第二十五章 概率初步（知識歸納+題型突破）（五大題型96題）（原卷版）-（人教版）

第二十一章一元二次方程（知識歸納+題型突破）1.能描述簡單隨機事件的特征(可能結果的個數有限，每一個可能結果出現(xiàn)的概率相等)；2.能用列表、畫樹狀圖等方法求出簡單隨機事件所有可能的結果以及指定隨機事件發(fā)生的所有可能結果；3.能計算簡單隨機事件的概率;知道經歷大量重復試驗，隨機事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性；4.能用頻率估計概率，體會數據的隨機性以及概率與統(tǒng)計的關系；5.能綜合運用統(tǒng)計與概率的思維方法解決簡單的實際問題.知識點一：概率1.概率及公式定義：表示一個事件發(fā)生的可能性大小的數．概率公式：P(A)＝(m表示試驗中事件A出現(xiàn)的次數，n表示所有等可能出現(xiàn)的結果的次數)．2.事件的類型及其概率事件類型概率確定性事件1或0必然事件1不可能事件0不確定性事件(隨機事件)0<P(A)<1知識點二：隨機事件概率的計算1.隨機事件概率的計算方法(1)一步完成：直接列舉法，運用概率公式計算；(2)兩步完成：列表法、畫樹狀圖法；(3)兩步以上：畫樹狀圖法2.幾何概率的計算方法求出陰影區(qū)域面積與總面積之比即為該事件發(fā)生的概率.知識點三：用頻率可以估計概率一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數p附近，那么事件A發(fā)生的概率P(A)＝p＝.題型一隨機事件與可能性【例1】（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）下列事件中，判斷正確有（

）①在地球上拋出的籃球會下落，是必然事件；②鄭一枚圖釘，針尖朝上，是不可能事件；③從一副撲克牌（含大小王）中抽一張，恰好是黑桃5，是隨機事件；④若，則一定有，是必然事件．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例2（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）轉動轉盤，當轉盤停止轉動時，指針落在紅色區(qū)域的可能性最大的是（

）A．

B．

C．

D．

鞏固訓練：1．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）下列事件屬于必然事件的是（

）A．隨機擲一枚質地均勻的骰子一次，擲出的點數是1B．車輛隨機經過一個路口，遇到紅燈C．任意畫一個三角形，其內角和是D．有三條線段，將這三條線段首尾順次相接可以組成一個三角形2．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）下列事件是必然事件的是（

）A．經過城市中某一有交通信號燈的路口，遇到紅燈 B．擲一次骰子，向上的一面是6點C．購買一張彩票，中獎 D．如果a、b都是實數，那么3．（2023·重慶·九年級統(tǒng)考學業(yè)考試）下列事件，是隨機事件的是（

）A．一個三角形的內角和為181度 B．擲一次骰子，向上一面點數大于0C．3人分成兩組一定有2人分在一組 D．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈4．（2023春·山東濟南·七年級校聯(lián)考期中）“三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的一個內角”這一事件是（）A．隨機事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是5．（2023春·廣西南寧·九年級南寧市天桃實驗學校校考階段練習）下列事件是必然事件的是（

）A．拋一枚硬幣，反面朝上 B．經過某一有交通信號燈的路口，恰好遇到綠燈C．內錯角相等，兩直線平行 D．打開電視，正在播放3月15日消費者權益日晚會6．（2023秋·浙江·九年級專題練習）下列成語或詞語所反映的事件中，發(fā)生的可能性大小最小的是（）A．守株待兔 B．旭日東升 C．瓜熟蒂落 D．夕陽西下7．（2021春·廣東江門·九年級?？奸_學考試）下列說法正確的是（

）A．“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖形”是隨機事件B．“概率為0.001的事件”是不可能事件C．“同位角相等，兩直線平行”是必然事件D．任意擲一枚質地均勻的硬幣10次，正面向上的一定是5次8．（2023春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）某天氣預報軟件顯示“菏澤市東明縣明天的降水概率為”，對這條信息的下列說法中，正確的是（

）A．東明縣明天將有的時間下雨 B．東明縣明天下雨的可能性較小C．東明縣明天下雨的可能性較大 D．東明縣明天將有的地區(qū)下雨9．（2023春·七年級單元測試）某娛樂設施每次能夠容納4人一組進場游玩，甲、乙、丙、丁排隊等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中間隔著2人，丙排在乙后面，中間隔著1人，丁排在丙后面，中間隔著1人，丁后面也有若干人．下列說法：①如果甲和乙同一組，那么丙和丁也同一組；②如果甲和乙不同一組，那么丙和丁也不同一組；③如果丙和丁同一組，那么甲和乙也同一組；④如果丙和丁不同一組，那么甲和乙也不同一組．正確的個數為(

)A．1 B．2 C．3 D．410．（2023春·天津紅橋·九年級開學考試）一只不透明的袋子中裝有3個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中任意摸出3個球，下列事件是必然事件的是（

