第五章 多自由度機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)

第五章多自由度單自由度系統(tǒng)，用一個(gè)等效構(gòu)件來代替原來的機(jī)械的運(yùn)動(dòng)

5.1引言—力學(xué)的發(fā)展過程在有些情況下，需要應(yīng)用二自由度或更多自由度的機(jī)械系統(tǒng)，如差動(dòng)輪系、倒立擺（2自由度），機(jī)器手等裝置（多自由度）。

本章采用的方法：拉格朗日方程（重點(diǎn)）

二自由度機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)不采用等效力學(xué)模型法，一般采用拉格朗日方程來建模。在學(xué)習(xí)拉格朗日方程之前，必須掌握一些重要的概念，如廣義坐標(biāo)、廣義力、虛位移等。首先了解一些科學(xué)史觀，培養(yǎng)科學(xué)精神。力學(xué)發(fā)展過程牛頓第一個(gè)100年,從牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》開始(1687),到18世紀(jì)后期。3個(gè)100年本階段還有伯努利、歐拉、達(dá)朗伯等人。拉普拉斯本時(shí)期還有高斯、赫茲、雅克比、哈密頓等人。第二個(gè)100年,從拉格朗日的《分析力學(xué)》開始（1788）,到19世紀(jì)后期。本時(shí)期的代表人物還有洛倫茲、海森堡,普朗克,圣維南等。愛因斯坦第三個(gè)100年,從愛因斯坦的狹義相對(duì)論開始（1881）,進(jìn)入相對(duì)論力學(xué)和量子力學(xué)階段。微觀力學(xué)最新研究成果：１、在微觀領(lǐng)域內(nèi)，不確定性是固有的；２、觀察結(jié)果受觀察者精神作用的影響；３、前衛(wèi)科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，研究成果與東方哲學(xué)（佛學(xué)）相吻合。日本江本勝博士的水結(jié)晶試驗(yàn)5.2自由度與廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)：能夠完全確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組坐標(biāo)叫做廣義坐標(biāo)。自由度（DOF)：能夠完全確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組坐標(biāo)的數(shù)量叫自由度。一般情況下廣義坐標(biāo)數(shù)量等于自由度數(shù)。設(shè)系統(tǒng)廣義坐標(biāo)為：則任一點(diǎn)位置矢量可表示為：可以寫成投影形式：將位置矢量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，即可得到質(zhì)點(diǎn)的速度表達(dá)式：其中，叫廣義速度。對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)在幾何位置上的限制稱為約束。如單擺的約束方程為：球擺的約束方程為：關(guān)于約束約束分類：1.幾何約束與速度約束約束方程中只含有質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)而不含有質(zhì)點(diǎn)的速度時(shí)為幾何約束；約束方程中含有質(zhì)點(diǎn)的速度時(shí)為速度約束。2.定常約束與非定常約束約束方程中不含時(shí)間t時(shí)為定常約束；約束方程中含有時(shí)間t時(shí)為非定常約束。

