2022高考（課標(biāo)全國卷）數(shù)學(xué)押題模擬卷02

2022高考（課標(biāo)全國卷）押題模擬卷02

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自

己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（2021?福建莆田第九中學(xué)高三?？迹┮阎獜?fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z=-2i+'的共匏復(fù)數(shù)三在復(fù)

I

平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

3-z（3-iyi

【解析】因為復(fù)數(shù)z=-2i+——=—2i+1,'=—1-5"所以一=一1+535在復(fù)平面

i產(chǎn)

內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)為（-1,5）,5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，故選B.

2.（2021?浙江舟山高三調(diào)考）已知集合2={%|1<元<3},。={引2勺<4},則PDQ=

（）

A.1x|l<X<2|B.{x[2<x<3}C.1x|l<X<4|D.0

【答案】C

【解析】p={x[1<X<3},。={引2<y<4},PuQ={x[l<x<4}.

故選C.

2

3.（2020?山西省長治市第二中學(xué)高三期末）雙曲線Y—2L=1的焦點到漸近線的距離是

4

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】由方程知。=1,。=2,°=77壽=石，雙曲線的焦點為耳（右,0），6（-石,0），

2R

漸進(jìn)線為2x-y=0,2x+y=0,￡（石,0）到直線2x—y=0的距離為：d=-=2,

V1+22

由對稱性知雙曲線f—匕=1的焦點到漸近線的距離為2.故選A.

4

x+y-4>0

4.（2021?寧夏銀川高三第二次調(diào)考）已知實數(shù)X,y滿足約束條件2x-y-44o,則

x-y>0

z=工一的最小值為（）

x-1

44

A.-B.-C.2D.3

35

【答案】B

【解析】如下圖所示，陰影部分為可行域，

8

-Y=

x+y—4=03/84、

結(jié)合圖像，當(dāng)取可行域內(nèi)B點時，z取最小值，,八，-

2x—y—4=043J

y~3

--04

此時為點（1,0）與點3連線的斜率為?!一.故選B.

--15

3

5.（2021?江西南昌高考聯(lián)合體高三質(zhì)檢）設(shè)a=In2,5=（百嚴(yán),c=（&嚴(yán)，則下列

關(guān)系中正確的是（）

A.b>a>cB,c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】Qa=ln2<lne=l,8=（行嚴(yán)>（正產(chǎn)=c>（血）°=1,

:,h>c>a.故選D.

6.（2021?廣西百色高三第一次聯(lián)考）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的，=（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【解析】第一次執(zhí)行程序a=l+10=U,i=5；

第二次執(zhí)行程序a=5+22=27,，=10：

第三次執(zhí)行程序a=21+54=75,i=15；

第四次執(zhí)行程序a=69+150>100,i=20,跳出循環(huán)輸出i，

故輸出的i=20.故選C.

7.(2021?東?？h第二中學(xué)高三?？?已知函數(shù)〃x)=lnx+2f-4x,則函數(shù)的圖

象在x=l處的切線方程為()

A.x-y+3=0B.x+y-3=0c.%—y-3=0D.x+y+3=0

【答案】c

【解析】???/(x)=lnx+2x2—4x,/'(x)=，+4x—4,=又

X

/(1)=-2,.?.所求切線方程為y-(-2)=%-1,即x-y-3=0.故選C.

8.(2020?黑龍江松北哈九中高三三模)《易?系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖，洛書

是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在

左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陽數(shù)和陰數(shù)中各取一

數(shù)分別記為a,伍則滿足|。一422的概率為()

0—0—0—0—0—0—0

【答案】C

【解析】若從陽數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)分別記為a,b,由事件(。,切共有5x5=25個，

滿足,一目<2的有.(1,2),(3,2),(3,4),(5,4),(5,6),(7,6),(7,8),(9,8),(9,10)共9個，記事

件6為滿足|。一4<2的事件，則P(B)=2，.?.滿足,一耳22的事件的概率為

-916

尸(8)=1-尸(8)=1——=—.故選C.

