第九章微分方程第二節(jié)可分離變量微分方程

微分方程

第九章

第二節(jié)可分離變量的微分方程南昌大學(xué)撫州醫(yī)學(xué)分院計(jì)算機(jī)教研室轉(zhuǎn)化解分離變量方程1分離變量方程的解法:設(shè)y＝

(x)

是方程①的解,兩邊積分,得

①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G

(y)

g(y)

0時(shí),的隱函數(shù)y＝

(x)是①的解.則有稱(chēng)②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F

(x)=f(x)≠0

時(shí),由②確定的隱函數(shù)x＝

(y)也是①的解.設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為G(y),F(x),說(shuō)明由②確定4May20122例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說(shuō)明:

在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0)4May20123例2.

解初值問(wèn)題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為4May20124例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù)

)所求通解:4May20125練習(xí):解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C

為任意常數(shù))所求通解:積分4May20126例4.子的含量

M

成正比,求在衰變過(guò)程中鈾含量M(t)

隨時(shí)間t

的變化規(guī)律.解:

根據(jù)題意,有(初始條件)對(duì)方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知

t=0時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)?May20127例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡(jiǎn),得特解并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時(shí)4May20128例6.有高1m的半球形容器,水從它的底部小孔流出,開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿(mǎn)了水,從小孔流出過(guò)程中,容器里水面的高度h

隨時(shí)間

t

的變解:由水力學(xué)知,水從孔口流出的流量為即求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在內(nèi)水面高度由

h

降到4May20129對(duì)應(yīng)下降體積因此得微分方程定解問(wèn)題:將方程分離變量:4May201210兩端積分,得利用初始條件,得則得容器內(nèi)水面高度h與時(shí)間

t

的關(guān)系:可見(jiàn)水流完所需時(shí)間為因此4May201211內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;定解條件;2.可分離變量方程的求解方法:說(shuō)明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個(gè)解.例如,方程分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù).解;階;通解;特解

y=–x

及

y=C

4May201212找出事物的共性及可貫穿于全過(guò)程的規(guī)律列方程.常用的方法:1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程2)根據(jù)物理規(guī)律列方程3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(2)利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3)求通解,并根據(jù)定解條件確定特解.3.解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟例4