）A．至少有1個球是黑球 B．至少有1個球是白球C．至少有2個球是黑球 D．至少有2個球是白球11．（2023春·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）成語“水中撈月”反映的事件是事件（填必然、不可能或隨機）．12．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）排隊時，小亮和2位同學站成一橫排，其中小亮“站在中間”的可能性小亮“站在兩邊”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．13．（2023春·江蘇常州·八年級?？计谥校┮恢徊煌该鞯目诖醒b有3只黃色乒乓球和5只白色乒乓球（除顏色外都相同），攪勻后從中任意摸出一只乒乓球，摸到（填寫“黃”或“白”）色乒乓球的可能性大．14．（2023秋·九年級課前預習）現(xiàn)有1，2，3，…，9九個數字，甲、乙兩位同學輪流從中選出一個數字，從左至右依次填入下面所示的表格中（表中已出現(xiàn)的數字不再重復使用），每次填數時，甲會選擇填入后使表中現(xiàn)有數據平均數最小的數字，乙會選擇填入后使表中現(xiàn)有數據中位數最小的數字．如圖，若表中第一個數字是6，甲先填，（1）請你在表中空白處填出一種符合要求的填數結果；（2）滿足條件的填法有種．615．（2023·廣西·模擬預測）如圖，一只小蟲沿著圖示的六邊形構成的格子從長橋畔爬行到古樟旁，標記有箭頭的邊只能按箭頭方向爬行，且小蟲爬行同一條邊最多一次，則共有種不同的爬行路徑．16．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）將一副去掉大小王的撲克牌平均分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5張紅桃牌，乙有4張紅桃牌，那么丁的紅桃牌有種不同的情況．17．（2023春·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）有甲、乙、丙三個不透明的布袋，在甲袋中放有8個紅球，在乙袋中放有4個紅球，4個黃球，在丙袋中放有8個黃球，這些球除顏色外，其它都相同，從三個袋中任意摸出一球，哪一個可以使“摸到紅球”是必然發(fā)生的？哪一個可以使“摸到紅球”是不可能發(fā)生的？哪一個可以使“摸到紅球”是隨機發(fā)生的？18．（2023春·陜西西安·七年級校考期末）甲袋中放著22個紅球和7個黑球，乙袋中放著42個白球和16個黑球，三種球除顏色外沒有任何區(qū)別，將兩袋中的球攪勻，從兩個袋中各任取一個球，哪個袋中取出黑球的可能性大？19．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）盒中裝有紅球、黃球各100個，每個球除顏色以外都相同，每次從盒中摸一個球，摸三次，請你設計下面幾種情況的摸球方案．(1)摸到紅球是不可能的；(2)摸到紅球是必然的；(3)摸到紅球情況有三種：很可能，可能，不太可能．20．（2023春·江蘇·八年級專題練習）一只不透明的袋子中有個紅球、個綠球和個白球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻，從中任意摸出個球．（1）會出現(xiàn)哪些可能的結果？（2）能夠事先確定摸到的一定是紅球嗎？（3）你認為摸到哪種顏色的球的可能性最大？哪種顏色的球的可能性最小？（4）怎樣改變袋子中紅球、綠球、白球的個數，使摸到這三種顏色的球的概率相同？題型二概率公式及其應用【例3】（2023春·陜西西安·七年級校考期末）在一個不透明的袋子中裝有5個紅球和10個黃球，這些球除顏色外都相同，將袋子中的球充分搖勻后，隨機摸出一球．(1)求出摸出的球是紅球的概率；(2)為了使摸出兩種球的概率相同，再放進去9個同樣的紅球或黃球．那么這9個球中紅球和黃球的數量分別應是多少？【例4】（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）一房屋內部結構如圖所示，小李在房屋內自由走動，則他停留在臥室或客廳的概率是．

鞏固訓練1．（2023·山東·九年級專題練習）剪紙是中國最古老的民間藝術之一，先后入選中國國家級非物質文化遺產名錄和人類非物質文化遺產代表作名錄．小文購買了以“剪紙圖案”為主題的5張書簽，他想送給好朋友小樂一張．小文將書簽背面朝上（背面完全相同），讓小樂從中隨機抽取一張，則小樂抽到的書簽圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是（）

A． B． C． D．2．（2023春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）在一個暗箱里放有a個除顏色外其他完全相同的球，這a個球中只有3個紅球，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球，記下顏色再放回暗箱，通過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25，那么可以推算出a大約是（

）A．12 B．9 C．4 D．33．（2023春·遼寧錦州·七年級統(tǒng)考期末）如圖是水平放置的圓形瓷磚，瓷磚上的圖案是三條直徑把兩個同心圓中的大圓分成六等份．若在這個大圓區(qū)域內隨機地拋一個小球，則小球落在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．4．（2023春·浙江金華·九年級?？计谥校?，，，0，3這五個數中隨機抽取一個數。恰好是負數的概率是．5．（2023春·甘肅張掖·七年級?？计谀┯?張紙簽，分別標有數字1，1，2，2，3，4，5，從中隨機地抽出一張．抽出標有數字1的紙簽的概率是．6．（2023春·江蘇南京·八年級?？计谥校┮恢徊煌该鞯拇又醒b有10個白球、20個黃球和30個紅球，每個球除顏色外都相同，將球攪勻，從中任意摸出一個球，則下列事件：（1）該球是白球；（2）該球是黃球；（3）該球是紅球；則發(fā)生的可能性最大的為：（只填寫序號）．7．（2023·重慶·九年級統(tǒng)考學業(yè)考試）在單詞“”中任意選擇一個字母，選到字母“”的概率是．8．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是由12個全等的等邊三角形組成的圖案，假設可以隨機在圖中取點，那么這個點取在陰影部分的概率是．

9．（2023春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為a的正方形里畫一個最大的圓，然后隨機向正方形內投一粒米，則這粒米落在圓內的概率是．（線粗忽略不計）

10．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示的是小明家的地板磚的一部分（圖中所有三角形都是等腰直角三角形）．隨機拋一個小球停留在某塊地板磚上，則小球停留在陰影區(qū)域的概率是．