2525

9.(2021?河北邢臺高三質(zhì)檢)人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識人口數(shù)量的變

化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù).我國在2020年進(jìn)行了第七次人口普查登記，到

2021年4月以后才能公布結(jié)果.人口增長可以用英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯(T.R.MHMU5,

r,

1766—1834)提出的模型：y=y0-e,其中t表示經(jīng)過的時間，均表示?=()時的人口數(shù)，

r表示人口的年平均增長率.以國家統(tǒng)計局發(fā)布的2000年第五次人口普查登記(已上報戶口)

的全國總?cè)丝?2.43億人(不包括香港.澳門和臺灣地區(qū))和2010年第六次人口普查登記(已上

報戶口)的全國總?cè)丝?3.33億人(不包括香港、澳門和臺灣地區(qū))為依據(jù)，用馬爾薩斯人口增

長模型估計我國2020年末(不包括香港、澳門和臺灣地區(qū))的全國總?cè)丝跀?shù)約為()

(13.332=177.6889，12.432=154.5049)

A.14.30億B.15.20億C.14.62億D.15.72億

【答案】A

1333

【解析】由馬爾薩斯模型，得13.33=12.43/"，即/°'=亍浜，所以我國2020年末的全

12.43

國總?cè)丝跀?shù)y=13.33/°'=旦旦=174688914.30(億).故選A.

12.4312.43

10.(2021?應(yīng)城市第一高級中學(xué)高三開學(xué)考試)將函數(shù)/(x)=2sin[cyx+?j(0>o)的圖

TT

象向右平移后個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若尸g(x)在~~~上為增

函數(shù)，則。的最大值為()

c35

A.3B.2C.-D.-

一24

【答案】C

【解析】函數(shù)/(x)=2sin(s+?)?>0)的圖象向右平移含個單位長度,

/、

7171

可得g(x)=2sin0)X--------+——=2sin的的圖象.

IAcoJ4

W「乃乃]」式8J,71(0

當(dāng)無￡—時，----K---，

63J6<cox3

71(071CD

由于正弦函數(shù)y=sinx在％=0附近單調(diào)遞增，且0wV5V

因為，函數(shù)y=g(x)在一7，5上為增函數(shù)，所以，一--

兀①71

-----7——

6-2

7777)7T33

所以，^―<-,解得OvgW—,因此,①的最大值為:?故選C.

3222

69>0

11.(2021?寧夏賀蘭縣景博中學(xué)高三一模)已知根€尺，若定義上可表示不超過用的最大整

數(shù)，如[一1.7]=-2,[-1]=一1,[0.6]=0,[1.6]=1.若/(x)=gsin2x+有cos2%一日,

xe0,y,則函數(shù)y=[/(x)]值域為()

A.[-1,2]B.[-1,1]C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】D

【解析】f(x)=3sin2x+Gcos2x—電=—sin2xd■—-cos2x=Gsin[2x+工],

v72222I6J

71717174w，叢，

當(dāng)XE0,—時，2xd——G,「?sinI2x+^IG--1???/(x)e

26662'，2

二當(dāng)-4,。]時，[/(%)]=-1；當(dāng)〃x)?O,l)時，[/(x)]=0；

當(dāng)時，[/(%)]=1；

；?丁=[/(x)]的值域為{-1,0,1}.故選D.

12.(2021?山東德州高三開學(xué)考試)如圖，棱長為2的正方體ABC。-AA中，點E、

尸分別為A3、的中點，則三棱錐E-EC￡>的外接球體積為()

41441a41741ij

A.---TVB.-7TC.---------71D.---------%【答案】D

436448

【解析】如圖所示：在正方體ABCO—AgG〃中，連接尸G，F(xiàn)。，

三棱錐F-ECD的外接球即為三棱柱FC.D,-ECD的外接球，

在△￡CD中，取。中點H,連接由，則即為邊C。的垂直平分線，

所以△￡1€!)的外心在即上，設(shè)為點M,同理可得△FG。的外心N,

連接MN,則三棱柱外接球的球心為MN的中點設(shè)為點0,

由圖可得，EM2=CM2=CH2+MH2>又MH=2-EM,CH=1,

可得所以O(shè)C?=MC>2+CM2=1+(9],解得oc=叵，

4⑷4

4(V41Y41標(biāo)

所以V=—乃——=------.故選D

314J48

第II卷（非選擇題）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

13.（2021?山東高三聯(lián)考）設(shè)向量a=（2,〃?），否=（1,2,篦+1）,c=（2/〃,l）,若

則實數(shù)加=__________

【答案】1.

【解析】因為a-B=（1,-1）,伍-萬）-L守，所以（a-B）?c2m-m-1=0＞得加=1.

