí)候，也伴隨有放縮，這時(shí)要注意是對兩個(gè)自變量的同時(shí)限制．在二元函數(shù)的定義中，要求任意方式趨于時(shí)，函數(shù)都無限接近于．因此，很容易得到：若在的定義域內(nèi)存在兩條不同的連續(xù)曲線，且當(dāng)時(shí)，，但函數(shù)式沿著這兩條曲線逼近時(shí)的極限卻不同，或者一個(gè)存在，另一個(gè)不存在，則二元函數(shù)在此點(diǎn)不存在極限．就這樣，一道題有幾種解法，哪個(gè)方法比較簡單，比較合適就用哪個(gè)方法.結(jié)論在選擇求極限方法時(shí)，首先要分析函數(shù)的特點(diǎn)，確定函數(shù)式的類型，然后根據(jù)函數(shù)的類型和特點(diǎn)來決定用何種方法去求函數(shù)的極限.極限是描述數(shù)列和函數(shù)的變化趨勢,該趨勢是以自變量的變化過程為前提,所以在判斷極限所屬的類型時(shí),一定要以自變量的變化過程為前提,而不能單純只看函數(shù)式,否則必錯(cuò)無疑.把求數(shù)列極限化為求函數(shù)極限,就給求數(shù)列極限開辟了廣闊的天地.這是因?yàn)榍蠛瘮?shù)極限可以有多種方法,針對不同函數(shù)的特點(diǎn),可利用函數(shù)的連續(xù)性、洛必達(dá)(L.Hospital)法則,函數(shù)的泰勒(Taylor)展開式等,但也應(yīng)該明白,并不是任何數(shù)列極限問題都能轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限問題的,例如,當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)本身呈現(xiàn)n項(xiàng)之和或積的形式時(shí)就不能按海涅定理轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限了.本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的一些常用方法.以上只是眾多求解極限方法的一小部分，或許并不全面，讀者如果有興趣可以繼續(xù)探索新的求解方法.因?yàn)閿?shù)學(xué)知識博大精深，我們目前只接觸到一點(diǎn)點(diǎn)而已，雖然我們還處在那數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)層，但這并不妨礙我們對數(shù)學(xué)的喜愛與學(xué)習(xí),我們應(yīng)不停的接受知識.總之，在求函數(shù)極限的過程就是綜合運(yùn)用各種方法的過程，只有真正理解每一種求解函數(shù)極限方法需要滿足的條件及實(shí)質(zhì)，以及各種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系,才能在求函數(shù)極限的過程中游刃有余,且受其益于生活實(shí)踐.

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