11．（2023春·陜西西安·七年級?？计谀┯屑t球，白球，黃球若干個備用，在一個不透明的口袋中放入8個紅球和12個白球，搖勻．(1)求從這個不透明口袋中隨機摸出一個球是白球的概率；(2)現(xiàn)從口袋中取出若干個紅球，并放入相同數量的黃球，充分搖勻后，要使從口袋中隨機摸出的一個球不是紅球的概率為，問放入了多少個黃球？12．（2023春·云南文山·七年級校聯(lián)考期末）某超市為了促銷一批新品牌的商品，設立了一個不透明的紙箱，紙箱里裝有1個紅球，2個白球和12個黃球，并規(guī)定：顧客每購買50元的新品牌商品，就能獲得一次摸球的機會，如果摸到紅球，顧客可以獲得一把雨傘，摸到白球，可以獲得一個文具盒，摸到黃球，可以獲得一支鉛筆，甲顧客購此新商品80元，問：(1)獲得獎品的概率是多少？(2)得到一把雨傘，一個文具盒，一支鉛筆的概率分別是多少？13．（2023秋·陜西榆林·八年級校考開學考試）暑假期間，某商場為了吸引顧客，對一次購物滿元的顧客可獲得一次轉轉盤得獎券的機會.如圖是一個可以自由轉動的轉盤（轉盤被等分成個扇形），轉動轉盤停止后，根據指針指向參照下表獲得獎券（指針指向黃色區(qū)域不獲獎，指向分界線時重轉，直到指向某一扇形為止）顏色紅藍黑獎券金額（元）205080(1)甲顧客購物元，他獲得獎券的概率是___________；(2)乙顧客購物元，并參與該活動，他獲得元和元獎券的概率分別是多少？(3)為加大活動力度，現(xiàn)商場想調整獲得元獎券的概率為，其余獎券獲獎概率不變，則需要將多少個黃色區(qū)域改為紅色？14．（2023春·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）有一個被等分成份的轉盤，其中有8份被涂成了紅色，小鹿用它做了10組試驗，每組試驗轉50次，記錄每組試驗中轉盤停下后指針指向紅色區(qū)域的次數，并制成如下所示的折線統(tǒng)計圖，據圖回答問題：

(1)轉一次轉盤指針指向紅色區(qū)域的概率大約是多少？（精確到0.1）(2)轉盤被等分成了幾份？15．（2023春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）一個不透明的口袋里有20個除顏色外都相同的球，其中有5個紅球，15個黃球．(1)從中隨意摸出一個球，摸出______球的可能性小；(2)若從中隨意摸出一個球，摸出黃球的概率是______；(3)若要使從中隨意摸出一個球是紅球的可能性為，袋子中需再加入______個紅球；(4)若另外拿20個同款的球放入口袋中（球的顏色是紅色和黃色），你認為怎樣放才能使摸到的紅球和黃球的可能性相同？請分別求出放入口袋中紅球、黃球的個數．16．（2023春·甘肅張掖·七年級校聯(lián)考期末）一個不透明的袋中裝有紅、黃、白三種顏色球共100個，它們除顏色外都相同，其中黃球個數是白球個數的5倍．已知從袋中摸出一個球是紅球的概率是．(1)求袋中紅球的個數；(2)求從袋中摸出一個球是白球的概率；17．（2023春·貴州·七年級統(tǒng)考期末）一個不透明的口袋中裝有3個紅球和9個白球，它們除顏色外完全相同．(1)判斷事件“從口袋中隨機摸出一個球是藍球”是什么事件，并寫出其發(fā)生的概率；(2)求從口袋中隨機摸出一個球是白球的概率；(3)現(xiàn)從口袋中取走若干個白球，并放入相同數量的紅球，充分搖勻后，若從口袋中隨機摸出一個球是白球的概率是，則取走了多少個白球？18．（2023春·寧夏銀川·七年級銀川唐徠回民中學校考期末）暑期親臨，某商場柜臺為了吸引顧客，打出了一個小廣告如下：本專柜為了感謝廣大消費者的支持和厚愛，特舉行購物抽獎活動，中獎率100%，最高獎50元，具體方法是：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉動轉盤的機會，如果轉盤停止后，指針正好對準黃、紅、綠、白色區(qū)域，顧客就可以分別獲得50元、20元、10元、5元的購物券（轉盤被等分成16份）．請根據以上信息，解答下列問題：

(1)小亮的媽媽購物150元，她獲得50元、20元、5元購物券的概率分別是多少？(2)請在轉盤的空白區(qū)域涂上黑色，使得自由轉動這個轉盤，當它停止轉動時，指針落在這一區(qū)域的事件發(fā)生概率為．題型三用樹狀圖和列表法求概率【例5】（2023·陜西咸陽·校考二模）國際數學家大會（），是由國際數學聯(lián)盟（）主辦的國際數學界規(guī)模最大也是最重要的會議，每四年舉行一次，它是全球性數學科學學術會議，被譽為數學界的奧林匹克盛會．李穎和汪洋兩人想通過玩游戲的方式，了解關于國際數學家大會的一些常識，他們給一個不透明的袋子里裝了四個分別標有、、、的小球，這些小球除所標字母不同外其他都相同，汪洋先從四個小球中隨機摸出一個，李穎再從剩下的三個小球中隨機摸出一個，然后兩人按照如下圖示各自搜索并回答自己所摸小球上字母對應的問題．