14.（2021?湖南長郡中學(xué)高三質(zhì)檢）為了解某市居民用水情況，通過抽樣，獲得了100位居

民某年的月均用水量（單位：噸），將該數(shù)據(jù)按照[0,0.5）,[0.5,1）,…[4.4.5]分成9

組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，政府要試行居民用水定額管理，制定了一個用水

量標(biāo)準(zhǔn)。，使85%的居民用水量不超過。（假設(shè)“為整數(shù)），按平價收水費，超出。的部分

按議價收費，則。的最小值為.

【答案】3噸

【解析】[0,05）的頻數(shù)為0.08x0.5x100=4,[0.5,1）的頻數(shù)為0.16x0.5x100=8,

[1.5,2）的頻數(shù)為0.44x0.5x100=22,[2,2.5）的頻數(shù)為0.5x0.5x100=25,

[2.5,3）的頻數(shù)為0.28x0.5x100=4.[3,3.5）的頻數(shù)為0.08x0.5x100=4,

[4,4.5）的頻數(shù)為0.04x0.5x100=2,4+8+15+22+15+14=86,...前6組占86%,。為

3噸.

15.（2021?江西南昌八一中學(xué)高三一模）在三角形ABC中，|蝴=2,且角A、B、C滿

Q71

足2sii?--------=—cos2（4+8）,三角形ABC的面積的最大值為M，則加=______.

242'7

【答案】旦

3

rC

【解析】8sin2y=2cos2（A+B）+7,BP8sin2-1-2cos2（A+B）-7=0,

H^/8sin2——2cos2（A+B）=8---------------2cos2（乃—C）

=4-4cosC-2cos2C=4-4cosC-2（2cos2C-l）=-4cos2C-4cosC+6,

124

即4cos2C+4cosc+1=0，解得cosC=-二，?.?0＜。＜"，所以C=〈，

23

設(shè)。、b、。分別為角A、B、。的對邊，

由余弦定理得/=/+6_2abcosC，即4=/+〃+.

4

又因為4="+）2+4匕22〃7+/7=3。），即當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時等號成立.

所以三角形ABC的面積S=LabsinC=X3ab4走=M.

243

三、解答題（共70分）

17.（2021?天津高三期末）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足

asinA=4/?sinB,ac-＞/3（a2-Z?2-c2）.

（1）求cosA的值；

（2）求sin（2B+A）的值.

【解析】（1）由asinA=4）sin3以及正弦定理可得/=4/，得a=2b,

,,,,,222ac2bc

由ac=Gr（&--/r一?。┑?。+c-a=一耳=一"五,

所以三巨=一堂’所以c°sA=一走

（2）由cosA=-3■得sinA

3

由6/sinA=4/?sinB得sinB

4b26

又A為鈍角，所以3為銳角，所以cos3=Jl—sin2B=

所以sin2B-2sinBcosB=2xx2^2._2^,cos28=2cos2B-l=2x

663

2

3

亞（下2底276-715

所以sin（28+A）----x------4■—x=---------------

313J339

18.(2021?天津高三第三次調(diào)研)已知三棱柱A3C-A4G，A4,，平面ABC,

ZBAC=90°,AA,=AB=AC=1.

(1)求異面直線AG與aB所成的角；

(2)求二面角A-5G-A的正弦值；

(3)設(shè)M為AB的中點，在△ABC的內(nèi)部或邊上是否存在一點N,使得MN，平面ABG?

若存在，確定點N的位置，若不存在，說明理由.

【解析】因為A4,，平面ABC,/BAC=90°

如圖，以4g為x軸，AG為丁軸，4A為z軸建立空間直角坐標(biāo)系：

因為A4,=A8=AC=1,所以A(0,0,0),B,(1,0,0),q(0,1,0),

A(0,0,D，5(1,0,1),C(0,1,1),

（1）同=（0,1,-1）,“=（1,0,1）

M而，乖>=磊篝^一：

所以異面直線AC與所成的角為60。.

（2）設(shè)平面ABG的法向量為和=（%,y,Z1）

-n=0乂-4=0

2=>

?4=0-xI+y1-z,=0

玉=0,不妨令4=l,y=l,則平面ABC；的一個法向量為工=（0,1,1）

設(shè)平面5GA的法向量為32=（%,為，Z2），

%=0x2+z2=0

n

n2=0-x2+y2-z2=0

>2=0，不妨令X2=l,z2=-1,

則平面5GA的一個法向量為和=（1,0,-1）.