(1)幾何約束(Geometricconstraint)；完整約束與非完整約束完整約束(Holonomicconstraint)包括：

(2)含時(shí)幾何約束(Timedependentconstraint)。另外，可以積分的速度約束也是完整約束。例如：直線純滾動(dòng)的圓盤，速度滿足如下約束關(guān)系：為速度約束，但可以積分，因此還是完整約束。非完整約束為：含有速度的約束且約束方程不可積分。本課程只考慮完整約束，而且通常只考慮定常約束情況在理想約束條件下，系統(tǒng)平衡的充分必要條件是所有的主動(dòng)力在虛位移上作的元功之和為零，即：5.3虛位移原理與廣義力一、虛位移原理也可以寫成分解形式，即說明：（1）虛位移也叫可能位移，是在約束允許的條件下可能實(shí)現(xiàn)的無限小位移.與時(shí)間無關(guān)，可用變分符號(hào)表示。變分與微分很相似，但對(duì)時(shí)間凍結(jié)。（3）理想約束的約束力在虛位移上不做功，所以約束力不在方程中出現(xiàn)。（2）力在虛位移上作的功叫虛功，因此虛位移原理也叫虛功原理。二、虛位移原理的廣義坐標(biāo)形式求變分得：代入虛功方程得：叫廣義力。則有：由于廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)立的，廣義虛位移是任意的，所以有即，在理想約束下，系統(tǒng)平衡的充分必要條件是所有的廣義力為零。三、廣義力計(jì)算將廣義力寫成計(jì)算公式：Xk、Yk、Zk—主動(dòng)力Fk在坐標(biāo)軸上的投影；Xk、yk、zk—Fk作用點(diǎn)的坐標(biāo)1、利用定義計(jì)算為求坐標(biāo)對(duì)qi的偏導(dǎo)數(shù),要將坐標(biāo)表達(dá)成廣義坐標(biāo)qi的函數(shù)對(duì)于保守系統(tǒng)，如果作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力均為有勢(shì)力，則當(dāng)有勢(shì)力已知時(shí)，主動(dòng)力的投影可寫成用勢(shì)能表達(dá)的形式：廣義力Qi可表達(dá)為：對(duì)保守系統(tǒng)來說，對(duì)應(yīng)于有勢(shì)力的廣義力等于系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)的負(fù)值2、利用虛功間接求廣義力對(duì)于n個(gè)自由度系統(tǒng)，n個(gè)廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于n個(gè)獨(dú)立的廣義虛位移。若要求廣義力Qi，則：令而讓其余n-1個(gè)廣義虛位移均設(shè)為零，則系統(tǒng)中所有主動(dòng)力在相應(yīng)虛位移中所做的虛功之和用表示，則有對(duì)于二自由度系統(tǒng)，若能將主動(dòng)力虛功之和直接表達(dá)成與兩個(gè)廣義虛位移之間的關(guān)系，則表達(dá)式中廣義虛位移前的系數(shù)就是對(duì)應(yīng)的廣義力，即此時(shí),q1,q2均不為零.工程實(shí)際中，虛位移轉(zhuǎn)化為實(shí)位移，虛速度轉(zhuǎn)化為實(shí)速度，如對(duì)一具體的二個(gè)自由度機(jī)械系統(tǒng)能直接求出主動(dòng)力的功率與廣義速度的關(guān)系式則，廣義速度前的系數(shù)就是對(duì)應(yīng)的廣義力。例：圖示系統(tǒng)中,桿OA和AB以鉸鏈相連,O端為圓柱絞，B端自由,桿重及摩擦不計(jì)，桿長OA=l1，AB=l2，設(shè)二桿均在鉛垂面內(nèi),OA桿與鉛垂線成φ1角，桿AB與鉛垂線成φ2角.今在點(diǎn)A和B分別作用鉛垂向下的力F1和F2，求在圖示位置時(shí)的廣義力。此為具有二個(gè)自由度的雙擺系統(tǒng)，選取φ1和φ2為廣義坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的廣義虛位移為

φ1和

φ2，由定義得：因求出相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，代入廣義力公式有：解：1、定義法求廣義力2、用虛功方法求Q1和Q2，可先令

φ2=0，可得：由于代入上式得：再令

φ1=0，可得：5.4拉格朗日方程（第二類)拉格朗日方程是分析力學(xué)的核心內(nèi)容，其方程為：

為系統(tǒng)的動(dòng)能，為系統(tǒng)的勢(shì)能，為廣義坐標(biāo)，n為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)數(shù)。

用拉格朗日方程建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的步驟如下：（1）確定系統(tǒng)自由度數(shù)，選取廣義坐標(biāo)；（2）計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能Ek、勢(shì)能Ep;（3）計(jì)算系統(tǒng)的廣義力Q；（4）將動(dòng)能、勢(shì)能、廣義力代入拉氏方程；（5）求解方程。利用拉氏定理求雙擺的運(yùn)動(dòng)微分方程：1,取φ1和φ2為廣義坐標(biāo)，即q1=φ1,q2=φ2