(1)汪洋隨機摸出的一個小球是小球的概率為_______；(2)請用列表法或畫樹狀圖的方法求游戲結束后，兩人恰好回答完、兩個問題的概率．【例6】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考三模）五一小長假期間，小林和小云一起來到昆明旅游，晚上他們打算去特色街吃飯，他們看到滿大街各式各樣的美食，卻不知道選擇哪一個，于是通過抽卡片的游戲來決定吃什么，他們制作了四張背面完全相同的卡片，在正面上分別寫著：A過橋米線；B野生菌火鍋；C鮮花餅；D汽鍋雞，將這四張卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗勻放好．小林先從四張卡片中隨機抽取一張，放回洗勻后，小云再從四張卡片中隨機抽取一張．(1)小林抽到卡片正面寫著汽鍋雞的概率是；(2)請利用列表或畫樹狀圖的方法，求兩個人抽到同一種特色美食的概率．【例7】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）某校為了解學生平均每天閱讀時長情況，隨機抽取了部分學生進行抽樣調查，將調查結果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計圖表（如下圖所示）．學生平均每天閱讀時長情況統(tǒng)計表平均每天閱讀時長x/min人數學生平均每天閱讀時長情況扇形統(tǒng)計圖

根據以上提供的信息，解答下列問題：(1)本次調查共抽取了______名學生，統(tǒng)計表中______．(2)求扇形統(tǒng)計圖中學生平均每天閱讀時長為“”所對應的圓心角度數．(3)若全校共有名學生，請估計平均每天閱讀時長為“”的學生人數，(4)該校某同學從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書中選擇兩本進行閱讀，這四本書分別用相同的卡片，，，標記，先隨機抽取一張卡片后不放回，再隨機抽取一張卡片，請用列表法或畫樹狀圖法，求該同學恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率．鞏固訓練1．（2023春·山東泰安·九年級?？计谥校┯?、3、4三個數字排成一個三位數，則排出的數是偶數的概率為（

）.A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級專題練習）今年2月，某班準備從《在希望的田野上》《我和我的祖國》《十送紅軍》三首歌曲中選擇兩首進行排練，參加永州市即將舉辦的“唱響新時代，筑夢新征程”合唱選拔賽，那么該班恰好選中前面兩首歌曲的概率是（

）A． B． C． D．13．（2023·全國·九年級專題練習）某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學和三名女同學表現(xiàn)優(yōu)異．若從以上四名同學中隨機抽取兩名同學擔任主持人，則剛好抽中一名男同學和一名女同學的概率是（

）A． B． C． D．4．（2023春·寧夏銀川·八年級?？计谀岸墓?jié)氣”是中華上古農耕文明的智慧結晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發(fā)明”，小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂，小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，則小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（

）A． B． C． D．5．（2023春·海南省直轄縣級單位·九年級校考階段練習）在一個黑色布袋中裝有標號分別為2、3、4的三個小球，從中摸出一個小球，不放回，再摸出一個小球，兩次摸出小球的標號的和為奇數的概率是（

）A． B． C． D．6．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，兩個相同的可以自由轉動的轉盤A和B，轉盤A被三等分2，0，；轉盤B被四等分3，2，，．如果同時轉動轉盤A，B，兩個指針指向轉盤A，B上的對應數字分別為x，y（當指針指在兩個扇形的交線時，需重新轉動轉盤）落在直角坐標系y軸正半軸上的概率是（）A． B． C． D．7．（2023春·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）有4根細木棒，長度分別為1，2，3，4，從中任選3根，恰好能搭成一個三角形的概率是．8．（2023春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)有長度分別為和的木棒，用5根長度為、、、、的木棒分別與之圍成三角形，則能圍成三角形的概率為．53．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）小麗與媽媽用一個如圖所示的六等分、可以自由轉動的轉盤來玩游戲；將轉盤隨機轉一次，指針指向的數字如果是能被整除媽媽獲勝，如果是不能被整除，則小麗獲勝（指針指到線上則重轉）．求：

(1)轉完轉盤后指針指向數字是的倍數概率是多少？(2)這個游戲公平嗎？請你說明理由．9．（2023春·四川達州·七年級校考期末）如圖，是一副撲克牌中的四張牌，將它們正面向下洗均勻，從中任意抽取兩張牌，求抽出的兩張牌中，牌面上數字都是偶數的概率．

10．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）在3張相同的小紙條上，分別寫上線段的長度：①；②；③．將這3張小紙條做成3支簽，放在一個不透明的盒子中，(1)攪勻后從中任意抽取一支簽，抽中②簽的概率是__________；(2)攪勻后從中任意抽取兩支簽，求這兩支簽的線段能與長為的線段組成一個三角形的概率．11．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）已知代數式．(1)化簡代數式；(2)在滿足的整數中隨機抽取1個代入代數式中，求不會使得代數式無意義的概率．12．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）成語是我國燦爛文化寶庫中一顆璀璨的明珠，具有簡潔明快、畫龍點睛的特點．如：成語“物美價廉”形容東西價錢便宜、質量又好．樂樂無返回依次到甲、乙、丙三地旅游，在途中準備購買一個金邊的“冰墩墩”作為紀念．已知甲、乙、丙三地相離較遠，都可以買到樂樂心儀的同款金邊“冰墩墩”；但市場上這款金邊冰墩墩的質量有優(yōu)、良、合格、不合格，價格有130元、120元、105元、95元、90元、85元等情況，樂樂認為只要買到優(yōu)良品質、價格不超過100元的金邊冰墩墩，就達到“物美價廉”．(1)若樂樂打聽到甲地所賣的金邊冰墩墩質量為優(yōu)品，因此樂樂決定在甲地購買．試求出樂樂買到“物美價廉”的金邊冰墩墩的概率；(2)樂樂認為：沒有了解三地所銷售金邊冰墩墩的相關信息，直接選擇到了丙地再購買，能買到“物美價廉”的金邊冰墩墩的概率與（1）中在甲地買到“物美價廉”的金邊冰墩墩的概率是一樣的，這個想法是否正確？試說明理由，并列舉出樂樂沒有了解三地所銷售金邊冰墩墩的相關信息，直接選擇在丙地購買到“物美價廉”金邊冰墩墩的情況．13．（2023春·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，一個轉盤平均分成6等份，分別標有1、2、3、4、5、6六個數字．隨機轉動轉盤，當轉盤停止時，指針指向的數字即為轉出的數字（指向分界線時重新轉動）．