—--n.?%—1

cos<ny>=—1上=—

1?,11?212

從而sin<］，Z>=3，所以二面角A-bG-A的正弦值為且.

22

（3）假設(shè)在平面A8C的邊上或內(nèi)部存在一點N（x,y,l）,

—.11

因為〃為48的中點，43=（1,0,1）,所以"（5,03），

所以麗=（*一3，只），又陽=（o,i,-i）,西=（-i,i,-i）

?麗=0一11

2,所以N（5，E，D

?麗=0

且麗e所以N是的中點.

2

故存在點N,N為BC的中點，滿足條件.

19.（2021?陜西西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三質(zhì)檢）隨著智能手機的普及，手機計步軟件迅速

流行開來，這類軟件能自動記載每日健步走的步數(shù)，從而為科學(xué)健身提供了一定幫助.某企

業(yè)為了解員工每日健步走的情況，從該企業(yè)正常上班的員工中隨機抽取300名，統(tǒng)計他們

的每日健步走的步數(shù)（均不低于4千步，不超過20千步）.按步數(shù)分組，得到頻率分布直方

圖如圖所示.

帆m

0(M

00.1

()015

46X101214161820少數(shù)/「少

（1）求這300名員工日行步數(shù)x（單位：千步）的樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中

點值為代表，結(jié)果保留整數(shù)）；

（2）由直方圖可以認(rèn)為該企業(yè)員工的日行步數(shù)J（單位：千步）服從正態(tài)分布N（〃,b2）,

其中〃為樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差b的近似值為2,求該企業(yè)被抽取的300名員工中日行步數(shù)

Jw（14,18］的人數(shù);

（3）用樣本估計總體，將頻率視為概率.若工會從該企業(yè)員工中隨機抽取2人作為“日行萬

步”活動的慰問獎勵對象，規(guī)定：日行步數(shù)不超過8千步者為“不健康生活方式者”，給

予精神鼓勵，獎勵金額為每人0元；日行步數(shù)為8~14千步者為“一般生活方式者”，獎勵

金額為每人100元；日行步數(shù)為14千步以上者為“超健康生活方式者”，獎勵金額為每人

200元.求工會慰問獎勵金額X（單位：元）的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：若隨機變量J服從正態(tài)分布N（〃,b2）,則P（〃-b<0?〃+b）a（）.6827,

P（N-2cr<^<//+2cr）?0.9545,P（〃一3b<&V〃+3cr）?0.9973.

【解析】（1）由題意有嚏=0.005x2x5+0.005x2x7+0.04x2x9+0.29x2x11+

0.11x2x13+0.03x2x15+0.015x2x17+0.005x2x19=11.68?12（千步）

（2）由』?N（〃,b2）,由（1）得J~N（12,22）,所以

P（14<”18）=P（12+2<J412+3x2）=][P（6<W8）-P（10<W4）]

a<(0.9973—0.6827)=0.1573,

所以300名員工中日行步數(shù)Je(14』8]的人數(shù)：300x0.1573=47.

(3)由頻率分布直方圖可知：

每人獲得獎金額為0元的概率為：0.005x2x2=0.02.

每人獲得獎金額為100元的概率為：(0.04+0.29X).11)x2=0.88

每人獲得獎金額為200元的概率為：().1

X的取值為0，100,200,300,400.

p(x=0)=0.022=0.0004；

P(X=10())=^x0.02x0.88=0.0352；

P(X=200)=C；x0.02xO.1+O.882=0.7784；

P(X=3OO)=CjxO.lxO.88=O.176;

2

P(X=4(X))=0.1=0.01;

所以X的分布列為：

X0100200300400

P0.00040.03520.77840.1760.01

E（X）=0xO.（XXM+1（X）x0.0352+2（X）x（）.7784+300x0.176+400x0.01=216（元）

22

20.（2021.山東棗莊高考聯(lián)合體?？迹┮阎L軸長為4的橢圓二+\=1（0>8>0）過

a2b2

點P:一,1,點尸是橢圓的右焦點.

(1)求橢圓方程；

(2)是否存在x軸上的定點O,使得過。的直線/交橢圓于A,B兩點.設(shè)點E為點B關(guān)

于x軸的對稱點，且A,F,E三點共線？若存在，求出。點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解析】(1)由題意知2a=4,所以a=2.

