專(zhuān)題20放縮法證明數(shù)列不等式（學(xué)生版）

專(zhuān)題20：放縮法證明數(shù)列不等式<<<專(zhuān)題綜述>>><<<專(zhuān)題綜述>>>在證明數(shù)列不等式問(wèn)題中，有些數(shù)列可通過(guò)求和后再利用數(shù)列有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行放縮求證不等式，有些數(shù)列不能用常規(guī)求和方法直接求和，我們可以通過(guò)將不規(guī)則或不能求和的數(shù)列放縮變?yōu)榭汕蠛偷臄?shù)列，從而達(dá)到證明的目的.<<<專(zhuān)題探究>>><<<專(zhuān)題探究>>>題型一：先題型一：先求和再證明不等式常見(jiàn)的數(shù)列求和再放縮的通項(xiàng)公式特點(diǎn)：①等比數(shù)列求和公式：Sn=a1qn-1②錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差等比”的形式；③裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng).例1(2021·全國(guó)乙)設(shè){an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}(1)求{an}(2)記Sn和Tn別為{an}和{【思路點(diǎn)撥】利用常規(guī)求和方法：等比求和公式和錯(cuò)位相減法分別求出數(shù)列an,b練1已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{bna3(1)求數(shù)列{an}(2)設(shè)cn=1bnbn+2，數(shù)列{練2已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3，前n項(xiàng)和為Sn(1)求數(shù)列{a(2)設(shè)bn=log3an，求數(shù)列bn題型二：題型二：先放縮再求和證明不等式放縮構(gòu)造的技巧：①裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）；②等比數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為“sn<常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足q∈0,1，如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為a11-q23=2?14③在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)行化歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即an+1-an<fn或an+1an<fn（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過(guò)“累加例2(2014·全國(guó)Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1．(1)證明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2)))是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<eq\f(3,2)．【思路點(diǎn)撥】（1）思路：由遞推兩邊加常數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng).思路一：由3n－1≥2×3n－1將通項(xiàng)放縮轉(zhuǎn)化成等比結(jié)構(gòu)求和；思路二：由“糖水不等式”將分子分母同時(shí)加1，放縮成等比結(jié)構(gòu)求和；思路三：將通項(xiàng)放縮成前后項(xiàng)差的裂項(xiàng)結(jié)構(gòu)，通過(guò)裂項(xiàng)相消求和.練3已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*．(1)若2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)雙曲線x2－eq\f(y2,a\o\al(2,n))＝1的離心率為en，且e2＝eq\f(5,3)，證明：e1＋e2＋…＋en>eq\f(4n－3n,3n－1)．練4已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝eq\f(3,2)，2Sn＝(n＋1)an＋1(n≥2)．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,an＋12)(n∈N*)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：Tn<eq\f(7,10)(n∈N*)．【規(guī)范解析】<<<專(zhuān)題訓(xùn)練>>><<<專(zhuān)題訓(xùn)練>>>1.數(shù)列{an}中，a(1)求證：an＋1<an；(2)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn<1．2.已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn（1）求證：數(shù)列Sn（2）記數(shù)列bn=2S3.已知數(shù)列an滿足（1）求證：數(shù)列ann2（2）設(shè)cn=n4.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n（1）求a1（