(1)隨機轉動轉盤，求轉出的數字小于3的概率；(2)現(xiàn)有兩張分別寫有2和3的卡片．隨機轉動轉盤轉出的數字與兩張卡片上的數字分別作為三條線段的長度，求這三條線段能構成三角形的概率是多少？14．（2023·全國·九年級專題練習）為了深入推動大眾旅游，滿足人民群眾美好生活需要，我市舉辦中國旅游日惠民周活動，活動主辦方在活動現(xiàn)場提供免費門票抽獎箱，里面放有4張相同的卡片，分別寫有景區(qū)：A．宜興竹海，B．宜興善卷洞，C．闔閭城遺址博物館，D．錫惠公園．抽獎規(guī)則如下：攪勻后從抽獎箱中任意抽取一張卡片，記錄后放回，根據抽獎的結果獲得相應的景區(qū)免費門票．(1)小明獲得一次抽獎機會，他恰好抽到景區(qū)A門票的概率是_________．(2)小亮獲得兩次抽獎機會，求他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的概率．15．（2023春·寧夏銀川·八年級?？计谀┤鐖D，兩個相同的可以自由轉動的轉盤A和B，轉盤A被三等分，分別標有數字2，0，；轉盤B被四等分，分別標有數字3，2，，．如果同時轉動轉盤A，B，轉盤停止時，兩個指針指向轉盤A，B上的對應數字分別為x，y（當指針指在兩個扇形的交線時，需重新轉動轉盤），小明和小剛玩游戲，如果點落在直角坐標系的第一或第三象限則小明勝，如果點落在坐標軸上則小剛勝，請列樹狀圖或表格的方法求出二人各自獲勝的概率，并說明游戲是否公平．

16．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）棋在中國有著三千多年的歷史，由于用具簡單，趣味性強，成為流行極為廣泛的益智游戲．喜歡思考的小敏設計了如圖所示的的小方格棋盤，在棋盤方格內隨機放入棋子，且每一個方格內最多放入一枚棋子．棋盤內現(xiàn)已有四枚棋子，在剩余的1、2、3、4、5方格內繼續(xù)隨機放入棋子，如果有三枚棋子在同一條直線上，我們稱之為“三連珠”．

(1)若小敏隨機放入1枚棋子，出現(xiàn)“三連珠”的概率是________________；(2)若小敏隨機放入2枚棋子，請用畫樹狀圖或列表法求放入的兩枚棋子恰好與右下角的棋子均相鄰的概率．17．（2023春·山東日照·九年級?？计谥校┫聢D是兩個可以自由轉動的轉盤，甲轉盤被等分成3個扇形，乙轉盤被等分成4個扇形，每一個扇形上都標有相應的數字．小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規(guī)則：同時轉動兩個轉盤，當轉盤停止后，若指針所指區(qū)域內的數字之和小于10，則小穎獲勝；若指針所指區(qū)域內的數字之和等于10，則為平局；若指針所指區(qū)域內的數字之和大于10，則小亮獲勝．如果指針恰好指在分割線上，那么重轉一次，直到指針指向一個數字為止．(1)請你通過畫樹狀圖或列表的方法求小穎獲勝的概率．(2)該游戲規(guī)則是否公平？若公平，請說明理由；若不公平，請你設計出一種公平的游戲規(guī)則．18．（2023秋·海南?？凇ぞ拍昙壭？计谀┠持袑W舉行“校園電視臺主持人”選拔賽，將參加本校選拔賽的40名選手的成績分成五組，并繪制了下列不完整的統(tǒng)計圖表．分數段頻數頻率2m1214n4

(1)表中________________；(2)請在圖中補全頻數分布直方圖：(3)甲同學的比賽成績是40位參賽選手成績的中位數，據此推測他的成績落在________分數段內；(4)選拔賽中，成績在分以上的選手，男生和女生各占一半，學校從中隨機確定2名選手參加全市決賽，則恰好是一名男生和一名女生的概率為________．19．（2023·重慶·九年級統(tǒng)考學業(yè)考試）某校為落實“雙減”工作，增強課后服務的吸引力，充分利用好課后服務時間，為學有余力的學生拓展學習空間，成立了5個活動小組（每位學生只能參加一個活動小組）：．禮儀；．陶藝；．園藝；．廚藝；．編程．為了解學生對以上活動的參與情況，隨機抽取部分學生進行了調查統(tǒng)計，并根據統(tǒng)計結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