2201

把點P的坐標(biāo)代入二+與=1,得一+言=1,

4b23b2

解得攵=3.

22

所以橢圓方程為工+二=1.

43

(2)存在定點。滿足條件.設(shè)。(/,0),A(xi,%),B(及,”).則E(及，一”),

x=my+t

設(shè)直線/的方程為X=S)，+f,聯(lián)立(爐,2

143

消去x,得(3/n2+4)y+6，wy+3產(chǎn)-12=0,

-6mt

y+%

3m2+4

所以，且/>0.

3產(chǎn)-12

3m2+4

所以厚=(必一1，—72),FA=(M—1，yi)，

則由A,F,E三點共線，得(及—1))"+(X|—1)丁2=0,

即(a1)yi+{my\+t-\)玖=0,即2m)”2+(f—1)(》+》)=0,

c3?-12,八-6mt八

所以2次-------+(zr-1)----、---=0,

3m2+43療+4

解得才=4,所以存在定點。(4,0)滿足條件.

21.(2020?安徽蒙城高三一模)已知函數(shù)〃x)=普,g(x)=a(x-l).

(1)若函數(shù)y=〃x)與y=g(x)的圖象恰好相切與點P(l,0),求實數(shù)。的值;

(2)當(dāng)xe[l,+8)時，/(x)Wg(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

“4/

(3)求證：ln(2"+l)4ZTT_7(〃eN+).

￡4/一1

【解析】(1)/⑺/(1)=；.所以a=；.

(x+1)22

(2)方法一：(分參)

xlnx

即XN1時，—<?(x-l),X=1時，顯然成立；

X+1\)

口r、xlnx

X>1時,即4之二——

廠一1

令g)=罟，則〃'⑴=(山+，：:廣山-一22

令放(x)=_f1nx+12―山―],

“(x)=-2x\wc+x-士0”(九)=-21RX—1+J=-2\nx+

7-1<0,

=即“(X)<O,.?.〃(%)在(l,+8)上單調(diào)遞減,

x\wclnr+1

/.a>lim=lim故

Ix2-Ix->12x22

方法二：(先找必要條件)

注意到x=l時，恰有/(x)-g(x)=0,

令F(x)=〃x)_g(x)=^^_a(x_l),

?V?1

(lnx+l)(x4-l)-xlnxx+1+lnx

則F(x)=-U-------z---d

(“+1)2(x+l)一

F(x)W0在［1,+8)恒成立的必要條件為F(l)<o)

21

即---a<0,.二a之一，

42

一kin、,，、1L□/\xlnx/八/xlnx1n，/

下面證明：當(dāng)a2—時，F(xiàn)(x)=-----tz(x-l)<-------(zx-1)=〃(.

2x+1x+12

,zx_x+1+lnx1_2x+2+21rix-(x+l)2

z3=(x+l)2-2=2(x+iy，

令。(%)=2工+2+2向一(％+1)~,

</>'(x)=2+--2(x+1)=--2x=2^X^<0>即0(x)W0⑴=0,

XXX

.,/(x)在［1,4W)遞減，

.?.〃(6<刈1)=0恒成立，即a也是充分條件，故有/g.

(3)不妨設(shè)S“=ln(2〃+1)為｛4｝前〃項和，則a,=In件二，

2n—1

9n+14)7

要證原不等式，只需證In^一,

2〃-14〃2—1

而由⑵知：當(dāng)a時恒有/(x)Wg(x),

即xlnx<g(x2—1)當(dāng)且僅當(dāng)％=1時取等號，

2n+l2n+l,2n+l

取》=>1,則-----In------<—

2n-l2n-\2/1-12

2n+l.2n+l18n.2n+l4n2n-l

gn-----In------<----------7gnIn-----<-------y------

即2〃-12/7-12（2〃-1）2n-l（2/7-1）2”+1'

2nd-14〃

即In-----■成立，從而原不等式獲證.

2n-14〃~一1

選做題

22.1選修4-4極坐標(biāo)與參數(shù)方程】

（2021屆湘贛十四校高三第一次聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線￡:x+y-l=0,曲

X—acos（o.

線”（。為參數(shù)，a>0）,以坐標(biāo)原點0為極點，以x軸正半軸為極軸，