2、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能3)計(jì)算系統(tǒng)的勢(shì)能及廣義力由于系統(tǒng)僅受二質(zhì)點(diǎn)重力作用，故此系統(tǒng)為保守系統(tǒng)。若取φ1=φ2=0作為零位置，在任意位置的系統(tǒng)勢(shì)能為：求得廣義力為：二自由度系統(tǒng)的拉氏方程為：非線性微分方程，只能求數(shù)值解當(dāng)雙擺作微幅振動(dòng)時(shí)，則上式可簡化為：例：拉格朗日方程的應(yīng)用。質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在一半徑為a的圓周上運(yùn)動(dòng)，此圓又以等角速度ω繞其鉛垂直徑AB轉(zhuǎn)動(dòng)，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程和使角速度ω保持不變的力矩M。解：設(shè)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則其動(dòng)能為：質(zhì)點(diǎn)對(duì)環(huán)的相對(duì)速度為牽連速度為aωsinθ,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為：廣義力為：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為：總動(dòng)能：于是對(duì)的拉格朗日方程為：整理可得：例：圖示橢圓擺由物塊M1和擺錘M2用直桿鉸接而成。M1可沿光滑水平面滑動(dòng)，M2則可在鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)。設(shè)M1、M2的質(zhì)量分別為m1、m2，桿長l，其質(zhì)量忽略不計(jì)，且在開始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心速度為零，試求擺的運(yùn)動(dòng)方程。解：將滑塊和擺均視為質(zhì)點(diǎn),系統(tǒng)有兩個(gè)自由度,用兩個(gè)廣義坐標(biāo)x1和表示,于是有：系統(tǒng)的拉氏方程為：系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為：代入拉氏方程，且有：得：—橢圓擺的運(yùn)動(dòng)方程5.4二自由度機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程機(jī)械工程中遇見的二自由度系統(tǒng)經(jīng)常是機(jī)構(gòu)，現(xiàn)以平面機(jī)構(gòu)為例說明建立二自由度機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的一般方法。設(shè)平面機(jī)構(gòu)具有N個(gè)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件，二自由度系統(tǒng)需有二個(gè)主動(dòng)構(gòu)件才能使所有構(gòu)件有確定的運(yùn)動(dòng)。若主動(dòng)件為兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)件，一般選取這兩構(gòu)件的角位移為廣義坐標(biāo)。二自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程為：一、系統(tǒng)動(dòng)能的確定對(duì)平面機(jī)構(gòu)來說,運(yùn)動(dòng)形式有三種:平動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)。設(shè)構(gòu)架j的質(zhì)心sj的速度為vsj，其角速度為，質(zhì)量為mj，繞質(zhì)心sj的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jj，則此構(gòu)件動(dòng)能為：具有N個(gè)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的平面機(jī)構(gòu)的動(dòng)能為：具體步驟如下：1.位移分析通過各構(gòu)件幾何位置關(guān)系，將各運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的角位移和構(gòu)件上k點(diǎn)的坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)q1,q2表示，即：2.速度分析將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)的角速度和速度分別是：若k點(diǎn)是質(zhì)心Sj，則：如果xsj，ysj及作為q1,q2函數(shù)的表達(dá)式已知時(shí)，則可計(jì)算出3.系統(tǒng)動(dòng)能E的計(jì)算式令：系統(tǒng)的動(dòng)能可表達(dá)為：4.等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J11、J22、J12J11與具有廣義坐標(biāo)q1的主動(dòng)件1有關(guān),J22與具有廣義坐標(biāo)q2的主動(dòng)件2有關(guān),而J12同時(shí)與兩個(gè)主動(dòng)件有關(guān).J11、J22、J12均為廣義坐標(biāo)q1，q2的函數(shù)，與廣義速度無關(guān)。二廣義力的確定當(dāng)廣義坐標(biāo)q1、q2為角位移時(shí)廣義力Q1、Q2具有力矩的量綱。對(duì)二自由度系統(tǒng)，常用虛功法求廣義力。令虛位移求出系統(tǒng)在虛位移

q1下所有主動(dòng)力所作虛功總和(W)1令三、運(yùn)動(dòng)微分方程代入拉氏方程得：常用的常微分方程的近似數(shù)值解法為四階龍格—庫塔法例：圖示為一倒立擺桿與一水平運(yùn)動(dòng)臺(tái)車鉸接而成的機(jī)械系統(tǒng)，擺桿為長2l，質(zhì)量m的均質(zhì)桿，一端安裝在具有粘性阻尼系數(shù)施加控制力：3.6二自由度機(jī)械手動(dòng)力學(xué)問題3.6二自由度機(jī)械手動(dòng)力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機(jī)械手動(dòng)力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機(jī)械手動(dòng)力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機(jī)械手動(dòng)力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機(jī)械手動(dòng)力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機(jī)械手動(dòng)力學(xué)問題（續(xù)）3.6二自由度機(jī)械手動(dòng)力學(xué)問題（續(xù)）3.6