根據圖中信息，解答下列問題：(1)此次調查一共隨機抽取了_________名學生；“D．廚藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角是_________度；(2)補全條形統(tǒng)計圖（請在條形圖上方注明人數）；(3)學校計劃從參加“E．編程”活動的四位優(yōu)秀學生甲、乙、丙、丁中隨機抽取兩人參加區(qū)青少年人工智能編程比賽，請用樹狀圖或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率．20．（2023春·廣西南寧·九年級南寧市天桃實驗學校校考階段練習）【問題情境】數學活動課上，老師指導同學們開展“調查某社區(qū)每個家庭五月份的用水量”的實踐活動．【實踐發(fā)現(xiàn)】善思小組隨機抽查了某社區(qū)20個家庭五月份的用水量（單位：噸），調查中發(fā)現(xiàn)，每戶家庭五月份的用水量在3～7噸范圍內，整理數據如下：五月份用水量（噸）戶數【實踐探究】分析數據如下：平均數中位數眾數方差五月份用水量（噸）【問題解決】(1)上述表格中：______，______，______；(2)甲同學說：“估計該社區(qū)，有一半以上的家庭五月份用水量不超過5噸．乙同學說：“根據樣本數據，估計該社區(qū)200戶家庭中五月份用水量不超過5噸的約有120戶．”上面兩位同學的說法中，合理的是______同學（填“甲”或“乙”）(3)該社區(qū)決定從五月份用水量最省的甲、乙、丙、丁四戶家庭中，選取兩戶進行“節(jié)水”經驗分享．請用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到甲、乙兩戶的概率．21．（2023·四川成都·校考三模）為培養(yǎng)學生熱愛美，發(fā)現(xiàn)美的藝術素養(yǎng)，我校開展了藝術選修課．學生根據自己的喜好選擇一門藝術項目：A書畫，B攝影，C泥塑，D紙藝．張老師隨機對該校部分學生的選課情況進行調查后，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

根據統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：(1)張老師調查的學生人數是_____，其中選擇“泥塑”選修課在的扇形統(tǒng)計圖中圓心角的度數為_____；(2)若該校學生共有900人，請估計全校選修“攝影”的學生人數；(3)現(xiàn)有4名學生，其中2人選修書畫，1人選修攝影，1人選修泥塑，張老師要從這4人中任選2人了解情況，請用樹狀圖或列表的方法，求所選2人都是選修書畫的概率．22．（2023春·安徽·九年級專題練習）為了讓同學們進一步了解中國科技的快速發(fā)展，我市某中學九（）班團支部組織了一次手抄報比賽，該班每位同學從．“中國天眼”：，“北斗衛(wèi)星”；．“高速鐵路”；．“神州火箭”四主題中任選一個自己喜歡的主題．現(xiàn)統(tǒng)計了同學們所選主題的頻數，繪制了不完整的統(tǒng)計圖，請根據統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題：

(1)九（）班共有名學生；(2)請以九（）班的統(tǒng)計數據估計全校名學生中大約有多少人選擇主題？(3)請求出主題所對應扇形圓心角的大小；(4)在手抄報比賽中，甲、乙兩位同學均獲得了一等獎，請用畫樹狀圖或列表的方法求出他們的手抄報主題不相同的概率．題型四游戲公平性【例8】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）某校對學生進行了一次系統(tǒng)全面的垃圾分類宣傳．為了解這次宣傳的效果，從全校學生中隨機抽取部分學生進行了一次測試，測試結果共分為四個等級：．優(yōu)秀；．良好；．及格；．不及格．根據調查統(tǒng)計結果，繪制了如圖所示的不完整的統(tǒng)計表．

(1)本次共調查了________名學生，請補全條形統(tǒng)計圖；(2)在扇形統(tǒng)計圖中，的值是________，對應的扇形圓心角的度數是________；(3)若該校共有名學生，根據抽樣調查的結果，請你估計該校不合格的學生人數；(4)某班要從在這次測試成績?yōu)閮?yōu)秀的小明和小亮中選一人參加知識競賽．班長設計了如下游戲來確定人選，具體規(guī)則是：把四個完全相同的乒乓球分別標上數字，，，．然后放到一個不透明的袋中充分搖勻，兩人同時從袋中各摸出一個球．若摸出的兩個球上的數字和為奇數，則小明參加，否則小亮參加．請用樹狀圖或列表法說明這個游戲規(guī)則是否公平．鞏固訓練1．（2023秋·湖南衡陽·七年級?？奸_學考試）小軍和小紅用2、3、4三張數字卡片做游戲，如果擺出的三位數是偶數，算小紅贏，否則算小軍贏，這個游戲規(guī)則（填“公平“或“不公平”）．2．（2023春·廣東云浮·九年級?？计谀┘住⒁覂砂噙M行籃球比賽，裁判員采用同時拋擲兩枚完全相同硬幣的方法選擇比賽場地：若兩枚硬幣朝上的面相同，則甲班先選擇場地；否則乙班先選擇場地．為了判斷這種方法的公平性，明明畫出樹狀圖如圖所示，根據樹狀圖，這種選擇場地的方法對兩個班級．（填“公平”或“不公平”）

3．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）小亮和小芳都想參加學校社團組織的暑假實踐活動，但只有一個名額，小亮提議用如下的辦法決定誰去參加活動；將一個均勻的、可以自由轉動的轉盤9等分，分別標上1至9九個號碼，隨機轉動轉盤，若轉到3的倍數，小亮去參加活動；轉到偶數，小芳去參加活動；轉到其它號碼則重新轉動轉盤．

(1)轉盤轉到3的倍數的概率是多少？(2)你認為這個游戲公平嗎？請說明理由．4．（2023秋·浙江·九年級專題練習）小華和小軍做摸球游戲，A袋中裝有編號為1，2，3的三個小球，B袋中裝有編號為4，5，7的三個小球，兩袋中的所有小球除編號外都相同，從兩個袋子中分別隨機摸出一個小球，若B袋摸出的小球的編號與A袋摸出小球的編號之差為奇數，則小華勝，否則小軍勝，這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由．5．（2023春·四川雅安·七年級統(tǒng)考期末）一個不透明的布袋里裝有20個除顏色外均相同的小球，其中白球有x個，紅球有個，其他均為黃球．現(xiàn)從布袋中隨機摸出一個球，若是紅球則甲同學獲勝，若為黃球，則乙同學獲勝．(1)當時，誰獲勝的可能性大？(2)要使游戲對甲乙雙方是公平的，x應取何值？6．（2023秋·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）在一次數學興趣小組活動中，江華和江玉兩位同學設計了如圖所示的兩個轉盤做游戲（每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形，并在每個扇形區(qū)域內標上數字）．游戲規(guī)則如下：兩人分別同時轉動甲、乙轉盤，轉盤停止后，若指針所指區(qū)域內兩數和小于12，則江華獲勝；若指針所指區(qū)域內兩數和等于12，則為平局；若指針所指區(qū)域內兩數和大于12，則江玉獲勝（若指針停在等分線上，重轉一次，直到指針指向某一份內為止）．

(1)請用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述游戲中兩數和的所有可能的結果；(2)分別求出江華和江玉獲勝的概率；(3)請問游戲規(guī)則公平嗎？如不公平，請更改游戲規(guī)則，使游戲公平．7．（2023春·云南昭通·九年級統(tǒng)考期中）某班甲、乙兩名同學周末一同外出游玩，但游玩的景點兩人意見不一致，于是用游戲的方式在大理古城與麗江古城中決定游玩的景點．游戲規(guī)則如下：一個不透明袋子中裝有質地完全相同的乒兵球共4個，分別標有數字，另一個不透明的袋子中裝有質地完全相同的乒乓球共3個，分別標有數字．甲從兩個袋子中各摸出一個球，若兩個球上的數字之和不大于4，則去大理古城；否則，去麗江古城．(1)用畫樹狀圖或列表法列出所有可能的結果．(2)你認為這個游戲規(guī)則公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請你修改游戲規(guī)則，使游戲公平．8．（2023春·云南德宏·九年級統(tǒng)考期中）“一寸光陰不可輕，最是書香能致遠．”閱讀是美好的，閱讀是快樂的．某校社團將《西游記》中的四位人物的肖像制成編號為A、B、C、D的四張卡片（除編號和人物肖像外其余完全相同），活動時學生根據所抽取的卡片來講述他們在書中的故事．游戲規(guī)則如下：先將四張卡片背面朝上，洗勻放好，小東先從中隨機抽取一張，記卡片上的人物為，再把剩下的3張卡片洗勻后，背面向上放好，小華再從3張卡片中隨機抽取一張，記卡片上的人物為．若他們取出的兩張卡片上對應的人物為師徒關系，則由小東講，否則由小華講．(1)用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，列出所有可能出現(xiàn)的結果．(2)你認為這個游戲是否公平？請說明理由．9．（2023秋·甘肅蘭州·九年級?？计谀┘滓覂扇嗽谕孓D盤游戲時，把轉盤A、B分別分成4等份、3等份，并在每一份內標上數字，如圖所示．游戲規(guī)定：轉動兩個轉盤停止后，指針必須指到某一數字，否則重轉．

(1)請用樹狀圖或列表法列出所有可能的結果；(2)小明和小紅約定做一個游戲，其規(guī)則為：若x，y滿足，則小明勝；若x，y滿足，則小紅勝，這個游戲公平嗎？請說明理由．10．（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習）如圖，轉盤被它的半徑分成標有數字的扇形區(qū)域，每個扇形圓心角的度數如圖所示.小亮和小周做游戲，規(guī)則如下：小亮和小周各轉動一次轉盤，待轉盤自動停止后，指針指向扇形內部，則該扇形內部的數字即為轉出的結果（若指針指向兩個扇形的交線，則此次轉動無效，重新轉動），若轉盤所得數字都為1，則小亮贏，否則小周贏．

(1)轉動轉盤，出現(xiàn)的概率為__________；(2)這個游戲公平嗎？請說明理由．11．（2023春·河南鄭州·七年級河南省實驗中學校考期末）如圖，一個均勻的轉盤被平均分成10等份，分別標有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數字．轉動轉盤，當轉盤停止后，指針指向的數字即為轉出的數字．兩人參與游戲：一人轉動轉盤，另一人猜數，若所猜數字與轉出的數字相符，則猜數的人獲勝，否則轉動轉盤的人獲勝．猜數的規(guī)則從下面兩種中選一種：①猜“是3的倍數”或“不是3的倍數”；②猜“是大于6的數”或“不是大于6的數”．如果輪到你猜數，那么為了盡可能獲勝，你將選擇哪一種猜數方法？怎樣猜？請說明理由．12．（2023春·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)有若干個除顏色外完全相同的球，從中選取10個球放入一個不透明的袋子里進行摸球游戲．(1)若袋子中裝有5個紅球、2個白球和3個黃球，從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率是______；(2)小明和小亮一起做游戲，若袋子中有4個紅球和6個白球，從中任意摸出一個球，摸到紅球小明獲勝，摸到白球小亮獲勝，這個游戲對雙方公平嗎？說明理由；(3)小穎在（2）中的袋子里隨機摸出一個球，發(fā)現(xiàn)是白球，如果這個白球不放回，再從袋子里任意摸出一個球，摸到白球的概率是______13．（2023秋·廣東梅州·七年級?？茧A段練習）某中學要在全校學生中舉辦“愛護環(huán)境”的知識競賽活動，要求每班選取一名代表參賽，九年級某班經過投票初選，小王和小張票數并列班級第一，現(xiàn)在他們都想代表本班參賽，經班委與他們協(xié)商，決定采用摸球的方法確定誰去參賽，規(guī)則如下：在一個不透明的袋子中裝有標有數字1、2、3的3個小球，這些球的形狀、大小、質地完全相同，小王隨機從袋中摸出1個球，記下數字，然后放回，小張再隨機從袋中摸出1個球，記下數字并放回．(1)用列表或樹狀圖（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，寫出兩人摸球所得數字可能出現(xiàn)的所有情況；(2)若摸出球的數字相同則小王去參賽，若摸出球的數字不相同則小張去參賽，問該游戲是否公平？若不公平，請說明理由．14．（2023春·四川達州·九年級?？茧A段練習）為增強教育服務能力，持續(xù)提升市民幸福指數，某學校根據《達州市中小學生課后服務實施意見》，積極開展延時服務，提供了聲樂，體鍛，科創(chuàng)，書法四種課程，為了解學生需求，該校隨機對本校部分學生進行了“你選擇哪類課程”的問卷調查（要求必須選擇且只能選擇一門課程），并根據調查結果繪制成不完整的統(tǒng)計圖表．

課程人數聲樂30書法科創(chuàng)36體鍛(1)表中___________，___________；(2)扇形統(tǒng)計圖中“書法”所對的圓心角度數為___________．(3)由于學校條件限制，“科創(chuàng)”課程僅剩下一個名額，而學生小華和小亮都想參加，他們決定采用抽紙牌的方法來確定，規(guī)則是，將背面完全相同，正面分別標有數字1，2，3，4的四張牌洗勻后，背面朝上放置在桌面上，每人隨機抽一次且一次只抽一張；一人抽后記下數字，將牌放回洗勻背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽，若小華抽得的數字比小亮抽得的數字大，名額給小華，否則給小亮．請用畫樹狀圖或列表的方法計算出小華和小亮獲得該名額的概率，并說明這個規(guī)則對雙方是否公平．題型五一元二次方程的實際應用【例9】（2023春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）某商場“五一”期間為進行有獎銷售活動，設立了一個可以自由轉動的轉盤．商場規(guī)定：顧客購物100元以上就能獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應的獎品，下表是此次活動中的一組統(tǒng)計數據：轉動轉盤的次數n1002004005008001000落在“可樂”區(qū)域的次數m60122240298b604落在“可樂”區(qū)域的頻率”0.60.610.6a0.590.604

(1)______，______；(2)請估計當n很大時，頻率將會接近______，假如你去轉動該轉盤一次，你獲得“可樂”的概率是______；（結果精確到0.1）(3)轉盤中，表示“洗衣粉”區(qū)域的扇形的圓心角是多少度？鞏固訓練1．（2023春·山東濟南·七年級?？茧A段練習）一枚質地均勻的骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，小穎在做擲骰子的實驗，投擲a次，點數為偶數朝上的有b次，記．下列說法正確的是（

）A．p一定等于 B．多投一次，p會更接近C．p一定不等于 D．投擲次數逐漸增加，p穩(wěn)定在附近2．（2023秋·廣東惠州·九年級校考開學考試）在一個不透明的盒子中裝有個黑、白兩種顏色的球，小明又放入了個紅球，這些球大小都相同．若每次將球充分攪勻后，任意摸出個球記下顏色再放回盒子，通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則的值大約為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·陜西西安·八年級陜西師大附中?？奸_學考試）一個不透明的盒子里有n個除顏色外完全相同的小球，其中有9個黃球，搖勻后任意摸出一球記下顏色后放回，大量重復實驗后發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率穩(wěn)定在，估計盒中小球的個數n為（

）A．20 B．24 C．28 D．304．（2023·重慶·九年級統(tǒng)考學業(yè)考試）為了解我區(qū)某條斑馬線上機動車駕駛員“禮讓行人”的情況，下表是某志愿者小組6周累計調查的數據，由此數據可估計機動車駕駛員“禮讓行人”的概率（精確到）為（

）抽查車輛數200400800150024004000禮讓行人的駕駛員人數169332689127220473404禮讓行人的頻率0.8450.8300.8610.8480.8530.851A．0.83 B．0.84 C．0.85 D．0.865．（2023春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）某學習小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下的表格，則符合這一結果的試驗最有可能是試驗次數10020030050080010002000頻率0.3650.280.3300.3340.3360.3320.333A．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃B．在一個裝有3個紅球、6個白球的箱子里（小球除顏色外都相同），從中摸到的是紅球C．拋一個質地均勻的正六面體骰子，向上的點數是5D．拋一枚質地均勻的硬幣，出現(xiàn)的是反面6．（2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤绫硎切∶髯觥皰仈S圖釘試驗”獲得的數據，則可估計“釘尖不著地”的概率為．拋擲次數1003005008001000針尖不著地的頻數64180310488610針尖不著地的頻率0.640.600.620.610.617．（2023春·江蘇常州·八年級校考期中）某射箭運動員在同一條件下的射箭記錄計如下：射箭次數20501003006001000“